第28讲 物理仿真实验系统
物理仿真实验实例演示
物理仿真实验实例演示物理仿真实验是通过建造一个虚拟的实验环境来进行实验的模拟化操作，以此达到实验教学的目的。
有效避免因环境、资金、设备、时间等不利因素对教学效果所带来的影响。
通过物理仿真实验能够加深学生们对物理这门学科的理解，加强对实验器材功能和使用方法的掌握。
实现传统实验所达不成的效果，培养创造性思维、动手能力，以及深化物理学习。
仿真实验（虚拟实验）最早是由美国弗吉尼亚大学教授在1989年提出的概念词，最初的目的是为了方便科研人员分享彼此仪器设备、科研数据等。
并且能够远程进行思想的交流和合作。
20世纪初，仿真技术切实得到应用、像一些实验室里的建筑模型等。
40年代，工业革命的推进，飞机、原子能的发展再一步推进了仿真技术的发展。
60年代后，计算机技术的迅猛发展，仿真技术得到了进一步的应用。
仿真技术开始扩展到各个领域，物理仿真实验也是仿真技术随着时代发展的产物。
仿真实验的出现始于80年代，当时一些科研机构利用仿真技术，在计算机平台实现系统的复杂运作模拟。
目前虽然仿真实验还不能真正的媲美真实实验，但是优点也是显而易见的。
通过物理仿真实验，学生们能够对实验有更直观的认识，培养学生的思考能力。
教学过程中，生动、逼真、立体的画面，便携、自由的演示方式，无疑为教学实验提供了优良的学习条件。
一些危险系数较高的实验，操作不能有一丝疏忽大意，否则会造成不可避免的后果，仿真实验可以代替这部分危险性实验，也可以进行真实实验前的模拟操作。
实例演示打开NB仿真物理实验软件，界面显示的是教材章节。
点击具体的章节，可以看到每个章节的实验名称。
下面我们根据具体的实验来演示实验过程。
操作界面。
实验器材已经出现在桌面上，界面下方有实验步骤，按照实验步骤我们进行实验器材的拖拽组合。
组装好以后，调节电压，观察铁棒的运行规律。
实验完成。
初中物理虚拟实验系统教案
初中物理虚拟实验系统教案教学目标：1. 了解虚拟实验的概念和作用；2. 学会使用初中物理虚拟实验系统进行实验操作；3. 掌握虚拟实验的基本技巧和注意事项；4. 能够独立完成初中物理实验，提高实验操作能力。
教学重点：1. 虚拟实验的概念和作用；2. 初中物理虚拟实验系统的使用方法；3. 虚拟实验的基本技巧和注意事项。
教学难点：1. 虚拟实验的操作方法；2. 虚拟实验数据的处理和分析。
教学准备：1. 计算机和投影仪；2. 初中物理虚拟实验系统软件；3. 实验报告模板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍虚拟实验的概念和作用；2. 引导学生思考实验在物理学学习中的重要性；3. 激发学生对虚拟实验的兴趣。
二、讲解虚拟实验系统（10分钟）1. 介绍初中物理虚拟实验系统软件的界面和功能；2. 讲解虚拟实验的基本操作步骤；3. 演示如何进行实验操作和数据采集。
三、学生自主实验（15分钟）1. 学生分组，每组一台计算机；2. 学生根据实验要求，使用虚拟实验系统进行实验操作；3. 学生在实验过程中记录数据和观察现象。
四、实验数据分析（10分钟）1. 学生将实验数据整理到实验报告模板中；2. 学生分析实验数据，得出实验结论；3. 学生互相交流实验结果，讨论实验中的问题和困惑。
五、总结和评价（5分钟）1. 学生总结虚拟实验的技巧和注意事项；2. 教师对学生的实验操作和报告进行评价；3. 学生对自己的实验进行反思和总结。
教学延伸：1. 学生可以尝试使用其他虚拟实验系统进行实验操作；2. 学生可以进行实物实验，与虚拟实验进行对比，加深对实验的理解；3. 学生可以参加实验竞赛，提高实验操作和创新能力。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握虚拟实验的基本操作方法和技巧，培养学生的实验操作能力。
同时，要关注学生的实验数据处理和分析能力，引导学生通过实验得出正确的结论。
在教学评价中，要注重学生的实验操作和报告的规范性，培养学生的实验素养。
最新大学物理实验仿真实验实验报告
最新大学物理实验仿真实验实验报告
实验目的：
1. 通过仿真实验加深对物理现象的理解。
2. 学习使用计算机辅助物理实验的方法。
3. 掌握数据分析和处理的基本技能。
实验原理：
本实验通过计算机仿真技术模拟物理现象，使学生能够在没有实际实验设备的情况下，也能进行物理实验的学习。
通过模拟实验，可以观察和分析各种物理规律，如牛顿运动定律、电磁学原理等。
实验设备和软件：
1. 计算机及显示器。
2. 物理仿真软件（如PhET Interactive Simulations）。
实验步骤：
1. 打开物理仿真软件，并选择合适的实验模块。
2. 根据实验要求设置初始参数和条件。
3. 运行仿真实验，观察物理现象的变化。
4. 记录实验数据，并进行必要的计算。
5. 分析实验结果，验证物理定律和公式。
6. 撰写实验报告，总结实验过程和结论。
实验数据与分析：
（此处应插入实验数据表格和分析结果，包括但不限于实验观测值、计算值、图表等）
实验结论：
通过本次仿真实验，我们成功地模拟并分析了（具体物理现象）。
实验结果与理论预测相符，验证了（相关物理定律或公式）的正确性。
同时，我们也认识到了仿真实验在物理教学和研究中的重要性和实用性。
建议与反思：
（此处应提出实验过程中遇到的问题、解决方案以及对未来实验的建议或反思）
注意：以上内容仅为模板，具体的实验数据、分析和结论应根据实际完成的仿真实验内容进行填写。
大学物理仿真实验具体操作指导
大学物理仿真实验具体操作指导示波器的调整和使用1.主窗口打开用示波器测时间仿真实验，主窗口如下：2.正式开始实验（1）操作界面如下：（2）测示波器校准信号周期连接示波器CH1和示波器校准信号。
校准信号为周期1KHz,峰峰值为4V的对称方波信号。
双击示波器，打开示波器调节界面：在示波器调节窗口中，左键单击示波器开关，打开示波器，进行示波器调节和校准。
调节电平旋钮，是信号稳定调节示波器聚焦旋钮和辉度旋钮使示波器显示屏中的信号清晰，调好后如下图。
调节CH1幅度调节旋钮和CH1幅度微调旋钮，校准信号显现为峰峰值为4V。
调节示波器时间灵敏度旋钮和扫描微调旋钮，校准信号周期显示为1KHz,调好后如下图。
至此，示波器校准结束（3）正式开始实验调节示波器时间灵敏度旋钮，使0.1 ms/cm。
界面如下：调节示波器时间灵敏度旋钮，使0.2 ms/cm。
界面如下：调节示波器时间灵敏度旋钮，使0.5 ms/cm。
界面如下：（4）选择信号发生器的对称方波接y输入(幅度和y轴量程任选)，信号频率为200Hz～2kHz(每隔200Hz测一次)，选择示波器合适的时基，测量对应频率的厘米数、周期和频率首先按照校准CH1的方法对CH2进行校准。
连接示波器CH2和信号发生器双击实验平台上示波器和信号发生器，打开示波器和信号发生器调节界面左键单击信号发生器“开关”按钮，打开信号发生器，信号频率为200Hz～2kHz(每隔200Hz测一次)，调节信号频率，波形选择对称方波，选择示波器合适的时基，调节时间灵敏度旋钮，使信号满屏，测量对应频率的厘米数、周期和频率。
同时把示波器中的方式拨动开关调到CH2档上频率为200Hz（周期为5ms）时，界面图如下：(5) 选择信号发生器的非对称方波接Y轴，频率分别为200，500，1K，2K，5K，10K，20K，（Hz），测量各频率时的周期和方波的宽度。
以信号发生器的频率为x轴，示波器频率为y轴，作y-x曲线。
仿真物理实验室
仿真物理实验室一、引言仿真物理实验室是一种利用计算机技术模拟物理实验过程的虚拟实验平台，它能够提供安全高效、可重复的实验环境，为学生和研究人员提供了一个探索和实践物理理论的机会。
本文将介绍仿真物理实验室的概念、应用、优势以及未来发展趋势。
二、概念仿真物理实验室是利用计算机技术模拟和重现传统物理实验过程的一种实验平台。
通过建立相应的物理模型和算法，仿真物理实验室可以模拟各种物理现象，如力学、电磁学、热学等，让用户在虚拟环境中进行实验操作，观察实验过程和结果，加深对物理学知识的理解。
三、应用1. 教育仿真物理实验室在物理教育中发挥着重要作用。
通过仿真实验，学生可以在虚拟环境中进行实验操作，观察实验现象，探究物理规律，培养实验设计和数据分析能力，提高学生对物理学习的兴趣和积极性。
2. 研究科研人员可以利用仿真物理实验室进行理论验证和数据分析。
虚拟实验环境可以帮助研究人员快速进行大量实验操作，提高实验效率，为科研工作提供有力支持。
四、优势1. 安全性利用仿真物理实验室可以避免实验中可能存在的安全隐患，保障使用者的安全。
2. 可重复性虚拟环境下的实验可以随时重复，方便用户反复练习和验证，确保实验结果的可靠性。
3. 资源节约仿真物理实验室不需要实际的物理器材，节省了实验设备和材料的开支，同时减少了实验室空间的占用。
五、未来发展趋势随着计算机技术的不断发展和物理仿真算法的优化，仿真物理实验室将会越来越普及。
未来仿真物理实验室可能会融合虚拟现实技术，实现更加逼真的实验体验，同时结合人工智能技术，实现更加智能化的实验操作和数据分析，进一步提升用户体验和实验效率。
六、结论仿真物理实验室作为一种新型的实验平台，在物理教育和科研领域具有广阔的应用前景。
通过不断优化技术和完善功能，仿真物理实验室将会成为未来物理学习和研究的重要工具，推动物理教育和科研的发展。
仿真物理实验室教材
仿真物理实验室从入门到精通1.《仿真物理实验室》简介《仿真物理实验室》是南京金华科软件有限公司自主开发的具有世界先进水平的物理教学软件平台。
软件可以运行在win95、win98、window2000、NT等操作系统中。
《仿真物理实验室》是面向中学，针对物理学科进行设计的，她把物理定律内置在软件中，与学科紧密结合。
她操作简单，交互性强。
是物理教师得力的课件制作工具，优秀的物理课堂教学平台，和学生的探索性学习平台。
《仿真物理实验室》为您提供了一个实验器具完备的综合性实验室，供您任意驰骋，您可以亲自动手创建您所能想象的所有实验和物理模型。
现在《仿真物理实验室》有三个部分：主模块（包含力学、运动及动力学等内容）部分、光学部分和电学部分。
基本函概了中学物理中80%的内容。
每个部分都为您提供了充分的物理器件和物理环境。
您只需要搭建器件，并设置器件的属性就能完成您所想的创作。
例如：运动及动力学中的自由落体运动、平抛运动、单摆、人造地球卫星、带电粒子在磁场中的圆周运动等；光学中的平面镜反射、介质对光线的折射和全反射、凸透镜成像等；电学中的串联与并联电路、伏安法测电阻等。
用《仿真物理实验室》创建的物理模型不但可以向您展示动画，更可以为您提供多样的实验实时数据。
您还可以使用辅助分析工具，对实验数据进行分析。
《仿真物理实验室》的操作非常简单。
用她来制作物理课件，一般不会超过十分钟，有些简单的课件，例如：平抛运动，几乎花一分钟就可以完成。
无论是教师制作课件、物理课堂上的现场应用、学生用于探索性的学习，《仿真物理实验室》都是一个不可多得的好工具。
《仿真物理实验室》推出后，受到了广大一线教师和学生的高度评价。
2001年1月软件通过了由，全国中小学计算机教育研究中心组织的鉴定，并得到了中心的推荐。
很多教师利用她来制作课件并用于课堂，使物理课堂更加丰富活泼；更有教师在引导学生利用软件进行自主的学习。
《仿真物理实验室》在广大教师的关心和帮助下，正在成为中学物理学科的专业化，标准化的教学平台。
物理仿真技术的使用教程
物理仿真技术的使用教程物理仿真技术是一种基于物理规律的数值计算方法，它可以模拟真实世界中的各种物理现象和行为，在科学研究、工程设计和教育培训等领域具有广泛的应用。
本文将为您介绍物理仿真技术的使用教程，帮助您快速上手并运用到自己的工作中。
一、了解物理仿真技术的基础知识在开始使用物理仿真技术之前，我们需要了解一些基础知识。
首先是物理规律的理解，包括牛顿力学、电磁学、热力学等方面的知识。
这些知识将帮助您理解物体的运动规律、相互作用以及能量转化等基本原理。
其次是学习一种常见的物理仿真软件，比如Ansys、COMSOL Multiphysics等。
这些软件提供了丰富的模型库和工具，能够帮助您进行复杂的物理仿真计算。
选择一款适合您领域需求的软件，并学习其使用方法是非常重要的。
二、准备数据和模型在进行物理仿真之前，需要准备相应的数据和模型。
数据包括材料性质、初始条件、外部边界条件等。
模型是指构建物体的几何结构和属性。
根据所需仿真目标的不同，您可以选择使用已有的模型进行修改，或者自己从头开始构建模型。
对于材料性质，您需要收集相关的物理参数，比如密度、弹性模量、热导率等。
对于初始条件和边界条件，您需要确定物体的初始状态和与外界的交互方式。
这些条件将直接影响到仿真结果的准确性和可信度。
三、进行仿真计算在准备好数据和模型之后，就可以开始进行物理仿真计算了。
具体的操作步骤如下：1. 导入模型：将准备好的模型导入到物理仿真软件中，确保模型的几何结构和属性正确。
2. 网格划分：对模型进行网格划分，将模型划分为一系列小的单元。
网格的划分需要根据模型的复杂程度和仿真要求进行选择，一般来说，细致的网格划分可以提高仿真计算的精度，但同时也会增加计算的时间和资源消耗。
3. 设置物理属性：对模型的材料性质、初始条件和边界条件进行设置。
确保这些参数的准确性和合理性，以保证仿真结果的可靠性。
4. 运行仿真计算：根据所选择的仿真软件提供的方法和算法，运行仿真计算。
大学物理仿真实验课教案
课时：2课时教学目标：1. 了解光的干涉现象及其产生原理。
2. 通过仿真实验，加深对干涉条纹形成机制的理解。
3. 学会运用仿真软件进行物理实验，提高实验操作能力。
4. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
教学重点：1. 光的干涉现象的产生原理。
2. 仿真实验操作及结果分析。
教学难点：1. 仿真实验操作过程中的问题处理。
2. 干涉条纹形成机制的理解。
教学准备：1. 仿真软件：如物理实验仿真平台、光干涉仿真软件等。
2. 教学课件：包含实验原理、操作步骤、实验数据记录表等。
教学过程：一、导入1. 提问：同学们，你们知道什么是光的干涉现象吗？举例说明。
2. 介绍光的干涉现象及其产生原理。
二、实验原理1. 利用仿真软件，展示光干涉现象的产生过程。
2. 分析干涉条纹的形成机制，如相干光源、光程差等。
三、实验步骤1. 打开仿真软件，熟悉软件界面及操作方法。
2. 设置实验参数，如光源波长、屏幕尺寸等。
3. 观察并记录实验现象，如干涉条纹的分布、间距等。
4. 分析实验数据，验证实验原理。
四、实验操作1. 学生分组进行实验，每组选派一名组长。
2. 组长负责指导组员进行实验操作，确保实验顺利进行。
3. 教师巡回指导，解答学生提出的问题。
五、实验结果分析1. 学生根据实验数据，分析干涉条纹的形成机制。
2. 教师引导学生讨论实验结果，总结实验规律。
六、实验总结1. 学生总结实验过程，反思实验中的问题及解决方法。
2. 教师点评实验过程，强调实验要点。
七、课后作业1. 撰写实验报告，包括实验原理、实验步骤、实验结果及分析等。
2. 针对实验中的问题，提出改进措施。
教学反思：本节课通过仿真实验，让学生直观地了解光的干涉现象及其产生原理。
在实验过程中，学生积极参与，认真操作，提高了实验操作能力。
同时，通过分析实验数据，学生加深了对干涉条纹形成机制的理解。
在教学过程中，教师应注意以下几点：1. 突出实验重点，引导学生关注实验原理。
2. 注重实验操作规范，确保实验顺利进行。
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u x, t i x qi t
i 1
n
第i阶挠性模态对应的广义坐标 qi
空间挠性体的动力学模型
经简化，系统数学模型可以表 示为：
n J Di qi T i 1 q D 2 q 2 q 0 i i i i i i i
0.15 0.1 0.05
Tc (Nm)
0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 0 10 20 30 40 50 t/s 60 70 80 90 100
推力器产生正反向幅值恒定的不连续力矩
tr
举例：PD控制方案
考虑到物理仿真系统的敏感器 配置在中心刚体上，台体姿态角 可直接测量，设计PD反馈控制律：
Tr 1 Tc s 1
执行机构-飞轮
Tr 1 Tc s 1
飞轮系统机电时间常数，取为 0.1s 飞轮执行机构数学模型可通过 惯性环节与输出限幅进行模拟：
执行机构-飞轮
输入为幅值0.1，频率0.2的正 弦信号，飞轮输出曲线：
0.1 0.05
(Nm)
Tc
fw
0
-0.05
-0.1
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
空间挠性体的动力学模型
一个挠性板的长度 L
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
空间挠性体的动力学模型
刚体本体的角加速度
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
空间挠性体的动力学模型
控制力矩 T ，作用在中心刚体上
c
c
c (t ) 0 c ( )d
0
t
初始角度
控制方案设计
若令：
c (t ) 0 c ( )d
0 t
C为常数，则退化为挠性卫星振 动抑制控制问题。 卫星姿态控制对动态要求不高， 一般姿态机动角速度为： 0.5-1.5°/s
执行机构-飞轮
卫星上的执行机构通常为“飞 轮—喷气”模式，物理仿真系统 采用的执行机构包括飞轮与推力 器 考虑飞轮动态特性，飞轮的输 入—输出关系可简化为如下惯性 环节：
限幅
执行机构
T
被控对象
根据系统对超调量、振动抑制以及 节约喷气等性能的要求，适当选择的 PD控制参数，并且将控制指令合理分 配给推力器与飞轮执行机构。
实验要求
1、对象数学仿真 空间微重力环境下运动体物理仿 真系统动力学模型；
飞轮数学仿真
推力器数学仿真
实验要求
2、控制方案数学仿真 设计挠性运动体姿态控制方案， 并对设计的方案进行数学仿真验 证； 要求姿态控制过程中系统超调小 于2°，且推力器不频繁工作， 减少喷气消耗。
u K p e Kd e
e c
举例：PD控制方案
考虑到物理仿真系统的敏感器 配置在中心刚体上，台体姿态角 可直接测量，设计PD反馈控制律：
u K p e Kd e
期望角度
e c
当前角度
举例：PD控制方案
控制系统的框图如图示：
c
e PD控制 u 指令分配
物理仿真实验系统组成
单轴气浮台
控制计算机 辅助设备
单轴气浮台
用来模拟星体
单轴气浮台组成
敏感器：感应同步器测量角度， 速率陀螺来测量角速度
单轴气浮台组成
执行机构：飞轮、推力器
成对 工作
单轴气浮台组成
能源：太阳帆板，挠性振动， 周期性扰动
单轴气浮台组成
载荷：天线
控制计算机
气浮台数据线与控制计算机相 连，气浮台将姿态信息传送给控 制计算机，计算机解算并输出相 应控制指令； 属于星地大回路控制模式。
0
10
20
30
40
50 t/s
60
70
80
90
100
飞轮输出正反向连续变化的力矩， 最大值0.07Nm
执行机构
推力器能够输出常值力矩：
0.14 Nm T 0 0.14 Nm
实际工作时，推力器具有死区 开关特性，在本次数学仿真中暂 不考虑
执行机构-推力器
输入为幅值0.1，频率0.2的正弦 信号，信号大小超出飞轮最大输出 时开启推力器，推力器输出曲线：
空间挠性体的动力学模型
挠性板在距根部处x的变形量 u
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
空间挠性体的动力学模型
挠性板的弯曲刚度 EI
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
不考虑挠性
J T
空间挠性体的动力学模型
挠性板的材料密度
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
控制方案设计
卫星姿态机动的方式很多，但 总可以归结为预定的角速度机动 和期望的角度机动。 随着 (t ) 的不同，挠性卫星能 够实现各种不同的机动特性和机 动过程 (t ) ：
c
c
c (t ) 0 c ( )d
0
t
控制方案设计
卫星姿态机动的方式很多，但 总可以归结为预定的角速度机动 和期望的角度机动。 随着 (t ) 的不同，挠性卫星能 够实现各种不同的机动特性和机 动过程 (t ) ：
i 1
n
空间挠性体的动力学模型
第i阶挠性模态函数
n
i
u x, t i x qi t
i 1
模态：是结构的固有振动特性， 每一个模态具有特定的固有频率、 阻尼比和模态振型。 这些模态参数可以由计算或试验 分析取得
空间挠性体的动力学模型
考虑的挠性模态阶数 n
n J Di qi T i 1 q D 2 q 2 q 0 i i i i i i i
i 1,…n
空间挠性体的动力学模型
第i阶挠性振动阻尼系数 i
n J Di qi T i 1 q D 2 q 2 q 0 i i i i i i i
实验要求
3、控制方案物理仿真实验 将设计的控制方案转换为物理仿 真实验控制程序，进行实验验证；
记录实验数据，进行数据分析。
第29讲 物理仿真实验
1、开环实验 研究气浮台在执行机构作用 下的运动规律 2、稳定实验 常值干扰、周期性干扰 3、大角度机动实验 4、天线多轴指向复合控制实验
i 1,…n
空间挠性体的动力学模型
第i阶挠性振动与本体的耦合系数 Di
n J Di qi T i 1 q D 2 q 2 q 0 i i i i i i i
i 1,…n
空间挠性体的动力学模型
第i阶挠性振动频率 i
空间挠性体的动力学模型
挠性板的横截面积 A
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
空间挠性体的动力学模型
刚性本体的半径 R
距根部的距离 x
i 1,…n
空间挠性体的动力学模型
随着模态阶数的增大，挠性振 动的频率提高，振动幅度减小， 对本体的影响也减小。 考虑上述因素，仅将低阶模态 纳入数学模型，取i=1，2，有：
J D1q1 D2 q2 T 2 q D 2 q 1 1 1 1 1 1 q1 0 2 q D 2 q 2 2 2 2 2 q2 0 2
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
挠性坐标的动力学
空间挠性体的动力学模型
假设挠性板的变形可以分成时 间和空间上独立的变量的积
u x, t i x qi t
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
空间挠性体的动力学模型
系统绕转轴的转动惯量 J
L 2u J A x R 2 T t 0 2u 4u A 2 EI 4 A x R 0 t x
航天器控制原理
第28讲 物理仿真实验系统
主讲：刘 睿
西北工业大学 精确制导与控制研究所
第28讲 物理仿真实验系统
1、实验目的 2、物理仿真实验系统组成 3、实验系统数学模型 4、控制方案设计
实验目的
实验名称： 空间微重力环境下运动体控制实验 实验目的： (1)掌握航天器控制部件的工作原 理 (2)掌握航天器姿态控制系统建模、 控制理论工程设计方法 (3)提高理论与实验相结合的能力
星地大回路控制模式框图
辅助设备
空气压缩机 压缩空气，用来浮起台体 冷凝净化器 涤油，除湿，防止空气杂质影响 高纯氮气瓶 为推力器提供工质
空间挠性体的动力学模型
对于单轴气浮台物理仿真系统， 考虑台体一维运动，假设挠性体 变形及变形速率很小，只考虑弯 曲振动，则系统数学模型可以用 非线性偏微分方程来描述