2020年寒假八年级数学课程第八讲 梯形

第八讲梯形第一部分知识梳理一、梯形的性质和判定1．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．2．等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．3．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．第二部分例题与解题思路方法归纳类型一梯形的面积【例题1】如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（）A、逐渐增大B、逐渐减小C、始终不变D、先增大后变小〖选题意图〗考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．〖解题思路〗易得此四边形为直角梯形，AB的长度一定，那么直角梯形的高为AB的长度的一半，上下底的和也一定，所以面积不变．〖参考答案〗解：当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，设两个等边三角形的边长分别为a，b，根据等边三角形的性质，等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变，即DM+EN=MC+CN=AC+CB=AB，而且MN的长度也不会改变，即MN=AC+CB=AB．∴四边形DMNE 面积= AB 2， ∴面积不会改变．故选C ．【课堂训练题】1．某校研究性学习小组在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图，若v 是关于t 的函数，图象为折线O ﹣A ﹣B ﹣C ，其中A （t 1，350），B （t 2，350），C （，0），四边形OABC 的面积为70，则t 2﹣t 1=（ ）A ．B ．C ．D ．〖参考答案〗解：根据题意得， （AB+）×350=70，解之得，AB= ；读图可知，t 2﹣t 1=AB=．故选B ． 2．如图为菱形ABCD 与正方形EFGH 的重迭情形，其中E 在CD 上，AD 与GH 相交于I点，且AD ∥HE ．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10﹣2D ．10+2〖参考答案〗解：四边形ABCD 为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD ∥HE ⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM ⊥HE 于M 点，则△DEM 为30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4⇒EM=2，DM=2 ，且四边形EFGH 为正方形⇒∠H=∠I=90°，即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI 面积=（ ）=8 ． 故选B ．类型二梯形的中位线相关【例题2】如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（）A．6 B．8C．4 D．4〖选题意图〗解决此题的关键是确定点M的位置．如果在直线的同侧有两个点，要在直线上找一点到两个点的距离之和最短，方法是找其中一个点关于直线的对称点，连接该点和另一个点，与直线的交点即为到两个点的距离之和最小的点的位置．〖解题思路〗此题关键是确定M的位置，将EM、MN转化到一条直线上，就可求出其和最小值．〖参考答案〗解：作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，∵点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2又∵DC=4∴EN’为等腰梯形的中线∴EN′=（AD+BC）=6，∴EM+MN最小值为：EN′=6故选A【课堂训练题】1．如图所示，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8，则FG等于（）A．2cm B．3cmC．4cm D．6cm〖参考答案〗解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×8=4；∵FG为梯形BCED的中位线，∴FG=（DE+BC）=（4+8）=6．故选D．2．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF 与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）A．B．C．D．〖参考答案〗解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，∴AM=CM，BN=DN．∴EM=CD，NF=CD．∴EM=NF，∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．故选：C．类型三角度的相关问题【例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，求证：AC是∠DAB的平分线．〖选题意图〗本题考查了梯形的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质，难度较小，是一道不错的证明题．〖解题思路〗利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论．〖参考答案〗解：∵AB ∥CD ，∴∠CAB=∠DCA ．∵AD=DC ，∴∠DAC=∠DCA ．∴∠DAC=∠CAB ，即AC 是∠DAB 的角平分线．【课堂训练题】1．在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，BD ⊥AD .求∠DBC 和∠C 的大小.〖参考答案〗如图1，梯形ABCD 中，因为DC ∥AB ，∠A ＝60°，所以∠ADC ＝120°，又因为BD ⊥AD ，所以∠ADB ＝90°，即∠ABD ＝30°，而AD ＝BC ，所以∠ABC ＝60°，∠C ＝∠ADC ＝120°，所以∠DBC ＝30°.2．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF=AD ，MF=MA ．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB ；（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM ．〖参考答案〗证明：（1）连接MD ，∵点E 是DC 的中点，ME ⊥DC ，∴MD=MC ，A D C B又∵AD=CF，MF=MA，∴△AMD≌△FMC，∴∠MAD=∠MFC=120°，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠MAB=30°，在Rt△AMB中，∠MAB=30°，∴BM=AM，即AM=2BM；（2）∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM=∠FCM，∵AD∥BC，∴∠ADM=∠CMD∴∠CMD=∠FCM，∵MD=MC，ME⊥DC，∴∠DME=∠CME=∠CMD，∴∠CME=∠FCM，在Rt△MBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．类型四求线段的长的问题【例题4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．（1）求证：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长．〖选题意图〗本题考查了全等三角形的判断及三角形中位线定理的应用，熟记其性质、定理是证明、解答的基础．〖解题思路〗（1）找出全等的条件：BE=AD ，∠A=∠ABE ，∠E=∠ADE ，即可证明；（2）首先证得MN 是三角形的中位线，根据MN= （BE+BC ），又BE=2，即可求得． 〖参考答案〗证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠A=MBE ，∠ADM=∠E ，在△AMD 和△BME 中，，∴△AMD ≌△BME ；（2）∵△AMD ≌△BME ，∴MD=ME ，ND=NC ，∴MN= EC ，∴EC=2MN=2×5=10，∴BC=EC ﹣EB=10﹣2=8．【课堂训练题】1．如图，已知梯形ABCD ，上底AD ＝12，下底BC ＝28，EF ∥AB 分别交AD 、BC 于点E 、F ，且将梯形分成面积相等的两部分.试求BF 的长.〖参考答案〗设BF ＝x ，则FC ＝28－x.又设AD 与BC 间的距离为h ，即梯形和平行四边形ABFE 的BF 边上的高为h.在梯形ABCD 中，因为AD ∥BC ，EF ∥AB ，所以四边形ABFE 是平行四边形，所以AE ＝BF ＝x ，DE ＝12－x.因为平行四边形ABFE 的面积＝BE×h ，梯形EFCD 的面积＝12(DE+FC)×h ， 所以x×h ＝12[(12－x)+(28－x)]×h ，解得x ＝10， 答 BF 的长为10.2．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ．（1）求证：AD=AE ； D A FB C E（2）若AD=8，DC=4，求AB 的长．〖参考答案〗解：（1）连接AC ，∵AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，∵AB=BC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴∠ACD=∠ACB ，∵AD ⊥DC ，AE ⊥BC ，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC ，∴， ∴△ADC ≌△AEC ，（AAS ）∴AD=AE ；（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC ，设AB=x ，则BE=x ﹣4，AE=8，在Rt △ABE 中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x ﹣4）2=x 2，解得：x=10，∴AB=10． 类型五 线段的和差问题【例题5】已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是中位线交AC 于P ，AC 平分∠BCD ，MP=12，PN=8，求：梯形ABCD 的周长．〖选题意图〗此题主要考查梯形、三角形中位线的性质和角平分线的定义，难度中等．〖解题思路〗由三角形中位线性质可求得上底为16，下底为24，再由角平分线和平行的性质，可求得腰长和上底相等，据此求解．〖参考答案〗解：∵AD∥BC，MN是中位线交AC于P，∴MP是△ABC的中位线，PN是△ACD的中位线，∠1=∠3，∵MP=12，PN=8，∴BC=2MP=24，AD=2PN=16，∵AC平分∠BCD，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD=CD=16，∴AB=CD=16，∴梯形ABCD的周长为：16×3+24=72．【课堂训练题】1．如图所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．〖参考答案〗证明：连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，∴ADEF是平行四边形，∴对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，∴（AA1+EE1）=（FF1+DD1）=OO1，即AA1+EE1=FF1+DD1．2．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于E，∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由．〖参考答案〗解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°﹣∠1﹣∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．类型六等腰梯形的判定【例题6】（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．〖选题意图〗本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．〖解题思路〗（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．（2）先根据SAS证明△AND≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD ∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．〖参考答案〗解：（1）选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AND≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．【课堂训练题】1．如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC．（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形．（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF交BC于G，请判断G点是否为EF中点，并说明理由．〖参考答案〗证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB∴AD∥BC∵AD＜BC∴四边形ABCD为梯形．在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．∴△ABC≌△DCB∴AB=CD∴四边形ABCD为等腰梯形．（2）点G是EF中点理由：过E作EH∥CD交BC于H．∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GOF∵梯形ABCD为等腰梯形∴∠EBH=∠DCB，∴EB=EH∵EB=CF，∴EH=CF在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG∠EGH=∠FGCEH=CF∴△EHG≌△FGC∴EG=FG即G为EF中点．2．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长．〖参考答案〗证明：（1）∵AE∥BD，∴∠E=∠BDC．∵DB平分∠ADC，∴∠ADC=2∠BDC．又∵∠C=2∠E，∴∠ADC=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）由第（1）问，得∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，∴∠DBC=90°．∴DC=2BC=10．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．2．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；（2）选择（1）中的一个结论加以证明．3．在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．4．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．过点D作DE ⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．5．已知，如图，MN是▱ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证：AA′+CC′=BB′+DD′．B类试题：6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．（1）求证：四边形AFCD是矩形；（2）求证：DE⊥EF．7．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．（1）判断四边形AECD的形状（不证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明；（3）若CD=2，求四边形BCFE的面积．8．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0．（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．C类试题：9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：点M在AB、CD边中点的连线上．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：③﹣﹣相邻两边垂直；④﹣﹣相邻两边相等；⑤﹣﹣相邻两边相等；⑥﹣﹣相邻两边垂直；⑦﹣﹣两腰相等；⑧﹣﹣一条腰垂直于底边．2．解：（1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等．（2）选择ABDE是矩形．证明：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=∠FAB=120°，∴∠EAF=30°，∴∠EAB=∠FAB﹣∠FAE=90°．同理可证∠ABD=∠BDE=90°．∴四边形ABDE是矩形．选择四边形BNEM是菱形．证明：同理可证：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，∴BM∥NE，BN∥ME．∴四边形BNEM是平行四边形．∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，∴△BCN≌△EDN．∴BN=NE．∴四边形BNEM是菱形．选择四边形BCEM是直角梯形．证明：同理可证：BM∥CE，∠FBC=90°，又由BC与ME不平行，得四边形BCEM是直角梯形．3．（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB．∵∠B=∠CAD，∴∠ACB=∠B．∴AB=AC．∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE．又∵BC=CE，∴△ABC≌△DCE（SAS）．∴AC=DE=AB．∵AD∥BE，∴为等腰梯形．（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=CE=4．∴△ABC为等边三角形．∴梯形高=三角形高=2．∴S=（4+8）×2×=12．4．证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵DC∥AB，∴∠BDC=∠ABD=30°，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，∵CF⊥BD，∴F为BD的中点，∵DE⊥AB，∴DF=BF=EF，由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．5．证明：连接AC，BD交于O，过O作OO′⊥MN垂足为O′根据平行四边形的性质知OO′同为梯形BB′D′D与梯形AA′C′C的中位线得AA′+CC′=BB′+DD′．B类试题：6．证明：（1）∵F为BC的中点，∴BF=CF=BC，∵BC=2AD，即AD=BC，∴AD=CF，∵AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形，∵BC⊥CD，∴∠C=90°，∴▱AFCD是矩形；（2）∵四边形AFCD是矩形，∴∠AFB=∠FAD=90°，∵∠B=60°，∴∠BAF=30°，∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，∵E是AB的中点，∴BE=AE=EF=AB，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，∵AD=BF，∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE=﹣=30°，∴∠DEF=180°﹣∠AED﹣∠BF=180°﹣30°﹣60°=90°．∴DE⊥EF．7．解：（1）平行四边形；（2）△BEF≌△FDC或（△AFB≌△EBC≌△EFC）证明：连接DE，∵AB=2CD，E为AB中点，∴DC=EB，又∵DC∥EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形BCDE为矩形，∴∠AED=90°，Rt△ABF中，∠A=60°，F为AD中点，∴AE=AD=AF=FD，∴△AEF为等边三角形，∴∠BEF=180°﹣60°=120°，而∠FDC=120°，在△BEF和△FDC中DC=BE，∠CDA=∠FEB=120°，DF=EF，∴△BEF≌△FDC（SAS）．（其他情况证明略）（3）若CD=2，则AD=4，DE=BC=2，∴S△ECF=S AECD=CD•DE=×2×2=2，S△CBE=BE•BC=×2×2=2，∴S四边形BCFE=S△ECF+S△EBC=2+2=4．8．解：（1）∵AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0，∴AD=3，BC=4．（2）AD∥BC，∵在△AEB中，∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴AD∥BC．（3）能．如图，过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=，∴AB=7．C类试题：9．（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．10．（1）证明：如图，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，而∠2+∠3+∠AMB=180°，∴∠AMB=90°，即AE⊥BF；（2）证明：如图，设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，∵M为Rt△ABM斜边AB的中点，∴MG=AG=GB，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．∵AD∥BC，∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形，又G、H分别为两腰AB、DC的中点，由梯形中位线定理可知，GH∥AD，而证得GM∥AD，根据平行公理可知，过点G与AD平行的直线只有一条，∴M点在GH上，即M点在AB、CD边中点的连线上．。