正圆锥台展开计算公式
展开放样基础知识
2.取a’b’ 为另一直角边;
所得直角三角形的斜边即实长AB 。
O b
解题完毕
直角三角形求实长的作图要领
1）做一个直角 2）令直角的一边等于线段在某一投影面上的投影 长， 直角的另一边等于线段两端点相对于该投影 面的距离差（此距离差可由线段的另一面投影图量 取）； 3）连接直角两端点成一直角三角形，则其斜边即 为线 段的实长。
线段实长的判断
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
1、特殊 位置 直线
投影面垂直线
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
2、一般位置直线（倾斜于各投影面）
3、曲线（略）
1.平行线
水平线AB//H
V a ′ b′
Aβ γ
a″ b″W
B
5.1 平行线法展开
展开时将工件的表面看作由无数条相互平行的素线组成 ，取两 条相邻素线及其两端线所围成的小面积作为平面 ，将每个小平面的真实大小依次画在平面上，即得到构件 的展开图。该展开方法为平行线展开法，此法适用于素线 相互平行的构件展开（如：上斜口圆管、上斜口四棱管、 圆柱面等）。
届数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积教学案含解析
第2节空间几何体的表面积和体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知识梳理1。
多面体的表(侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r1＋r2）l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋V＝S底h(棱柱和圆柱)2S底锥体（棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝错误!S底h台体（棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h球S＝4πR2V＝错误!πR3［常用结论与微点提醒］1。
正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。
长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。
（)（2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。
（)(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（)(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。
(）解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案（1）×（2）×（3)√(4)√2。
(新教材必修第二册P120T5改编)一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（)A。
33 B.错误! C.错误!D。
错误!解析由S＝4πR2＝4π，得R＝1，故2×1＝3a，得a＝错误!。
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2、放样的一般步骤：
读图——准备放样工量 具——选择放样基准——放 样操作
放样工具：
钢尺、中心冲、划线平板、直 角尺、划针、锤子、划针盘、圆 规
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（3）选择放样基准：
基准一般应选在构件的对称平面、底面、重要端面以及回转 体轴线上。
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（4）、放样划线的基 本操作： （5）、放样划线时的 注意事项 ： （6）、放样操作的步 骤：
t 2
t 2
＝（ d - ） 180 L 2
图2.40 圆锥管放样展开时的板厚度处理
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2.7
简单几何形体的展开计算
2.7.1 正圆柱管的展开计算
以中心层作为计算依据。正圆柱管展开后为一矩形。 正圆柱中心展开圆周长
L D t d t d1
展开后表面积（mm2）；
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1.求形体表面上点的投影 （1）用素线法求形体表面点的投影
原理： 设想圆锥面是由许多 素线所组成的，圆锥面上 任一点必然在过该点的素 线上。只要求出该点的素 线投影，即可求出该点的 投影。
图2.27 用素线法求圆柱、圆锥表面点的投影 33
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1.求形体表面上点的投影 （2）用纬线法求形体表面点的投影
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2.4.4 基本知识：
相贯体的展开
由两个或两个以上形体组合而成的构件称为相贯 体。其表面的交线称为相贯线。对于相贯体构件的展 开而言，关键就是相贯线的求法。常见的相贯线求法 有直线型相贯线法、素线法、纬线法、辅助平面法等。
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2.4.4
相贯体的展开
1.求形体表面上点的投影 （1）用素线法求形体表面点的投影 （2）用纬线法求形体表面点的投影 （3）用辅助平面法求形体表面点的投影 2. 求形体相贯线 （1）直线型相贯线 （2）用素线法求圆锥面直交圆柱面的相贯线及展开图 （3）用纬线法求圆柱面侧面直交正圆锥面的相贯线及其展开图 （4）用辅助平面法求两圆柱正交的相贯线并作其表面展开图
圆锥展开计算公式
圆锥面积公式及体积公式
圆锥面积公式及体积公式圆锥是一种常见的几何体，其形状独特，具有很多特殊的性质。
在数学中，我们常常需要计算圆锥的面积和体积，这些计算公式对于求解各种数学问题都非常重要。
本文将介绍圆锥面积公式及体积公式的推导过程和应用，希望对读者有所帮助。
一、圆锥面积公式圆锥的面积指的是其侧面积和底面积之和。
首先我们来推导圆锥的侧面积公式。
假设圆锥的高为h，底面半径为r，侧面母线长为l，则圆锥的侧面积可以表示为：S = πrl其中，π是圆周率，r是底面半径，l是侧面母线长。
这个公式的推导过程比较简单，可以通过圆锥的投影图来理解。
我们知道，圆锥的侧面可以展开成一个扇形，其弧长为侧面母线长l，半径为圆锥的斜高s。
根据圆的面积公式，扇形的面积为πrs/360°，因此圆锥的侧面积可以表示为πrs/2。
又因为s^2 = r^2 + h^2，所以r = (s^2 - h^2)^0.5，代入公式中得到S = πrl。
接下来我们来推导圆锥的底面积公式。
圆锥的底面是一个圆形，其面积可以表示为πr^2，其中r是底面半径。
因此，圆锥的总面积可以表示为S = πrl + πr^2。
二、圆锥体积公式圆锥的体积指的是其内部空间的容积，也就是可以装下多少物体。
圆锥的体积公式可以通过圆锥的底面积和高来计算。
假设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆锥的体积可以表示为：V = 1/3 ×πr^2h这个公式的推导过程比较简单，可以通过圆锥的几何性质来理解。
我们知道，圆锥可以看作是一个由无数个薄圆盘叠加而成的立体图形。
每个薄圆盘的面积可以表示为πr^2，厚度为dx，则其体积可以表示为πr^2dx。
将所有薄圆盘的体积叠加起来，并对x从0到h积分，即可得到圆锥的体积公式。
三、圆锥面积公式和体积公式的应用圆锥面积公式和体积公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来介绍一些常见的应用场景。
1. 计算圆锥容器的容积圆锥容器是一种常见的工业容器，用于存放液体或气体。
高中数学 必修2(北师大)6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积
易错警示
易错原因
纠错心得
解本题易出现的错误有：(1)错误判 断几何体的形状，如绕 x 轴旋转时 漏掉了线段 OB 所产生的圆面，这 样计算时就少了这个圆的面积；(2) 用错旋转体的面积计算公式，特别 是圆台的侧面积公式，导致运算错 误.
确定平面图形旋转形成的几何体 的形状时，要根据旋转体的定义， 将平面图形分成一些矩形、直角三 角形、直角梯形、半圆等，要注意 形成的旋转体之间的关系，尤其是 几何体的挖空或重叠，防止求解几 何体的表面积时造成遗漏或重复 计算.
2．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则该长方体 的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11
解析：长方体的表面积为 S 表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 答案：A
3．若圆柱的轴截面为边长为 2 的正方形，求圆柱的侧面积( ) A．2π B．4π C．6π D．8π
解析：设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，
如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′. 因为 S 侧＝2S 底，
所以21×3a×h′＝ 43a2×2， 所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2，
所以
32＋
63×
3h′2＝h′2，
所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的 展开图形状都相同，面积都相等．( √ ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图 形．( × ) (3)空间几何体的侧面积即是表面积．( × ) (4)圆台的侧面展开图是一个扇环．( √ )
钣金展开放样
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2.4.4 相贯体的展开
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基本知识：
由两个或两个以上形体组合而成的构件称为相贯 体。其表面的交线称为相贯线。对于相贯体构件的展 开而言，关键就是相贯线的求法。常见的相贯线求法 有直线型相贯线法、素线法、纬线法、辅助平面法等。
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2.4.4 相贯体的展开
原理： 用过形体表面任一点
所作的平面截切形体，可 得到一条纬线（面与形体 的交线），那么该点必定 在该纬线上，只要把该纬 线投影到另一视图上，就 可求出该点在另一视图上 的投影。
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图2.28 用纬线法求作圆锥表面点的投影 35
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1.求形体表面上点的投影 （3）用辅助平面法求形体表面点的投影
原理： 若沿着纬线的方向 划分球面，相邻两 纬线之间的球面被 近似地看成以相邻 两纬线为上、下底 边的正圆锥面或圆 柱面。
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2. 用经线法作半球面的展开图
。
原理： 若顺着球体经线方 向把球面划分为若 干等份，把其中两 相邻经线之间的不 可展曲面近似地看 做沿经线方向的单 向弯曲的可展圆柱 面，然后再用平行 线法展开这一近似 圆柱面
作图步骤： （1）在直线AB上任取1、 2两个点； （2）分别以1、2两点为 圆心，以a为半径画两段 圆弧； （3）作与两圆弧外切的 公切直线CD。CD即所求 平行线。
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2.1.3、圆的等分：
（1）计算法： 根据多边形边数查表计算
出多边形的边长。 （2）作图法：
① 引出相互垂直的两直线 段AB, CD，并交于O点，以O 点为圆心，R为半径画圆。
有关圆锥展开图计算的两个重要公式
有关圆锥展开图计算的两个重要公式⼤家在解决有关圆锥侧⾯展开图的计算问题时，通常利⽤了两个等量关系，第⼀个是=×底⾯圆周长(或侧⾯的弧长)×母线长，第⼆个就是侧⾯的弧长等于底⾯的周长，但每次都直接利⽤这两个等量关系来计算还是很⿇烦，特别是同学们往往容易忘记乘以系数，基于此我们不妨把这两个等量关系进⼀步推导，得出实质性的乘积、⽐例公式。
我相信同学们在理解并运⽤这两个公式后，解题的思路可以变得清晰，速度和准确度也可以得到很⼤的提⾼。
⼀、推导公式：1.乘积式：侧⾯积：全⾯积：2.⽐例式：弧长等于⊙O1的周长∵∴⼜∵即：这两组公式的优点是避开了求底⾯圆周长，⽽直接建⽴了S侧与R、r的乘积关系，以及圆⼼⾓n与R、r的⽐例关系，减少了许多中间过程，特别是⽐例式给我们的计算带来了极⼤的便利。
⼆、运⽤乘积式：类型⼀：顺向使⽤公式【问题】（2009济南）在综合实践活动课上，⼩明同学⽤纸板制作了⼀个圆锥形漏⽃模型．如图所⽰，它的底⾯半径⾼则这个圆锥漏⽃的侧⾯积是（）A． B． C． D．分析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长度以及底⾯圆半径有关，若题⽬没有直接给出母线长度以及底⾯圆半径，往往还可以利⽤R、r和h组成的直⾓三⾓形，求出未知的R 或r来，从⽽计算出侧⾯积。
结论：要求,就求R、r。
解答：此题由底⾯半径⾼可以求出母线BC为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由，选C。
【练习】1. （2009铁岭）⼩丽想⽤⼀张半径为5cm的扇形纸⽚围成⼀个底⾯半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸⽚的⾯积是cm2．（结果⽤表⽰）202.（2009南昌）⼀个圆锥的底⾯直径是80cm,母线长是90cm,则它的侧⾯积是____ 。
3600cm23. （2008成都）⼩红同学要⽤纸板制作⼀个⾼4cm，底⾯周长是6πcm的圆锥形漏⽃模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的⾯积是（）BA．12πcm2 B．15πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2类型⼆：逆向使⽤公式【问题】（2009义乌）如图，圆锥的侧⾯积为，底⾯半径为3，则圆锥的⾼AO为 .分析：从刚才推导出的可以看出，已知、R、r中任意两个量可以求出余下未知的量，若题⽬要求求出圆锥的⾼h，往往还可以利⽤R、r和h组成的直⾓三⾓形，从⽽求出。