第一章单自由度机械系统动力学建模

1
S3
等效力矩 Me
等效转动惯
量 Je 1 1 1 1 2 2 2 2 ( J11 J 22 m2 v2 m3v3 ) ( M 11 F3v3 ) 2 2 2 2
2 2 2 2 v2 v3 2 v3 1 J J m m ( M F )1 1 2 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1
2 vsi 2 i me mi 等效质量 J si me v i 1 v n
vsi 等效力 Fe i Fe Fi cos i M i v v i 1
n
等效量的计算
2、等效力矩和等效转动惯量



动力学方程的求解方法。
欧拉法， 龙格库塔法， 微分方程组与高阶微分方程的解法， 矩阵形式的动力学方程。



第一篇 机械刚体动力学
第一章

单自由度机械系统动力学建模方法 （1-1）
1．1 机构系统的功能关系 1 r 1 t 2 2 系统动能：E mi vi J j j
1 E mv 2
e e
2
根据等效原则： E
n Ci
e
E
2 Ci
得等效质量：
v m m J v
e i 1 i
v
2 i
等效量的计算
1、等效力和等效质量
1
S3
等效力 Fe 等效质me
1 1 1 1 2 2 2 2 ( J11 J 22 m2 v2 m3v3 ) ( M 11 F3v3 ) 2 2 2 2速机械，运动中产生的惯性可以忽略不计，对机 械的运动过程中的各个位置，可以用静力学方法求出 为平衡载荷而需在驱动构件上施加的驱动力或力矩， 以及各运动副中的约束反力，可用此进行原动机功率 的计算、构件和运动副承载能力的计算。


2 动态静力分析
对高速机械，惯性力不能再被忽略，根据达朗伯原理 ，可将惯性力计入静力平衡方程来求出为平衡动载荷 和静载荷而需在驱动构件上施加的输入力和力矩以及 运动副中的反作用力。
2 2 2 2 v2 1 1 1 2 F3 )v3 J1 J 2 m2 m3 v3 (M1 2 v3 v3 v3 v3
(1-9)

当广义力为力矩M时，广义坐标为转角的形 式 2
d dJ e M Je dt 2 d

(1-10) 当广义力为力F时，广义坐标为位移 u的形式
dv v 2 dJ e F Je dt 2 du

(1-11)
1．3 单自由度系统动力学建模统一方程 不失一般性，把系统外力F和力矩M统一记 ) 为 Fi (i 1, 2 n， 记广义坐标为 q ，把质量m和转动惯量 J ui 统一记为 ，对应的位移和转角统一记为 。则 mi 广义力式（1-7）和广义惯量式（1-8）表为： n ui (1-12) Q Fi [T ]T [ F ]
me、Je）
2 等效量（Fe、Me、me、Je）均为为机构位置的函数。 3 等效量（Fe、Me、me、Je）均为假想的量，不是机构真实的 合力、合力矩、总质量和总转动惯量。 4 如果考虑惯性力和惯性力矩时，等效力和等效力矩与动态静
力法中求出的平衡力和平衡力矩大小相等，方向相反。
如图7-2所示为齿轮驱动连 杆机构，求曲柄为等效构 件时，机构的等效转动惯 量和等效力矩
3 动力分析

抛弃了对驱动构件运动规律的理想假定，把原动机包括 在机械系统之内来进行分析，分析的对象是整个机械系 统，求解的是微分方程或代数-微分混合方程。


4 弹性动力分析
随着机械系统向高速轻质化发展，构件的柔度加大，惯 性力急剧加大，构件的弹性变形可能给机械的运动输出 带来误差。机械系统柔度 系统的固有频率 ，机械 运转速度 激振频率 可能会发生共振，破坏运动精度 ，影响疲劳强度，引发噪声。
当选取角速度为 的回转构件为等效 构件时，等效构件的动能为：
1 Ee J e 2 2
根据等效原则：
n
Ee E
2
得等效转动惯量：
2
vCi i J e mi J Ci i 1
当选取移动速度为 v 的滑件为等效构 件时，等效构件的动能为：
起升机构等效模型
1．2 系统的等效力学模型 对单自由度系统而言，描述系统的运动只需要 一个独立坐标（称为广义坐标）， 故式 F v M 1 d ( m v 1 J )

r t r 2 t 2 i 1 i i j 1 j j
2 dt
则：
1 v4 M e M 1 F4 cos180 2 2
2
Z 2 2 l sin 2 M1 Z F4 3M 1 F4 L sin 2 2 1
1 v3 v4 解： J e J 1 J 2 m3 m4 2 2 2
2
2
2
由速度分析得 :
v3 vC 2 l v4 vC sin 2 2l sin 2
机械系统动力学
绪论

机械系统动力学是应用力学的基本理论解决 机械系统中动力学问题的一门学科，其核心 问题是建立机械系统的运动状态与其内部参 数、外部条件之间的关系，找到解决问题的 途径

三体机械臂
可伸展卫星太阳能电池板
汽车
五轴并联机床




机械动力学研究内容 ： 机械原理由三部分组成： 机械结构学、机构运动学和机械动力学 机械结构学：机构组成原理、机构运动的可能 性和确定性。 机构运动学： 1运动学分析——不考虑力的作用， 从几何观点研究机构各构件运动参数（位移、 速度、加速度） 2运动学综合 ——仅从运动学角度设计新机构的 方法。
2 vsi 2 i J e mi J si i 1 n
v M e Fi si cos i M i i i 1
n
1 不知道机构真实运动的情况下，可以求出等效量（Fe、Me、
机构动力学分析的发展与现状

机构动力学模型主要有两种形式: 一类是不含运动副约束反力的纯微分型动力学方 程,其维数等于机构的自由度数目; 另一类是含运动副约束反力的代数与微分混合型 方程,其维数大于机构的自由度数目。

机构动力学分析的发展与现状 建立复杂机构动力学模型的常用力学方法有: * 牛顿-欧拉(Newton-Euler)法 * 拉格朗日(Lagrange)法 * 虚功原理法 * 凯恩(Kane)法 * 旋量法和R-W法等。
机构动力学分析的发展与现状
牛顿-欧拉(Newton-Euler) 的特点是以矢量描述运动和力，从而具有很 强的几何直观性，但列写各隔离体的动力学方程不可避免地出现理想 约束反力，从而使未知变量的数目明显增多，扩大了求解规模。 Lagrange法是以系统的动能和势能为基础建立动力学方程的, 可以避 免出现不做功铰的理想约束反力，使未知量的数目最少，但随着体的 数目和自由度的增多，求导数的计算工作量十分庞大。 凯恩(Kane) 方法 特点是利用伪坐标代替广义坐标描述系统的运动，并 将矢量形式的力和力矩包括达朗伯惯性力和惯性力矩直接向偏速度和 偏角速度基矢量方向投影以消除理想约束反力，兼有矢量力学和分析 力学的特点。 罗伯森(Roberson)和维滕堡(Wittenburg) 应用图论的概念来描述多体 系统的结构特征，使各种不同结构体系的多体系统能用统一的数学模 型来描述.
2
i 1
2
j 1
t
系统瞬时功率： i1 （1-2） j 1 根据动能原理：在任一时间间隔 (t0 t ) 内，系统 上外力所做的功等于系统动能增量： t N Pdt E E0 (1-3) t d 微分得 P E dt t r r t 1 d 1 2 2 即 (1-4) F v M ( m v J i i j j i i j j)
(1-6)
(1-7) (1-8)

ui 2 t j 2 J mi ( ) J j ( ) e q q i 1 j 1
r

式（1-6）可表为：
1d 1 dq 2 dJ e 1 dq dq 2 dJ e dq 1 dJ e 2 2 Q ( J eq ) 2 J eq q 2 J e q J e q 2 dq 2 dq dq 2 dt dq dq dt 2 dq q 2 dJ e = Jeq 2 dq

0
P Fi vi M j j
r
i 1
j 1
2 dt
i 1
2
j 1
1．2 系统的等效力学模型
一、等效动力学模型
等效转化的原则：等效构件的等效质量 具有的动能等于原机械系统的总动能；等效 构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率 等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之 和。 把具有等效质量或等效转动惯量，其上 作用有等效力或等效力矩的等效构件称为机 械系统的等效动力学模型。
机械动力学： 1动力学分析——研究机械在力作用下的运动 和机械在运动中产生的力。 2动力学综合（动力学设计）——从力与运动 的相互作用角度对机械进行设计改进，使之 达到运动学和动力学要求。 在机械动力学发展历史上，提出了四种分析 方法： 静力分析（static） 动态静力分析(kinetio-static) 动力分析(dynamic) 弹性动力分析(elastodynamic)