高三上学期期中考试(理科数学)
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
高三数学上学期期中考试理试题 4
菱湖中学2021届高三上学期期中考试〔数学理〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔此题10小题，每一小题5分，一共50分〕 1. 假设集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，那么A B ⋂= A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D. {}x x 0≤≤1 2.假设()f x =，那么()f x 的定义域为A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞3．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相反的直线方程是 (A) 01=+-y x (B) 01=--y x(C) 0101=--=+-y x y x 或 (D) 02301=-=+-y x y x 或4. 假设()ln f x x x x 2=-2-4，那么'()f x >0的解集为A. (,)0+∞B. -+10⋃2∞（，）（，）C. (,)2+∞D. (,)-105. 数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a =1．那么10a = A ．1 B ．9 C. 10 D ．556. 空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，那么以下命题中正确的选项是//,//,//,//m n m n αβαβ则//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则,//,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥则,,m n αβαβ⊥⊥⊥那么m n ⊥7. a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是A. 14,P PB. 13,P P C ．23,P P D ．24,P P8. 直线2100x y +-=与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的公一共点有A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个9．ABCD 是矩形，边长AB=3，BC=4，正方形ACEF 边长为5，平面ACEF ⊥平面ABCD ，那么多面体ABCDEF 的外接球的外表积〔 〕A. π25B. π50C. π36D. π10010.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，假设在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，那么a 的取值范围是〔 〕A ．(1,2)B ．(2,)+∞ C． D．2) 二、填空题〔本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分〕 11．3cos ,(,0)52x x π=∈-，那么tan 2x = . 12．{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，假设3206,20,a S ==那么10S 的值是_______13．实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，假设)1()1(a f a f +=-，那么a 的值是________14．直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，那么3PA PB +的最小值为____________15. ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么ABC ∆的面积为_______________16. 设,x y 为实数，假设73422=++xy y x ，那么2x y +的最大值是 .。
2019-2020学年度第一学期期中考试(3)
2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学(理科）本试卷分为第I 卷和第II 卷，试卷满分150分，考试时间120分钟。
考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则（ ）{}.|x<0A A B x ⋂=.B A B R ⋃= {}.|1C A B x x ⋃=>.D A B ⋂=Φ2. 若函数f (x )＝()()212xx x a +-为奇函数，则a 等于()A.2 B ． 1 C ．12 D ． －123 .若x∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝ln x e ,则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞a B ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c24.()23--3]1(2)2f x x ax a A x a x a x =+-∞+≥>∈∈-记函数在区间（，上单调递减时的取值集合为，不等式恒成立时实数的取值集合为B ，则"x A"是"x B"的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 正三角形ABC 中,D 是线段BC 上的点,AB=6, BD=2,则AB AD ⋅=（ ）A.12B. 18C. 24D. 30 6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点,则()()0f a f b <B.1,333a ba b +=若则是和的等比中项C. 121212,2,36,//e e m e e n e e m n =-=-若是不共线的向量，且则D. 已知角α终边经过点 (3,-4),则4cos 5α=-{}457621222107.(,),(,),4,log log ...log ()n a a a a b a a a b a a a ==⋅=+++=等比数列的各项均为正数，已知向量且A. 12B. 10C. 5 2.2log 5D +2228.,,,ABC A B C b c a B +-=在中，内角所对边分别是a 、b 、c,若csinC=acosB+bcosA,且 则角的大小（ ）A.6πB.3π C.2π D.23π219.()ln (2)2f x a x x =--∞已知函数在[1,+)上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）.[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞-210.()2sin cos (0)0f x x x x ωωωωπω=->已知函数在区间（，）内有且只有一个极值点，则的取值范围为（ ）5.(0,]12A 11.(0,]12B 511.(,]1212C 511.[,]1212D23111.()log )f x x a b=+已知函数，若对任意的正数a 、b,满足f(a)+f(3b-1)=0则的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24'23312.()(1)1,2()1,[,](2cos )2sin 2222x R f x f f x x f x ππ=>∈-+>定义在上的可导函数满足且当时，不等式的解集为（ ）4.()33A ππ， 4.()33B ππ-， .(0)3C π， .()33D ππ-，第II 卷二、填空题（本题共4道小题，每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上）13.sin()cos()___ ____.633ππαα+=-=已知则3214.()(2)2,()()1,3f x x a x x f x f x =+-+设函数若为奇函数，则曲线y=在点（）处的切线方程为________.1,210,______.4a b a a b b π=-==15.已知，的夹角为,且则16. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34⨯⨯⨯三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当(,)p q p q p q N *⨯≤∈且是正整数n 的最佳分解时我们定义{}(),(12)43 1.(88)(5))2020n f n q p f f f n N *=-=-=∈函数例如则的值为_______，数列（的前项和为_______.三、解答题（第17题10分，第18题至22题每题12分，共计70分）{}.1),(log 21222.17n 121T n b b N n a b a a n n n n n n n 项和的前求数列）若（的通项公式；）求数列（为公比的等比数列，为首项，是以已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+*-.sin sin 333)2()1(1)cos(32cos ,,,,,.18的值，求，的面积为若的值；求已知的对边分别为中，在C B b ABC A C B A c b a C B A ABC =∆=+-∆.(2019)f ...(2)f (1)f 2)()()1(.4),21()(,20,0),22,22()),(2cos 2,2(.19的值计算的单调递减区间；求函数离为与其相邻的最高点的距点，的图像过点函数其中已知向量+++⋅=<<>-=+=x f B B ba x fb x aπϕωϕω20.如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD .在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设BP ＝t （百米）．(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长L 是否为定值；(2)设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积为S (平方百米)，求S 的最大值.{}{}{}{}11121.2,2(1),b .(1)b 11c ,c , 2.n n n n n n nn n n n n n nna a a a na n a a a nb ++=⋅+=+=-=<+已知数列满足设求证：数列为等比数列，并求的通项公式.(2)设数列的前n 项和为S 求证：S22.()+(0,0,1,1)1(1)2,,2()2(2)()6201,1,()(),21.x x f x a b a b a b a b f x f x mf x m a b g x f x a x R b =>>≠≠==∀=≥-<<>-∈=①求方程②若对不等已知函数当时的根；恒成立，求实数的最大值；（）若函数有且只有个零点，求的值式2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学(理科）答案一、选择题1.A【解析】：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x＜1}，所以B和C都错误。
2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试理科数学卷
2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试理科数学卷第1卷一.参考题库(共20题)1.由曲线与直线所围成的区域在直线和间的面积为 ;2.（本小题12分）如图，一只船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行．（I）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离会有触礁危险？（II）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？3.若函数的导数的最大值为3，则的图像的一条对称轴的方程是（）A．B．C．D．4.（本小题12分）已知函数．（I）若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围；（II）若是的极值点，求在[1，a]上的最小值和最大值．5.设函数的定义域为R，若存在与无关的正常数M，使对一切实数均成立，则称为“有界泛函”，给出以下函数：；；；．其中是“有界泛函”的个数为（）A．0B．1C．2D．36.设全集，集合，集合为函数的定义域，则等于（）A．B．C．D．7.如果角的终边过点，则的值等于（）A．B．C．D．8.若函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜）的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（）A．1，B．1，–C．2，D．2，–9.（本小题12分）已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间[－1，1]上的减函数．（I）求的值；（II）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）讨论关于的方程的根的个数．10.把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为（）A．B．C．D．11.已知= 则f（ 2011 ）等于（）A．–1B．0C．1D．212.（本小题12分）设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）设，讨论在区间内的单调性．13.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数．已知函数：①；②；③；④．其中为一阶格点函数的序号为．14.在锐角中，分别是的对边，若的面积为，则的长度为 ;15.若是常数,则“”是“对任意,有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16.（本小题12分）设函数，（I）求的最小正周期以及单调增区间；（II）当时，求的值域；（Ⅲ）若，求的值．17.在中，分别是的对边，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形18.函数零点的个数是（）A．2B．3C．4D．519.函数的部分图象是（）20.（本小题10分）在中，分别是的对边，已知是方程的两个根，且．求的度数和的长度．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：42.参考答案：（I）该船自向东航行会有触礁危险．（II）时，该船没有触礁危险．3.参考答案：A4.参考答案：（I）（II）f（x）在，上的最小值是，最大值是．5.参考答案：C6.参考答案：C7.参考答案：C8.参考答案：C9.参考答案：（I）=0（II）（Ⅲ）①当时，方程无解．②当时，方程有一个根．③当时，方程有两个根．10.参考答案：B11.参考答案：D12.参考答案：（I）（II）当时，在区间内单调递增；当时，在区间内单调递减；当时，在区间单调递减，在区间单调递增．13.参考答案：①③14.参考答案：15.参考答案：A16.参考答案：（I）的最小正周期为π．的单调增区间为（II）的值域为．（Ⅲ）17.参考答案：D18.参考答案：B19.参考答案：C20.参考答案：,。
2022-2023学年江西省临川一中上学期期中考试理科数学试卷及答案
临川一中2022-2023学年度上学期期中考试高三年级数学理科试卷1．已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5,4,7,8U A B ===，则=⋃B A C U )(（卷面满分：150分一、单选题（每题5分，共60）A ．{}7,8B ．{}1,2,6C ．{}1,2,4,6,7,8D ．{}1,2,6,7,82．已知i 是虚数单位，若2(1)i z i +=-，则z 对应的点在复平面的()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p 的否定为（）A ．0a ∀≤，有12a a+≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃≤，有12a a +≥成立D ．0a ∃>，有12a a+≥成立4．“幂函数()()21m f x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x xg x m -=-⋅为奇函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要5．对于任意实数a 、b 、c 、d ，下列命题中，真命题为（）①若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d ；②若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ；③若a ＞b ＞0④若a ＞b ＞0，则2211>a b ．A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③6．已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α，则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．17．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A ．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸B ．秋分的晷长为75寸C ．立秋的晷长比立春的晷长长D ．立冬的晷长为一丈五寸8．在ABC 中，A,B,C 分别为ABC 三边a 、b 、c所对的角．若cos 2B B =且满足关系式cos cos 2sin 3B C a Bb c c+=，则ABC 外接圆直径为（）AB ．2C ．4D．9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()22)(f x f x -+=，当[0,2]x ∈时，()x f x =，若在区间[0,10]x ∈内，函数)0(,1)()(>--=m mx x f x g 有5个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--61e ,101e B ．)101e (0,5-C ．61e ,111e (--D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-101e 0,10．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率ω=e（其中12ω=）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为12222=+by a x ，()0>>b a ，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作O ，P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作O 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，则=+2222ONa OMb （）A.ω1B.ωC.ω- D.ω1-11.已知定义在（－2，2）上的函数)(x f 导函数为)('x f ，若0)()(4=-+x f e x f x ，2)1(e f =且当0>x 时，)(2)('x f x f >，则不等式42)2(e x f e x <-的解集为（）A.)4,1( B.)1,-2( C.)4,0( D.)1,0(12.若函数b x a e x f x+-+=)1()(在区间[21，1]上有零点，则22b a +的最小值为（）A.54e B.2eC.21 D.e二、填空题（每题5分，共20分）13．已知向量a ，b 满足a =（3，4），a ·b=6，7a b -= ，则b ＝________.14．已知()f x 为偶函数且()2d 4f x x =⎰，则()()|22| 2e d x f x x x -+⎰等于_____．15．如右图，将函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到如图所示的函数()y g x =的图象，若π(0)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭)0,(,>+b a b a ，则ba 11+最小值为_____．16．已知菱形ABCD 的各边长为2,60D ∠= .如图所示，将ACD ∆沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S ABC -，此时3SB =.若E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S ABC -的外接球上运动，且始终保持EF AC ⊥则点F 的轨迹的面积为__________.三、解答题17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（12分）如图,在边长为2的等边ABC 中，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点．将ADE 沿DE 折起，使得AB AD ⊥，得到四棱锥A BCDE -，连接BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ．(1)证明：AH BD ⊥；(2)设点B 到平面AED 的距离为1h ，点E 到平面ABD 的距离为2h ，求12h h 的值．19．（12分）甲，乙两位同学组队去参加答题拿纪念币的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，乙同样也是答两道题.每答对一道题得10枚纪念币.已知甲每题答对的概率均为p ，乙第一题答对的概率为23，第二题答对的概率为12.已知乙有机会答题的概率为1516.(1)求p ;(2)求甲，乙共同拿到纪念币数量X 的分布列及期望.20．（12分）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点(2,0),,D E F 是双曲线C 上异于D=，证明:直线EF 过定点，并求出定点坐标.21.（12分）已知函数ax e x f x -=)(,x x f x 2sin )()(+=ϕ,(R a ∈),其中 2.71828≈e 为自然对数的底数．(1)讨论函数)(x f 的单调性，(2)若*a N ∈，当0x ≥时，0)(≥x ϕ恒成立时，求a 的最大值．（参考数据：≈3e 20.1）四．选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题记分）22．（10分）以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求O Q 所在圆C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为(0,-1)，曲线C 1和圆C 2相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．23．（10分）已知函数()+1f x x x =+．(1)设()f x 的最小值为m ，求m ；(2)若正数,,a b c 满足abcm =，证明：cb a abc ac b bc a 111++≥++．临川一中2022-2023学年度高三上学期期中考试数学试卷答案（理）一、单选题1．【答案】C 【详解】{}1,2,6,7,8U A =ð，则(){}1,2,4,6,7,8U A B = ð.故选：C 2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】A【详解】要使函数()()21mf x m m x =+-是幂函数，且在()0,+∞上为增函数，则2110m m m ⎧+-=⎨>⎩，解得：1m =，当1m =时，()22x x g x -=-，x ∈R ，则()()()2222xx x x g x g x ---=-=--=-，所以函数()g x 为奇函数，即充分性成立；“函数()222x xg x m -=-⋅为奇函数”，则()()g x g x =--，即()222222222----⋅=--⋅=⋅-x x x x x xm m m ，解得：1m =±，故必要性不成立，故选：A ．5．【答案】B6．【答案】B44b a ∴>，故错C 误.8．【答案】B9．【答案】D 【详解】由题，令2x +替换x ，则()()()()22224f x f x f x f x -+=-=++=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，又()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，则()()4f x f x +=，所以()f x 是周期函数，4T =，10.【答案】A【详解】依题意有OAPB 四点共圆,将两圆方程：222b y x =+与00202=-+-y y y x x x 相减，得200:b yy xx l AB =+，解得)b (0, ,0)b (0202y N x M ，因为=+2222ONaOMb2242242022024*******422042b a b b a b y a x b b y a b x y b a x b b ==+=+=+，所以=ω1-52=ω1.11.【答案】A 解：令xex f x g 2)()(=则由0)()(4=-+x f e x f x得0)()(=-+x g x g ，∴)(x g 为奇函数又xex f x f x g 2'')()()(-=，∴当0>x 时，)(,0)('x g x g >单调递增，∴)(x g 在（－2，2）上单调递增又1)1()1(2==e f g ，∴⇒<-⇒<-⇒<--)1()2(1)2()2()2(242g x g e x f e x f e x x 4112222<<⇒⎩⎨⎧<-<-<-x x x 选A12.【答案】A)(t g 在[21，1]单调递增.)(t g 最小值为54e .二、填空题13.【答案】614.【答案】1615．【答案】116．【答案】π1225设三棱锥S ABC -外接球的球心为,,O SAC BAC 的中心分别为易知1OO ⊥平面2,SAC OO ⊥平面BAC ，且12,,,O O O 由题可得1121602OMO O MO ∠∠==，113O M SM =解Rt 1OO M △，得1131OO O M ==，又123O S SM =易知O 到平面α的距离12d MH ==，三、解答题18．【答案】(1)见解析；【详解】（1）证明：在图1中，ABC 为等边三角形，且D 为边AC 的中点，BD AC ∴⊥，........1分（2）B AED E ABD V V --= ，∴121133AED ABD S h S h = ，则12ABDAEDh S h S = ．...........................................8AED 是边长为1的等边三角形，∴34AED S =在Rt ABD 中，3BD =，1AD =，则2AB =．19．【答案】(1)34p =；(2)分布列见解析，415()16E X =119133415E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (12)()01020304016163232161621【答案】（1）由ax e x f x -=)(可得a e x f x -=)(' (1)当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递增； (2)22．【答案】(1)222:((1)4++=C x y ；(2)3m=；；(2)证明见解析. 23．【答案】(1)1。
(整理版)辽南协作体高三上学期期中考试高三数学(理科)试卷
辽南协作体高三上学期期中考试高三数学〔理科〕试卷本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上〕 1、设全集U 是实数集R ，{|||2},{|13}M x x N x x =≥=<<，那么图中阴影局部所表示的集合是A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x <<C ．{|22}x x -<<D ．{|2}x x < 2．向量(1,2),(cos ,sin ),//,tan()4a b a b πααα==+=且则A ．13 B ．13- C ．3 D ．-3 3．假设平面向量,a b 满足(2,1)a b +=-，(1,2)b =，那么向量a 与b 的夹角等于 A ．45︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．135︒ 4．2:11xp x <-:()(3)0q x a x +->，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．(]3,1--B ．[]3,1--C ．(],1-∞-D ．(],3-∞-5．设O 为坐标原点，点A 〔1，1〕，假设点(,)B x y 满足222210,12,12,x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩那么OA OB⋅取得最小值时，点B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．无数6．正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，假设存在两项,m n a a1144,a m n=+则的 最小值为A ．32 B ．53 C ．94D ．不存在 7.假设.1)8(),()4(,)cos(2)(-=-=+++=ππφωf t f t f t m x x f 且都有对任意实数那么实数m 的值等于A ．1±B ．－3或1C ．3±D ．－1或38．A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，假设l 上一点C 满足2cos cos OC OA OB θθ=+，那么246sin sin sin sin θθθθ+++的最大值是A 9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递减，假设数列}{n a 是等差数列，且03<a ，那么)()()()()(54321a f a f a f a f a f ++++的值A ．恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负10．①函数()ln 2f x x x =+-的图像与x 轴有2个交点；②向量b a ,不共线, 那么关于x 方程02=+x b x a 有唯一实根；③函数y =A ．①③ B ．② C ．③ D ．②③ 11、函数x y x -+=)14(log 2的值域是 A.),0[+∞ B.),(+∞-∞ C.),1[+∞D.),1[]1,(+∞--∞12．设⎩⎨⎧-=-)1(3)(x f x f x (0)(0)x x ≤> ， 假设a x x f +=)(有且仅有三个解，那么实数a 的取值范围是A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C. ]2,(-∞D. )2,(-∞第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上〕。
2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试 数学(理 )
2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试 理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。
安徽省肥东高级中学2021届上学期高三年级期中考试数学试卷(理科)
安徽省肥东高级中学2021届上学期高三年级期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．＝{|>－2}，T ＝{|2＋3－4≤0}，则∁R S ∪T 等于 A ． －2,1] B ． －∞，－4]C ． －∞，1]D ． [1，＋∞ 2下列命题正确的是A ． 若＝3，则2－2－3＝0的否命题是：若≠3，则2－2－3≠0B ． ∃0∈R ，使得x 02－1＜0的否定是：∀∈R ，均有2－1＜0C ． 存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题D ． 若cos ＝cos y ，则＝y 的逆否命题是真命题＝f 是定义在R 上的增函数，函数y ＝f －1的图象关于点1,0对称．若对任意的，y ∈R ，不等式f 2－6＋21＋fy 2－8y ＜0恒成立，则当＞3时，2＋y 2的取值范围是 A ． 3,7 B ． 9,25 C ． 13,49 D ． 9,49＝ln －2－x 22a ，a 为常数，且a ≠0，若f 在0处取得极值，且0∈上恒成立，则a 的取值范围是A ．a ≥e 4＋2e2B ．a ＞e 4＋2e2C ． a ≥e 2＋2e D ．a ＞e 2＋2e，b 满足a ＋2b ·5a －4b ＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为 A ．3π4B ．π4C ．π3 D ．2π36如图，点列{An }，{Bn }分别在某锐角的两边上，且|AnAn ＋1|＝|An ＋1An ＋2|，An ≠An ＋2，n ∈N*，|BnBn ＋1|＝|Bn ＋1Bn ＋2|，Bn ≠Bn ＋2，n ∈N*S n 2d n 2(ωx +π6)π2[0,π2]5π12π4π3π6(x −12)∫f(x)2−1{1x ,x >0,e x ,x ≤0,{x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x −3)3214121217131S 11S 21S2011S 3S 2+S 42S 5S 6+S 8S7S 1+S 5(0≤θ≤π2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ √5OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ a n n+1n+1a n{1b n}43g ＋1－m －m 2，且|F |在上单调递增，求实数m 的取值范围．21（12分）设函数f ＝ln ＋ax−1在(0,1e )内有极值． 1求实数a 的取值范围；2若1∈0,1，2∈1，＋∞．求证：f 2－f 1>e ＋2－1e 注：e 是自然对数的底数．22（10分）如图，有一块边长为1百米处有一个可转动的探照灯，其照射角∠1x−2x a √a +1√a +1√a +1√a +1√a +1{1+√a +1>e 2+2,f (e +2)≥0,{e +2>1+√a +1,f (e 2+2)≥0,1212π312121212T 2π2π6k π2π12[0，π2]5π1214(x −12)32(12)(0,12){2−x,x ≥0,2+x,x <0,∫f(x)2−1∫f (x )0−1∫f (x )20∫(2+x )0−1∫(2−x )20(2x +12x 2)|−10(2x −12x2)|021x {2x+y =32,x =1,{x ＝1,y ＝−12,1212143π4tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ12−171−12×(−17)13π42tanα1−tan 2α2×131−(13)234π4tan2α−tanβ1+tan2αtanβ34−(−17)1+34×(−17)π43π42√23131313a·b |a||b|83×2√22√2320112012n (n−1)d 21S n 1n (n+1)1n 1n+11S 11S 21S 20112)(12−13)(12011−12012)1201220112012S 3S2+S 42S 5S 6+S 8S 7S 1+S 5b 2b+a 2a+b a 2ab+12+b 2a+b a 2ab+1a 2a+b 2+b 2a+b a 2+b 2+2a+b a 2+b 2+2a+ba 2+b 2−2a−2b+2a+b(a−1)2+(b−1)2a+b2+b 2ab+1a 2ab+1a 2+b 2+2ab+12ab+2ab+1S12n+1)(2n−1−12n−1)1bn121b n−11b 11b 21b n 1b 112(1b1+1b 2+⋯+1bn−1)1b 1122b 1431b 1234343＋1－m 2，Δ＝m 2－41－m 2＝5m 2－4 ①当Δ≤0，即－2√55≤m ≤2√55时， 则必需{m 2≤0,−2√55≤m ≤2√55⇒－2√55≤m ≤0 ②当Δ＞0，即m ＜－2√55或m ＞2√55时，设方程F ＝0的根为1，21＜2．若m2≥1，则1≤0，即{m 2≥1,F (0)=1−m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则2≤0，即{m 2≤0,F (0)=1−m 2≥0⇒－1≤m ≤－2√55综上所述，实数m 的取值范围为∪[2，＋∞．21【答案】1解 易知函数f 的定义域为0,1∪1，＋∞，f ′＝1x －a(x−1)2＝(x−1)2−ax x (x−1)2＝x 2−(a+2)x+1x (x−1)2 由函数f 在(0,1e )内有极值，可知方程f ′＝0在(0,1e )内有解， 令g ＝2－a ＋2＋1＝－α－β． 不妨设0<α<1e ，则β>e ， 又g 0＝1>0，所以g (1e )＝1e 2－a+2e＋1<0，解得a >e ＋1e －22证明 由1知，f ′>0⇔0<<α或>β，f ′<0⇔α<<1或1<<β，所以函数f 在0，α，β，＋∞上单调递增，在α，1，1，β上单调递减． 由1∈0,1，得f 1≤fα＝ln α＋aα−1，由2∈1，＋∞，得f 2≥fβ＝ln β＋aβ−1，所以f 2－f 1≥fβ－fα． 由1易知，α·β＝1，α＋β＝a ＋2， 所以fβ－fα＝ln β－ln 1β＋a (1β−1−1α−1)＝2ln β＋a ·α−β(β−1)(α−1)＝2ln β＋a ·1β−β2−(a+2)＝2ln β＋β－1β 记hβ＝2ln β＋β－1ββ>e ，则h ′β＝2β＋1＋1β2＝(1β+1)2>0， 所以函数hβ在e ，＋∞上单调递增，所以f 2－f 1≥hβ>h e ＝2＋e －1e 22【答案】1由题意得BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan45°－θ＝1−t1+t ，CQ ＝1－1−t1+t ＝2t1+t ， 所以PQ ＝√CP 2+CQ 2＝√(1−t )2+(2t 1+t)2＝1+t 21+t，所以l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1+t ＋1+t 21+t ＝1－t ＋1＋t ＝2，是定值．2S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12t －12·1−t1+t ＝2－1211+t ． 因为1＋t >0，所以S ≤2－2√12(1+t )·11+t＝2－√2，当且仅当121＋t ＝11+t ，即t ＝√2－1时取等号．所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至多为2－√2平方百米．。
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高三数学（理科）阶段性质量检测试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xy 1=的定义域为N ，则N M ⋂= A.{}01|≠<x x x 且 B.{}01|≠≤x x x 且 C.{}1|>x x D.{}1|≤x x2.如果命题 “)(q p ∨⌝”为假命题，则A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题3.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 4.设R y x ∈,，则“2≥x 且2≥y ”是“422≥+y x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件5.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于 A.51- B.51 C. 57- D.576.设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值 7.等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A.1 B.2 C.3 D.48.已知向量),4(),2,1(y b x a =-=，若b a ⊥，则yx39+的最小值为 A.2 B.32 C.6 D.99.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数)0(1>=x xy 图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为 A.2ln B.2ln 1- C.2ln 2- D.2ln 1+10.函数)2||00)sin()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到图象解析式为 A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y 11.在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若0=++PB b PA a AC c ，则ABC ∆的形状为A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形12.已知函数)(x f M 的定义域为实数集R ，满足⎩⎨⎧∉∈=Mx M x x f M ,0,,1)(（M 是R 的非空真子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且Φ=⋂B A ，则=）（x F 1)()1)(+++⋃x f x f x f B A B A （的值域为A.]320，（ B.{1} C.}13221{，， D.]1,31[第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在ABC ∆中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan ________.14.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象和函数)1ln()(-=x x g 的图象的交点个数是______________.15.函数)2,0(),3sin(2ππ∈-=x x y 的单调递增区间为____________.16.函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数.例如：函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数； ②指数函数)(2)(R x x f x∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数，其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号）三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.（本小题满分12分）已知x x xx x x x f cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos )(--=. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）当],2[ππ∈x ，求函数)(x f 的零点.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2514,,a a a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*121(),(3)n n n n b n N S b b b n a =∈=++++ ，求n t S >。
19.（本小题满分12分）已知向量),2sin ,1(),3,cos 2(2x n x m ==函数n m x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f 的对称中心；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且32,1,3)(===ab c C f ，且b a >，求b a ,的值.20.（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x 当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时10000()511450C x x x=+-（万元），每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。
（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.（本小题满分13分）已知函数)0(12)(2>++-=a b ax ax x g 在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记|)(|)(x g x f =. （1）求实数b a ,的值；（2）若不等式)2()(log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在],[q p 上函数)(x m ，用分法q x x x x x p T n i i =⋯<<<⋯<<=-110：将区间],[q p 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式∑=-≤-ni i M x m x m 1i 1|)()(|恒成立，则称函数)(x m 为在],[q p 上的有界变差函数，试判断函数)(x f 是否为[1，3]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.（参考公式：))()()()(211n ni i x f x f x f x f ⋯++=∑=22.（本小题满分13分）已知函数()()3,ln 2-+-==ax x x g x x x f .（1）求函数()x f 在[]2,+t t （t ＞0）上的最小值；（2）对一切()()()x g x f x ≥+∞∈2,,0恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对一切()+∞∈,0x ，都有x x ln ＞.2ee x x -高三数学（理科）阶段性质量检测试题参考答案一、选择题 ACCAB BBCDD AB 二、填空题 13.2 14.2 15.)611,65(ππ 16.②③④ 三、解答题17.解：（1）)42cos(22sin 2cos )(π+=-=x x x x f ，故π=T ………………5分 （2）令0)42cos(2,0)(=+=πx x f ，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ，2x ， ………………7分2324492445πππππ=+∴≤+≤∴x x ， ………………9分 故85π=x ，函数)(x f 的零点是85π=x . ………………12分18.解：（1）由题意得2111)4()13)((d a d a d a +=++整理得：212d d a = …………4分)0(2,11舍去解得===d d a)(12*N n n a n ∈-=∴ …………6分（2）)111(21)1(21)3(1+-=+=+=n n n n a n b n n …………8分22)111(21)]111()3121()211[(2121+=+-=+-+-+-=+++=∴n n n n n b b b s n n …………12分19.解：（1）x x x x n m x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=, =1)62sin(22sin 312cos ++=++πx x x . ………………4分令ππk x =+62得，)(122Z k k x ∈-=ππ，∴函数)(x f 的对称中心为)1,122ππ-k （. ………………6分（2）1)62sin(31)62sin(2)(=+∴=++=ππC C C f ， C 是三角形内角，262ππ=+∴C 即：6π=C ……………………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a . 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4， …………10分 3=∴a 或2，32或=∴b .3,2,==∴>b a b a . ……………………12分21.解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0143(1)2(b a g g ，解得） …………4分（2）由已知可得1||2|)(|)(2+-==x x x g x f 为偶函数，所以不等式)2()(log 2f k f >可化为2log 2>k 解得4104<<>k k 或， ………………8分 （3）函数)(x f 为[1，3]上的有界变差函数。
………………9分 因为函数)(x f 为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分 T ：31110=<⋯<<⋯<<=-n i i x x x x x ，有 )3()()()()()1(110f x f x f x f x f f n n =<<⋯<<=-，所以分，114)1()3()()()()()()()()(|)()(|01112011⋯⋯=-=-=-⋯+-+-=--=-∑f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f n n n ni i i所以存在常数4≥M ，使得∑=-≤-ni i M x m x m 1i 1|)()(|恒成立，所以M 的最小值为4. ………………13分 22.解： 单调递减，时，当)(,0)()1,0(,1ln )()1(x f x f ex x x f <'∈+=' 当单调递增，时，，)(,0)()1(x f x f ex >'∞+∈∴①e t t 120<+<<，t 无解；②210+<<<t e t ，即e t 10<<时，;1)1()(m in e e f x f -==③21+<≤t t e ，即et 1≥时，)(x f 在]2,[+t t 上单调递增，;ln )()(m in t t t f x f == 综上⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=e t t t e t ex f 1,ln 10,1)(min ………………4分 （2）xx x a ax x x x 3ln 2,3ln 22++≤-+-≥则对一切()+∞∈,0x 恒成立。