2020上海市初三数学中考一模各区试卷第18题解析汇总
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
上海中考数学第18题分析(旋转类)
上海中考数学第18题分析（二）——旋转类前言：初三数学第18题对平移、翻折、旋转三大图形变换考查非常频繁，而旋转以其“变幻莫测”成为学生学习的较难知识点只要，作为一线的数学教师常常困惑于如何找到探究此类问题的一般解法，进而引导学生从旋转的“变化”中理出一条“不变”的分析规律，成为学生解题的重要经验；今天我们就来探究有关旋转类的解题策略及总结归纳。
一、对称思想和旋转思想数学思想是解数学题的精髓和重要的指导方法，在平移和旋转中的应用也相当的广泛，一般可以归结为两种思想——对称的思想和旋转的思想，具体的分析如下：1. 对称的思想：在平移、旋转、对称这些概念中，对称这一概念非常重要.它包括轴对称、旋转对称、中心对称.对称是一种种要的思想方法，在解题的应用非常广泛.2. 旋转的思想：旋转也是图形的一种基本变换，通过图形旋转变换，从而将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，使问题获得简单的解决，它是一种要的解题方法。
二、旋转的概念1. 旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．2. 旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角。
三、图形旋转常见题型级解题策略（1）图形旋转之“旋转边长”题型解题方法与策略：1.寻找点，即旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论。
；3.寻找旋转相等的线段或角度；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；6.准确画出旋转后的图形是解题的关键。
（2）图形旋转之“旋转角度”题型解题方法与策略：1.寻找点，即旋转中心；2.寻找旋转的方向，“逆时针”和“顺时针”，如果没有说明则分类讨论。
；3.寻找旋转旋转角、相等的线段、相等的角度；4.利用旋转并结合题目中的特殊条件解题；5.部分题目注意分类讨论；6.准确画出旋转后的图形是解题的关键。
上海市长宁区、金山区2020年中考数学一模试卷(解析版)
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．3．（4分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（）A．如果||＝||，那么＝B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝k（k≠0），那么∥D．如果m＝0或＝，那么m＝0 5．（4分）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内6．（4分）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（﹣2）+3（+）＝．8．（4分）如果＝，那么的值等于．9．（4分）已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．10．（4分）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为米．14．（4分）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．17．（4分）如果直线l把△ABC分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l叫做△ABC的“完美分割线”，已知在△ABC中，AB＝AC，△ABC的一条“完美分割线”为直线l，且直线l平行于BC，若AB＝2，则BC的长等于．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：20．（10分）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF 与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝，＝．（用向量、表示）21．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝B．y＝（x+3）2﹣x2C．y＝D．y＝x（x﹣1）【分析】由二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），对选项中的解析式进行判断即可．【解答】解：二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，故选：D．【点评】本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的形式是解题的关键．2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作AB⊥x轴，构造直角三角形，由坐标得出OB＝2，AB＝3，再根据余切的意义求出结果即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB＝2，AB＝3，在Rt△OAB中，cot∠AOB＝cotα＝＝，故选：B．【点评】考查直角三角形的边角关系，将坐标转化为线段的长是解答的前提，利用余切的意义是解决问题的关键．3．（4分）将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+3）2﹣3C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣5【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：∵将抛物线y＝（x+1）2﹣3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y＝（x+1﹣2）2﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．4．（4分）下列命题正确的是（）A．如果||＝||，那么＝B．如果、都是单位向量，那么＝C．如果＝k（k≠0），那么∥D．如果m＝0或＝，那么m＝0【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【解答】解：A．向量是既有大小又有方向，||＝||表示有向线段的长度，＝表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；C.＝k（k≠0）⇔∥，所以C选项正确；D．如果m＝0或＝，那么m＝0，不正确．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握向量的定义和要素．5．（4分）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝＝＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．6．（4分）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC．如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF 与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【解答】解：如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，＝，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（4分）如果＝，那么的值等于3．【分析】直接利用已知得出x，y之间的关系进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴3x﹣3y＝2x，故x＝3y∴＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．9．（4分）已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB•AP，则的值等于．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（BP＞AP），且使BP是AB和AP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．【解答】解：根据黄金分割定义可知：∵BP2＝AB•AP，设AB为1，则AP＝1﹣BP，∴BP2＝1•（1﹣BP）BP2+BP﹣1＝0，解得BP＝（舍去）∴BP＝．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．10．（4分）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是a＞﹣1．【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【解答】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．故答案为a＞﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是下降．（填“上升”或“下降”）【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y 随x的增加而减小．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，故答案为下降．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．12．（4分）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线x ＝﹣．【分析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x＝＝﹣对称，即可求抛物线的对称轴．【解答】解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，∴A、B关于x＝＝﹣对称，∴抛物线的对称轴x＝﹣，故答案为x＝﹣．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为13米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB＝＝＝13，故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14．（4分）如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于6．【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题．【解答】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝＝5，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴＝，∴＝，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝6，故答案为6．【点评】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝，则BG的长是．【分析】延长BG交AC于E．易知AH＝2，根据三角函数计算AB的长，由勾股定理可得BH的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论．【解答】解：延长BG交AC于H．∵G是△ABC的重心，∴AH＝AC＝＝2，∵∠BAC＝90°，tan∠ABG＝，∴，∴AB＝6，由勾股定理得：BH＝＝＝2，∵∵G是△ABC的重心，∴BG＝2GH，∴BG＝＝；故答案为：．【点评】本题考查三角函数的定义，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长．【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中， 其三边分别为8，15，17， 由于172＝152+82，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形， 斜边上的高＝＝， 故公共弦长＝2×＝，故答案为．【点评】本题考查相交两圆的性质，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）如果直线l 把△ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做△ABC 的“完美分割线”，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若AB ＝2，则BC 的长等于 4﹣4 ．【分析】设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ，设AE ＝AD ＝x ，证△AED ∽△ABC ，可求x 的值，进一步可求出BC 的长． 【解答】解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ， 则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ， ∴＝，∵l ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， ∴＝＝＝，设AE ＝AD ＝x ，则＝，∴x＝，∴BE＝CD＝2﹣，∴BC＝2﹣2（2﹣）＝4﹣4．【点评】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．【分析】如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通过证明△ABP ∽△CBA，可得∠PAB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的长，由相似三角形的性质可求B'D，BD的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵点M是AC中点，∴AM＝，∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，∴AP＝AM＝，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，∵AP2＝AB2+PB2，∴PB＝1，∵＝2＝，且∠ABP＝∠ABC＝90°，∴△ABP∽△CBA，∴∠PAB＝∠C，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE，∵AE2＝AB2+BE2，∴CE2＝4+（4﹣CE）2，∴CE＝AE＝，∴BE＝，∵B'D∥BC，∴△AB'D∽△AEB，∴，∴，∴AD＝，B'D＝，∴BD＝，∴BB'＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE的长是本题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF 与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，＝．（1）求EF的长；（2）设＝，＝，那么＝﹣，＝+．（用向量、表示）【分析】（1）由平行线得出＝＝，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出＝＝，＝＝，即＝，＝，解得EG＝3，GF＝4，即可得出答案；（2）求出＝＝，得出＝+＝﹣，得出＝+＝﹣+＝+，证出FC＝DC，得出＝＝（+）＝+．【解答】解：（1）∵＝．∴＝，＝，∵AD∥EF∥BC，∴＝＝，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，∴＝＝，＝＝，即＝，＝，解得：EG＝3，GF＝4，∴EF＝EG+GF＝7；（2）∵AD＝5，BC＝10，∴AD＝BC，∵AD∥EF∥BC，∴＝＝，∴＝+＝﹣，∴＝+＝﹣+＝+，∵＝＝，∴＝，∴FC＝DC，∴＝＝（+）＝+；故答案为：﹣，+．【点评】考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等知识；解答（2）题时，求出＝＝是解题的关键．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且＝，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大小；（2）若点E在⊙O上，BE∥AO，求BE的长．【分析】（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．【解答】解：（1）如图1，连接OB，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°﹣∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝6﹣r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，∴r2＝（2）2+（6﹣r）2，解得，r＝4，∴cos∠OAD＝＝＝，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如图2，连接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等边三角形，∴BE＝r＝4．【点评】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝＝＝，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴＝，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，∴＝＝，∴CD•CG＝FC•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠PAB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝x2+mx+n，得，解得，m＝﹣，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC＝＝5，BC＝＝，AB＝＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠PAB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k＝﹣，∴y AB'＝﹣x+5，联立，解得，x1＝，x2＝0（舍去），则F'（，﹣），将B（6，1），B'（4，﹣1）代入直线y＝mx+n，得，，解得，k＝1，b＝﹣5，∴y BB'＝x﹣5，由题意知，k FF'＝K BB'，∴设y FF'＝x+b，将点F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，∴y FF'＝x﹣，联立，解得，x＝，y＝，∴F（，），则FF'＝＝．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．【分析】（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝求解即可．（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ 于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝PC构建方程求解．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝＝＝．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ＝6﹣x，QN＝PM＝x，AM＝x，KQ＝BQ＝，BK＝BQ＝，•MK∴MK＝AB﹣AM﹣BK＝，∵QN＜QK，∴x＜，∴x＜，∴y＝PM•MK＝（0≤x＜）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH ⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝PC，∵四边形EGHN是矩形，∴NH＝EG＝NQ＝PM＝x，PC＝8﹣x，∴x＝•（8﹣x），解得x＝．②如图3﹣2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8﹣x＝•x，解得x＝，综上所述，满足条件x的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2024年上海中考数学模拟练习卷十八及参考答案
上海市2024年中考数学模拟练习卷18（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。
写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）1是同类二次根式的是（）A B CD2．下列方程中，二元一次方程的是（）A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+=3．已知三条线段长分别为2cm 、4cm 、a cm ，若这三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形，那么a 的取值可以是()A ．7B ．4C ．2D ．14．把抛物线22y x =-向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．()2211y x =-+＋B ．()2211y x =-+-C ．()2211y x =---D ．()2211y x =--+5．如图，小宁连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息正确的是（）A ．这两周体温的众数为36.6℃B ．第一周体温的中位数为37.1℃C ．第二周平均体温高于第一周平均体温D ．第一周的体温比第二周的体温更加平稳6．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 种AB 的比例中项．那么下列式正确的个数有（）①512PB AP -=②512AP PB +=③512PB AB -=④512AP AB -=A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）7．若代数式13x -有意义，则实数x 的取值范围是．8．已知：353x y x y +=-，则xy=．9．若22203a b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则a b -=．10．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．11．已知点()11,A x y 、点()22,B x y 在双曲线3y x=上，如果120x x <<，那么12______y y ．12．在实数范围内分解因式：2232x xy y --=．13．如果从方程①10x +=，②2210x x --=，③11x x+=10x +，⑤410x -=13x x +=中任意选取一个方程，那么取到的方程是无理方程的概率是．14．如果乘坐出租车所付款金额y （元）与乘坐距离x （千米）之间的函数图像由线段AB 、线段BC 和射线CD 组成（如图所示），那么乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为元．15．如图，已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE BC ∥，联结BE ，如果AC a = ，BC b=，当23AD AB =时，那么BE = ．（用含a 、b的式子表示）16．如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 相交于点M ，如果AB ＝CD ＝AMC ＝120°，那么OM 的长为．17．如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在Rt ABC中，90,C AC BC ∠=︒>，若Rt ABC 是“匀称三角形”，那么::BC AC AB =．18．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点M 是边CD 的中点，将BCM 沿直线BM 翻折，使得点C 落在同一平面内的点E 处，联结AE 并延长交射线BM 于点F ，那么EF 的长为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．计算：202321(1)|1()2--+-．20．解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②．21．如图，已知ABC 中，10AB AC ==，12BC =，D 是AC 的中点，DE BC ⊥于点E ，ED 与BA 的延长线交于点F ．(1)求ABC ∠的正切值；(2)求DFDE的值．22．某文具店有一种练习簿出售，每本的成本价为2元，在销售的过程中价格有些调整，按原来的价格每本8.25元，卖出36本；经过两次涨价，按第二次涨价后的价格卖出了25本．发现按原价格和第二次涨价后的价格销售，分别获得的销售利润恰好相等．（1）求第二次涨价后每本练习簿的价格；（2）在两次涨价过程中，假设每本练习簿平均获得利润的增长率完全相同，求这个增长率．（注：利润增长率＝()-后一次的利润前一次的利润前一次利润×100%）23．已知：如图，AB 、AC 是O 的两条弦，AB AC =，点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，且AM CN =，AM AN <，联结OM 、ON ．(1)求证：OM ON =；(2)当BAC ∠为锐角时，如果2AO AM AC =⋅，求证：四边形AMON 为等腰梯形．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y mx mx =-+的图像与x 轴交于A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且AB ＝4．(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；(2)点E 是二次函数图像上一个动点，作直线EF x ∥轴交抛物线于点F （点E 在点F 的左侧），点D 关于直线EF 的对称点为G ，如果四边形DEGF 是正方形，求点E 的坐标；(3)若射线AC 与射线BD 相交于点H ，求∠AHB 的大小．25．已知：如图，在菱形ABCD 中，2AC =，=60B ∠︒．点E 为边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE x =，EG y =．（1）求证：AEF △是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO =时，求x 的值．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）123456BCBDAC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.）7．3x ≠8．79．49-10．611．＞12．3322x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．1314．2615．13b a-16172:18．5三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）19．解：202321(1)|1()2--+---=)1114---+-=1114--=7-20．2228560x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②由①可得，82x y =-③将③代入②得，()()228258260y y y y --⨯--=整理得，2980y y -+=()()180y y --=10y -=或80y -=解得11y =，28y =将11y =代入③得，1826x y =-=；将28y =代入③得，2828x y =-=-．∴方程组的解为1161x y =⎧⎨=⎩或2288x y =-⎧⎨=⎩．21．（1）解：过点A 作AH BC ⊥于点H， 10AB AC ==，∴ABC 是等腰三角形，又 AH BC ⊥，∴162BH CH BC ===．在Rt ABH △中，8AH =，∴84tan 63AH ABC BH ∠===．（2）解： AH BC ⊥，FE BC ⊥，∴AH FE ∥，∴AD HECD EC=，又 D 是AC 的中点，∴AD CD =，∴HE CE =，∴DE 是ACH 的中位线，∴142DE AH ==，132CE HE CH ===．∴9BE BH HE =+=．B B ∠=∠，90BHA BEF ∠=∠=︒，∴BHA BEF ∽．∴BH AH BE FE =，即689FE=，解得12FE =．∴8DF FE DE =-=．∴824DF DE ==．22．解：（1）设第二次涨价后每本练习簿的价格为x 元，根据题意得：（8.25﹣2）×36＝（x ﹣2）×25，解得：x ＝11．答：第二次涨价后每本练习簿的价格为11元．（2）设每本练习簿平均获得利润的增长率为y ，根据题意得：（8.25﹣2）（1+y ）2＝11﹣2，解得：y 1＝0.2＝20%，y 2＝﹣2.2（舍去）．答：每本练习簿平均获得利润的增长率为20%．23．（1）证明：过点O 作OE AB ⊥于点E ，OF AC ⊥于点F ，如图，∵AB AC =，OE AB ⊥，OF AC ⊥，∴OE OF =，AE CF AB ==．∵AM CN =，∴AE AM FC CN -=-，即：EM FN =，在OEM △和OFN △中90EM FN MEO NFO OE OF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS OEM OFN ≅V V ，∴OM ON =；（2）∵2AO AM AC =⋅，∴AO ACAM AO=，∵OAB OAC ∠=∠，∴AOM ACO ，∴AOM ACO ∠=∠，∵OAB OAC OCA ∠=∠=∠，∴=OAB OAC OCA AOM ∠=∠=∠∠，∴AM MO =，∥OM AC ，∴=AM MO ON =，∴四边形AMON 为等腰梯形．24．（1）∵抛物线为223y mx mx =-+的对称轴为直线212mx m-=-=，AB =4，∴A （-1，0），B （3，0），∴把B （3，0）代入223y mx mx =-+得，9m -6m +3=0，解得：m =-1，∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3；∵抛物线为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点D （1，4）；（2）如图1，连接DG 交EF 于点Q ，∵D （1，4），D 与G 关于EF 对称，∴EF 垂直平分DG ，∴DE =EC ，DF =FG ，∵EF //c 轴，DG ⊥x 轴，点E 、F 关于直线DG 对称，∴DE =DF ，线段DG 在抛物线的对称轴上，∴DE =DF =FG =EG ，∴四边形DEGF 是菱形；设E （n ，-n 2+2n +3），∴EQ =1-n ，DQ =4-（-n 2+2n +3）=n 2-2n +1，又∵四边形DEGF 是正方形，∴EQ =DQ ，即2121n n n -=-+，解得n =0或n =1（舍去），∴．E （0，3）；（3）如图2，连接AC ，过点H 作HM ⊥x 轴于M ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3，∴C （0，3），∵A （-1，0），B （3，0），∴AO =1，AB =4，OC =3，OB =3，∴22221310AC AO OC =+=+=∴OB =OC ，∴∠ABC =45°，设直线AC 的解析式为y =rx +3（r ≠0），则0=-r +3，∴r =3，∴直线AC 的解析式为y =3x +3，设直线BD 的解析式为y =ka +b （k ≠0），则304k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得26k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 的解析式为y =-2x +6，解方程组2633y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得35245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴324,55H ⎛⎫⎪⎝⎭，∴324,55OM MH ==，∴38155AM AO OM =+=+=，∴5AH ===，∴54AH AB ==，∵AB AC =，∴AHABAB AC =，又∵BAC HAB ∠=∠，∴~BAC HAB ，∴AHB ABC ∠=∠，∴45AHB ︒∠=．25．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠D=60°，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，∴AB=AC ，∠B=∠ACF=60°，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF ，∴△BAE ≌△CAF （ASA ），∴AE=AF ，又∠EAF=60°，∴△AEF 为等边三角形．（2）解：过点E 作EH ⊥AC 于点H ，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∵∠ECH=60°，∴CH=2x ，EH=2x ，∵∠FCM=60°，由（1）知，CF=BE=2-x ，∴CM=12（2-x ），FM=2（2-x ），∴HM=CH-CM=2x -12（2-x ）=x-1．∵∠EHG=∠FMG=90°，∠EGH=∠FGM ，∴△EGH ∽△FGM ，∴2GM FM x HG EH x -==，∴2HM HG xHG x --=，∴12x HGxHG x ---=，∴HG=(1)2x x -．在Rt △EHG 中，EG 2=EH 2+HG 2，∴y 2=）2+[(1)2x x -]2，∴y 2=432244x x x -+，∴y=2（舍去负值），故y 关于x 的解析式为（0＜x ＜2）．（3）解：如图，∵O 为AC 的中点，∴CO=12AC=1．∵EO=EG ，EH ⊥OC ，∴OH=GH ，∠EOG=∠EGO ，∴∠CGF=∠EOG ．∵∠ECG=60°，EC=x ，∴CH=2x，∴OH=GH=OC-CH=1-2x，∴OG=2OH=2-x ，∴CG=OC-OG=x-1．∵∠CGF=∠EOC ，∠ECO=∠GCF=60°，∴△COE ∽△CGF ，∴COCECG CF =，∴112xx x =--，整理得x 2=2，∴（舍去负值），经检验x 是原方程的解．故x ．。
2020年上海徐汇初三数学一模试卷及答案
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2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2020。
1(时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题,共25题;答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是322-+-=x x y （A ）该函数图像有最高点； （B ）该函数图像有最低点；)3,0(-)3,0(-（C ）该函数图像在轴的下方； （D)该函数图像在对称轴左侧是下降的．x 2．如图,，，，,那么EF CD AB ////2=AC 5=AE 5.1=BD 下列结论正确的是(A); （B ）;415=DF 415=EF （C); （D ）415=CD 415=BF ．3．已知点是线段上的点，且,那么的值是P AB AB BP AP ⋅=2AB AP :（A)； （B ）； (C)； （D ）．215-253-215+253+4．在中，，，，那么下列结论正确的是ABC Rt ∆︒=∠90B 3=BC 5=AC （A);（B ）;（C ）； （D ）．43sin =A 54cos =A 45cot =A 34tan =A 5．跳伞运动员小李在米的空中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时小李离200A ︒60着落点的距离是A AB C D EF（第2题图）（A)米; （B)米； （C ）米； (D)米．20040033200334006．下列命题中，假命题是(A)凡有内角为的直角三角形都相似；︒30（B ）凡有内角为的等腰三角形都相似； ︒45(C ）凡有内角为的直角三角形都相似； ︒60(D)凡有内角为的等腰三角形都相似．︒90二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：__▲___．=︒⋅︒-︒45tan 30cot 60sin 28．已知线段厘米、厘米,那么线段、的比例中项__▲___厘米． 4=a 9=c a c =b 9．如果两个相似三角形的对应高比是，那么它们的相似比是__▲___．2:310．四边形和四边形是相似图形，点、、、分别与点、、ABCD D C B A ''''A B C D A 'B '、对应，已知，，，那么的长是__▲___．C 'D '3=BC 4.2=CD 2=''C B D C ''11．已知二次函数，如果，那么随的增大而__▲___．2)2(2+=x y 2->x y x 12．同一时刻,高为米的学校旗杆的影长为米，一座铁塔的影长为米，那么此铁塔12921的高是__▲___米．13．一山坡的坡度，小刚从山坡脚下点处上坡走了米到达点处，那么3:1=i P 1050N 他上升的高度是_▲_米．14．在中，点分别在边上，，，，，ABC ∆E D 、AC AB 、6=AB 4=AC 5=BC 2=AD ，那么的长是__▲___．3=AE DE 15．如图,在中，,，,正方形内接于，ABC Rt ∆︒=∠90C 2=AC 1=BC DEFG ABC ∆点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长是F G 、BC AC 、E D 、AB DEFG __▲___．16． 如图，在中,点在边上,，，，，ABC ∆D BC AC AD ⊥C BAD ∠=∠2=BD 6=CD那么的值是__▲___．C tan 17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，是“中垂三角ABC ∆形”,其中的中线互相垂直于点,如果，，那么ABC ∆CE BD 、G 9=BD 12=CE 两点间的距离是__▲___．E D 、18．如图,在矩形中，，,将矩形绕着点顺时针旋转后ABCD 3=AB 4=AD ABCD B 得到矩形，点的对应点在对角线上，点D C B A '''A A 'AC 、分别与点、C D C '对D '应，与边交于点，那D A ''BCE 么的长是__▲___．BE 三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分)19．（本题满分10分）已知：．5:3:2::=c b a （1）求代数式的值；cb a cb a -++-323 （2)如果,求、、的值．243=+-c b a a b c 20．(本题满分10分）已知二次函数自变量的值和它对应的函数值如下表所示:)0(2≠++=a c bx ax y x y x (01)234…y…31-0m…（第18题图）A BCD （第16题图）ABCD（第15题图）AB CDE F G（第17题图）ABCDE G（1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和的值；m （2）设该二次函数图像与轴的左交点为,它的顶点为，该图像上点的横坐标为，求x B A C 4的面积．ABC ∆21．(本题满分10分)如图，一艘游轮在离开码头处后，沿南偏西方向行驶到达处，此时从处发现灯塔A ︒60B B 在游轮的东北方向，已知灯塔在码头的正西方向米处，求此时游轮与灯塔的距离C C A 200C （精确到米）．1参考数据：，，414.12≈732.13≈.26≈22．（本题满分10分）如图,在中，是的角平分线,，,．ABC ∆BE AD 、ABC ∆CE BE =2=AB 3=AC （1)设,=,求向量（用向量、表示）；AB a = BC b BE a b（2）将沿直线翻折后，点与边上的点重合，联结,求的值．ABC ∆AD B AC F DF CEB CDF S S ∆∆:23．（本题满分12分）如图,在中，点、、、分别在边、、上，，，ACB ∆D E F G AB AC BC AD AB 3=AE CE 2=，与交于点．CG FG BF ==DG EF H A DE ABCDE（第22题图）（1）求证： ； AB HG AC FH ⋅=⋅（2）联结、，求证：．DF EG GEF FDG A ∠+∠=∠24．（本题满分12分）如图,将抛物线平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正4342+-=x y C x 半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是．B BC 4tan =B x AD （1）求点的坐标；D （2）设点在新抛物线上,联结、，如果平分，求点的坐标；E AC DC CE DCA ∠E （3）在(2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当4342+-=x y x C F DEF∆和相似时,请直接写出平移后所得抛物线的表达式．ABC ∆25．（本题满分14分）如图，在中，，,点是边上的动点（点不与点、重ABC ∆5==AC AB 6=BC D AB D A B 合），点在边的延长线上，，,与边交于点．G AB A CDE ∠=∠ABC GBE ∠=∠DE BC F4342+x(1）求的值;A cos （2)当时,求的长；ACD A ∠=∠2AD （3)点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化?如果不变化，请求D AB BE AD :的值；BE AD :如果变化,请说明理由．2019学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：(本大题共6题，每题4分,满分24分)1．C; 2．D ； 3．A ； 4．B; 5．D ； 6．B ．二．填空题:（本大题共12题，满分48分）7．； 8．; 9．； 10．； 11．增大； 12．；062:3582813．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．．5025752215825三、(本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19。
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷及答案解析
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y =22B ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．y =√x 2+2x −1D ．y ＝x （x ﹣1） 2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y的夹角α的余切值是（ ）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√13133．（4分）将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝（x +3）2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣1D ．y ＝（x +1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（ ）A ．如果|a →|＝|b →|，那么a →=b →B ．如果a →、b →都是单位向量，那么a →=b →C ．如果a →=k b →（k ≠0），那么a →∥b →D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0 5．（4分）已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A ．⊙C 与直线AB 相交B ．⊙C 与直线AD 相切 C ．点A 在⊙C 上 D ．点D 在⊙C 内6．（4分）如果点D 、E ，F 分别在△ABC 的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（ ）A ．如果EF ∥AB ，那么AF ：AC ＝BD ：ABB ．如果AD ：AB ＝CF ：AC ，那么EF ∥ABC ．如果△EFC ∽△ABC ，那么 EF ∥ABD ．如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE 二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝ ．8．（4分）如果x x−y =32，那么x y的值等于 ． 9．（4分）已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB 的值等于 ．10．（4分）已知抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，则a 的取值范围是 ．11．（4分）抛物线y ＝2x 2﹣1在y 轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线 ．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB 为 米．14．（4分）如图，AC 与BE 交于点D ，∠A ＝∠E ＝90°，若点D 是线段AC 的中点，且AB ＝AC ＝10．则BE 的长等于 ．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 是重心，AC ＝4，tan ∠ABG =13，则BG 的长是 ．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ．。
上海市徐汇区2020届中考数学一模试题有答案精析
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+24．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x ﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==， ==， =+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。
上海中考数学一模各区18、24、25整理试题及答案
18.已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB ＝1５，CD=13,AD =8,∠B 是锐角，∠B 的正弦值为45，那么BC 的长为__＿_＿_＿____2４.如图,抛物线22y ax ax b =-+经过点C （0，32-), 且与x 轴交于点Ａ、点B ,若t ａn ∠ＡCO =23. （1)求此抛物线的解析式;(２）若抛物线的顶点为M ,点Ｐ是线段OB 上一动点 （不与点B 重合),∠MPQ=45°，射线PQ 与线段BM 交于点Q ,当△MPQ 为等腰三角形时,求点P 的坐标．２５．（本题满分14分,其中第(1）小题5分,第(２)小题7分，第(3)小题2分) 如图，在正方形A ＢCD 中，ＡB =2，点P 是边B Ｃ上的任 意一点，Ｅ是ＢC 延长线上一点,联结AP 作ＰF ⊥AP 交∠DC Ｅ的平分线ＣF 上一点F ，联结AF 交直线C Ｄ于点Ｇ． (1) 求证：AP=PF ;(2) 设点P 到点Ｂ的距离为ｘ,线段D Ｇ的长为y ， 试求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (3) 当点Ｐ是线段BC 延长线上一动点,那么（２)式中y 与x 的函数关系式保持不变吗？如改变,试直接写出函数关系式．（第24题）ABCDFGP(第25题)E１8.在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=９0°，3cos5B=,把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到Rt△A'B'C，其中点B'正好落在AB上，A'B'与AC相交于点D,那么B DCD'=.24．（本题满分12分，每小题各4分）已知，二次函数2y=ax+bx的图像经过点(5,0)A-和点B，其中点B在第一象限,且OA=ＯB，cot∠ＢAO=2．（１）求点B的坐标；（2）求二次函数的解析式;(3）过点B作直线BC平行于ｘ轴,直线ＢC与二次函数图像的另一个交点为Ｃ,联结AＣ，如果点P在x轴上，且△ABC和△ＰAB相似，求点P的坐标．第18题图２５.(本题满分14分,其中第（1)小题８分，第(2）小题6分)如图,Rt△ＡＢC中,∠ACB=90°,ＡC＝4,BＣ=3,P是斜边AB上的一个动点(点P与点Ａ、B不重合)，以点P为圆心,P A为半径的⊙P与射线AＣ的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点Ｅ.（１)如图１，若点Ｅ在线段BC的延长线上,设AP=x，CE=y,①求y关于ｘ的函数关系式，并写出ｘ的取值范围;②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长;（2)设线段BE的中点为Q，射线ＰＱ与⊙P相交于点I,若CI=AＰ,求ＡP的长．C B20１4闵行等六区联考18.如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合,我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心,所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△A ＢC 中,AB =6，B Ｃ=7,A Ｃ=5，△A １Ｂ1Ｃ是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形,那么以点Ｃ为转似中心的另一个转似三角形△A 2Ｂ2Ｃ(点A 2、B 2分别与A 、B 对应）的边Ａ2B 2的长为 ▲ ．２4．(本题满分１2分,其中第（1)小题3分,第(２）小题5分，第（３)小题4分）已知在平面直角坐标系xOy 中,二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A (-３,0）和点Ｂ（０,６)．(１)求此二次函数的解析式；(２)将这个二次函数图像向右平移5个单位后的顶点设为C ,直线BC 与ｘ轴相交于点D ，求∠AB Ｄ的正弦值;(３）在第（2)小题的条件下,联结OC ，试探究直线ＡＢ与OC 的位置关系,并说明理由.２5．（本题满分1４分，其中第（１）小题４分,第(2）小题6分,第（3)小题4分)如图,已知在Rt △ＡＢC 中，∠A ＣB =９0°,ＡＢ=１0，34tan =A ,点D 是斜边AB 上的动点，联结CD ，作DE ⊥CD ，交射线C Ｂ于点Ｅ，设ＡD =ｘ.(1）当点D 是边AB 的中点时,求线段DE 的长; （２）当△BED 是等腰三角形时，求x 的值; (3)如果y =DBDE ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A (B 1)B C A 1（第18题图） ACBDE （第25题图）201４长宁18.如图，△AB Ｃ是面积为3的等边三角形，△ADE ∽△ABC ，AB =２AD ，∠B ＡD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AE Ｆ的面积是 .２4.（本题满分12分）如图，在直角坐标平面上，点A 、B 在ｘ轴上(A 点在B 点左侧)，点C 在y 轴正半轴上,若A （-1,０）,ＯB =３O Ａ，且tan ∠CAO =2． （1)求点B 、C 的坐标；(2）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式;（3)P 是（2）中所求抛物线的顶点,设Ｑ是此抛物线上一点，若△ABQ 与△ABP 的面积相等，求Ｑ点的坐标.第18题图FEDCBA２５.（本题满分1４分)在△ＡB Ｃ中,∠B ＡC =9０°，AB<AC ，M 是ＢC 边的中点，M Ｎ⊥BC 交AC 于点N .动点P 从点B 出发，沿射线BA 以每秒3个长度单位运动，联结MP ，同时Ｑ从点N 出发，沿射线NC 以一定的速度运动，且始终保持MQ ⊥ＭP ,设运动时间为ｘ秒(x ＞0）． (1）求证：△ＢMP ∽△NMQ ；（２）若∠B =60°,A Ｂ=34,设△A ＰQ 的面积为y ,求ｙ与ｘ的函数关系式； （3）判断B Ｐ、ＰQ 、ＣＱ之间的数量关系，并说明理由.第25题 图①NQP MCBA第25题 图②NMCB A２014虹口18.如图,Ｒt △ABC 中,∠C =9０°，ＡB =5， AC=3,在边A Ｂ上取一点D ,作DE ⊥AB 交B Ｃ于点Ｅ．现将△ＢDE 沿D Ｅ折叠，使点Ｂ落在线段DA 上（不与点A 重合），对应点记为B 1;BD 的中点F 的对应点记为F 1.若△EFB ∽△Ａ Ｆ1E ，则Ｂ1D ＝ ▲ ．24.（本题满分12分,第(１）小题满分6分,第（２）小题满分6分）如图,已知抛物线214y x bx c =++经过点B (－４,0)与点C (8,0)，且交y 轴于点A . (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（２)将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移ｍ个单位，得到新抛物线.若新抛物线的顶点为P ,联结BP ，直线B Ｐ将△AB Ｃ分割成面积相等的两个三角形，求m 的值.ABF 1第18题图CD EFB 1第24题图２5.（本题满分14分,第（1)小题5分，第（2）小题5分，第(3）小题4分)已知：正方形ABC Ｄ的边长为4,点E 为BC 边的中点，点Ｐ为AB 边上一动点,沿PE 翻折△BPE 得到△ＦPE ,直线PF 交ＣＤ边于点Q ,交直线AD 于点G ，联结EQ .(1）如图,当BP ＝1．5时，求C Ｑ的长;(２)如图,当点G 在射线A Ｄ上时，设ＢP=x ,DG ＝ｙ,求y 关于x 的函数关系式，并写出ｘ的取值范围;（3)延长EF 交直线ＡD 于点H ,若△CQ Ｅ∽△FHG ,求BP 的长.A BCD G 第25题图P E FQ备用图２01４徐汇 １8. 如图，矩形A ＢCD 中,A Ｂ=８,BC =９,点P 在BC 边上,CP =３,点Q 为线段A Ｐ上的动点，射线ＢQ 与矩形A ＢCD 的一边交于点R ，且ＡP=BR ，则QRBQ= .24． （本题满分1２分,每小题各６分）如图，直线y =x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ,经过Ａ、C 两点的抛物线y ＝ax2＋b ｘ＋ｃ与x 轴的负半轴上另一交点为B ,且t ａｎ∠CBO=3．（1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点Ｐ、A 、B 为顶点的三角形与△AB Ｃ相似，求P 点坐标．第18题P２５. (本题满分14分,其中第(1)小题3分，第（2)小题6分,第(3)小题５分）如图，△AB Ｃ中,AB ＝5，ＢC =11，ｃo ｓB =35，点P 是BC 边上的一个动点,联结A Ｐ， 取AP 的中点M ,将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得线段ＰN ，联结ＡN 、ＮC .设ＢP=x (1)当点N 恰好落在BC 边上时,求N Ｃ的长；（2）若点N 在△ＡBC 内部(不含边界)，设ＢP=x , C Ｎ=y ，求y 关于x 的函数关系式,并求出函数的定义域;（3）若△PNC 是等腰三角形,求ＢP 的长.2014闸北18．如图6,已知等腰△ＡBC ，ＡD 是底边BC 上的高, AD ：DC ＝１:3，将△A ＤＣ绕着点Ｄ旋转，得△D ＥF ， 点A 、C 分别与点Ｅ、F 对应,且E Ｆ与直线ＡB 重合， 设AC 与DF 相交于点O ,则:AOF DOC S S ∆∆＝ .B C图6DCBA24.（本题满分１2分，第（１）小题满分6分,6分)已知：如图１2,抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点Ｃ， 与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足O Ｃ=4OA . 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ： （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标； （２）联接CM ,点Q 是射线CM 上的一个动点,当 △ＱMB 与△COM 相似时,求直线ＡQ 的解析式.２5．(本题满分1４分,第(1)小题满分6分,第（2)小题满分４分,第（3)小题满分4分) 已知:如图13，在等腰直角△ＡＢC 中， AC = BC ,斜边AB 的长为4,过点Ｃ作射线CP /／AB ,D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上（不与B 、C 重合)，且∠DAE =45°,ＡC 与ＤＥ交于点O ．(1)求证:△A ＤＥ∽△ACB ;（2)设CD =x ，tan ∠ＢＡE = y ,求ｙ关于x 的函数 解析式,并写出它的定义域;（3)如果△C ＯＤ与△ＢEA 相似，求ＣD 的值．2014宝山BAC图12Oxy图13PD OEC BABAC E DF １8、如图，在平面直角坐标系中，R ｔ△OAB 的顶点A 的坐标为(9,0）．t ａn ∠BOA=33,点C 的坐标为（2，0），点P 为斜边ＯB 上的一个动 点，则PA+PC 的最小值为_＿____＿__..25、如图,已知抛物线y=﹣x 2＋ｂx+４与x 轴相交于A 、B 两点，与ｙ轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B(8,０)．（１）求抛物线的解析式及其对称轴方程;（2）连接ＡC 、BC,试判断△AOC 与△COB 是否相似?并说明理由;(3)M 为抛物线上ＢＣ之间的一点,N 为 线段B Ｃ上的一点，若MN ∥ｙ轴,求M Ｎ的最大值；(4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标;若不存在,请说明理由．(本题满分4+3+2＋3＝12分)２6、如图△A ＢＣ中，∠C=90°,∠A=3０°，BC=5ｃm ；△ＤEF 中,∠Ｄ=9０°，∠E=45°,DE ＝3c ｍ.现将△DEF 的直角边DF 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，并将△D ＥＦ沿AB 方向移动(如图）．在移动过程中,D 、F 两点始终在AB 边上（移动开始时点D 与点A 重合, 一直移动至点F 与点B 重合为止)．(1）在△DE Ｆ沿ＡＢ方向移动的过程中,有人发现：E 、B 两点间的距离随AD 的变化而变化, 现设A Ｄ=x ，ＢE=ｙ，请你写出y 与x 之间的函数关系式及其定义域． (2) 请你进一步研究如下问题：问题①:当△DE Ｆ移动至什么位置，即AD 的长为多少时,E 、B 的连线与A Ｃ平行?问题②：在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置，使得∠E ＢD=22.5°?如果存在，求出ＡD 的长度；如果不存在，请说明理由.问题③：当△DEF 移动至什么位置，即ＡD 的长为多少时,以线段ＡＤ、EB 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?（本题满分6+８=１4分)2０14崇明18．如图,在AOB ∆中，已知90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =,将AOB ∆绕顶点O 逆时针旋转到A OB ''∆处，此时线段A B ''与B Ｏ的交点E 为ＢO 的中点,那么线段B E '的长度为 ．24、（本题满分1２分，其中每小题各4分）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点(点Ａ在点B 的左侧），点B 的坐标为(3,0),与y 轴交于点(0,3)C ,顶点为D ．(1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2）联结ＡC ，BC ,求ACB ∠的正切值;(3）点Ｐ是抛物线的对称轴上一点,当PBD ∆与CAB ∆相似时，求点P 的坐标．ﻬ25、（本题满分１4分，其中第（1)、(2)小题各５分，第(３)小题4分）如图,在ABC ∆中,8AB =,10BC =,3cos 4C =,D ,点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C E与B Ｄ相交于点Ｇ． （１)求证：AB BGCE CF=； （２）设BE x =,CF y =,求y 与x (3)当AEF ∆是以ＡE 为腰的等腰三角形时,求BE ﻬ20１４黄浦1８.如图7,在Ｒt △ABC 中,∠C =9０°，AC =的点，且∠E ＤC=∠A ,将△AB Ｃ沿ＤE 对折,若点24．(本题满分12分，第(1）、（2)、（3）小题满分各4分)如图1１，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与ｙ轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上,且横坐标为3． （1)求点M 、Ａ、B 坐标；(2)联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值;（第18题图）AA ′B O B ′ED A图7(3)点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，当ABM α=∠时，求Ｐ点坐标．25．(本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2)、（3)小题满分各５分) 如图１2，在△AB Ｃ中,∠A ＣB =90°,ＡC ＝８，sin 45B =，D 为边AC 中点,P 为边A Ｂ上一点 (点P 不与点A 、B 重合) ,直线PD 交B Ｃ延长线于点E ,设线段BP 长为x ,线段CE 长为y ． （１)求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；(2）过点Ｄ作ＢC 平行线交AB 于点Ｆ，在D Ｆ延长线上取一点ﻩＱ，使得ＱＦ=D Ｆ, 联结PQ 、Q Ｅ,ＱE 交边A Ｃ于点G , ①当△E ＤQ 与△ＥGD 相似时，求x 的值；②求证:PD DEPQQE=.图11 B图122０14嘉定18. 如图4，在矩形ABCD 中，已知12AB =,8AD =，如果将矩形 沿直线l 翻折后,点A 落在边CD 的中点E 处,直线l 与分别边AB 、AD 交于点M 、N ,那么MN 的长为 ▲ .24．(本题满分１2分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy (如图９)中，已知Ａ（1-，3)、Ｂ(2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上. (1)求b 与n 的值；(2）联结OA 、OB 、AB ,求△AOB 的面积;（3)若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上,且︒=∠45POB ，求点P 的坐标. ﻩ25．（本题满分1４分，其中第(1）小题4分,第(2）小题５分,第（3)小题5分）已知:⊙O 的半径长为5,点A 、B 、C 在⊙O 上,6==BC AB ，点E 在射线BO 上． (1)如图１0,联结AE 、CE ,求证:CE AE =；（2)如图11,以点C 为圆心,CO 为半径画弧交半径OB 于D ，求BD 的长； （3）当511=OE 时，求线段AE 的长.图4图10图11备用图图92０14奉贤18.我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂三角形。