2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷(理科)

2020年黑龙江省哈尔滨六中高考数学二模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|log2x<1}，则()A. B⊆AB. A⊆BC. A=BD. A∩B=⌀2.若复数z=i1+i3，则复数z−的虚部为()A. 12B. 12i C. −12D. −12i3.已知|a⃗|=2，|b⃗ |=√2，且b⃗ ⊥(a⃗−b⃗ )，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为()A. 1B. √2C. 2D. √224.已知函数f(x)=−2x+sinx，若a=f(3√3)，b=−f(−2)，c=f(log27)，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. a<c<b5.为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有()A. 540B. 240C. 150D. 1206.下列结论中正确的个数为()(1)m=−3是直线l1：mx+(m+1)y+1=0和直线l2：2x+my+2=0垂直的充要条件；(2)在线性回归方程中，相关系数r越大，变量间的相关性越强；(3)已知随机变量ξ～N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.6，则P(−1<ξ<1)=0.1(4)若命题p：∀x∈(0,+∞)，x−1>lnx，则￢p：∃x0∈(−∞,0]，x0−1≤lnx0A. 1B. 2C. 3D. 47.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为a n，则数列{n(n+2)a n}的前2020项和为()A. 20206069B. 40406069C. 20202023D. 404020238.已知动点P(x,y)在椭圆x216+y212=1上，若A点坐标为(2,0)，|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为()A. 3B. √3C. 2D. √29.已知点A，B，C，D在同一个球的上，AB=2√3，AC=4，∠BAC=30°.若四面体A−BCD体积的最大值为4，则这个球的表面积为()A. 48πB. 64π3C. 64π D. 16π3A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)的对称中心为(kπ2+π4,0)，k ∈Z C. f(x)的单调增区间为(kπ,kπ+π2)，k ∈Z D. 当x ∈[−π6,π3]时，f(x)的值域为[12,2]11. 已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|=2，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线y =1相切．若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|−|MP|为定值，则点P 的坐标为( )A. (0,1)B. (0,−1)C. (0,12)D. (0,−12)12. 已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，且当x ∈[0,3]时，f(x)=xe −x2，若关于x 的不等式f 2(x)−tf(x)>0在[−150,150]上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是( )A. (0,e −12)B. (e −12,3e −32)C. (3e −32,2e −1)D. (e −12,2e −1)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. (x +1√x )n 的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为______． 14. 已知曲线y =ae x +lnx 在(1,ae)处的切线方程为y =2x +b ，则实数b =______．15. 在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =2，a(a −√3c)+c 2=4，则a −√3c 的取值范围为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的．从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成．如图，在正六棱柱ABCDEF −A′B′C′D′E′F′的三个顶点A ，C ，E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M −ABF ，O −BCD ，N −DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构，如图所示：瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为109°28′16′′，即∠BMF =109°28′16′′．以下三个结论：①BF >MN ；②△BDF ≌△MON ；③B ，M ，N ，D 四点共面，正确命题的个数为 个17.如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=π，PD=BC=2AD，AP⊥PD．CD=12(1)若E为AP的中点，求证：BE//平面PCD；(2)求二面角P−AB−C的余弦值．(n∈N∗)．18.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=(n+1)a nn+2a n}是等差数列；(1)求证：{na n(2)若c n=a n a n+1，且数列b n=4，数列{b n c n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．3n⋅n19.直线l是过点M(−2,0)的动直线，当l与圆O：x2+y2=2相切时，同时也和抛物线C：y2=2px(p>0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于不同的两点P、Q，与圆O交于不同的两点A、B，△AOB面积为S1，△POQ面积为S2，当S2=5√2S1时，求直线l的方程．20.新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间．假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为p，每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者．(1)求一位病毒携带者一天内感染的人数X的均值；(2)若n=3，p=1时，从被感染的第一天算起，试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感3染的人数(用数字作答)；(3)3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如图频率分布直方图：①求这500支该项质量指标值得样本平均值x−(同一组的数据用该组区代表间的中点值)；②由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差s2=150.现有5名志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229试问新冠疫苗的该项指标值是否正常，为什么？参考数据：√150=12.2，若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9973．21. 已知函数f(x)=e ax ln(x +1)−x ．(1)当a =1时，若f(x)≥m 在(0,+∞)上恒成立，求m 的范围； (2)当a ≥12时，若x =0不是f(x)的极值点，求实数a 的值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，直线l 2的参数方程{x =n y =2+n k(n 为参数)，若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ． (1)求曲线C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l 3的极坐标方程为θ=α(ρ≥0)，tanα=54(0<α<π2)，点Q 为射线l 3与曲线C 的交点，求点Q 的极径．23. 已知函数f(x)=|x +2|．(1)解不等式f(x)>4−|x +1|；(2)已知a +b =2(a >0,b >0)，求证：|x −52|−f(x)≤4a +1b ．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查解不等式和判断集合间的关系，属于基础题．首先解二次不等式和对数不等式求出集合A，B，可判断A，B的关系．【解答】解：因为集合A={x|x2<4}={x|−2<x<2}，B={x|log2x<1}={x|0<x<2}，所以B⊆A．故选：A．2.【答案】C【解析】解：∵z=i1+i3=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，∴z−=−12−12i，则复数z−的虚部为−12．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：|a⃗|=2，|b⃗ |=√2，且b⃗ ⊥(a⃗−b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗−b⃗ )=0，即为a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=|b⃗ |2=2，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=√2=√2，故选：B．由向量垂直可得其数量积为0，再由向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算可得所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量垂直的条件，以及投影的概念和应用，考查运算能力，是一道基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=−2x +sinx ，其定义域为R ，有f(−x)=−2(−x)+sin(−x)=2x −sinx =−f(x)， 则函数f(x)为奇函数，则b =−f(−2)=f(2)， 函数f(x)=−2x +sinx ，其导数f′(x)=−2+cosx ，又由−1≤cosx ≤1，则f′(x)<0，即函数f(x)在R 上为减函数， 又由2=log 24<log 27<log 28=3<3√3，故f(3√3)<f(log 27)<f(2)=−f(−2)，即a <c <b ； 故选：D ．根据题意，分析可得f(x)为奇函数，则可得b =−f(−2)=f(2)，求出函数的导数f′(x)，分析可得函数f(x)在R 上为减函数，又由2=log 24<log 27<log 28=3<3√3，结合函数的奇偶性与单调性分析可得答案． 本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①先将5名干部分为三组，若分为3、1、1的三组，有C 53=10种分组方法， 若分为2、2、1的三组，有C 52C 32A 22=15种分组方法，则有10+15=25种分组方法；②将分好的三组对应三个贫困村，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种分配方案； 故选：C ．根据题意，分2步进行分析：①按分组的人数不同分情况讨论将5名干部分为三组的分组方法；②将分好的三组对应三个贫困村，由分布计数计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】根据各命题对应的知识即可判断其真假．本题主要考查命题的真假判断，涉及直线与直线垂直的充要条件的应用，相关系数与相关性关系的应用，全称命题的否定，以及正态分布曲线的应用，属于中档题．解：对于(1)，若直线l 1：mx +(m +1)y +1=0和直线l 2：2x +my +2=0垂直， 则2m +m(m +1)=0，解得，m =0或m =−3，所以m =−3是直线l 1：mx +(m +1)y +1=0和直线l 2：2x +my +2=0垂直的充分不必要条件，故(1)错误； 对于(2)，在线性回归方程中，相关系数|r|越大，变量间的相关性越强，故(2)错误； 对于(3)，随机变量ξ～N(1,σ2)，若P(ξ<3)=0.6， ∴P(ξ>3)=0.4，由对称性可得P(ξ<−1)=0.4，∴P(−1<ξ<1)=P(ξ<1)−P(ξ<−1)=0.5−0.4=0.1，故(3)正确； 对于(4)，￢p ：∃x 0∈(0,+∞)，x 0−1≤lnx 0，故(4)错误． 所以正确的是(3)． 故选：A ．7.【答案】B【解析】解：设从上而下各层货物的个数构成数列{a n }，依题意有：a 1=2，a 2−a 1=3，a 3−a 2=4，…，a n −a n−1=n +1(n ≥2)由上面的式子累加可得：a n =2+3+4+⋯+(n +1)=n(2+n+1)2=n(n+3)2，n ≥2，又当n =1时，a 1=2也适合， 所以a n =n(n+3)2，n (n+2)a n=2(n+2)(n+3)=2(1n+2−1n+3)，∴数列{n(n+2)a n }的前2020项和为2[(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯+(12022−12023)]=2(13−12023)=40402069． 故选：B ．设从上而下各层货物的个数构成数列{a n }，依题意写出相邻项的关系式，利用累加法求得a n ，然后求得n(n+2)a n ，再利用裂项相消法求其前2020项和即可．本题主要考查累加法在求数列通项公式的应用及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意的方程可得右焦点的坐标为(2,0)，由题意可得A 为右焦点， 由|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可得点M 在以A 为圆心，以1为半径的圆上，所以|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |为P 到圆A 的切线长，即：|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−1， 所以当|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，因为P 在椭圆上，而a =4，c =2，所以a −c ≤|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a +c ，即|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2,6]， 所以|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√22−1=√3， 故选：B ．由椭圆的方程可得A 为椭圆的右焦点，由|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可得为A 为圆心，以1为半径的圆，再由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以可得PM ⊥AM ，所以当|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值，由于P 在椭圆上可得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围，进而求出|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．本题考查椭圆的性质及圆的性质，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由AB =2√3，AC =4，∠BAC =30°， 得BC =√AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =2， ∴AB 2+BC 2=AC 2，∴∠ABC =90°，则△ABC 的外接圆的直径为2r =AC =4，外接圆圆心为线段AC 的中点E ， 如下图所示，当点D 、球心O 、E 三点共线且当D 、E 位于球心的异侧时， 四面体ABCD 的体积取最大值，此时，DE ⊥平面ABC ， S △ABC =12AB ⋅BC =12×2√3×2=2√3，四面体ABCD 的体积为V D−ABC =13S △ABC ⋅DE =4， 解得DE =2√3，由勾股定理得DA =DB =DC =√DE 2+EA 2=4， ∴四面体ABCD 的外接球的直径为2R =AD 2DE=2√3=8√33， 则四面体ABCD 的外接球的半径为4√33． 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=4π×(4√33)2=643π．故选：B ．由余弦定理求出BC ，可得△ABC 是直角三角形，于是得出△ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点E ，求出△ABC 的面积，利用点D 、球心、E 三点共线且D 、E 位于球心的异侧时，四面体ABCD 的体积取最大值，利用锥体体积公式可算出此时DE 的值，然后可计算出三棱锥D −ABC 的侧棱长，射影定理求出外接球的半径，代入球的体积公式10.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，x=x1，x=x2是函数f(x)的相邻对称轴，即可求出周期和ω，再根据f(π6)=32，即可求出φ，进而得出函数f(x)的解析式，便可判断各选项的真假．本题主要考查根据三角函数的性质求解析式，并运用解析式求解其函数性质，属于基础题．【解答】解：依题意可得，x=x1，x=x2是函数f(x)的相邻对称轴，所以T2=π2，即T=π，ω=2，所以A错误；又f(π6)=32，所以sin(π3+φ)=12，而0<φ<π，∴π3+φ=5π6，即φ=π2．所以f(x)=sin(2x+π2)+1=cos2x+1．令2x=kπ+π2，解得x=kπ2+π4，所以f(x)的对称中心为(kπ2+π4,1)，所以B错误；令−π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得−π2+kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以f(x)的单调增区间为[−π2+kπ,kπ]，k∈Z，所以C错误；设θ=2x，x∈[−π6,π3]，θ∈[−π3,2π3]，cosθ∈[−12,1]，所以f(x)的值域为[12,2]，所以D正确．故选：D．11.【答案】D【解析】【分析】设M的坐标为(x,y)，然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为x2=−2y，把|MA|−|MP|转化后再由抛物线的定义求解点P的坐标．本题考查了直线与圆的位置关系和抛物线的定义，考查数学转化思想方法，属较难题．【解答】解：∵线段AB 为⊙M 的一条弦，O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上，设点M 的坐标为(x,y)，则|OM|2+|OA|2=|MA|2，∵⊙M 与直线y =1相切，∴|MA|=|y −1|，∴|y −1|2=|OM|2+|OA|2=x 2+y 2+1，整理得x 2=−2y ，∴M 的轨迹是以F(0,−12)为焦点，y =12为准线的抛物线，∴|MA|−|MP|=|y −1|−|MP|=|y −12|−|MP|+12=|MF|−|MP|+12，∴当|MA|−|MP|为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(0,−12)，∴存在定点P(0,−12)使得当A 运动时，|MA|−|MP|为定值．故选：D ．12.【答案】B【解析】解：∵偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，∴f(3+x)=f(3−x)=f(x −3)，∴f(x)是周期为6的函数，当x ∈[0,3]时，f′(x)=e −x 2−12xe −x 2=e −x 2(1−x 2)，∴当0≤x <2时，f′(x)>0，当2<x ≤3时，f′(x)<0，∴f(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，且当=2时，f(x)取得极大值f(2)=2e ．作出f(x)在(−3,3]上的函数图象如图所示：∵关于x 的不等式f 2(x)−tf(x)>0在[−150,150]上有且只有150个整数解，∴关于x 的不等式f 2(x)−tf(x)>0在(−3,3]上有且只有3个整数解．显然当f(x)=0时，不符合题意，故f(x)>t 在(−3,3]上有且只有3个整数解，∵f(1)=e−12，f(3)=3e −32， ∴f(1)f(3)=e 3<1，∴f(1)<f(3)，故f(x)>t 在(−3,3]上的三个整数解为2，−2，3，∴f(1)<t <f(3)，即e−12<t <3e −32．故选：B ．判断f(x)的周期和单调性，结合函数图象得出f(x)>t 在(−3,3]上有3个整数解，分别为x =−2，2，3，从而可得出t 的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数单调性判断，极值计算，属于中档题． 13.【答案】32【解析】【分析】先利用展开式中第三项和第四项的二项式系数最大求出n =5，由二项式系数的性质和题意可得n 值，令x =1计算式子的值可得结论．本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n 为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n 为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．【解答】解：因为(x +√x )n 的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大；故n =5；令x =1，(1+1)5=32，故答案为：32．14.【答案】−1【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，是基础题．求出原函数的导函数，再由函数在切点处的导数值为2且函数值为ae 列式求解．【解答】解：由y =ae x +lnx ，得y′=ae x +1x ，∴{ae +1=22+b =ae ，解得b =−1． 故答案为：−1．15.【答案】(−2√3,−2)【解析】解：∵b =2，a(a −√3c)+c 2=4=b 2；∴a 2+c 2−b 2=√3ac ；故2accosB =√3ac ⇒cosB =√32； ∴B =30°，(△ABC 的内角)；由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =2sin30∘=4，得a =4sinA ，c =4sinC ，∴a −√3c =4sinA −4√3sinC =4sinA −4√3sin(150°−A)，=−2sinA −2√3cosA =−4sin(A +60°)，由锐角三角形得{0∘<A <90∘0∘<150∘−A <90∘∴60°<A <90°，sin(A +60°)∈(12,√32)， ∴a −√3c 的取值范围为：(−2√3,−2)．故答案为：(−2√3,−2)．由已知结合正弦定理可表示a ，c ，代入后结合已知可求A 的范围，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 16.【答案】2 180√2【解析】解：由题意可得，MN =AE ，由六边形ABCDEF 为正六边形，得BF =AE ，即有MN =BF =AE ，故①错误；用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M −ABF ，O −BCD ，N −DEF ，∴平面MNO 与底面平行，则有MN =AE ，MO =AC ，ON =CE ．在正六边形ABCDEF 中，AC =CE =AE =BD =DF =BF ，∴△BDF≌△MON ，故②正确；∵MN//AE ，AE//BD ，∴MN//BD ，即B 、M 、N 、D 四点共面．∴正确命题的个数为2；连接BF ，B′F′，由题意可得BF//B′F′，且BF =B′F′=6√2， ∵∠BMF =109°28′16′′，tan54°44′08′′=√2， ∴tan∠BMF =−2√2．即有sin∠BMF =2√23，cos∠BMF =−13， ∵四边形PBMF 为菱形，∴在△BMF 中，可求出BM =3√3．BB′=A′M +√BM 2−A′B′=4√3，∴S A′B′BM =2√6⋅(3√3+4√3)2=21√2， S PBMF =2S △BMF =2⋅12⋅BM 2⋅sin∠BMF =27×2√23=18√2．∴蜂巢的表面积为S =6S A′B′BM +3S PBMF =126√2+54√2=180√2．故答案为：2；180√2．根据正六棱柱底面正六边形的性质判断出边之间的大小关系及平行关系，由已知条件求出表面各边的长度，结合蜂巢的表面积由六个直角梯形与三个菱形组成，则表面积可求．本题考查正六棱柱边的关系及求几何体的表面积，考查空间想象能力与计算求解能力，是中档题．17.【答案】(1)证明：取PD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E ，F 分别是PA ，PD 的中点，∴EF//AD 且EF =12AD ；∵BC =12AD ，BC//AD ，∴EF//BC 且EF =BC ；∴BE//CF ．又BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴BE//平面PCD ；(2)解：方法一、以P 为坐标原点，PD ，PA 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC =1，则P(0,0，0)，A(0,√3,0)，D(1,0，0)，C(1,0，1)，B(12,√32,1)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)． 设平面PAB 的一个法向量为n =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3y =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −√32y +z =0， 取x =2，得n⃗ =(2,0，−1)． 同理可求平面ABD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(3,√3,0)．cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155． 平面ABD 和平面ABC 为同一个平面，∴二面角P −AB −C 的余弦值为√155； 方法二、以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC =1，则P(12,√32,0)，A(2,0，0)，D(0,0，0)，C(0,0，1)，B(1,0，1)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =32x −√32y =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0，取y =√3，得n ⃗ =(1,√3,1)．易知平面ABC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1，0)． ∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角P −AB −C 的余弦值为√155．【解析】(1)取PD 的中点F ，连接EF ，CF ，由三角形中位线定理证明BE//CF ，即可得到BE//平面PCD ；(2)方法一、以P 为坐标原点，PD ，PA 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；方法二、以D 为坐标原点，DA ，DC 所在直线分别为x 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可．本题考查了空间线面平行的判定，向量法求解空间角，合理建立坐标系是关键，考查空间想象能力，运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵a n+1=(n+1)a n n+2a n (n ∈N ∗)， ∴n+1a n+1=n+2a n a n =n a n +2， ∴n+1a n+1−n a n =2，1a 1=1， ∴{n a n}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴na n =2n −1； (2)解：∵a n =n2n−1， ∴c n =n(n+1)(2n−1)(2n+1)，即b n c n =4(n+1)3n (2n−1)(2n+1)=13n−1(2n−1)−13n (2n+1)，∴T n =1−13⋅3+13⋅3−132⋅5+⋯+13n−1(2n −1)−13n (2n +1) =1−13n (2n+1)．∵T n+1−T n =13n (2n +1)−13n+1(2n +3)=4n+83n+1(2n+1)(2n+3)>0，∴{T n }是递增数列，T n 的最小值为T 1=89，又T n <1，∴89≤T n <1．【解析】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及利用裂项相消法求数列的和，还有利用单调性确定范围，属于中档题．(1)由a n+1=(n+1)a n n+2a n (n ∈N ∗)⇒n+1a n+1−n a n =2，又1a 1=1，故数列{n a n }是以1为首项，2为公差的等差数列； (2)由(1)得n a n=2n −1，进而求得b n c n =4(n+1)3n (2n−1)(2n+1)=13n−1(2n−1)−13n (2n+1)，利用裂项相消法求出T n ，判断其单调性，求出T n 的取值范围． 19.【答案】解：(1)设直线l ：x =my −2，d =√1+m 2=√2，∴m =±1，{x =±y −2y 2=2px⇒y 2±2py +4p =0， ∴Δ=4p 2−16p =0，∴p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=8x ．(2){x =my −2y 2=8x⇒y 2−8my +16=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，即{Δ>0⇒m 2>1y 1+y 2=8m y 1y 2=16, 得|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=8√(1+m 2)(m 2−1)，圆心O 到直线的距离d =√1+m 2，|AB|=2√r 2−d 2=2√2−41+m 2=2√2√m 2−1m 2+1， ∵S 2=5√2S 1，∴|PQ|=5√2|AB|，∴8√(m 2+1)(m 2−1)=5√2⋅2√2√m 2−1m 2+1，∴m 2=32， ∴l ：x =±√62y −2(y =±√63(x +2)).【解析】本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力．(1)设直线l ：x =my −2，利用点到直线的距离，求出m ，联立直线与抛物线方程，求出p ，然后求解抛物线方程．(2)联立{x =my −2y 2=8x⇒y 2−8my +16=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离，结合三角形的面积转化求解即可．20.【答案】解：(1)依题意可知X ～B(n,p)，则E(X)=np ，故一天内被感染人数X 的均值为np ；(2)不妨记前m 天平均累计感染的人数为a m ，则a 1=1，a 2=1+np ，a 3=(1+np)2，…，a m =(1+np)m−1．当n =3，p =13时，一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数为：a 14=(1+3×13)13=213=8192；(3)①由频率分布直方图得，这500支该项指标值的样本平均值为：x −=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200；②新冠肺炎该项指标值不正常，理由如下：由题意知Z ～N(200,150)，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=P(163.4<Z <236.6)=0.9973，即该项指标落在(163.4,236.6)之外的概率为0.0027，是小概率事件．而160∉(163.4,236.6)，根据3σ原则，新冠肺炎的该项指标值不正常．【解析】(1)依题意可知X ～B(n,p)，直接由二项分布的期望公式求一天内被感染人数X 的均值；(2)不妨记前m 天平均累计感染的人数为a m ，可得a m =(1+np)m−1.把n =3，p =13代入，取m =14求得a 14即可；(3)①直接由每一个小矩形的中点的横坐标乘以频率作和得答案；②由题意知Z ～N(200,150)，求出P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=P(163.4<Z <236.6)=0.9973，可得该项指标落在(163.4,236.6)之外的概率为0.0027，是小概率事件．再由160∉(163.4,236.6)说明新冠肺炎的该项指标值不正常． 本题考查二项分布及其期望，考查函数模型的选择及其应用，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能力，是中档题． 21.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=e x ln(x +1)−x ，∴f′(x)=e x[ln(x+1)+1x+1]−1，令F(x)=ln(x+1)+1x+1，x>0，∴F′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2>0，∴F(x)在(0,+∞)上单调递增，∴F(x)>F(0)=1，又∵e x>1，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)递增，∴f(x)>f(0)=0，∴m≤0．(2)f′(x)=ae ax ln(x+1)+e ax−1=e ax[aln(x+1)+1x+1]−1，令g(x)=f′(x)，∴g′(x)=e ax[a2ln(x+1)+2ax+1−1(x+1)2]，令ℎ(x)=a2ln(x+1)+2a x+1−1(x+1)2，则ℎ′(x)=a 2x+1−2a(x+1)2+2(x+1)3=[a(x+1)−1]2+1(x+1)3>0，∴ℎ(x)在(−1,+∞)上递增，且ℎ(0)=2a−1，1°当a=12时，ℎ(0)=0，当x∈(−1,0)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，f′(x)为减函数；当x∈(0,+∞)时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，f′(x)为增函数，∴f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)在(−1,+∞)上单调递增，即x=0不是极值点，∴a=12成立，2°当a>12时，ℎ(0)=2a−1>0，∵ℎ(x)在(−1,+∞)上单调递增，当x→−1时，ℎ(x)→−∞，∃x0∈(−1,0)，使得ℎ(x0)=0，当x∈(x0,+∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴f′(x)在(x0,+∞)上为增函数，又f′(0)=0当x∈(x0,0)时，f′(x)<f′(0)=0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，∴x =0是极小值点，不成立．综上，a =12．【解析】本题考查了导数和函数的极值、单调性的关系，属于较难题．(1)先求导，再构造函数，再求导，利用单调性求出函数的最值，即可求出m 的范围；(2)根据导数和函数极值点的关系即可求出a 的值．22.【答案】解：(1)直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)为参数)，转换为直线l 1的普通方程为y =k(−x)，直线l 2的参数方程{x =n y =2+n k (n 为参数)，转化为直线l 2的普通方程为y −2=x k ． 联立直线l 1，l 2方程，消去参数k ，得曲线C 的普通方程为y(y −2)=−x 2整理得x 2+(y −1)2=1(x ≠0)．(2)设Q 点的直角坐标系坐标为(ρcosα,ρsinα)(ρ>0)，由tanα=54(0<a <π2)可得sinα=√41cosα=√41代入曲线C 的方程可得ρ241=0，解得ρ=√41ρ=0(舍)，所以点Q 的极径为10√4141．【解析】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．23.【答案】解：(1)不等式f(x)>4−|x +1|，即|x +1|+|x +2|>4，当x <−2时，不等式化为−(x +1)−(x +2)>4，解得x <−3.5；当−2≤x ≤−1时，不等式化为−(x +1)+(x +2)>4，无解；当x ≥−1时，不等式化为(x +1)+(x +2)>4，解得x >0.5；综上所述：不等式的解集为(−∞,−3.5)∪(0.5,+∞)．(2)证明：4a +1b =12(4a +1b )(a +b)=12(4+4b a +a b +1)≥12(4+2√4b a ·a b +1)=4.5， 当且仅当a =43,b =23时，等号成立．由题意知，|x−52|−f(x)=|x−52|−|x+2|⩽|x−52−(x+2)|=4.5，所以|x−52|−f(x)≤4a+1b．【解析】本题考查了不等式解法，不等式的证明，属于中档题．(1)利用分段讨论法解绝对值不等式即可；(2)求出4a +1b的最小值m，要证：|x−52|−f(x)≤4a+1b.只需证|x−52|−f(x)≤m即可．。