高三数学总复习知能达标训练
高三数学总复习知能达标训练第一章
高三数学总复习知能达标训练第一章第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0解析 写命题的否定需要注意“任意”和“存在”的互换，还要注意小于等于的否定是大于，根据上述分析，可知选C.答案 C2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案 D3．下列命题中，真命题是A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析 m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx 是偶函数．故选A.答案 A4．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x p 2：∃x ∈(0,1)，12log x ＞13log xp 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12log x p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜13log x 其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析 p 1是假命题，p 2是真命题，对于p 3，x ＝12时，1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ 12＝22＜1，12log 12＝1，∴p 3是假命题，对于p 4，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，而13log x ＞13log 13＝1， ∴是真命题，故选D.答案 D5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∧p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析 ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数， ∴y ＝－2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数， ∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选择C.答案 C6．下列命题的否定是真命题的有①p：Δ＜0时方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根；②p：存在一个整数b，使函数f(x)＝x2＋bx＋1在[0，＋∞)上不是单调函数；③p：∃x∈R，使x2＋x＋1≥0不成立．A．0 B．1C．2 D．3答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．命题“存在向量a，b，使|a＋b|＝|a|＋|b|”的否定是________，它是________命题．答案对任意向量a，b，|a＋b|≠|a|＋|b|.假．8．已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．解析当1≤x≤2时，8≥x2＋2x≥3，如果“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题应有－a≤8，所以a≥－8.答案a≥－89．已知命题p：∃m∈R，m＋1＜0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．解析因为p∧q为假命题，所以p、q中至少有一个为假命题，而命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2，又命题p：∃m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m＜－1，故综上可知：m≤－2.答案m≤－2三、解答题(38分)10．(12分)写出下列命题的“否定”，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解析 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，这是假命题，因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1＞0成立．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.11．(12分)设命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －32x 是R 上的减函数，命题q ：函数f (x )＝x 2－4x ＋3在[0，a ]的值域为[－1,3]．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解析 由0＜a －32＜1得32＜a ＜52.∵f (x )＝(x －2)2－1在[0，a ]上的值域为[－1,3]，得2≤a ≤4.∵p 且q 为假，p 或q 为真，得p 、q 中一真一假．若p 真q 假得，32＜a ＜2，若p 假q 真得，52≤a ≤4.综上，32＜a ＜2或52≤a ≤4.12．(14分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解析 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x ＞1c 恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.当p 为假，q 为真时，c ≥1. 综上，c的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。
高三数学总复习知能达标训练第三章
高三数学总复习知能达标训练第三章 第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．sin 2(π＋α)－cos (π＋α)·cos (－α)＋1的值为 A ．1 B ．2sin 2α C ．0D ．2解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案 D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于A ．mB ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m .∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m . 答案 A3．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是 A ．－2 B ．2 C ．±2D.12解析 tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝2. 答案 B4．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A 等于 A.153 B ．－153 C.53D ．－53解析 ∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23， ∴0＜A ＜π2，(sin A ＋cos A )2＝53， sin A ＋cos A ＝153. 答案 A5．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝π3，则sin 2θ等于A ．－79 B ．－19 C.19D.79解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方12(1＋sin 2θ)＝19，∴sin 2θ＝－79.答案 A6．下列关系式中正确的是 A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析 注意到sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，且0°＜11°＜12°＜80°＜90°， 因此sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， 即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°，选C. 答案 C二、填空题(3×4分＝12分)7．(2011·重庆)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则tan α＝________.解析 ∵cos α＝－35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴sin α＝－45，∴tan α＝43. 答案 438．(2011·大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan α＝2，则cos α＝________.解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2， ∴sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos α＝－55.答案 －559．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ的值是________． 解析 由已知sin θ＋cos θ＝15，①得2sin θcos θ＝－2425， 又π2≤θ≤3π4， ∴cos θ＜0，sin θ＞0.(cos θ－sin θ)2＝4925，则sin θ－cos θ＝75，② 由①②知cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案 －725 三、解答题(38分)10．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－2＋33.11．(12分)求证：2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝cos α1＋sin α－sin α1＋cos α.证明 右边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝(cos α－sin α)＋(cos 2α－sin 2α)1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(1＋cos α＋sin α)1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝2(cos α－sin α)(1＋cos α＋sin α)2(1＋sin α＋cos α＋sin αcos α). ∵2(1＋sin α＋cos α＋sin αcos α)＝1＋sin 2α＋cos 2α＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α ＝(1＋sin α＋cos α)2. ∴等式成立．12．(14分)已知0＜α＜π2，sin α＝45. (1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解析 ∵0＜α＜π2，sin α＝45， ∴cos α＝35，tan α＝43，(1)sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α ＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋2×432－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝20.(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.。
高三数学总复习知能达标训练第六章
高三数学总复习知能达标训练第六章第三节二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划(时间分钟，满分分 )一、选择题 (×分＝分 )．( ·纲领全国卷 )若变量，知足拘束条件 (\\( ＋≤，－≤－，≥， ))则＝＋的最小值为．．．．分析如图，作出可行域 (暗影 )，再作出初始直线：＋＝，即＝－，发现向上挪动时愈来愈大，故平移到过点时最小，又()，∴＝＋＝.答案．设变量，知足拘束条件(\\( ≥，＋－≤，－＋≤， ))则目标函数＝－的最大值为．－．．分析作出可行域如图．＝－在 ()获得最大值．＝×－＝ .答案．( ·湖北 )已知向量＝ (＋)，＝ (，－ )，且⊥ .若，知足不等式＋≤，则的取值范围为．[－]．[－]．[－]．[－]分析∵＝(＋ )，＝ (，－ )，且⊥，∴·＝(＋)＋(－ )＝，即＋－＝，又＋≤ 表示的地区如图暗影，∴当＋－＝过点 (，－ )时，＝－，当＋－＝过点 ()时，＝，∴∈[－]．答案．设不等式组 (\\(＋－≥，－＋≥，－＋≤， )) 表示的平面地区为，若指数函数＝的图象上存在地区上的点，则的取值范围是．(]．[]．(]．[，＋∞ )分析不等式组 (\\( ＋－≥ －＋≥－＋≤))对应的地区以下图，若指数函数＝的图象上存在地区上的点，则＞，解方程组(\\(＋－＝－＋＝))，得(\\(＝＝))，则＜≤.答案．若实数，知足不等式组(\\( ＋－≥，－－≤，－＋≥，))且＋的最大值为，则实数等于．－．－．．分析不等式组 (\\( ＋－≥ －－≤－＋≥))，对应的地区以下图，作直线：＋＝，可察看出＋在点取到最大值 .解方程组 (\\( －－＝＋＝ ))，得(\\(＝＝))代入－＋＝得＝ .答案．( ·湖南 )设＞，在拘束条件 (\\(≥≤＋≤ ))下，目标函数＝＋的最大值小于，则的取值范围是．(＋)．(＋，＋∞ )．()．(，＋∞ )分析画出可行域以下图．将目标函数化为斜截式为＝－＋，联合图形能够看出当目标函数过＝与＋＝的交点时取到最大值，联立 (\\( ＝，＋＝， ))得交点坐标为.由题意得＜，又＞，∴＜＜＋ .答案二、填空题 (×分＝分 )．若变量，知足条件 (\\(－≤－＋≥ ))，则＝＋的最大值为．分析作出可行域以下图作出直线：＋＝，由图可知当：＋＝由图可知当平移到点时，最大，解方程组(\\(－＝－＋＝ ))得(\\( ＝()＝()))，∴，∴＝＋＝.答案．已知变量，知足拘束条件 (\\(＋－≤＋－≥－≤ )) ，若目标函数＝＋ ( 此中＞ )仅在点 ()处获得最大值，则的取值范围为．分析由拘束条件表示的可行域以下图，作直线：＋＝，过()点作的平行线′，则直线′介于直线＋－＝与过 ()点与轴垂直的直线之间，所以，－＜－，即＞.答案．设＞，在拘束条件 (\\(≥，≤，＋≤， ))下，目标函数＝＋的最大值为，则的值为．分析画出可行域如图．目标函数化为斜截式为＝－＋.当目标函数过＝与＋＝的交点时，有最大值，联立 (\\( ＝＋＝ ))得交点坐标为，代入目标函数得＝＋·＝，解得＝ .答案三、解答题 (分)．(分)已知 (\\( ＋－≥，－＋≥，－－≤， )) ＋在，取何值时获得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？分析以下图可作出不等式组表示的地区，过原点作垂直于直线＋－＝，垂足为，则＋在、点分别获得了最大值和最小值．由(\\( －－＝，－＋＝， )) 得 (\\(＝，＝ .)) 即()．由(\\( ＝()，＋－＝， ))得(\\(＝()，＝().))即.∴＋的最大值和最小值分别为， .．(分)、两地分别生产同一规格产品千吨、千吨，而、、三地分别需要千吨、千吨，千吨，每分析运价(万元千吨 )到到到从从设从到运千吨，则从到运(－)千吨；从到运千吨，则从到运(－ )千吨；从到运 (－－ )千吨，则从到运 (＋－ )千吨，则线性拘束条件为 (\\( ≤≤，≤≤ ，≤＋≤，))线性目标函数为＝＋＋ (－－ )＋ (－ )＋(－)＋ (＋－ )＝－＋＋，如上图作出可行域，可察看出目标函数在 ()点取到最小值，即从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，从到运千吨，可使总的运费最少．．(分)设、知足≤＋≤且＋≥－ . ()求点 (，)所表示的平面地区；()设＞－，在 ()所确立的地区里，求函数(，)＝－的最大值和最小值．分析()点(， )所在的平面地区如图 (暗影部分 )．此中：＝－，：＝－＋，()(，)是直线：－＝在轴上的截距，直线必与暗影订交．由＞－，则经过极点时，(，)最大，又点的坐标为 (－)，于是 (，)的最大值为 3a＋.假如－＜≤，则经过点 (，－ )时，(， )最小，此时最小值为－ 2a－ . 假如＞，则经过点 ()时， (， )最小，此时最小值为－ 3a＋.。
高三数学总复习知能达标训练第六章第六节直
高三数学总复习知能达标训练第六章第六节 直接证明与间接证明(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2012·青岛模拟)若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是A．0 B．1C．2 D．3解析 ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3.答案 C2．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析 a＝，b＝，c＝.∵0＜＋＜＋＜＋，∴＞＞.∴a＞b＞c答案 A3．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D4．(2012·临沂模拟)命题“如果数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n，那么数列{a n}一定是等差数列”是否成立A．不成立 B．成立C．不能断定 D．能断定解析 ∵S n＝2n2－3n，∴S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，∴a n＝S n－S n－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．又∵a n＋1－a n＝4(n≥1)，∴{a n}是等差数列．答案 B5．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 B6．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若＞，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则＞D．若a2＞b2且ab＞0，则＜答案 C二、填空题(3×4分＝12分)7．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．解析 由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)＜0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)＜0.∴－1＜a＜－.答案 －1＜a＜－8．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥________.解析 ＋＋＝＋＋＝3＋≥3＋(2＋2＋2)＝9.答案 99．(2012·莱芜调研)凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，x n，有≤f，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．解析 ∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f＝f，即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.答案 三、解答题(38分)10．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.(1)证明：是f(x)＝0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：－2＜b＜－1.解析 (1)证明 ∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不相等的实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根．又x1·x2＝，∴x2＝.∴是f(x)＝0的一个根．(2)假设＜c，又＞0，由0＜x＜c时，f(x)＞0，知f＞0与f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴＞c.(3)证明 由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝－＝＜＝x2＝，即－＜.又a＞0，∴b＞－2，∴－2＜b＜－1.11．(12分)(2012·合肥模拟)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．解析 (1)证明 x是正实数，由均值不等式知x＋1≥2，x2＋1≥2x，x3＋1≥2，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x＞0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2·(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，此时不等式仍然成立．12．(14分)已知在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)，b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求当正整数m为何值时，T n＞对于任意n∈N*恒成立．解析 由a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，可得a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，所以数列{a n}是一个等差数列，其首项a1＝8，公差d＝＝－2，所以a n＝8－2(n－1)＝10－2n，所以b n＝＝＝，所以T n＝＝＝，因为＝，n∈N*，所以当n＝1时，T n取得最小值，欲使＞对于任意n∈N*恒成立，只需＜，解得m＜3，又m∈N*，所以m＝1,2.。
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高三数学总复习知能达标训练第八章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 C2．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0答案 A3．圆心在抛物线y 2＝2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0 解析 设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，依题意有a 22＋12＝|a |， 得圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1. 答案 D4．(2012·台州模拟)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2.答案 C5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0 解析 设弦心距为d ，则d ＝ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22≤1， 即|2k －3＋3|k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33. 答案 B6．(2011·江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 C 1化为标准式(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0⇒y ＝m (x ＋1)，当m ＝0时，C 2：y ＝0此时C 2与C 1仅有两交点；当m ≠0时，易知要满足题意需(x －1)2＋y 2＝1与y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时m ＝±33，∴直线处于两切线之间，即－33＜m ＜0或0＜m ＜33.综上m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·中山模拟)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.解析 d ＝|a ＋1|a 2＋1，由已知条件d 2＋3＝4， 即d 2＝1，|a ＋1|a 2＋1＝1，解得a ＝0. 答案 08．过点(－1，－2)的直线被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析 当斜率不存在时，易知l 与圆相离，∴斜率存在，设圆的斜率为k ，∴l ：y ＋2＝k (x ＋1)，即：kx －y ＋k －2＝0，对于圆的方程，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)，半径为1，∴圆心到l 的距离：d ＝|k －1＋k －2|k 2＋1＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222⇒(7k －17)(k －1)＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案 k ＝1或k ＝1779．(2011·湖南)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________．(2)圆C 上任一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析 (1)圆心(0,0)，∴d ＝|4×0＋3×0－25|42＋32＝5. (2)如图设直线l ′∥l ，且l ′与圆交于P 、Q 两点，过圆心作AB ⊥l 交l 于B 交l ′于C ，∵|BC |＝2，|OC |＝5－2＝3，又|OP |＝12＝23，∴∠OPQ ＝60°，平移A 到l 距离小于2，则A 在PAQ 上，∴P ＝60°360°＝16.答案 (1)5 (2)16三、解答题(38分)10．(12分)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为M 、N ，证明：直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证明 证法一 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵M 、N 在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴过M 、N 的切线方程分别是：x 1x ＋y 1y ＝r 2，x 2x ＋y 2y ＝r 2，又P 是两切线公共点，即有：x 1x 0＋y 1y 0＝r 2，x 2x 0＋y 2y 0＝r 2，上两式表明点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在二元一次方程x 0x ＋y 0y ＝r 2表示的直线上．所以直线MN 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.证法二 以OP 为直径的圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12y 02＝14(x 20＋y 20)， 即x 2＋y 2－x 0x －y 0y ＝0，又圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，两式相减得x 0x ＋y 0y ＝r 2，这便是过切点M 、N 的直线方程．11．(12分)一直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．解析 (1)当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3，代入x 2＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4.∴弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．(2)当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.由已知，弦心距|OM |＝52－42＝3， ∴|k ·0－0＋3k －32|k 2＋1＝3， 解得k ＝－34.所以此直线方程为y ＋32＝－34(x ＋3)，即3x ＋4y ＋15＝0.所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.12．(14分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．解析 (1)对于y ＝x 2－6x ＋1，令x ＝0得y ＝1，令y ＝0得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，∴曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴交于(0,1)与x 轴交于(3＋22，0)及(3－22，0)，设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将以上三点代入．解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1.∴x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0即(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0(x －3)2＋(y －1)2＝9消y 得2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0，由已知Δ＝(2a －8)2－2×4(a 2－2a ＋1)＝56－16a －4a 2＞0.∴－2－32＜a ＜－2＋32(*)∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0⇒a ＝－1符合(*)，∴a ＝－1.。
高三数学总复习知能达标训练数学归纳法
高三数学总复习知能达标训练第六章第七节数学归纳法(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．(2012·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D2．用数学归纳证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1解析增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.答案 C3．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．答案 D4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1314(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1、12k ＋2C ．增加了B 中两项但减少了一项1k ＋1 D ．以上各种情况均不对解析 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1、12k ＋2，少了一项1k ＋1. 答案 C5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2，故应选B.答案 B6．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2解析n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.比较上述两个式子，n＝k＋1时，等式的左边是在假设n＝k时等式成立的基础上，加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案 D二、填空题(3×4分＝12分)7．(2012·淮南调研)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)28．观察不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2,1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n－1＞n2.答案1＋12＋13＋…＋12n－1＞n29．(2012·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴(n －1)n 2＝60，∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案 (5,7)三、解答题(38分)10．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解析 (1)由题意a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13， ∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13， ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立， 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k·(2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1.∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．11．(12分)已知△ABC 的三边长都是有理数．(1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． 证明 (1)设三边长分别为a ，b ，c ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ，b ，c 是有理数，b 2＋c 2－a 2是有理数， 分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法具有封闭性，∴b 2＋c 2－a 22bc 必为有理数，∴cos A 是有理数．(2)①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数． 当n ＝2时，cos 2A ＝2cos 2A －1，因为cos A 是有理数，∴cos 2A 也是有理数． ②假设当n ＝k －1，n ＝k (k ≥2)时，结论成立， 即cos kA 、cos (k －1)A 均是有理数．当n ＝k ＋1时，cos (k ＋1)A ＝cos kA cos A －sin kA sin A＝cos kA cos A －12[cos (kA －A )－cos (kA ＋A )]＝cos kA cos A －12cos (k －1)A ＋12cos (k ＋1)A ，解得：cos (k ＋1)A ＝2cos kA cos A －cos (k －1)A ， ∵cos A ，cos kA ，cos (k －1)A 均是有理数， ∴2cos kA cos A －cos (k －1)A 是有理数，∴cos (k ＋1)A 是有理数，即当n ＝k ＋1时，结论成立，综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 是有理数．12．(14分)在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4与b 2，b 3，b 4的值，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论．解析 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1. 又a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16， a 4＝20，b 4＝25，猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝2，b 1＝4，结论成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2， ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．。
高三数学总复习知能达标训练第五章
高三数学总复习知能达标训练第五章第二节 等差数列及其前n 项和(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．若x ≠y ，两个等差数列x ，a 1，a 2，y 与x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差分别为d 1和d 2，则d 2d 1等于 A.23B.32C.34D.43解析 d 1＝y －x 4－1＝y －x 3，d 2＝y －x 5－1＝y －x 4. ∴d 2d 1＝34. 答案 C2．(2011·大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于A ．8B ．7C ．6D ．5解析 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d＝2×1＋(2k ＋1)×2＝24.∴k ＝5.答案 D3．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析 由题意知a 27＝a 3a 9，即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，∴a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×9d 2＝10×20＋10×9×(－2)2＝110. 答案 D4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于A ．160B ．180C ．200D ．220解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 18＋a 19＋a 20＝3(a 1＋a 20)＝54，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20×542×3＝180. 答案 B5．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 由⎩⎨⎧a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0，2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a 2n －2a n ＝0， 又a n ≠0，∴a n ＝2，S 2n －1－4n ＝2(2n －1)－4n ＝－2.答案 A6．等差数列中，a 1＝125，第10项开始比1大，则公差d 的范围是A ．d ＞875B ．d ＜325 C.875＜d ≤325D.875＜d ＜325 解析 a 10＝125＋9d ＞1，a 9＝125＋8d ≤1，∴875＜d ≤325.答案 C二、填空题(3×4分＝12分)7．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2×12d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎨⎧a 1＝7，d ＝－2， ∴a 5＝a 1＋4d ＝－1.答案 －18．(2011·天津)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10＝________.解析 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则a 1＋2d ＝16且20a 1＋20×192d ＝20.∴a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝20×10＋10×9×(－2)2＝110. 答案 1109．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设所构成数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎨⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案 6766三、解答题(38分)10．(12分)(2011·福建)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k .解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，则1＋2d ＝－3，∴d ＝－2.∴a n ＝1＋(n －1)(－2)＝－2n ＋3.(2)S k ＝k ＋k (k －1)2×(－2)＝－k 2＋2k ＝－35， ∴k ＝7.11．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }的首项为a (a ∈R )，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，∴a 22＝a 1a 4， ∴(a ＋d )2＝a (a ＋3d )，∴d ＝a .故a n ＝a ＋(n －1)a ＝an .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n， 由于a 2n ＝2n a ，∴T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝1a ·12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .当a ＞0时，T n ＜1a ；当a ＜0时，T n ＞1a .12．(14分)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值；(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝248＝3， ∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63，a n ＋1＝3n －60， 令⎩⎨⎧ a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21， ∴S 20＝S 21＝20×[－60＋(－3)]2＝－630. ∴当n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0， 以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－n (－60＋3n －63)2 ＝－32n 2＋1232n .当n ＞21时，T n ＝S n －2S 21＝n (－60＋3n －63)2－2S 21 ＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋1232n ， n ≤21，n ∈N *，32n 2－1232n ＋1 260， n ＞21，n ∈N *.。
高三数学总复习知能达标训练第二章第七节函
高三数学总复习知能达标训练第二章第七节函数图象(时间40分钟，满分80分)一、选择题(6×5分＝30分)1．由方程x|x|＋y|y|＝1确定的函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析①当x≥0且y≥0时，x2＋y2＝1，②当x＞0且y＜0时，x2－y2＝1，③当x＜0且y＞0时，y2－x2＝1，④当x＜0且y＜0时，无意义．由以上讨论作图象，易知是减函数．答案 B2．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为A．4 B．5C．6 D．7解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图实线部分f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．答案 C3．函数y＝e|ln x|－|x－2|的图象大致是解析y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2，0＜x ≤1，2x －2， 1＜x ≤2，2， x ＞2.答案 C4．若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0且a ≠1)是增函数，那么g (x )＝log a (x ＋1)的图象是下图中的解析 f (x )＝a x －1a x 为增函数，所以a ＞1.而y ＝log a (x ＋1)的图象由y ＝log a x 向左平移一个单位得到． 答案 C5．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为解析 本题先采用排除法，因为初始位置P 0(2，－2)到x 轴距离d ＝2，故排除A 和D ，又因为当t ＝π4时，θ＝ωt ＝π4，此时P 点恰好落在x 轴上，此时d ＝0，所以选择C 排除B .答案 C6．(2011·陕西)设f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是解析 f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，f (x )图象关于y 轴对称，排除A 、C. f (x ＋2)＝f (x )，2是f (x )的一个周期，排除D. 答案 B二、填空题(3×4分＝12分) 7．将函数f (x )＝x ＋2x －1的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到函数g (x )的图象，则g (1)＋2g (2)＋3g (3)＝________.解析 由题意得g (x )＝(x ＋1)＋2(x ＋1)－1－1＝3x ，因此g (1)＋2g (2)＋3g (3)＝9. 答案 98．如下图所示，向高为h 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________； (2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________； (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．答案 (1)A (2)D (3)B (4)C9．已知最小正周期为2的函数y ＝f (x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象与y ＝|log 5x |的图象的交点个数为________个．解析 易知x ∈R 时，f (x )≤1.∴当x ＞5时，y ＝|log 5x |＞1与函数y ＝f (x )的图象无交点． 作两函数的图象如图所示．由图象知，两图象有5个交点． 答案 5三、解答题(38分)10．(12分)设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )． (1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解析 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0， Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4；当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．11．(12分)利用函数图象讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解析 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k ＜0时，方程没有实数根；当k ＝0或k ＜－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0＜k ＜1时，方程有两个不相等的实数根．12．(14分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实 数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．解析 (1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点，则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)．因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)]＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0，所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1. 又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]． 所以f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋7， x ∈[－4，－2]，－2x －1， x ∈[－2，0].。
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高三数学总复习知能达标训练第七章
第一节空间几何体的结构、
三视图和直观图
(时间40分钟，满分80分)
一、选择题(6×5分＝30分)
1．利用斜二测画法可以得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论正确的是
A．①②B．①
C．③④D．①②③④
解析因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于x 轴的线段长度不变，所以不正确．
答案 A
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：
①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．
其中正确的是
A．①②B．②③
C．③④D．①④
答案 B
3．(2011·江西)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
解析如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.
答案 D
4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
解析A、B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.
答案 D
5．(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；
②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；
③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．
其中真命题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
解析底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．
答案 A
6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是
A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱D．Ω是棱台
解析可以利用线面平行的判定定理和性质定理证明EH綊B1C1綊FG，则A、B、C正确，故选D.
答案 D
二、填空题(3×4分＝12分)
7．正视图为一个三角形的几何体，那么它可以是________(写出三种)．
答案直三棱柱三棱锥圆锥
8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析 由三视图可知多面体为如图所示的三棱锥，其中SA 最长，SA ＝
AB 2＋BC 2＋SC 2＝2 3.
答案 2 3
9．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．
解析 DC ＝AB sin 45°＝22， BC ＝AB sin 45°＋AD ＝22＋1， S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )DC ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2222
＝22＋1
4， S ＝
42
S 梯形ABCD ＝2＋22. 答案 2＋2
2 三、综合题(38分)
10．(12分)下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)． 答案 ②④
11．(12分)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．
解析 设底面边长为x ，则V ＝3
4x 2x ＝23， ∴x ＝2.
由题意知这个正三棱柱的左视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3. 答案 2 3
12．(14分)找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．
答案 (3) (4) (6) (1) (8) (5) (2) (7)。