辗转相除法
辗转相除法
设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约
数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a/b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。 第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c 第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数 第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。 证毕。编辑本段计算机算法自然语言描述
unsigned gcd ( unsigned m,unsigned n )
{ unsigned temp;
if (m<n) { temp=m; m=n; n=temp; } if ( m % n == 0) { return n; }
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。
例如：
展开编辑本段简介 辗转相除法的演示动画
else { return gcd ( n,m % n) ; }
}
Basic实现
INPUT m,n DO r=mMODn m=n n=r LOOP UNTILr=0 PRINT m END
Pascal实现
阿基米德辗转相除法
阿基米德辗转相除法
阿基米德辗转相除法，也称为阿基米德算法或经典欧几里得算法，是一种用于求两个数的最大公约数的算法。
该算法基于以下原理：两个数的最大公约数与它们的余数的最大公约数相等。
具体步骤如下：
1. 假设需要求取两个正整数a和b的最大公约数。
如果a<b，则交换a和b的值，使得a>=b。
2. 用b去除a，计算余数r=a%b。
3. 如果余数r等于0，则b即为最大公约数。
4. 如果余数r不等于0，则将b的值赋给a，将余数r的值赋给b，然后回到第2步继续进行计算，直到余数r等于0为止。
欧几里得辗转相除法原理
欧几里得辗转相除法原理欧几里得辗转相除法，也称作欧几里得算法、辗转相除法、求最大公约数算法，是一种求最大公约数的算法。
此算法以古希腊数学家欧几里得的名字命名，是解决两个正整数最大公约数的最常用方法之一。
本文着重介绍欧几里得辗转相除法的原理及其具体运算过程。
欧几里得辗转相除法的原理主要基于以下定理对两个正整数进行最大公约数的求解：对于两个正整数 a,b（a>b），其最大公约数即为 b 和 a%b（a对b取模）。
其中 % 为数学符号中的模运算符号，即求模运算。
反复应用此定理，直到模为0时停止执行，即可得到它们的最大公约数。
实现欧几里得辗转相除法的具体运算过程如下：1. 计算两个正整数 a,b（a>b）的余数 c。
即计算公式为：c = a % b2. 若余数 c 为零，则 b 即为两个正整数 a,b 的最大公约数；若余数 c 不为零，则继续执行下面的步骤。
3. 将原来的除数 b 作为被除数，余数 c 作为除数，再次进行计算：以求解 48 和 30 的最大公约数为例，根据欧几里得辗转相除法的原理，具体运算步骤如下：1. 计算余数48 % 30 = 184. 余数不为0，继续执行步骤2，将原来的除数作为新的被除数，新的余数作为除数6. 余数不为0，继续执行步骤28. 余数为0，计算结束，此时的除数6即为48和30的最大公约数。
欧几里得辗转相除法的时间复杂度是 O(log min(a,b))，其中 log 表示对数运算。
由于每次计算时的被除数至多减半，因此需要进行 log(min(a,b)) 次计算。
例如，对于 231 和 352 的最大公约数，需要进行log(231) ≈ 7 次计算，计算量相对较小。
但对于极大的数，计算量将会非常大。
总结欧几里得辗转相除法是一种求解最大公约数的通用算法，其主要特点是简单、高效、易于理解。
在实际应用中，我们可以将其用于不同领域的计算，例如计算机科学、通信工程、数学等。
辗转相除法 c
辗转相除法一、引言1.1 任务描述辗转相除法（Euclidean algorithm），也称作欧几里得算法，是一种用于求最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）的算法。
该算法是基于数论中的定理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除的余数的最大公约数。
1.2 算法思想辗转相除法的核心思想是通过反复取余数的操作，将复杂的整数相除问题转化为简单的求余数问题，直到余数为0。
具体执行过程为：将被除数除以除数，得到商和余数，将除数与余数交换，再用新的除数去除以新的余数，以此类推，直到得到余数为0为止。
最后一个非零余数即为最大公约数。
二、辗转相除法详解2.1 原始辗转相除法原始的辗转相除法可以通过递归或循环来实现。
以下是基于循环的实现方法：int gcd(int a, int b) {while (b != 0) {int temp = b;b = a % b;a = temp;}return a;}2.2 改进辗转相除法为了进一步优化辗转相除法的效率，可以采用更巧妙的方式来计算最大公约数。
一种改进的方法是使用移位运算来替代乘、除和取模运算：int gcd(int a, int b) {if (a < b) {return gcd(b, a);}if (b == 0) {return a;}if ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;} else if ((a & 1) == 0 && (b & 1) != 0) {return gcd(a >> 1, b);} else if ((a & 1) != 0 && (b & 1) == 0) {return gcd(a, b >> 1);} else {return gcd(b, a - b);}}三、辗转相除法应用辗转相除法不仅仅可以用于求解最大公约数，还可以应用于其他问题中，例如：3.1 求解最小公倍数最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）可以通过最大公约数和两个数的乘积来计算得到。
因式分解辗转相除法
因式分解辗转相除法因式分解是数学中的一个重要概念，而辗转相除法则是求解因式分解的一种常用方法。
在本文中，我们将详细介绍因式分解和辗转相除法的相关知识。
一、因式分解的概念在代数学中，因式分解是将一个多项式或整数分解为不可再分解的乘积的过程。
多项式的因式分解是将其写成多个因子相乘的形式，而整数的因式分解则是将其写成质因数的乘积的形式。
因式分解是代数学中的基本操作，它有助于简化计算和解决问题。
二、辗转相除法的概念辗转相除法，又称为欧几里德算法，是求解最大公约数的一种常用方法。
它利用了两个整数的除法和余数的关系，通过反复进行除法运算，直到余数为零，从而得到最大公约数。
辗转相除法可以应用于整数、多项式和有理数等不同的数学领域。
三、整数的因式分解与辗转相除法的关系在整数的因式分解中，辗转相除法常常被用来求解最大公约数。
通过辗转相除法，我们可以将一个整数分解为若干个质因数的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到该整数的一个质因数；2. 然后，将该质因数除去，得到一个较小的整数；3. 对较小的整数继续进行相同的操作，直到无法再分解为质因数为止；4. 最后，将所有的质因数乘在一起，即得到了该整数的因式分解。
例如，对于整数60，我们可以通过辗转相除法将其分解为2 * 2 * 3 * 5。
这个过程中，我们先找到了整数60的一个质因数2，然后将60除以2，得到30；接着，我们再次将30除以2，得到15；再将15除以3，得到5；最后，我们将5除以5，得到1。
这样，我们便得到了整数60的因式分解。
四、多项式的因式分解与辗转相除法的关系在多项式的因式分解中，辗转相除法同样可以起到重要的作用。
通过辗转相除法，我们可以将一个多项式分解为多个因子的乘积。
具体步骤如下：1. 首先，我们找到多项式的一个因子；2. 然后，将该因子除去，得到一个较低次数的多项式；3. 对较低次数的多项式继续进行相同的操作，直到无法再分解为因子为止；4. 最后，将所有的因子乘在一起，即得到了多项式的因式分解。
辗转相除法的原理
辗转相除法的原理辗转相除法，又称为欧几里得算法，是一种用于求两个数的最大公约数的算法。
这个算法的原理非常简单，但却非常有效，可以在较短的时间内求得两个数的最大公约数。
在数论和计算机科学中，辗转相除法被广泛应用，因此了解其原理和应用是非常重要的。
辗转相除法的原理可以用一句话来概括，两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数相除余数的最大公约数。
这个原理可以通过一个简单的例子来加以说明。
假设我们要求解 48 和 18 的最大公约数，我们可以用辗转相除法来进行计算。
首先，我们用 48 除以 18，得到商 2，余数 12。
然后，我们用 18 除以 12，得到商 1，余数 6。
接着，我们用 12 除以 6，得到商 2，余数 0。
当余数为 0 时，我们就可以停止计算了。
此时，最大公约数就是最后一个非零余数，即 6。
因此，48 和 18 的最大公约数就是 6。
通过这个例子，我们可以清晰地看到辗转相除法的原理，每一次计算都是用较大的数除以较小的数，然后用上一步的除数去除上一步的余数，直到余数为 0 为止。
最后一个非零余数就是这两个数的最大公约数。
辗转相除法的原理非常简单，但却非常有效。
它可以在较短的时间内求得两个数的最大公约数，因此在实际应用中非常有用。
在计算机科学中，辗转相除法常常用于求解整数的最大公约数，这对于设计和分析算法是非常重要的。
总的来说，辗转相除法是一种简单而有效的算法，用于求解两个数的最大公约数。
通过不断地用较大的数去除以较小的数，然后用上一步的除数去除上一步的余数，直到余数为 0 为止，最后一个非零余数就是这两个数的最大公约数。
这个算法在数论和计算机科学中有着广泛的应用，因此了解其原理和应用是非常重要的。
辗转相除法求最大约数
辗转相除法求最大约数辗转相除法求最大约数什么是辗转相除法？辗转相除法，又称欧几里得算法，是求两个正整数的最大公约数的一种方法。
它基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的差的最大公约数。
例如，252和105的最大公约数是21（252=21×12，105=21×5），因为252−105×2=42，而42和105的最大公约数是21。
这个过程可以继续下去，因为42−21×2=0，所以42和105的最大公约数就是21。
如何使用辗转相除法求最大约数？首先需要明确一个概念：余数。
在进行辗转相除法时，在每一次操作中都会产生一个余数。
余数是指在进行除法运算时未被整除部分所剩下来的部分。
步骤：1.将两个正整数a,b中较大的那个赋给a, 较小的那个赋给b；2.用a除以b,得到余数r;3.如果r等于0，则b就是两个正整数的最大公约数；否则执行第4步；4.将b赋值给a, 将r赋值给b, 重新执行第2步。
重复执行第2步和第4步，直到余数r等于0为止。
此时，b就是两个正整数a和b的最大公约数。
举例：求出24和60的最大公约数。
1.将60赋给a, 24赋给b;2.用60除以24,得到余数12;3.因为12不等于0,所以执行第4步；4.将b的值24赋给a, 将r的值12赋值给b, 重新执行第2步；5.用24除以12,得到余数0;6.因为余数等于0，所以此时的b（即12）就是24和60的最大公约数。
总结：辗转相除法是一种简单而有效的求最大公约数的方法。
它不需要使用复杂的算法或者数据结构，只需要进行简单的除法运算即可。
同时，辗转相除法也可以扩展到求多个正整数的最大公约数，只需要依次对每两个正整数进行求解即可。
求最大公因数的方法辗转相除法
辗转相除法求最大公因数的原理
辗转相除法求最大公因数的原理
一、辗转相除法可以求两个因数的最大公因数。
（欧几里德算法）
1.我们可以用列举法、筛选法及短除法求得，如：6和9的最大公因数（6，9）=3
2.辗转相除法。
9÷6=1 (3)
6÷3=2
3就是9和6的最大公因数。
再如：30和80的最大公因数。
80÷30=2 (20)
30÷20=1 (10)
20÷10=2
10就是30和80的最大公因数。
辗转相除法优点是可以求出两个大数的最大公因数
二、辗转相除法求最大公因数的原理
如果我们要求8251与6105的最大公因数的话，假设8251是这个数x的a倍，再假设6 105是x的b倍，那么2146=8251-6105，是x的(a-b)倍，也是x的倍数，而无论这几个数如何加减，甚至相乘，都还是最大公约数的倍数，我们就可以把求8251与6105的最大公约数简化成求2146和6105的最大公约数，再把求2146与6105的最大公约数简化为求3959(=6105-2146)与2146的最大公约数，如此相减往复几次后，会发现两个数变相等了37=37，这个数就是两个原来数的最大公因数。
举个例子9和69-6=3，保留6,36-3= 3，保留3,3发现两数相等，为3所以最大公因数为3
9和6的最大公因数，我们知道是3。
9是3的倍数，6是3的倍数，那3也一定是3的倍数。
30和80的公因数为m，30是m的倍数，80是m的倍数。
80里有的两个30也肯定是m的倍数，剩下的20也会是m倍数。
10也会是m的倍数。
10=10=m。