运用转化思想解决数学问题
转化思想在数学学习中的应用
转化思想在数学学习中的应用转化思想在数学学习中的应用转化思想在数学学习中的应用转化也称化归，它是指将未知的，陌生的，复杂的问题通过事物之间的内在联系转化为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题顺利解决的数学思想。
几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。
常见的转化方式有：一般、特殊转化，等价转化，复杂、简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。
在小学阶段，转化思想在几何方面用到的比较多，比如面积部分，或体积部分，下面我们分别探讨一下，在这几个方面的应用。
一、1、面积方面：多边形的面积我们知道长方形的面积是探讨其他图形面积的基础，长方形的面积=长×宽在学习平行四边形面积时我们就是想法把平行四边形转化为长方形来解决，如何转化，观察下面图形，看平行四边形与长方形的内在联系我们看到，长方形的邻边互相垂直，而平行四边形的邻边则不一定，所以我们可以猜想是否可以沿着平行四边形的某条高把平行四边形剪开，再重新组合一下。
如下图：这时，我们看到平行四边形就转化为了长方形，长方形的长就是原来平行四边形的底变来的，宽则是由原来平行四边形的高变来的，所以原平行四边形的面积=长方形的面积=底×高。
再看三角形如图：我们对比三角形与平行四边形的形状，我们不难想到，如果把两个形状完全一样的三角形反向拼接在一起，就构成了一个平行四边形。
如下图所以不难看出三角形的面积=平行四边形面积的一半=底×高÷2再如梯形从其形状，不难看出，把对角连一下，一个梯形就转变成了两个三角形，如下图。
所以梯形面积=两个三角形的面积和=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。
总结一下：梯形→三角形→平行四边形→长方形2、圆的面积由于圆是曲边图形，它的面积转化稍微复杂一些。
我们采用的是试着等分圆，并且通过观察不难发现，随着等分的次数越来越多，每一分的形状越来越接近于三角形。
运用转化思想解决数学问题(1篇)
运用转化思想解决数学问题(1篇)运用转化思想解决数学问题 1例1 设m是不能表示为三个互不相等的.合数之和的最大整数，求m的值。
分析我们不妨先求出三个互不相等的合数之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。
即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。
分析此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2003，因为2003是质数，这也是一个信息。
解：观察式子特点不难得出故所求的正整数对(x,y)=(1，2003)，(2003，1)此问题考察的重点在于因式分解。
例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。
此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。
分析此题与例3有相似之处，但是要难一些。
首先用到了性质8，然后再结合不等式解决此问题。
所以共有(1，19)，(2，15)，(3，11)，(4，7)，(5，3)以及(1，88)，(2，84)，。
，(22，4)故满足条件的(x,y)共有5+22=27对此问题用到了数论里常用的方法??不等式法。
把一个整数问题转化为不等式问题，就会求出上(下)界，从而限定出所求数的范围，同时又是整数，故而使问题得以解决。
因为方程的根都是整数所以，分别解得整数n的值为10，0，-18，-8例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得此问题是比较典型的，两个式子三个未知数，感觉没有办法解决，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和，来发现其中的奥妙。
在解决数学问题时，我们要以不变(知识)去应万变(问法)，不断去探索，有时候我们可以用特值去验证结论，这样就会有一个大致的方向，再通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用作为一个初中数学学习者，在解题的过程中，有一个重要的能力就是转化思想。
在解题过程中，能够使用转化思想，能够将复杂的问题转化为简单的问题，能够将问题的条件转化成解题的工具，具有很大的优势。
下面我们就讨论一下在初中数学解题中如何应用转化思想。
一、利用等式化简在代数运算中，我们时常要将一个式子化简为更简洁的形式以用于计算，而这种化简往往涉及到等式的运用。
在初中数学中，解题时如果能够利用等式化简，将会事半功倍。
比如，下面这个问题：“如果$2x+y=15$，$x-2y=1$，求$x^2+y^2$的值。
”我们可以利用等式将$x^2+y^2$的值转化成$(2x+y)^2+5(x-2y)^2$，而$(2x+y)^2+5(x-2y)^2=5x^2+29y^2-8xy=289$。
二、数形结合数学中数形结合问题比较常见，利用图形中的角度、长度、面积等概念，可以将数学问题变得简单一些。
例如，下面的问题：“如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$的中线，$E$、$F$分别在边$AB$和$AC$上，使得$\angle CEF=\angle BCD$，$\angle BCE=\angle BCF$，若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$。
”我们可以利用数形结合的思想，设$\triangle AED$与$\triangle BEC$的面积分别为$S_1$和$S_2$，则$\triangle ADF$和$\triangle CEF$的面积分别为$\frac{2}{3}S_1$和$\frac{1}{3}S_2$，且$\triangle ABD=\triangle AED+\triangle ADF$，$\triangle BDC=\triangle BEC+\triangle CEF$，于是$\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{3}S_2}{\frac{2}{3}(S_1+S_2)} =\frac{1}{2}$。
转化思想在高中数学教学中的应用
转化思想在高中数学教学中的应用转化思想是指将一个数学问题通过变形、化简等方法，转化成另一个等价的问题来解决。
在高中数学教学中，转化思想的应用极为广泛，可以帮助学生加深对数学概念的理解，提高解题能力。
一、解决大问题在高中数学中，常常出现形式复杂、难以直接解决的问题。
此时，利用转化思想，可以将一个大问题拆解成若干个小问题来解决。
例如，高中数学中有不少涉及极限的问题，其中许多问题看似复杂，但实际上可以通过拆项、分子有理化、通分等方法进行转化，然后再逐一解决。
二、建立联系在高中数学中，不同的知识点之间有时存在联系。
利用转化思想，可以建立不同知识点之间的联系，形成一种知识体系。
例如，对于平面几何和立体几何而言，这两者之间其实存在许多相似之处。
因此，教师可以通过对几何图形进行转化，使学生在不同的几何学习中能够建立联系，更加深入地理解几何知识。
三、加深理解在高中数学中，学生有时会因为缺少对某个概念的深入理解而难以解决问题。
此时，可以通过转化处理，使学生在“变化”的过程中加深对概念的理解。
例如，在学习函数时，许多学生会被符号和变量所困扰。
此时，可以通过将函数的变量换成实际数字，再通过不同数值的变化来探究函数图像的性质，从而加深对函数的理解。
四、增强趣味性数学知识对于大部分学生而言，往往有一定的抵触情绪。
而在高中数学教学中，通过转化思想，可以增强数学知识的趣味性，让学生在不知不觉中掌握数学知识。
例如，在学习三角函数时，可以将三角函数的知识与音乐、图像等进行联系，设置趣味性的学习任务，让学生在带着好奇心的情绪下学习，从而提高学习质量。
总之，转化思想在高中数学教学中的应用非常广泛，不仅有助于解决难题，还能够加深对数学概念的理解，建立知识之间的联系，增强趣味性，是高中数学教学中一种重要的教学策略。
转化的思想方法在小学数学课堂中的有效应用
转化的思想方法在小学数学课堂中的有效应用数学是一门抽象而又具体的学科，对于小学生来说，数学课可能是他们最头疼的一节课。
要想让小学生在数学学习中取得更好的成绩，教师需要不断探索有效的教学方法。
转化的思想方法，即通过转化问题的方式来帮助学生理解和解决数学问题，是一种值得在小学数学课堂中应用的方法。
一、转化的思想方法的基本概念转化的思想方法是指在解决问题时，通过转化问题的方式来帮助学生理解和解决数学问题。
转化的思想方法包括数学模型的构建、数学知识的运用以及问题的转化和解决等步骤。
通过这种方法，学生可以更加直观地理解数学知识，提高解决问题的能力。
二、转化的思想方法在小学数学课堂中的有效应用1. 引导学生构建数学模型在小学数学课堂中，教师可以通过引导学生构建数学模型的方式，来帮助他们理解和解决数学问题。
在解决实际问题时，教师可以通过引导学生将问题抽象成数学模型，然后再对模型进行分析和求解。
通过这种方式，学生可以更加直观地理解问题的本质，从而更好地解决问题。
三、转化的思想方法在小学数学课堂中的意义和价值1. 帮助学生理解数学知识通过转化的思想方法，学生可以更加直观地理解数学知识，从而更好地掌握和运用数学知识。
这有助于提高学生的数学学习兴趣，激发他们对数学的好奇心和探索欲望。
2. 培养学生解决问题的能力通过转化的思想方法，学生可以更加灵活地运用数学知识，从而更好地解决问题。
这有助于培养学生的解决问题的能力，提高他们的问题解决能力和创新意识。
四、小学数学课堂中转化的思想方法的应用策略1. 注重问题的实际意义在小学数学课堂中应用转化的思想方法时，教师应该注重问题的实际意义，引导学生将数学知识与实际问题相结合，从而更好地理解和应用数学知识。
2. 引导学生积极参与在小学数学课堂中应用转化的思想方法时，教师应该引导学生积极参与，鼓励他们根据自己的理解和体会来转化和解决问题，从而更好地培养他们的数学思维和解决问题的能力。
巧妙转化,化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用探究
巧妙转化,化繁为简——转化思想在初中数学解题教学中的应用探究将一种形式转化为另一种形式，将复杂的数学题转化为简单的数学题是初中数学解题教学中一种重要的转化思想。
老师在教学过程中要在保证学生学习基础的前提下对他们进行转化思维的培养，提高他们相关的能力。
转化思想作为一种基本的数学思想，已经得到了越来越多的老师重视，对于大多数的学生来说，学习数学时会遇到很多难题，不会正确的攻克难题只会让学生们觉得数学太难，渐渐失去了学习的兴趣。
但是如果学生们能掌握化繁为简的转化思想，难题就很容易被解决了，才能够让学生们在喜爱上数学的同时真正理解数学的内涵，更好地激发学生的学习热情和积极性。
1.转化思想的重要性数学解题中有四大思想，是人们在研究数学中总结出对于数理知识的本质认识，每一个思想都是解题的重要思想，其中就包括转化思想。
转化思想可以让人们越过表面看本质，对数学知识有一个更加清晰的认识。
数学解题就像魔术一样，魔术表演往往让人看得眼花缭乱，但是揭秘真相的时候突然发现原来这么简单，数学解题也同样如此，只要越过表面看实质就会发现数学原来很简单。
转化思想从小学就开始学习了，在学好数学的过程中发挥着重要的作用。
有时候转化思想能从数学课堂上学到，在数学解题的过程中，会出现很多学生们从来没有见过的新题型，那么把这些题转化为他们学过的熟悉的类型，也就使题目变得简单了。
数学题有成千上万，在数学解题中数学题总是变化的，但是初中学生们的知识掌握量却是有限的，所以要具备转化思想，将那些超出知识范围的转化为已知的。
2.转化思想在初中数学中的类型2.1 化复杂为简单。
当学生们从小学步入初中时，遇到的关于数学应用性的问题会越来越多，这个时候学生是否有转化思想把复杂简单化的能力就特别明显，具备这些能力的学生们学习成绩就相对较好，那些成绩不太好的学生就不能理解题目。
如果学生们能够在复杂的题型中找到简单的突破口，那么问题就迎刃而解了。
当面对综合性题型的时候，学生们要学会将多个知识点逐一排列成简单的、熟悉的知识点，这样才能将复杂的题目转化为简单的题目。
用转化的数学思想解数学题
浅谈数学中的一种常用解题策略——转化湖南省娄底第一中学朱宋德“转化”是数学中最常用最基本的思维方法之一．“转化”就是在分析解决问题时．把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，把复杂隐晦的转化为简单明显的．初中数学中的转化方法多种多样．本文通过举例加以说明，供大家参考．1．高次(多元)向低次(一元)转化∴(x-4)2=3即x2-8x+13=0∴x2-8x+15＝(x2-8x+13)+2=2由分式的除法，得＝x2+2x-1+19-10x+1992=(x2-8x+13)+1997=19972．特殊与一般的互相转化从特殊(一般)到一般(特殊)的思维方法是数学和其它科学领域中进行探索、发现真理知识的重要途径．例2圆周角定理圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．略证分三种情形综上所述不论哪种情形，圆周角都等于它所对同弧的圆心角之半．由于圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以得出圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．这是由特殊到一般的转化．例3已知x+y+z=0．求证x3+y3+z3=3xyz．证明∵x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)以x+y+z=0代入上式右边，得x3+y3+z3-3xyz=0∴x3+y3+z3=3xyz．这是由一般到特殊的转化．3．正面向反面转化例4若三个方程x2+4ax-4a+3=0．x2+(a-1)x+ a2=0，x2+2ax-2a=0．至少有一个方程有实数解，试求实数a的范围．分析条件“至少有一个方程有实解”的情况十分复杂，如一一论及，势必造成运算过程繁杂，且易于出错．但考虑题目之逆“三个方程全无实根”使问题变得单纯、明白．由此推断有是：当a≤-3／2或a≥-1时，三个方程至少有一个方程有实数根．(解答略) 4．隐含向明朗转化例5计算3(22+1)(24+1)…(264+1)+1．分析此题初看起来似乎难于动笔，但只要认真观察一下题型结构，较快发掘一个隐含条件，3=22-1，再利用平方差公式可解决问题．解原式=(22-1)(22+1)(24+1)…(264+1)+1=(24-1)(24+1)…(264+1)+1……=2128-1+1=21285．数与形的相互转化例6△ABC的三边为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边的长．分析这道题的常规解法是三角方法(初中学生未学)，只能把题目构造特殊的三角形来处理．根据已知条件，构造如图4，设∠CAB=2∠C，对应的三边分别为x+1，x，x-1，延长CA至D使AD=AB，连结BD，可证明△ADB ∽△BDC，因此有得x=5，∴三边为4、5、6．解(略)6．综合向单一的转化综合向单一转化，是解综合题的常用思路方法之一．例7如图5，⊙A和⊙B外切于点P，CD为两圆的外公切线，C、D分别为切点．PT为内公切线，PT与CD相交于点T．延长CP、DP分别与两圆相交于点E、F．又⊙A半径为9，⊙B半径是4．(1)求PT的长．(2)求sinA的值．(3)证明PC·PD=PE·PF．分析这个综合题，可以转化为三个单一的基本题：(1)在△PCD中，若TC=PT=TD，点T在CD上，CD=12，求PT的长．(2)在直角梯形DCAB中，若AC=9，BD=4，AB=13，求sinA的值．(3)若FC∥ED，CE与FD相交于点P，求证PC·PD=PE·PF．解(1)过B点作BG⊥AC，垂足为G．依题意可知四边形DCGB是矩形，△BAG是直角三角形，因此，由勾股定理可算得BG=CD=12，又由切线长定理可知TC=PT=TD，(2)在Rt△AGB中，BG=12，AB=13，(3)证明∵TD=TP=TC∴∠CPD=90°连结AF、BE，(或连结CF、DE)∵∠CPF=∠DPE=90°∴CF、DE分别为两圆直径．∴DE∥CF从而PC·PD=PE·PF。
巧用转化思想解数学题
巧用转化思想解数学题四川省广元市宝轮中学 唐明友一些数学问题，如果采用常规解法比较繁杂，或者“此路不通”，不妨换个角度思考，努力寻找解决问题的突破口，有时就因为转换了思维角度，巧用转化思想，使你走向了顺利解决问题的“康庄大道”。
请同学们欣赏几例。
一.运动向静止转化角度例1.小强跟随爸爸去清江河游泳时忽发奇想，他要测水流速度，爸爸高兴地说愿意协助。
方法是这样的：他在A 处放下一个空矿泉水瓶，让它向下游漂流，小强向上游泳10分钟，立即转身原路去追赶矿泉水瓶，结果在距A 处下游0.5千米的B 处追上。
据此小强心算便得出了水流速度，你知道小强是怎么算的吗？解法1：设河水的流速为x 时千米，小强游泳的速度为y 时千米，则小强向上游泳的距离是6010（y －x ）千米，转身向下游泳去追矿泉水瓶所走的路程是 （x 5.0－6010）（x ＋y ）千米。
由题意列出方程： 6010（y －x ）＋0.5=（x 5.0－6010）（x ＋y ） 去分母得 x(y －x)＋3x=(3－x)(x ＋y ）整理得 2xy=3y∵y ≠0,∴x=1.5,即河水的流速是1.5 时千米。
解法2：假定小强在游泳池里游泳，水不会流动，向上游泳10分钟再转身回追矿泉水瓶，矿泉水瓶应在原处，这样小强来回共游了2×6010=31小时。
由于矿泉水瓶在顺水漂流，它向下漂流的0.5千米是在这31小时内完成的。
仍设河水的流速为x 时千米，则31x=0.5，∴x=1.5(时千米) 点评：由于小强很快得到了答案，显然不是按解法1，而是转换了思维角度，按解法2将运动的河水看成静止的，即物理学上将河流作为参照物，相当于河水不流动只是人在运动，这样，可使问题一下子简明起来，这是小强活学活用数理知识的典型例子。
二.局部向整体转化角度例2.已知有三个数，其中任意两个数相加所得的和分别是39、44、47，求这三个数。
解法1：设这三个数分别是x 、y 、z ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+474439x z z y y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===261821z y x ，因此，这三个数分别是21、18、26.解法2：设这三个数的和是a ，根据题意得：2a=39＋44＋47，解这个方程得：a=65，所以这三个数分别是：65－39=26，,65－44=21,65－47=18.点评：解法1是直接设元列出三元一次方程组解，解法2运用整体思想列出一元一次方程解，显然要简单得多。
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运用转化思想解决数学问题
转化思想和构造思想是数学中两大基本的数学思想，本文就是想利用转化思想最重要也是最有效的思想之一转化为已能解决的问题来解竞赛题。
本文以竞赛题目中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等问题为着手点，这些都是属于初等数论范畴，而且这些知识几乎在每年竞赛题中都会出现，包括高中数学联赛、冬令营、中国国家队选拔考试，乃至在IMO考试中都是必考的内容，所以大家应该对此给予重视。
对于数论的学习，不能操之过急，应该首先把数论的基础知识和性质认真的系统的学习一遍，对竞赛中出现相应的题目进行反思，这一点是很重要的。
我们一同来体会一下最近几年全国和各省市初中竞赛题目中常见的问题，如何把问题转化。
例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。
分析我们不妨先求出三个互不相等的合数之和，即
4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。
解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。
当m18时，若，则m9
即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之
和，故m=17
此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。
例2 求满足等式的正整数x、y。
分析此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2019，因为2019是质数，这也是一个信息。
解：观察式子特点不难得出
故所求的正整数对（x,y）=（1，2019），（2019，1）
此问题考察的重点在于因式分解。
例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。
分析我们采取分析法，因为是一个完全平方数，所以设，再去推导n和a的关系，使问题不断得到解决。
解：由已知是一个完全平方数，所以我们就设，显然不是3的倍数，于是，从而
即，所以k的最小值是3
此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。
例4 设为完全平方数，且N不超过2392。
求满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有________对。
分析此题与例3有相似之处，但是要难一些。
首先用到了
性质8，然后再结合不等式解决此问题。
解：，且23为素数，N为不超过2392的完全平方数
所以共有（1，19），（2，15），（3，11），（4，7），（5，3）以及（1，88），（2，84），，（22，4）
故满足条件的（x,y）共有5+22=27对
此问题用到了数论里常用的方法不等式法。
把一个整数问题转化为不等式问题，就会求出上（下）界，从而限定出所求数的范围，同时又是整数，故而使问题得以解决。
例5 已知方程的根都是整数，求整数n的值。
分析已知方程的根是整数，所以先把根求出来，所以根号下的数就应该是完全平方数，故此问题得以解决。
解：由求根公式解得
因为方程的根都是整数
所以是完全平方数
设，则有
所以，分别解得整数n的值为10，0，－18，－8
此题的难点在于知道是完全平方数之后，如何分解它，实际上是在解一个不定方程问题。
例6 设四位数是一个完全平方数，且，求这个四位数。
解：设
由于67是质数，故与中至少有一个是67的倍数
此问题值得注意的是我们在设未知数的时候，采取整体代
换，即把看成整体，从而使问题简化。
例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
分析此类型问题在考试中出现多次，它的方法基本上是设出之后做差，然后运用平方差公式分解，最后去解不定方程。
解：设此自然数为x，依题意可得
但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是
解之，得n=45。
代入(2)得。
故所求的自然数是1981。
此问题是比较典型的，两个式子三个未知数，感觉没有办法解决，但是一做差就是柳岸花明又一村，所以在一些问题中我们经常把几个式子做差或者做和，来发现其中的奥妙。
在解决数学问题时，我们要以不变（知识）去应万变（问法），不断去探索，有时候我们可以用特值去验证结论，这样就会有一个大致的方向，再通过不断的把问题转化，从而解决数学问题。
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