2021-2022年高三数学文科寒假作业1

2021-2022年高三数学文科寒假作业1
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共8页。

试题1至4页，答题卷5至8页。

满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
如果事件、互斥，那么．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数i m m m z )1()32(2-+-+=为纯虚数,则实数的值为: A.1 B.或3 C.或1 D. 2．若函数的定义域为A ，函数,的值域为B ，
则为
A. B. C. D.
3. 已知平面直角坐标系内的点A(1,1),B(2,4),C(-1,3),的值为: A.-4 B.4 C.-8 D.8
4. 等比数列中, =4,,则的值是:
A.1
B.2
C.
D. 5. 曲线在的处的切线方程为
A. B. C. D.
6. 如果实数满足:⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-01020
1x y x y x ，则目标函数的最大值为 A.2
B.3
C.
D.4
7．下列有关命题的说法正确的是 A ．“”是“”的充分不必要条件 B ．“”是“”的必要不充分条件． C ．命题“使得”的否定是：“ 均有”．
D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
8.已知一个正三棱锥P-ABC
A. B.54 C. D.
9．椭圆（）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于轴，
则椭圆的离心率为 A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知函数1
(),()12
x x f x g x x +==+
，若，则实数的取值范围是（ ）
A B C D
第二部分（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，
考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分． 11．已知是第二象限角，，
则 ．
12.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的
b 值为16，则循环体的判断框内①处应填______. 13.已知数列{}的通项公式是,若对于n ，都有成立，则实数k 的取值范围是 ．
选做题:(14,15两题只需选答其中一题,两题都答者按第14题给分)
14.极坐标系中,曲线和相交于点A,B,
则=______.
15.如图,已知:△ABC 内接于圆O ，点D 在OC 的延长线上， AD 是⊙O 的切线，若,,则OD 的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、答请写在答题卷上）
16.(12分)已知向量)2cos ,(cos ),1,sin 2(x x x =-=,定义函数. (Ⅰ)求函数的表达式,并指出其最大最小值;
(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为,且,, 求△ABC 的面积S.
17．（本小题满分12分）、是常数，关于的一元二次方程02
3)(2=+
+++ab
x b a x 有实数解记为事件．
⑴若、分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求； ⑵若、，且，求．
P 18.(14分)如图,在四棱锥中,,
,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
B A
(Ⅰ)求证:平面PBD ⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积V;
19.(14分)已知常数、、都是实数，函数的导函数为
(Ⅰ)设)0(),1(),2('='='=f c f b f a ，求函数f(x)的解析式； (Ⅱ)设 ，且,求的取值范围；
20.(14分)已知圆O:交轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为
F,若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆O相切；
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),
直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
21.(14分)在数列中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥
(Ⅰ)证明:是等差数列; (Ⅱ)求数列的通项；
(Ⅲ)若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围.
数学寒假作业（数学文）
数学文参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．D 2．C 3． B 4． C 5．B 6． C 7． D 8．A 9．A 10．D 二、填空题： 11．， 12．3 13． 14. 15. 4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
16.(Ⅰ))
4
2sin(22cos 2sin )2cos ,(cos )1,sin 2()(π-
=-=⋅-=⋅=x x x x x x x f (4)
分
2,2:)(-∴的最大最小值分别是x f . ………6分 (Ⅱ)∵f(A)=1, ∴ ∴4
34
24
4
2π
π
π
π
=
-
=
-
A A 或 ………8分 ∴,又△ABC 为锐角三角形,所以 ………10分 ∵bc=8,∴△ABC 的面积222
2821sin 21=⋅⋅==A bc S ………12分
17．⑴方程有实数解，0)2
3(4)(2≥+
⨯-+ab
b a ，即……1分 依题意，、、、、、，、、、、、，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有种结果……2分 当且仅当“且、、”，或“且、”，或“且”时，
不成立……5分，所以满足的结果有种……5分，从而……6分．
⑵在平面直角坐标系中，直线与围成一个正方形……7分 正方形边长即直线与之间的距离为……8分 正方形的面积……10分，圆的面积为……10分
圆在正方形内部……12分，所以6
6721272)(/π
π-=-=-=S S S A P ……12分．
18. (Ⅰ)连结AC,∵BC=CD,AB=AD,∴AC ⊥BD, ………2分
又PA ⊥平面ABCD,且 ∴PA ⊥BD ………3分
又PA ∩AC=A, ∴BD ⊥平面PAC ………4分 又 ∴平面PBD ⊥平面PAC ………6分
P
B
A
C
D
(Ⅱ)依题意得∠CBD=∠CDB=300,又BC ⊥AB,CD ⊥AD,所以∠DBA=∠BDA=600
又BC=CD=a ，∴ ∴△ABD 是边长为的正三角形 ……9分
∴PA S S V ABD BCD ⋅+=∆∆)(31
a AB AD CD BC ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=)60sin 2
1
120sin 21(3100
3223
3)32323(61a a a a =⋅⨯+=
………14分 19.(Ⅰ)解：．
⎪⎩
⎪
⎨⎧==++=++∴c b b b a a b a 124，解得：．…5分 ．……7分
(2)．
又 12,(1)(1)(1)0,(2)(2)(2)0f f γβγβγβ<≤<∴'=-->'=--> ………10分
[][])2)(1()2)(1()2)(2)(1)(1()2()1(ββγγβγβγ--⋅--=----='⋅'∴f f
2212121
(
)(
)2
2
16
γγ
ββ
-+--+-≤⋅=
………14分 20.(14分)解:(Ⅰ)因为,所以c=1,则b=1, 所以椭圆C 的标准方程为 ………5分
(Ⅱ)∵P(1,1),∴,∴,∴直线OQ 的方程为y=-2x, ∴点Q(-2,4)…7分 ∴,又,∴,即OP ⊥PQ,故直线PQ 与圆O 相切 ……10分
(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切 ………11分 证明:设(),则,所以,, 所以直线OQ 的方程为 所以点Q(-2,) ………12分
所以0022000000000000
22(22)22(2)(2)PQ
x y y y x x x x
k
x x y x y y +-
-+--=
===-+++,又 ……13分
所以,即OP ⊥PQ,故直线PQ 始终与圆O 相切. ………14分 21.解:(Ⅰ)将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：
………3分
E
所以是以1为首项,3为公差的等差数列. ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得:，所以
………8分 (Ⅲ)若恒成立，即恒成立 ………9分
整理得： 令
1(34)(31)(31)(32)(31)(34)33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=-=-- ………12分 因为，所以上式，即为单调递增数列，所以最小，，
所以的取值范围为
………14分35547 8ADB 諛39928 9BF8 鯸20897 51A1 冡[33761 83E1 菡23854 5D2E 崮T30636 77AC 瞬31975 7CE7 糧23130 5A5A 婚38226 9552 镒
30189 75ED 痭27957 6D35 洵z。