山西省四校2014届高三第四次四校联考数学理试题

2014届高三年级第三次四校联考数学试题（理科）命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中【考试时间120分钟，满分150分】第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设U=R，A={x ⎢y=x x},B={y ⎢y=－x 2}，则A∩(C U B)=( ) A.φB.RC. {x ⎢x>0}D.{0}2.设复数1z i =+(i 是虚数单位)，则22z z+=( ) A．1i --B．1i -+C．1i -D．1i +3.下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( ) A.2B.3C.4D.54.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( ) A.3 B .－6 C.10 D.－155.实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,若z kx y =+的最大值为13,则实数k =( ).A. 2B.132C.94D. 56.等比数列{}n a 满足0,n a >n N +∈,且23232(2)n n a a n -=≥，则当1n ≥时， 2122221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+=( ) A. (21)n n -B . 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -7.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,⎥ϕ⎢<π2)的部分图象如图所示，则y=f(x+π6)取得最小值时x的集合为（ A. {x ⎢x= k π-π6, k ∈Z }B. {x ⎢x= k π-π3, k ∈Z }C. {x ⎢x=2k π-π6, k ∈Z }D. {x ⎢x=2k π-π3, k ∈Z }8.右图可能是下列哪个函数的图象（ ） A.y=2x－x 2－1 B. y =2xsinx 4x +1C.y=(x 2－2x)e xD. y=x lnx9.向边长分别为13,6,5的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ） A．181π-B. 121π-C. 19π-D. 41π-10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A．12种B.16种C.24种D. 36种11. 三棱锥P —ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ＝6，则该球的体积为( )A．163πB．323πC．48πD．643π12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于,A B两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,2C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ． 31,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 如果(2x－1)6＝a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，那么a 1＋a 2＋…＋a 6的值等于 .14. 圆O为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC→方向上的投影为 .15.已知(0)()(0)x ex f x x -⎧≤⎪=>,1()()2g x f x x b =--有且仅有一个零点时，则b 的取值范围是 .16.若数列{}n a 与{}n b 满足1113(1)(1)1,,2n nn n n n n b a b a b n N -++++-+=-+=∈，且12a =,设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则63S = .三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 已知∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． cos A ＝23，sin BC ．(1)求tan C 的值；(2)若a∆ABC 的面积． 18.（本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为32，且每题正确完成与否互不影响. （1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大19. (本小题满分12分) 如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°, 四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1． （1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成 二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cos θ的取值范围．20.(本小题满分12分)抛物线C 1：24y x =的焦点与椭圆C 2：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A，C 1,C 2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且OAB ∆. (1)求椭圆C 2的标准方程；（2）过A点作直线l 交C 1于C,D两点，连接OC,OD分别交C 2于E,F两点，记OEF ∆，OCD ∆的面积分别为1S ,2S .问是否存在上述直线l 使得213S S =，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)设函数-1()=x e f x x（1）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x)-1<a成立．请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲FBC DEM如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于C B ,两点，且AC AB 31=，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，030=∠EBC（1）求AF 的长；（2）求证：ED AD 3=.23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系xoy 中，曲线1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()312--+=x x x f (1)求函数()x f y =的最小值; (2)若272)(-+≥a ax x f 恒成立，求实数a 的取值范围.2014届高三年级第三次四校联考数学（理科）答案一、选择题二、13. 0 14. 315．b≥1或b=12或b≤0 16. 560三、解答题17．解：(1)∵cos A＝23∴sin A=，……………2分cosC＋23sinC． ……………5分整理得：tan C． ……………6分(2) 由（1）知sin CC由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c =cosC=615⋅……………10分 ∴∆ABC 的面积为：S ＝B ac sin 21． ……………12分18.解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1,2,351)1(362214===C C C P ξ 53)2(361224===C C C P ξ 51)3(36234===C C C P ξ ……………3分所以，考生甲正确完成题目数的分布列为所以2535251=⨯+⨯+⨯=ξE ……………5分（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η因为)32,3(～B η，其分布列为：3,2,1,0,)31()32()(33===-k C k P k k k η所以2323=⨯=ηE ……………6分又因为5251)23(53)22(51)21(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD3231323=⨯⨯=ηD ……………8分所以ηξD D < 又因为8.05153)2(=+=≥ξP ， 74.02782712)2(≈+=≥ηP ……………10分 所以)2()2(≥>≥ηξP P①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，因此，可以判断甲的实验操作能力强. ……………12分19.（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，∴AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB 2=AC 2+BC 2,∴BC⊥AC.∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC ⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE. 又因为BC ⊂平面FBC，所以平面ACFE⊥平面FBC， .............5分(2)解：由(1)可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ(0≤λ，0，0)，B(0，1，0)，M(λ，0，1)，∴AB →=(BM →=(λ，-1，1)，设n 1=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →=0n 1·BM →=0,得y 0x y z 0,⎧+=⎪⎨λ-+=⎪⎩，取x=1,则n 1λ),∵n 2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,∴cos θ=|n 1·n 2||n 1|·|n 2| =11+3+(3－λ)2⨯1 =1(3－λ)2+4 ...........10分 ∵0≤λλ=0时，cos θ， 当λθ有最大值12.∴cos θ12］..............12分 20.解：（1）∵24y x =∴焦点()1,0F ∴1c =即221a b =+……………1分又∵123OAB B S OA y a ∆=⨯⨯=∴3B y =……………2分代入抛物线方程得2(,33B .又B 点在椭圆上得23b =，24a =∴椭圆C 2的标准方程为22143x y +=. ……………4分 （2）设直线l 的方程为2x my =+，由224x my y x =+⎧⎨=⎩得2480y my --=设1122(,),(,)C x y D x y ，所以12124,8y y m y y +=⋅=-……………6分又因为21211sin 21sin 2E FOC OD COD OC OD S y yS OE OF y y OE OF EOF ∠===⨯∠直线OC 的斜率为1114y x y =，故直线OC 的方程为14y y x =，由1224143y y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得221364364E y y ⨯=+，同理222364364F y y ⨯=+ 所以22222212364364643()()36436412148EFy y y y m ⨯⨯⨯=⨯=+++ 则2222212222112148()3E F S y y m S y y ⋅+==⋅， ……………10分 所以221214893m +=， 所以24840m =-，故不存在直线l 使得213S S = ……………12分21.解：(1) 由题意知：，f '(x)=xe x -(e x -1)x 2= (x-1)e x +1x 2, ……………2分令h(x)=(x -1)e x +1,则h '(x)=x e x >0,∴h(x)在（0，+∞）上是增函数， ……………3分 又h(0)=0，∴h(x)>0,则f '(x)>0,∴f (x)在(0,+∞)上是单调增函数. ……………5分 (2) f(x)-1=e x - x -1x,不等式f(x)-1<a可化为e x -(a+1)x-1<0,令G(x)= e x -(a+1)x-1, G '(x)=e x -(a+1), ……………7分 由G '(x)=0得：x=ln(a+1), 当0<x< (ln(a+1)时，G '(x)<0, 当x>ln(a+1)时，G '(x)>0,∴当x=ln(a+1)时，G(x)min =a-(a+1)ln(a+1), ……………9分 令ϕ(a)=a a+1- ln(a+1),(a≥0) ϕ'(a)=1(a+1)2-1a+1=－a(a+1)2<0,又ϕ(0)=0,∴当a>0时，ϕ(a)< ϕ(0)=0,即当x=ln(a+1)时，G(x)min =a-(a+1)ln(a+1)<0. ……………11分 故存在正数x=ln(a+1)，使不等式F(x)-1<a成立． ……………12分22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（1）延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ， 则090=∠BCM ，又,42==BE BM 030=∠EBC ，所以32=BC ， 又,31AC AB =可知321==BC AB ，所以33=AC 根据切割线定理得93332=⨯=⋅=AC AB AF ，即3=AF 证明：过E 作BC EH ⊥于H ，则ADF EDH ∆∆～，从而有AF EH AD ED =，又由题意知，BC CH 321==2=EB 所以1=EH ，因此31=AD ED ，即ED AD 3= 23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲F解：（1）由曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x两式两边平方相加得：1)3(22=+y x即曲线1C 的普通方程为：1322=+y x 由曲线2C ：24)4sin(=+πθρ得：24)cos (sin 22=+θθρ 即8cos sin =+θρθρ，所以08=-+y x 即曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x(2)由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点)sin ,cos 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为 28)3sin(228sin cos 3-+=-+=παααd 所以当1)3sin(=+πα时，d 的最小值为23，此时点P 的坐标为)21,23( 24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲答案：（1）由题意得()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---<--=3432123)21(4x x x x x x x f 所以 f （x ）在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21上单调递增. 所以当21-=x 时()x f y =取得最小值 此时()27min -=x f（2）由（1）及272)(-+=a ax x g 可知()x g y =恒过点过⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,21 由图象可知11a -≤≤。