专题：运动图像及追击相遇问题

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例、如图所示的位移－时间和速度－时间图象中，给出的四条图线 1、2、 3、4 代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是 (
B
)
A．图线 1 表示物体做曲线运动 B．x－t 图象中 t1 时刻 v1>v2 C．v－t 图象中 0 至 t3 时间内 3 物体和 4 物体的平均速度大小相等 D．图线 2 和图线 4 中，t2、t4 时刻都表示物体反向运动
解4：（二次函数法） 若两车不相撞，其临界位移关系应为
1 2 v1t at v2t x0 2 1 2 代入数据得 at 10t 100 0 2
要不相遇，则方程无解，则△＜0
1 即 (10) 4 a 100＜0 2 2 a 0.5m / s
2
把物理问题转化为根据二次函数的特点求解的数学问题。
3. 两种典型追击问题
（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）
a
A
v1
v1> v2
B
△x
v2
①当v1=v2时，A末追上B，则A、B永不相遇，此 时两者间有最小距离；
②当v1=v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次， 也是避免相撞刚好追上的临界条件；
③当v1>v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且 之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。
匀速直线运动
位移图象(x-t)
速度图象(v-t)
匀加速直线运动
匀减速直线运动
坐标轴 点 线（反应函数关系）
横轴表示时间t， 纵轴表示位移x
横轴表示时间t， 纵轴表示速度v
表示某时刻质点所处 表示某时刻质点的速度 的位置 表示一段时间内质点 表示一段时间内质点速 位置的变化情况 度的变化情况
（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式 （结合实际物理意义）利用二次函数的极值法或判别 式法求解。
例. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同 轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度 匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运 动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？ 解1：（公式法） 两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。
2
(20 10)t0 100
20
A B
t0
t0 20 s
10
20 10 a tan 0.5 20
o
t/s
a 0.5m / s
2
物体的v-t图像的斜率表示加 速度,面积表示位移。
解3：（相对运动法）
以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a 减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。
当t=t0时矩形与三角形的面积之差为相距最大距离。 v-t图像的斜率表示物体的加速度 v/ms-1
汽车
t/s o t0 当t=2s时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积
6 tan 3 t0
t0 2s
6
α
自行车
1 xm 2 6m 6m 2
解3：（相对运动法） 选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为 正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动 v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时vt=0 对汽车由公式
例.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车 以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行 车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求： 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时 间两车相距最远？此时距离是多少？
解1：（公式法） 当汽车的速度与自行车的 速度相等时，两车之间的 距离最大。设经时间t两 车之间的距离最大。则 x汽
（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追 速度大者（匀速）
A
v1=0
a
B
v2
①当 v1=v2 时，A、B距离最大； ②当两者位移相等时，有 v1=2v2 且A追上B。A追上 B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。
v
v1 v2 o
t0
A
B
2t0
t
4、常见的典型的相遇情况：
1、同向：两者位移之差等于初始距离时追及即相遇
2、相向：两者位移大小之和等于击问题的常用解题方法
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临 界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。
（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗 透到位移关系和速度关系中列式求解。 （2）图象法——正确画出物体运动的v--t图象，根据 图象的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求 解。 （3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、 临界状态，根据运动学公式列式求解。
vt v0 at
vt v0 0 (6) t s 2s a 3
对汽车由公式
2 vt2 v0 2as
由于不涉及位移，所 以选用速度公式。
2 vt2 v0 0 (6) 2 s m 6m 2a 23
由于不涉及“时间”， 所以选用速度位移公式。
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车 的位移为向后6m. 注意物理量的正负号。
v1 at v2 1 2 由A、B位移关系：v1t at v2t x0 2
由A、B 速度关系：
2 2
(包含时 间关系)
(v1 v2 ) (20 10 ) 2 2 a m / s 0.5m / s 2 x0 2 100
a 0.5m / s
2
解2：（图像法） 在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线， 根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯 形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积 之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影 部分三角形的面积不能超过100 . v/ms-1 1
位移图象(x-t) 面积 无实际意义
速度图象(v-t) 图线与横轴t所围的面积 表示在这段时间内质点 所通过的位移
斜率 截距
（初始情况 ）
表示质点运动的速度 表示质点运动的加速度
t＝0时的位移
t＝0时的速度
两条图线的交点
表示两质点相遇的时 表示两质点在此时刻速 刻和位置 度相同
例、做直线运动的物体的v－t图象如图所示． 由图象可知( ) A．前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速 度为－1 m/s2 B．15 s末物体回到出发点 C．10 s末物体的运动方向发生变化 D．10 s末物体的加速度方向发生变化
v v 2ax0
2 t 2 0
2 t 2 0 2
由于不涉及时间，所 以选用速度位移公式。
v v 0 10 2 2 a m / s 0.5m / s 2 x0 2 100
a 0.5m / s
2
以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理 量.注意物理量的正负号。
一轮复习
第3讲
运动图像
追及相遇问题
教学目标： 1、理解x-t和v-t图像，会应用解决实际问题。 2、掌握追及与相遇问题的特点及解决问题的一般方法。
对图线的认识和理解：
用图象表述物理规律是物理学中常用的一种处理方 法.图象具有简明、直观等特点. 对于物理图象,需要从轴、点、线、面积、斜率、截 距、两条图线的交点等方面来理解它的物理意义.
△x
x自
v汽 at v自
1 2 1 xm x自 x汽 v自t at 6 2m 3 22 m 6m 2 2
6 t s 2s a 3
v自
解2：（图像法）
在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像， 根据图像面积和斜率的物理意义求解。
追及与相遇问题 当两个物体在同一直线上运动时，由 于两物体的运动情况不同，所以两物体之间 的距离会不断发生变化，两物体间距越来越 大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和 避免碰撞等问题．
相遇和追及问题
1. 相遇和追击问题的实质： 是研究两物体能否在相同的时刻到达相同的空 间位置的问题。 2. 画出物体运动的情景图，理清三个关系： （1）时间关系 （2）位移关系 （3）速度关系 两者速度相等——往往是物体间能否追上或（两者） 距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
解4：（二次函数极值法） 设经过时间t汽车和自行车 之间的距离Δx，则 x汽
△x
1 2 3 2 x v自t at 6t t 2 2
当t 6
2
x自
2s时 xm 6 6m 3 3 2 ( ) 4 ( ) 2 2