二次函数求一元二次方程的近似解
用二次函数求一元二次方程的近似解
在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是
相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子
例1．利用二次函数图象求一元二次方程2
530x x -+=的近似解
分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下：
点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程：
20ax bx c ++=的根，主要步骤为：
（1）准确画出)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线；
（2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间；
（3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可
下面，我们在来研究比较复杂一点的问题
例2．利用二次函数图象求一元二次方程2
238x x -+-=-的近似解
分析：由于2
23y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程
2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解
解：在平面直角坐标系内作出函数2
23y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程
2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横
坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间
图1
（1）先求在-1和-2之间的根，利用计算器进行探索
因此x=-1.5是方程2
238x x -+-=-的一个近似根
因此x=3.5
是方程2
238x x -+-=-的另一个近似根
故一元二次方程2
238x x -+-=-的解为121.5, 3.5x x =-=
点评：本题的基本步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y h =的交点的位置确定交点的横坐标的范围； （3）利用计算器估计方程的近似解
图2
x
解一元二次方程(直接开方法-配方法)练习题100+道
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
第2课时一元二次方程的根及近似解
第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.
根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评： 的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知，深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可. 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式
配方法解一元二次方程的教案
配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程
初三数学一元二次方程与二次函数测试题
初三数学第二次月考 班级 姓名 学号 一．选择题(每小题3分，共24分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） 4．关于的一元二次方程有实数根，则( ) (A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次 函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )
二.填空题（每小题4分，共32分） 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析 式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的 根的情况是______________________. 13..若关于的方程 的根是整数，则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式：_____________________. 16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点 的坐标是________________. O x y A B 1 1 三．解答题 1．用适当的方法解方程： （1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
(完整版)解一元二次方程配方法练习题
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律：
二次函数求一元二次方程的近似解
用二次函数求一元二次方程的近似解 在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是 相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子 例1．利用二次函数图象求一元二次方程2 530x x -+=的近似解 分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下： 点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程： 20ax bx c ++=的根，主要步骤为： （1）准确画出)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线； （2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间； （3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可 下面，我们在来研究比较复杂一点的问题 例2．利用二次函数图象求一元二次方程2 238x x -+-=-的近似解 分析：由于2 23y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程 2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解 解：在平面直角坐标系内作出函数2 23y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程 2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横 坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间 图1
一元二次方程与二次函数专题
二次函数与一元二次方程专题 一、知识要点： 二次函数图象与x 轴交点情况： 二、经典例题： 1．y=(m-2)22-m x +x －3=0是关于x 的二次函数，则m 的值是 2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点，则=a (2)二次函数y=2 (0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-，则=++c b a ，=+-c b a （3）等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标，则周长是 ． 3．求下列二次函数与x 轴交点坐标. （1）2222y x mx m n =-+- （2）2()2y m n x nx m n =++-+ （0≠+n m ） 4．已知：关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点，则k . 5.已知关于x 的二次函数2 3y x m x m =-＋（）－ 求证：该函数与x 轴必有两个交点.
6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=（m-1）x 2-2x+1都与x 轴有两个交点，求m 的整数值. 7.当k 为何整数时，关于x 的二次函数y=kx 2－4x ＋4和y=x 2－4kx ＋4k 2－4k －5都与x 轴交于整数点. 8.已知：m 为整数，且二次函数y=x 2－3x ＋m ＋2与x 轴正半轴有两个交点，求m 值. 9.已知：抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上． （1）求证：该二次函数与x 轴必有两个交点； （2）设抛物线与x 轴交点为A （1x ，0），B （2x ，0）（A 在B 左侧）．若2y 是关于m 的函数，且2212y x x =-， 求这个函数的解析式； （3）若AB=3，求抛物线的解析式.
解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
一元二次方程与二次函数的应用题精选题
一、一元二次方程的应用题 1．（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分 5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分 解得：x 1=10％ x 2＝ 19 10 （不合题意，舍去） …………………………4分 答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分 （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝（元） ……………………6分 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝（元） ……7分 ∵＜ ∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分 2．（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 答案：26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时） 实验中学-余志高 一、教材分析： 《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。 二、教学目标 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的 情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解 集 .经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系. 利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想． 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学方法】 学生合作交流学习法 三、教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就
64二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解.docx
二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解 自学评价 1 ?二次函数的零点的概念 一元二次方程a* + /zx + c = O (a H O)的根也称为二次函数y = ax2 + bx + c ( a HO)的零点. 2.二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 (1) 一元二次方程ax2+bx^-c = O (aHO)有两个不相等的实数根禹，勺。判别式△ >0 O 对应的二次函数y = ax1 -\rbx^-c (aHO)的图象与兀轴有两个交点为(x p0), (兀2,0)O对应的二次函数y = ax2 +bx + c (aHO)有两个不同的零点西，x2； (2)一元二次方程ax2+bx-hc = 0 (Q HO)有两个相等的实数根x, = x2<=>判别式 A = 0 o对应的二次函数y = ax2 +bx + c ( a ^0)的图象与兀轴有唯一的交点为(西，0) O对应的二次函数y = ax2+bx + c (a H0)有两个相同零点x} = x2: (3)—元二次方程祇？+加+ c = 0 (G HO)没有实数根O判别式AvOo对应的二次 函数y = ax2 + + c ( a HO)的图象与x轴没有交点 <=>对应的二次函数y = ax2 +加+ c (a H0)没有零点. 3.推广 ⑴函数的零点的概念 一般地，对于函数y = f(x) (xeD),我们把使/(x) = 0的实数兀叫做函数y = f(x) (XG ￡))的零点. ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程/(x) = 0有实数根。函数y =于(兀)的图象与x轴有交点 o函数y =广(兀)有零点. 【精典范例】 例1：求证：一元二次方程2X2+3X-7= 0有两个不相等的实数根. 例2：右图是一个二次函数y = f(x)的图象. (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式； (3)试比较/(-4)/(-1), /(0)/(2)与0的大小关系. 例3：当关于兀的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： (1)方程兀彳―祇+ /一7 = 0的两个根一个大于2,另一个小于2； (2)方程cvc2+3x + 4a = 0的两根都小于1； 1 若方程2or2-x-l=0在(0,1)内恰有 一解，则d的取值范围是( ) A. a <-l B. a > 1 C. D. 0 < 6Z < 1
一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】 把方程ax2+c＝0(a≠0)， 这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 例：用直接开平方法解方程： 1．9x2-25＝0； 2．(3x+2)2-4＝0； 4．(2x+3)2＝3(4x+3)． 解：1．9x2-25＝0 9x2＝25 2．(3x+2)2-4＝0 (3x+2)2＝4 3x+2＝±2 3x＝-2±2
∴x1＝x2＝3． 4．(2x+3)2＝3(4x+3) 4x2+12x+9＝12x+9 4x2＝0 ∴x1＝x＝0． 【配方法解一元二次方程】 将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如 x2+ 例：用配方法解下列方程： 1．x2-4x-3＝0；2．6x2+x＝35； 3．4x2+4x+1＝7；4．2x2-3x-3＝0． 解：1．x2-4x-3＝0 x2-4x＝3 x2-4x+4＝3+4 (x-2)2＝7 2．6x2+x＝35
3．4x2+4x+1＝7 4．2x2-3x-3＝0 【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a
广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法 ＝0(a≠0)的求根公式。 例：用公式法解一元二次方程： 2．2x2+7x-4＝0； 4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)． 2．2x2+7x-4＝0 ∵a＝2，b＝7，c＝-4． b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝81
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解
一般的一元二次方程的解法—知识讲解
一元二次方程的解法（二） 一般的一元二次方程的解法—知识讲解（提高） 【学习目标】 1．了解配方法和公式法的概念、一元二次方程求根公式的推导过程，会用配方法和公式法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法和公式法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，通过求根公式的推导，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式222 ±+=±． a a b b a b 2() 要点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于
0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值
利用函数的图象求一元二次方程近似根审批稿
利用函数的图象求一元二次方程近似根 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
二次函数与一元二次方程（第二课时） 实验中学-余志高 一、教材分析： 《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。 二、教学目标 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程 ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集 .经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.
利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想． 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学方法】 学生合作交流学习法 三、教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x 轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根． Ⅱ．讲授新课
24解一元二次方程的方法练习
知识要点 ★直接开平方法：对于形式如()n m x =+2 （n ≥0）的方程，根据平方根的意义，即两边同时开平方，变形为n m x ±=+，得到两个一次方程，解一次方程得到未知数的值。 ★配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为()n m x =+2 的形式，从而得到这个一元二次方程的根。步骤如下： (1)把常数项移到方程的右边； (2) 把二次项系数化为1，(如果二次项系数不是1，给方程两边同除以二次项系数) (3) 给方程两边都加上一次项系数的一半的平方 (4) 方程左边是一个完全平方式，将方程变形为()n m x =+2 的形式 在()n m x =+2中，当0>n 时，方程有两个不相等的实数根n m x n m x --=+-=21,。 当0=n 时，方程有两个相等的实数根m x x -==21。 当0 第2课时一元二次方程的解 1．使一元二次方程左右两边___________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近____，则可大致确定x的取值范围． 知识点一：一元二次方程的解 1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是() A．－1B．1C．－2D．0 2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是() A．－1 B．0 C．1 D．2 3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝____． 4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是__________________． 5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝____． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____． 7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少． 知识点二：估算一元二次方程的近似解 8．已知x2－101＝0，那么它的正数解的整数部分是() A．8 B．9 C．10 D．11 9．方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是() A．－2 第2课时用逼近法求一元二次方程的近似根 知识点1用图像求一元二次方程的近似根 1.抛物线y=x2-2x+0.5如图5-4-5所示,利用图像可得方程x2-2x+0.5=0的近似根(精确到0.1)为 () 图5-4-5 A.1.7或0.3 B.1.6或0.4 C.1.5或0.5 D.1.8或0.2 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点坐标为(-1,- 3.2),部分图像如图5-4-6,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1≈1.3和x2≈() 图5-4-6 A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 3.图5-4-7是二次函数y=ax2+bx-c的部分图像,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c 的两个根可能是.(精确到0.1) 图5-4-7 知识点2用表格求一元二次方程的近似根 4.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值: 那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是() A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 5.下面的表格列出了函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的部分x与y的对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是() A.6 则一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两个根x1,x2(x1一元二次方程的近似解
5.4 第2课时 用逼近法求一元二次方程的近似根