5.1(2)不等式基本性质第二课时
5.1.2等式的基本性质(教案)2021-2022学年北师大版数学七年级上册
1.理论介绍：首先，我们要了解等式的基本性质。等式是表示两个数或两个表达式相等的数学语句。它在我们解决数学问题中起着至关重要的作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了等式基本性质在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等式性质1和性质2这两个重点。对于难点部分，比如性质4中除数不为0的条件，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-举例：在解含有多项式的方程时，学生可能会不知道如何将等式的性质应用于简化方程，如x + 3 = 2x - 1。
-难点三：逆向思维的培养。等式性质的逆向应用是学生的另一个难点，如从a + c = b + c推导出a = b。
-举例：给出练习题，要求学生从变形后的等式中找出原始等式，如已知3x + 5 = 2x + 15，求原方程。
2.教学难点
-难点一：等式性质的理解与运用。学生对等式性质的理解可能停留在表面，难以灵活运用。
-举例：学生可能会在应用性质时忽略除数不为0的条件，或者在等式变形时忘记保持等式两边的等价性。
-难点二：识别并正确应用等式的性质解决复杂问题。在解决综合性的数学问题时，学生可能难以识别哪些步骤需要使用等式的性质。
我也观察到，在小组讨论和实践活动环节，学生们表现出了很高的积极性。他们通过合作解决问题，不仅加深了对等式性质的理解，还增强了团队协作能力。然而，我也发现有些小组在讨论时可能会偏离主题，因此在今后的教学中，我需要更明确地设定讨论的边界，并提供更具体的指导。
此外，我发现学生在分享讨论成果时，表达能力还有待提高。为了加强这一点，我计划在接下来的课程中增加一些专门的口语表达练习，如让学生模拟教师角色，向同学们解释等式性质的原理和应用，以提高他们的数学表达和交流能力。
等式性质与不等式性质课件(第2课时)-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
新课引入
结束语
谢谢观看！
性质3(可加性) 如果a>b，则a+c>b+c.
证明：因为a>b，所以a－b>0， 因此(a+c)－(b+c)
=a+c－b－c=a－b>0，
即 a+c>b+c. 由性质3可以得出 a+b>c a+b+(－b)>c+(－b)
a>c－b.
推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后， 从不等式的一边移到另一边。（移项法则）
人教版A2019-必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质 （第二课时）
高一数学组
学习目标
1.通过类比等式性质理解掌握不等式性质 2.能利用不等式性质证明大小关系
新课引入
探究新知识
关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础. 那么，不等式到底有哪些性质呢?
新课引入
探究新知识
例1 已知a>b>0，c<0，求证
.
分析：要证明
，因为c＜0，所以可以先证明
.
利用a>b>0和性质3，即可证明
.
解：因为a>b>0，所以ab>0，
于是
即
由 c<0，得
.
新课引入
探究新知识
练习1：若bc－ad≥0，bd>0，求证：
.
解:∵bc－ad ≥ 0，
∴ad ≤ bc，
∴ad+ bd ≤ bc+ bd，
证明：因为a>b，则a-b为正数， 所以其相反数b-a为负数。 即b-a<0，所以b<a.
不等式的基本性质教学设计教案
不等式的基本性质教学设计-教案第一章：不等式的概念与基本性质1.1 不等式的定义介绍不等式的概念，理解不等号（>，<，≥，≤）的含义举例说明不等式的表示方法1.2 不等式的基本性质性质1：如果a>b，a+c>b+c（加法性质）性质2：如果a>b且c>0，ac>bc（乘法性质，正数）性质3：如果a>b且c<0，ac<bc（乘法性质，负数）性质4：如果a>b且c≥0，a-c>b-c（减法性质）第二章：不等式的运算2.1 不等式的加减法运算展示不等式的加减法运算规则，举例说明练习题：求解下列不等式组的解集2.2 不等式的乘除法运算介绍不等式的乘除法运算规则，注意正负数的处理练习题：求解下列不等式组的解集第三章：不等式的解法3.1 简单不等式的解法介绍简单不等式的解法，如直接解、移项、合并同类项等练习题：求解下列简单不等式的解集3.2 不等式组的解法介绍不等式组的解法，如图像法、区间法等练习题：求解下列不等式组的解集第四章：不等式的应用4.1 实际问题中的不等式举例说明不等式在实际问题中的应用，如距离问题、分配问题等练习题：解决下列实际问题中的不等式4.2 不等式的优化问题介绍不等式在优化问题中的应用，如最大值、最小值问题练习题：解决下列优化问题中的不等式第五章：不等式的综合练习5.1 不等式的综合应用综合运用不等式的基本性质、运算和解法解决实际问题练习题：解决下列综合应用问题中的不等式5.2 复习与总结复习不等式的概念、基本性质、运算和解法总结不等式的重要性和在数学中的应用第六章：不等式的标准形式6.1 不等式的标准形式介绍不等式的标准形式：x ≤a 或x ≥a说明标准形式在解不等式组中的重要性6.2 标准形式的不等式解法展示如何将不等式转换为标准形式练习题：将给定的不等式转换为标准形式并求解第七章：不等式的绝对值7.1 不等式中的绝对值解释绝对值在不等式中的含义和作用举例说明绝对值不等式的解法7.2 绝对值不等式的解法展示绝对值不等式的解法步骤练习题：求解含有绝对值的不等式第八章：不等式的函数关系8.1 不等式与函数的关系探讨不等式与函数之间的关系举例说明如何通过函数图像解决不等式问题8.2 函数图像下的不等式解法介绍如何利用函数图像求解不等式练习题：利用函数图像解决给定的不等式问题第九章：不等式的不等式系统9.1 不等式系统的概念介绍不等式系统的概念及其解法说明不等式系统在实际问题中的应用9.2 不等式系统的解法展示如何解不等式系统练习题：求解给定的不等式系统第十章：不等式的拓展与应用10.1 不等式的拓展探讨不等式在其他数学领域的应用介绍不等式的相关拓展知识10.2 不等式的实际应用分析不等式在现实生活中的应用练习题：解决实际生活中的不等式问题教案总结：本教案涵盖了不等式的基本概念、性质、运算、解法、应用以及拓展等内容。
5.1.2等式的基本性质教学设计
《5.1.2等式的基本性质》教学设计教材分析《等式的基本性质》这节内容是北师大版义务教育教科书七年级数学上册第五章一元一次方程第一节第二课时，等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的，它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型，它是解方程的必备知识，并且对解一元一次方程中的移项、合并同类项起着至关重要的作用。
本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。
同时培养学生数学思维能力。
教学目标 1、借助天平的操作活动，理解并能用语言表述等式的基本性质；2、能用等式的基本性质解决简单问题。
3、在用算式表示实验结果、讨论、归纳等活动中，经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力，并且探索出等式基本性质教学重难点教学重点：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。
教学难点：抽象归纳出等式的基本性质。
教学方法实验探究，讲练结合教学用品天平、砝码教学过程一、复习旧知1.下列选项中，是一元一次方程的是( B )A ．225x x +=B ．23x x =C ．5x +D ．34x y -=-2．下列方程中，2x =不是该方程的解的是( B ) A.23-=2-41x B. 35x x -= C.5.0=1-21）（x D. 237x += 【设计意图】通过两道题复习一元一次方程和方程的解的概念，加深理解，巩固记忆。
二、探究活动抛出问题你能解方程534x x =+吗？操作天平，使学生总结等式的基本性质。
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个代数式，所的结果仍是等式。
等式的性质2：等式两边乘（或除）（除数不能为0）同一个数，所的结果仍是等式。
【设计意图】通过实践操作，使学生直观感受和理解等式的基本性质，并要求学生用语言表达，教师适当补充。
培养学生合作精神和表达能力。
2.1等式与不等式的性质(第二课时)课件(人教版)
x + y = 2,
x = −1,
解得
y = 3.
x − y = −4,
∴ 2a − 4b = − a + b + 3 a − b .
解题感悟
∵ −1 < a + b < 5 , −4 < a − b < 2 ,
已知 1 a b 1, 则a b的取值范围是__________
1.
a b.
解 : 1 a b 1, 1 a 1,1 b 1,
1 b 1, a b a (b), 2 a b 2,
又 ∵ a b, a b 0, 2 a b 0. 关键：减化加
1
0,
ab
1
1
a
b ,
ab
ab
1 1
,
b a
1 1
.
a b
典例解析
例2 已知 a b 0，c 0 ，求证：c c .
a b
1
1
c c
分析：c 0，Biblioteka 证 ，只需证 a b证法2 c c c(b a )
a b
a b
ab
a
b
0
？
另证： a b a b 0
(a b) (c d ) 0
c d cd 0
(a c ) (b d ) 0 a c b d
不等式及其基本性质优秀教案
不等式及其基本性质【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】1．通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种。
2．了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系。
【教学重难点】重点：了解不等式的意义，用不等式表示具体问题中的数量关系。
难点：正确分析数量关系，列出表示数量关系的不等式。
【教学过程】（一）导入新课在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中。
由此可见，“不相等”处处可见。
从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式。
（二）新课讲解1．提纲：（1）认真看书的内容。
（2）举出生活中一个不等量关系的例子。
（3）注意表示不等关系的词语如“不大于”、“不高于”等等。
2．合作学习：问题1：用适当的符号表示下列关系：（1）2x与3的和不大于6；（2）x的5倍与1的差小于x的3倍；（3）a与b的差是正数。
问题2：雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。
设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足这样的关系式？问题3：一种药品每片为0.25g ，说明书上写着“每日用量0.75~2.25g ，分3次服用”。
设某人一次服用x 片，那么x 应满足怎样的关系式？根据题意，我们可以得到下列式子：2x+3≤6 5x -1<3x a-b>0 4.5t<28000 0.75≤3×0.25x ≤2.25像上面那些式子，用不等号（>、≥、<、≤或≠）表示不等关系的式子，就叫做不等式。
注：不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示。
（三）课堂检测1．用不等式表示下列关系（1）亮亮的年龄（记为x ）不到14岁。
_____________（2）七年级（1）班的男生数（记为y ）不超过30人。
_____________（3）某饮料中果汁的含量（记为x ）不低于20%。
第二课时 等式性质与不等式的性质
第二课时等式性质与不等式的性质课标要求素养要求1.掌握不等式的基本性质.2.运用不等式的性质解决有关问题.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.新知探究在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.问题你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示糖水变甜这一现象对应的不等式为ab<a＋cb＋c，其中a<b，c>0.1.等式的性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2.不等式的性质注意这些性质是否可逆(易错点)性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c.性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质4 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . 性质5 如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . 性质6 如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . 性质7 如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N ，n ≥2).拓展深化[微判断]1.a >b ⇔ac 2>bc2.(×) 提示 当c ＝0时，不成立.2.同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(×)提示 相乘需要看是否⎩⎪⎨⎪⎧a >b >0，c >d >0，而相加与正、负和零均无关系.3.设a ，b ∈R ，且a >b ，则a 3>b 3.(√) [微训练]1.已知a ，b ，m 是正实数，则不等式b ＋m a ＋m >ba成立的条件是( ) A.a <b B.a >b C.与m 有关D.恒成立解析 b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），而a >0，m >0且m （a －b ）a （a ＋m ）>0，∴a －b >0.即a >b .答案 B2.已知m >n ，则( ) A.m 2>n 2 B.m >n C.mx 2>nx 2D.m ＋x >n ＋x解析 由于m 2－n 2＝(m －n )(m ＋n )，而m ＋n >0不一定成立，所以m 2>n 2不一定成立，而m ，n 不一定有意义，所以选项A ，B 不正确；选项C 中，若x 2＝0，则不成立. 答案 D [微思考]1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？提示a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？提示不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.题型一利用不等式的性质判断命题的真假【例1】(1)若1a<1b<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3，则不正确的不等式的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则1a<1 b；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a<b，则ab<a＋m b＋m.其中真命题的序号是________.解析(1)由1a<1b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2.(2)对于①，若ab>0，则1 ab>0，又a>b，所以aab>bab，所以1a<1b，所以①正确；对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，则7－0<6－(－10)，②错误；对于③，对于正数a，b，m，若a<b，则am<bm，所以am＋ab<bm＋ab，所以0<a(b＋m)<b(a＋m)，又1b（b＋m）>0，所以ab<a＋mb＋m，③正确.综上，真命题的序号是①③.答案(1)C(2)①③规律方法不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.【训练1】设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是()A.ac>bdB.a d< bcC.ad>bc D.ac2<bd2解析a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，即有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；由cd>0，又ac<bd<0，两边同乘1cd ，可得ad<bc，则B对，C错；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错.故选B.答案 B题型二利用不等式的性质证明不等式【例2】若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.证明∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .规律方法 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小；2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导.【训练2】 (1)已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc . (2)a <b <0，求证：b a <ab .证明 (1)因为a >b ，c >0，所以ac >bc ，即－ac <－bc . 又e >f ，即f <e ，所以f －ac <e －bc .(2)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴（b ＋a ）（b －a ）ab <0，故b a <a b . 题型三 利用不等式的性质求范围【例3】 已知1<a <6，3<b <4，求a －b ，ab 的取值范围. 解 ∵3<b <4，∴－4<－b <－3. ∴1－4<a －b <6－3，即－3<a －b <3. 又14<1b <13，∴14<a b <63，即14<a b <2.规律方法 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除.【训练3】 已知－π2<β<α<π2，求2α－β的取值范围.解∵－π2<α<π2，－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2.∴－π<α－β<π.又∵β<α，∴α－β>0，∴0<α－β<π，又2α－β＝α＋(α－β)，∴－π2<2α－β<3 2π.一、素养落地1.通过学习并理解不等式的性质，培养数学抽象素养，通过运用不等式的性质解决问题，提升数学运算素养.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.二、素养训练1.已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是()A.a>b>－b>－aB.a>－b>－a>bC.a>－b>b>－aD.a>b>－a>－b解析由a＋b>0知，a>－b，∴－a<b<0.又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.答案 C2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是()A.a－b>0B.a3＋b3>0C.a2－b2<0D.a＋b<0解析本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.答案 D3.若8<x<10，2<y<4，则xy的取值范围为________.解析 ∵2<y <4，∴14<1y <12. 又∵8<x <10，∴2<xy <5. 答案 2<xy <54.下列命题中，真命题是________(填序号).①若a >b >0，则1a 2<1b 2；②若a >b ，则c －2a <c －2b ；③若a <0，b >0，则－a <b ；④若a >b ，则2a >2b .解析 ①a >b >0⇒0<1a <1b ⇒1a 2<1b 2；②a >b ⇒－2a <－2b ⇒c －2a <c －2b ；对③取a ＝－2，b ＝1，则－a <b 不成立.④正确.答案 ①②④5.已知c a >db ，bc >ad ，求证：ab >0.证明∵⎩⎨⎧c a >d b ，bc >ad ，∴⎩⎨⎧c a －d b >0，bc －ad >0.∴⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ab >0，bc －ad >0，∴ab >0.基础达标一、选择题1.已知a <b <0，则下列式子中恒成立的是( ) A.1a <1b B.1a >1b C.a 2<b 2D.a b <1解析 因为a <b <0，不妨令a ＝－3，b ＝－2，则－13>－12，可排除A；(－3)2>(－2)2，可排除C；a b ＝－3－2>1，可排除D；而－13>－12，即1a>1b，B正确.答案 B2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax 解析∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.答案 B3.(多选题)设a<b<0，则下列不等式中正确的是()A.2a>2b B.ac<bcC.|a|>－bD.－a>－b解析a<b<0，则2a>2b，选项A正确；当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确；|a|＝－a>－b，则选项C正确；由－a>－b>0，可得－a>－b，则选项D正确.答案ACD4.已知a>b>c，则1b－c＋1c－a的值是()A.正数B.负数C.非正数D.非负数解析 1b －c ＋1c －a ＝c －a ＋b －c （b －c ）（c －a ）＝b －a （b －c ）（c －a ），∵a >b >c ，∴b －c >0，c －a <0，b －a <0， ∴1b －c ＋1c －a>0，故选A. 答案 A5.若1<a <3，－4<b <2，那么a －|b |的范围是( ) A.－3<a －|b |≤3 B.－3<a －|b |<5 C.－3<a －|b |<3D.1<a －|b |<4解析 ∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0. 又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3. 答案 C 二、填空题6.不等式a >b 和1a >1b 同时成立的条件是________. 解析 ∵1a －1b ＝b －aab ，∴a >b 和1a >1b 同时成立的条件是a >0>b . 答案 a >0>b 7.若a <b <0，则1a －b与1a 的大小关系是________. 解析 1a －b －1a ＝a －（a －b ）（a －b ）a ＝b（a －b ）a ，∵a <b <0，∴a －b <0，则b （a －b ）a <0，1a －b<1a .答案1a －b <1a8.已知－π2≤α<β≤π2，则α－β2的取值范围是________.解析 ∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<β2≤π4. ∴－π4≤α2<π4，①－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.② 由①＋②得－π2≤α－β2<π2.又知α<β，∴α－β<0.∴－π2≤α－β2<0. 答案 －π2≤α－β2<0 三、解答题9.判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)若a <b ，c <0，则c a <cb ； (2)若ac 3<bc 3，则a >b ； (3)若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ； (4)若a >b ，b >c 则a －b >b －c . 解 (1)∵a <b ，不一定有ab >0， ∴1a >1b 不一定成立， ∴推不出c a <cb ，∴是假命题.(2)当c >0时，c 3>0，∴a <b ，∴是假命题.(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a ＝2，b ＝0，c ＝－3时，满足a >b ，b >c 这两个条件，但是a －b ＝2<b －c ＝3，∴是假命题.10.已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b.证明 a c －a －bc －b ＝a （c －b ）－b （c －a ）（c －a ）（c －b ）＝ac －ab －bc ＋ab （c －a ）（c －b ）＝c（a －b ）（c －a ）（c －b ）.∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0，a －b >0.∴c （a －b ）（c －a ）（c －b ）>0.∴ac －a >bc －b .能力提升11.已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中一定成立的是() A.xy >yz B.xz >yzC.xy >xzD.x |y |>z |y |解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 答案 C12.已知1≤a ＋b ≤4，－1≤a －b ≤2，求4a －2b 的取值范围.解 法一 设u ＝a ＋b ，v ＝a －b 得a ＝u ＋v 2，b ＝u －v 2，∴4a －2b ＝2u ＋2v －u ＋v ＝u ＋3v .∵1≤u ≤4，－1≤v ≤2，∴－3≤3v ≤6.则－2≤u ＋3v ≤10，即－2≤4a －2b ≤10.法二 令4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，∴4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ＋b ≤4，－3≤3（a －b ）≤6.∴－2≤4a －2b ≤10. 创新猜想13.(多选题)若x >1>y ，则下列不等式一定成立的有( )A.x －1>1－yB.x －1>y －1C.x －y >1－yD.1－x >y －x解析 x －1－(1－y )＝x ＋y －2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x ＝2，y ＝－1得x －1－(1－y )<0，故选项A 中不等式不一定成立；x －1－(y －1)＝x －y >0，故选项B 中不等式成立；x －y －(1－y )＝x －1>0，故选项C 中不等式成立；1－x －(y －x )＝1－y >0，故选项D 中不等式成立.故选BCD.答案 BCD14.(多空题)已知12<a <60，15<b <36，则a －b 的取值范围为________，a b 的取值范围为________.解析 由15<b <36得－36<－b <－15.又因为12<a <60，所以－24<a －b <45.由15<b <36得136<1b <115.又因为12<a <60，所以13<a b <4.答案 －24<a －b <45 13<a b <4。
等式性质与不等式性质 第二课时课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
，＝]－(m2解＋，m－＋法n＋mn(一＋a[所)n＋m－解正a＋＝：＋n＋以nm所得解b(4＝a4(所因)n＋，以－＝4＋a]2＝mn－a－以n为＝m(－＝b34＝m2解)2≤＋，1，＝4231＋b－.a法b，≤4＝n(－＝nam2)一ab－m)，2解3＋a，－b((：＋2aa＝得n所b－b－所因又即4()≤解≤－3aa以mnbb(＋－1为因5以a＝)得2)m＝2＋－(≤，2＋.1－341为bmn(4b.，a所＝＝na≤)m＝a＋＋)2－a＋bm－1以3≤b，(.－，(a)na2a．2＋3所)－bbb＋≤bb，以＝≤b≤)3．)b2所(＋1m－a3≤，0－以n＋(4m.(aa所，所因n＋－＋＝以n为以所b4＝b)，＝4)13以－a＋≤≤(－m25a3，(2＋≤－a(ba＝3＋nb－)(解≤3aab(＋a得2b－)－(，．)－mn≤bb所＝)m6＝)＋＋＋.1以3(.，an(＋3)ab≤＋b，)3．所(ba)－以≤ 1 0 .
[错解]
由
1≤a－b≤2， 2≤a＋b≤4，
得 320≤ ≤ab≤ ≤330， .≤b所≤以32. 3≤4a－2b≤12.
由32≤于a≤多3次，使用不等式相加的性质，导致所a，以2 b3的≤范4a－围2扩b≤大1，2. 因而4a－2b
的0≤范b≤围[正3也.解扩] 大解法一：4a－2b＝m(a－b)[正解] 解法一：4a－2b＝m(a－b)
两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.
证明（法1）：∵a＞b，c＞d， ∴a－b＞0，c－d＞0． ∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0．
∴a＋c＞b＋d．
证明（法2）：由性质3，得a＋c＞b＋c，c＋b＞d＋b； 由性质2，得a＋c＞b＋d．
性质6 : 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. (同向同正可乘性)
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2x 1 3
3 4x
2、满足不等式 4x＞5 的解有几个？试举几个_______________________。 （二）借助数轴将表示不等式的解集 1、请你用自己的方式将不等式 x ＞5 的解集表示在数轴上，并与同伴交流. 不等式 x ＞5 的解集可以用数轴上表示 的点的 边部分来表示（图 1 －1） ，在数轴上表示 5 的点的位置上画 圆圈，表示 5 这个解集内.
） C、-2a＜-2 D、
1 x 5 x
4、将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1） x ＞－2.5 （2） x ＜
2 3
（3） x ≥4
（4） x ≤0
图 2、若一个不等式的解集是 x ≤4，如何表示？1－1 可以用数轴上表示 的点及其 边部分来表示（图 1－2） ，在数轴上表 示 4 的点的位置上画 圆点，表示 4 这个解集内.
图 1－2 3、合作交流：如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？请举例说明. 如： x ＞3, 即为数轴上表示 的点的 边部分，在数轴上表示 3 的点的位 置上画 圆圈，表示不包括这一点. 的点的 边部分来表示，在这一点上画 x ＜3，可以用数轴上表示 圆圈. 的点和它的 边部分来表示，在表示 3 的点 x ≥3，可以用数轴上表示 的位置上画 圆点，表示包括这一点. 的点和它的 边部分来表示，在表示 3 的点 x ≤3，可以用数轴上表示 的位置上画画 圆点。 归纳：在数轴上表示不等式的解集需注意两个方面一是大于向右，小于向 左，带等号画实点，不带等号画空心点。 试一试：在数轴上表示出不等式解集 （1） x ＞4 （2） x ＜－1 （3） x ≥－2 （4） x ≤ 6
三、课堂小结与提升 通过本节课的学习你有哪些收获？还有什么困惑？ 四、课堂检测 1、判断正误： （1）不等式 x －1＞0 有无数个解； （ （2）不等式 2 x －3≤0 的解集为 x ≥
2 3
） .（ ）
2、不等式 x ＜20 有多少个解？请找出几个。
3、下列是一元一次不等式的是（ A、5+3＞7 B、y(y+1)≥1
第五章 一元一次不等式学案
年级________ 课题 5.1 一元一次不等式 班级______________ 课时 姓名_______________ 一课时 课型 新授课
学习目标： 1、 理解不等式的解、 不等式的解集、 解不等式这些概念的含义.了解一元一次不等式的概念。 2、会在数轴上表示不等式的解集. 学习重点 理解不等式中的有关概念.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. 学习难点 学习过程 一、自主学习 自学教材 P137——P138 的内容，完成下列问题。 1、用不等式表示 （1）x 的 4 倍是负数。______________ (2) a 的 1/2 与 5 的差不小于 12.____________ (3) 小明存款 a 元，他的 2 倍还比小刚的存款 b 元要少。______________. (4)小王计划给灾区同学捐献一些笔和笔记本， 已知每支笔的价格为 3 元， 每 个笔记本的价格为 4 元，小王在买了 50 支笔后准备把剩下的钱全部用来买笔 记本，但他只有 350 元，设他能买 x 个笔记本，可得不等式_______________. 2、只含有____个未知数，并且未知数的次数是___的不等式叫作一元一次不等 式。如 1 题中属于一元一次不等式的有_________________________. 一元一次不等式的标准形式是___________________。 如上例中有_________ 3、满足-5x≤10 的未知数 x 的值，你能举出几个？ 这每一个数如 x=2 是不等式的_____.。所有这些数组成_______________. 使不等式成立的未知数的_______叫做不等式的解。 一个不等式解的_________称为不等式的解集。 二、合作探究 （一）理解概念 1、下列不等式中是一元一次不等式的有（ ） （1）x+1＜x (2)2+4＜7 （3）y+2＞3y （4）x -5＞6x （5）