12一元二次方程的根及近似解
《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求
得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4 D D．1.4
3.用图象法求一元二次方程
x2 的x 近1似根0（精确到0.1）.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个 实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器 进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
＋bx＋c＝0的近似根为( )
B
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而
对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称
轴为x＝－1，则
y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方1程
ax2+bx+c=0的根是__(2_,_0_)_.
知识卡片-图象法求一元二次方程的近似根
图象法求一元二次方程的近似根能量储备●利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤(1)画出函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象.(2)确定抛物线与x轴交点的个数，看交点在哪两个数之间．(3)列表，在两个数之间取值估计，并用计算器估算近似根，近似根在对应y值的正负过渡的地方，当x由x1取到x2时，若对应的y值出现y1＞0，y2＜0，则x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．一般需要我们求近似根的方程，其根往往是无理数，所以列表时不可能取到精确根．●图象法求解一元二次方程的常用方法(1)方法1：利用找抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象；②观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．(2)方法2：利用抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2(a≠0)与y＝－bx－c(b≠0)[或y＝ax2＋bx(a≠0)与y＝－c或y＝x2与y＝－ba x－ca）（0ab]的图象；②观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；③交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．通过画函数的图象解一元二次方程是数的直观化的体现．但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．通关宝典★基础方法点方法点1：利用图象法求一元二次方程的近似实数根先根据抛物线与x轴的交点，确定出交点的横坐标的大致范围，即得到一元二次方程实数根的大致范围，然后利用取平均数的方法，逐步缩小实数根所在的范围，这样，实数根所在范围的两端的值越来越接近根的值，从而可确定一元二次方程的近似实数根．例：利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根．(精确到0.1)解法1：原方程变形为－x2＋2x＋5＝0.作函数y＝－x2＋2x＋5的图象如图所示．由图象可知，抛物线与x轴交点的横坐标分别在－2与－1之间和3与4之间，即方程－x2＋2x－3＝－8的两实数根分别在－2与－1之间和3与4之间．用取平均数的方法不断缩小根的取值范围，从而确定方程的近似解．如由图象可知，当x＝3时，y＞0；当x＝4时，y＜0.取3和4的平均数3.5.当x＝3.5时，y＝－0.25，与x＝3时的函数值异号，所以方程的这个根在3和3.5之间．取3和3.5的平均数3.25.当x＝3.25时，y＝0.937 5，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.25和3.5之间．取3.25和3.5的平均数3.375.当x＝3.375时，y＝0.359 375，与x＝3.5时的函数值异号，所以方程的这个根在3.375和3.5之间．由此方法可得到原方程的一个近似实数根为3.4.用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为－1.4.所以方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.解法2：作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图所示．由图象知，方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，一个交点的横坐标在－2与－1之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．同样用取平均数的方法，可得方程－x2＋2x－3＝－8的实数根为x1≈－1.4，x2≈3.4.★★易混易误点蓄势待发考前攻略考查根据给出的几组x，y值确定一元二次方程的解，题型多为选择题、解答题．完胜关卡。
第二十四章 一元二次方程
的长和宽
例2
解方程3x2-32x-48=0.
x232 3
解：方程两边都除以3，得 x-16=0. 将方程的二次项系 数化为1，更便于配 方！
移项，得 x2x232 3 x=16.
配方，得
16 16 32 x+( 3 )2=16+( 3 )2， 3 (x- 16 )2=( 20)2， 3 3 20 16 16 x= ，或x- = 20 . 3 3 3 3
2 b b 4ac 2 最后得到(x+ 2a ) = 2 4a
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)： x
小明认为，
把上式两边开平方并整理，就可求得方程的根
x b± b 4ac 2a
2
小亮认为，
小明的做法存在着问题。由a ≠0，得4a2>0，所以， 只有在b2-4ac≥0，即
b 4ac 4a
看看下面几道题的结果是什么呢？
如果(x+2)2=9，那么x= _______ 1或-5
7 3 或 7 3 如果(x-3)2=7，那么x= ___________
1或-3 如果x2+2x+1=4，那么x= _______
事实上，方程x2+2x-3=0可变形为 x2+2x+1=4，也就是(x+1)2 =4，在通 过开平方即可求出x1=-3，x2=1。
4 所以， x1=12，x2= . 3
用配方法解一元
二次方程的一般
步骤是什么？
例3 有一张长方形 桌子，它的长为2m，宽 为1m。有一张长方形台 布，它的面积是桌面面 积的2倍，将台布铺在 桌面上时，各边垂下的 长相等。求这块台布的 长和宽（均精确到 0.01m）。
用图象法求一元二次方程的根
用图象法求一元二次方程的根学习了二次函数之后，可以利用图象求一元二次方程的根。
下面介绍几种具体的方法： 方法一：直接画出函数y=ax2+bx+c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根.其步骤一般为：（1）作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象；（2）观察图象与x 轴交点的个数；（3）若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根.方法二：先将方程变形为ax2+bx=-c ，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=-c 的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.方法三：可将方程化为a c x ab x ++2=0，移项后为a c x ab x --=2.设y=x2和y=a cx a b --，在同一坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=a cx ab --的图象，则图象交点的横坐标就是方程的根.这种方法显然要比方法一快捷得多，因为画抛物线远比画直线困难得多.例：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图1所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． （4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．解：（1）观察图象，抛物线与x 轴交于两点（1，0）、（3，0）故方程20ax bx c ++=的两个根11x =，23x = .（2）不等式20ax bx c ++>，反映在函数图象上，应为图象在x 轴上方的部分，因此不等式20ax bx c ++>的解集应为13x <<.（3）因为抛物线的对称轴为x=2且开口向下，所以在对成轴的右侧y 随x 的增大而减小故自变量x 的取值范围为2x >（4）若使方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，也就是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象与直线y=k 有2个不同的交点，观察图象可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当2k <才能满足条件.点评：可以看到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠和方程20ax bx c ++=及不等式20ax bx c ++>之间都有密切的联系。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次公式解法
一元二次公式解法一元二次方程的解法是数学中的一个重要概念，它涉及到一元二次方程的根的求解。
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有多种，其中最常用的方法是公式法。
公式法是通过一元二次方程的根的公式来求解方程的根。
一元二次方程的根的公式是：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)其中，b^2 - 4ac 叫做判别式，√(b^2 - 4ac) 叫做根号下的判别式。
使用公式法解一元二次方程的步骤如下：1. 将方程化为一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
2. 计算判别式 b^2 - 4ac。
3. 根据判别式的值判断方程的根的情况：当判别式 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根（重根）；当判别式 b^2 - 4ac < 0 时，方程没有实根（虚根）。
4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出方程的根。
下面是一个使用公式法解一元二次方程的示例：解方程：x^2 - 6x + 9 = 01. 将方程化为一般形式：x^2 - 6x + 9 = 0，其中 a = 1, b = -6, c = 9。
2. 计算判别式 b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0。
3. 因为判别式 b^2 - 4ac = 0，所以方程有两个相等的实根。
4. 将判别式的值代入根的公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)，得到 x = [-(-6) ± 0] / (2 × 1) = (6 ± 0) / 2 = 3。
所以，方程 x^2 - 6x + 9 = 0 的解为 x1 = x2 = 3。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
一元二次方程式求根公式法
一元二次方程式求根公式法一元二次方程式是一个由二次项、一次项、常数项组成的方程，它的求根公式又称“二次公式”，也可以用展开式得到。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式求根公式法是以一元二次方程式的标准型式：ax+ bx + c = 0为基础，利用它的求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a求出一元二次方程式的两个根的方法。
首先，将一元二次方程式化为标准型式，即：ax+ bx + c = 0。
将a, b, c 代入求根公式：x= [-b√ (b-4ac)]/2a，算出x的两个值：一个是负号，另一个是正号。
其次，根据符号，计算出x的绝对值。
由于b-4ac可能大于0，也可能小于0，因此得到的结果有可能是一个实数，也有可能是两个实数（实部与虚部）。
最后，将x的绝对值带回到一元二次方程式中，以确定一元二次方程式的两个根。
一元二次方程式求根公式法是一种有效的求解一元二次方程式的方法，它是一元二次方程式解法中最简便、最容易上手的解法。
一元二次方程式的解也可以用图形法求出，首先，要将一元二次方程式化为y=f(x)的形式，然后在数轴上画出图形，图形中的交点就是方程的根。
但是这种方法只能求出近似解，而且计算量也比较大，不如一元二次方程式求根公式法直接求出精确解。
一元二次方程式求根公式法有很多实际应用，如生活中的几何问题，如：求圆的面积、周长、圆心角等；或者在物理、化学中求解许多物理量的关系，如力的平衡、物体的运动等。
因此，一元二次方程式求根公式法在学习中同样重要，它可以帮助我们快速算出一元二次方程式的解，熟练掌握二次公式对于理解各个科学问题也有很大的帮助。
综上所述，一元二次方程式求根公式法是一种简便、有效的求解一元二次方程式的方法，它可以快速算出一元二次方程式的解，并且在学习中有着重要的作用，是科学研究的重要基础之一。
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一元一次方程的解
［例 ］已知关于x的一元二次方程(m1)x2 +3x -5m +4=0有一根为2，求 m。
•［分析］一根为2即x=2,只需把 x=2代入原方程。
一元二次方程的近似解
1.一元二次方程近似解的定义：对于一元二次 方程ax2 bx c 0(a 0)来说，求近似解的过 程就是找到这样的x, 使ax2 bx c的值接近_0__, 则可大致确定x的取值范围.
D. 4&l你有哪些新的认识和体会？
1.布置作业：从教材习题中选取。 2.完成状元导练中本课时练习的“课后作 业”部分。
知识回顾
什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫
做方程的解。 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为
“1”的整式方程，叫做一元一次方程。它 的一般形式是：ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到 明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增 长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底 的图书数是5万册,则今年年底的图书数应是 5(1+x)万册.明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万 册,即5(1+x)2(万册).可列得方程 5(1+x)2=7.2
2.估计一元二次方程的解：估计一元二次方程 的解，只是估计“解”的_取_值_范__围_,比如在哪两个 数之间，再通过不断__缩_小_范_围__,逐步获得其近似解.
随堂演练
已知矩形的宽度为xcm,长为2xcm, 面积为24cm2
,则x的取值范围为（C ）
A.1<x<2
B. 2<x<3
C. 3<x<4