反函数的导数与初等函数
微积分 中常见的基本公式
设 u = u(x)，v = v(x) 为可导函数，则
(1)
(u
±
v)′
=
u′
±
v′； (2)
(uv)′
=
u′v
+
uv′；(3)
u v
′
=
u′v − uv′ v2
(v
≠
0).
(4) 若 uk = uk (x) (k = 1，2，L，n) 均为可导函数，则
(u1u2 Lun )′ = u1′u2 Lun + u1u2′Lun + L + u1u2 x2 + x4 + o(x4)； 2! 4!
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6)arctan x = x − x3 + x5 + o(x5)
6 40
1 n
n
单调递增.
六、 微积分中值定理
1、罗尔 (Rolle) 定理： 假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(1) f (x) 在 [a，b] 上连续；(2) f (x) 在 (a，b)内可导；(3) f (a) = f (b).
则：∃ξ ∈ (a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0.
2、拉格朗日(Lagrange) 中值定理：假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(6)
(loga
x)′
=
1 x ln a
(a > 0且 a ≠ 1)；
(8) (cos x)′ = −sin x；
(9) (tan x)′ = sec2 x；
反函数和初等函数
反函数设)(x f 的定义域为D ，值域为W ，因此，对W y ∈∀，必D x ∈∃，使得y x f =)(，这样的x 可能不止一个，若将y 当作自变量，x 当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数)(y x ϕ=，称之为函数)(x f y =的反函数，而)(x f 叫做直接函数。
注1：反函数)(y x ϕ=的定义域为W ，值域为D ；2：由上讨论知，即使)(x f y =为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究；3：在习惯上往往用x 表示自变量，y 表示因变量，因此将)(y x ϕ=中的x 与y 对换一下，)(x f y =的反函数就变成)(x y ϕ=，事实上函数)(x y ϕ=与)(y x ϕ=是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母""ϕ没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。
所以说：若)(x f y =的反函数为)(y x ϕ=，那么)(x y ϕ=也是)(x f y =的反函数，且后者较常用；4：反函数)(x y ϕ=的图形与直接函数)(x f y =的图形是对称于x y =（证明很简单，大家自己看书）；例11 函数32,,x y x y b ax y ==+=的反函数分别为：31,,y x y x ab y x =±=-=或分别为31,,x y x y ab x y =±=-=。
复合函数和初等函数设)(u f y =，定义域为1D ，)(x u ϕ=，定义域为2D ，值域为2W ，且12D W ⊂，这样对于2D x ∈∀，由)(x u ϕ=可算出函数值12D W u ⊂∈，所以1D u ∈，由)(u f y =又可算出其函数值y ，因此对于2D x ∈∀，有确定的值y 与之对应，从而得一个以x 为自变量，y 为因变量的函数，我们称之为以)(u f y =为外函数，)(x u ϕ=为内函数复合成的复合函数，记为))((x f y ϕ=，其中u 为中间变量。
differentiate的数学含义
differentiate的数学含义摘要：一、导语：介绍Differentiate 的数学含义及其重要性二、不同函数的导数计算方法1.基本初等函数的导数2.复合函数的导数3.反函数的导数4.高阶导数的概念与计算三、导数在实际问题中的应用1.速度与加速度问题2.变化率问题3.优化问题4.微分方程问题四、总结：回顾Differentiate 的数学含义及其重要性，强调掌握导数概念和计算方法的意义正文：在高等数学中，Differentiate（导数）是一个非常重要的概念。
它用于描述函数在某一点处的变化率，可以帮助我们了解函数在某一点的变化情况。
导数在自然科学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍导数的数学含义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、导数的数学含义及其重要性导数是函数在某一点处的局部性质，它可以反映函数在该点附近的变化趋势。
具体来说，导数表示函数在某一点处的切线斜率。
在图形上，导数可以表示为函数图像在某一点处的切线。
导数在数学分析、概率论、微积分等学科中具有核心地位，是进一步研究高等数学其他概念和公式的基础。
二、不同函数的导数计算方法1.基本初等函数的导数常见的基本初等函数的导数如下：- cos(x) 的导数为-sin(x)- sin(x) 的导数为cos(x)- tan(x) 的导数为sec^2(x)- log(x) 的导数为1/x- e^x 的导数为e^x- ax 的导数为a2.复合函数的导数复合函数的导数遵循链式法则，即外函数的导数乘以内函数的导数。
例如：- (f(g(x)))" = f"(g(x)) * g"(x)3.反函数的导数反函数的导数遵循以下公式：- (f^(-1)(x))" = 1 / (f"(f^(-1)(x)))4.高阶导数的概念与计算高阶导数是指函数的二阶导数及以上。
高阶导数的计算方法类似于一阶导数的计算，只是需要用到前几阶导数的值。
反函数的导数 复合函数的求导法则
证
∆y = f ′( u0 ) 由y = f ( u)在点 u0可导 , ∴ lim ∆ u→ 0 ∆ u ∆y 故 = f ′( u0 ) + α ( lim α = 0) ∆ u→ 0 ∆u
则 ∆y = f ′( u0 )∆u + α∆u
∆y ∆u ∆u ∴ lim = lim [ f ′( u0 ) +α ] ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x ∆x ∆u ∆u ′( u0 ) lim + lim α lim = f ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x
dy ∴ = f ′( u)(sin x )′ dx = f ′(sin x ) cos x
例9：y = x 2 f (sin x ), 求
请动手做一做
解： dy = ( x 2 )′ f (sin x ) + x 2 ( f (sin x ))′
dy dx
dx
= 2 xf (sin x ) + x f ′(sin x ) cos x
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、复合函数的求导法则
定理
如果函数 u = ϕ ( x )在点 x0可导 , 而y = f ( u) 在点 u0 = ϕ ( x0 )可导 , 则复合函数 y = f [ϕ ( x )]在点 x0可导, 且其导数为 dy dy dy du ′ ′ x = x0 = f ( u0 ) ⋅ ϕ ( x0 ).或 x = x0 = u = u0 . dx dx du dx 因变量对自变量求导, 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) .(链式法则 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
2_1_4 反函数和隐函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
例2. 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 确定的隐函数
y
y(x)
在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
d dx
(
y
5
2
y
x
3x
7
)
0
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
因x=0时y=0,
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
ห้องสมุดไป่ตู้1 1 x2
(arc cot
x)
1
1 x
2
Page
11
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(arctan x)
1 1 x2
,
利用 arccos x
arcsin
x
2
(arccot
x)
1 1 x2
Page 3
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
(a x )
1 (loga
y)
1
1
y ln a a x ln a
y ln a
Page 16
4.
设
y (sin x)tan x y1
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的定义1. 导数的几何意义在直角坐标系中，函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。
也就是说，导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数在某一点的导数为正，那么函数在这一点的曲线是朝上凸的；如果函数在某一点的导数为负，那么函数在这一点的曲线是朝下凸的；如果函数在某一点的导数为零，那么函数在这一点的曲线可能是一个最大值、最小值或者拐点。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在点x0处可导。
如果当自变量x的增量为Δx时，函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限存在，那么就称函数y=f(x)在点x0处可导。
这个极限就是函数在点x0处的导数，通常用f'(x0)或者df(x0)/dx来表示。
二、导数的性质1. 可导性与连续性在区间上连续的函数必定在该区间上有定义且连续的导数。
不过反之不成立。
2. 导数的四则运算法则设函数y=f(x)和y=g(x)都在x处可导，则：（1）常数函数的导数\[ (k)' = 0 \]（2）乘积的导数\[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \]（3）商的导数\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \]（4）复合函数的导数\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]3. 链式法则设函数y=f(u)和u=g(x)都在某点可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且有\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]4. 高阶导数如果函数f的导数也可导，则函数f有二阶导数，记作f''；同理，f(n)表示函数f的n阶导数。
反函数导数公式大全表(反函数导数公式大全)
反函数导数公式大全表（反函数导数公式大全）(arcsinx)'=1/√(1-x^2)的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)的求导：(arctanx)'=1/(1+反三角函数求导公式是什么?1、的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)2、的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)3、的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)4、的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)为限制为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx。
相应地。
反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π2；反余切函数y="arccot"x 的主值限在0<y<π。
1、反正弦函数正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
[-1，1]，[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1]，值域[0，π]。
3、反正切函数正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
5、反余切函数余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
6、反正割函数正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
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第四节 反函数的导数与初等函数的求导问题
一．反函数的导数
定理1：如果函数)(y x ϕ=在某区间y I 内单调、可导，且)(/y ϕ≠0，那末它的反函数)(x f y =在对应的区间x I 内也可导，并且有：)(1)(//y x f ϕ= 。
例1：函数x y arcsin =是y x sin =的反函数，y x sin =在区间]2,2[ππ-上单调可导，y dy
dx cos =，函数x y a r c s i n =在区间]1,1[-上单调可导，211cos 11x
y dy
dx dx dy -===， 2/11)(arcsin x x -=
2/11)(a r c c o s x x --=， 2/11)(arctan x x += 2
/11)co t (x x a r c +-= 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
例2：求函数的1arctan 2-=x y 导数
二．基本求导法则与导数公式
1、基本初等函数的导数公式：
（1） 0)(/=c （2）1/)(-=μμμx x
（3） x x cos )(sin /= （4） x x sin )(cos /-=
（5）x x 2/sec )(tan = （6） x ctgx 2/csc )(-=
（7） x x x tan sec )(sec /⋅= （8）ctgx x x ⋅-=csc )(csc /
（9）a a a x x ln )(/⋅= （10）x x e e =/)(
（11） a x x a ln 1)(log /=
（12） x x 1)(ln /= （13） 2/11
)(arcsin x x -= （14） 2/11)(arccos x x --=
（15） 2/11)(arctan x x +=
（16）2
/11)cot (x x arc +-= 2、函数的和、差、积、商的求导法则： 设)(x u u =，)(x v v =，则：
（1） ///)(v u v u ±=± （2） //)(u c u c ⋅=⋅（c 为常数）
（3）/
//)(uv v u uv += （4）/])()([x v x u =)()()()()(2//x v x v x u x v x u - （)(x v ≠0）；
3、复合函数的求导法则：
设)(u f y =，而)(x u ϕ=，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为：)()(//x u f dx
du du dy dx dy ϕ⋅=⋅=。
4、双曲函数与反双曲函数的导数
由于双曲函数与反双曲函数都是初等函数，故其导数可由基本初等函数的求导公式及求导法则求出。
(1) x ch thx 2/1)(= (2) 2
//11)11ln 21()(x x x arthx -=-+= 三、幂指函数的求导方法
形如：)()(x v x u y =的函数称其为幂指函数
利用复合函数的求导法则
)
(ln )()(ln )()()(x u x v x u x v e e x u y x v ===，])()()()(ln )([)](ln )([))((//
)(ln )(/)(ln )(/)(/x u x u x v x u x v e x u x v e x u y x u x v x u x v x v +===。
例3：求函数x x y sin =的导数，)sin ln (cos sin /x
x x x x y x +
⋅=。
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