三、数_列【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】7页

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）A B C D 二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =（答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤）3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）.4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.如（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则 A 、1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0（答：B ）4．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. 如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。

（答：225）5．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S Sk k =+。

如（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.6．若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n nAf n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如 设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S n n ，那么=nnb a ___________ （答：6287n n --）7．“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

法一：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =. 四．等比数列的有关概念：1．等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a a a +-=(2)n ≥。

如（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .（答：6n =，12q =或2）3．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q -=-11n a a q q-=-。

如 （1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++（答：44）；（2）)(1010∑∑==n nk kn C 的值为__________（答：2046）； 特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4．等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a aa aq aq q q…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq q aq a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a = ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a = .如（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=（答：10）。

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若{}{}n n a b 、成等比数列，则{}n n a b 、{}nna b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n nS S S S S -- ，…也是等比数列。

当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如 （1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o ga n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++= ，则101102200x x x +++= . （答：100100a ）；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4) 当1q ≠时，b aq qaq q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。