目标规划单纯形法
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目标规划
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
例题4—2： 解：确定优先因子后得数学模型： min Z =P1 d1+ +P2 (d2- +d2+ )+P3 d32x1 +x2 ≤11 （在绝对约束基础上进行目标规划） x1 - x2 + d1- - d1+ = 0
(要求： d1+ 尽可能小，最好是0才能满足 ≤ )
x1 +2x2 + d2- - d2+ =10
（要求：d2- 和 d2+ 都尽可能小，最好等于0）
8x1 +10x2 + d3- - d3+ =56
（要求：d3- 尽可能小，最好是0才能满足≥）
x1 , x2 , di- ,di+ ≥0
规划模型：
目 标 规 划
(Goal programming)
目标规划概述
目标规划的数学模型 目标规划的图解法
目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约 束条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可 求得更切合实际的解。 2、线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。
目标函数
变量 约束条件
解
目标规划GP min , 偏差变量 系数≥0 xi xs xa d 目标约束 系统约束 最满意
三、目标规划的图解法
图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操 作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目 标规划的求解原理和过程。 图解法解题步骤如下： 1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件 （包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量） 在坐标平面上表示出来； 2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、 负偏差变量值增大的方向；
用单纯形法求解目标规划
P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 σkj P2 -10 －1 －2 0 0 0 2 0 0 0
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
目标规划的单纯形法
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 2 of 6
【解】用单纯形法求解目标规划问题的具体步骤如下：
第１步：列出初始单纯形表。由于目标规划中的目标函数一定是求极小， 为方便起见不转换成求极大。又由于各目标约束中的负偏差变量其系数均为 单位向量，全部负偏差变量的系数列向量构成一个基。因此本例中以d1－、d2 －、d3－作为基变量，列出初始单纯形表见表4－1。
1
§4.3 单纯形法 Simplex Method
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 5 of 6
这里需要说明两点： 1．对目标函数的优化是先按优先顺序逐步进行的。当P1行的
所有检验数均为非负时，说明第一级已得到优化，可转入下一 级，再考察P2行的检验数是否存在负值，依此类推。
因为目标函数中各偏差变量分别乘以不同的优先因子，因此表中检验
数（cj－zj）按优先因子Ｐ1、Ｐ2分成两行，分别计算。
第２步：确定换入变量。在表4－１中按优先级顺序依次检查Ｐ1,P2,Ｐ 3,…，Ｐk行的（cj－zj）值是否有负的。因表中Ｐ1行存在负检验数，说明目 标函数中第一优先级可进一步优化，选取Ｐ 行中最小检验数，其对应变量
第五章 整数规划 Exit
b
0
x1 1 ½
1/2 －1/2
20
0
d1+
[1/2] －1 1 1/2 －1/2
10
P2
d3－
1/2
－3/2 3/2 1 －1 40
Cj－Zj
P1
1
1
P2
－½
－3/2
1
0
x1 1
1 －1
解目标规划的单纯形法
⑤(在4表)4-1按上计算单最小纯比值形法进行基变换运算，建立新的计算表，返 回(2).
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】 用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线 性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相 的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。 行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】 用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线 性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相 的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。 行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
目标规划模型的求解(NO17)
工序
产品 A 工时定额
B
生产能力
加工
10
9
210
装配
5
6
120
毛利（元/件）
400
500
23
工厂领导提出下列目标：
（1）每个作业班的毛利不少于9800元；
（2）充分利用两个工序的工时，且已知加工工时费是装配 工时费的二倍；
（3） 尽量减少加班。
问：该工厂应如何生产，才能使这些目标依序实现？试建
立其数学模型。
8
初始单纯形表
min
Z
P1d1
P2
d
2
P3
(d
3
d
3
)
s.t.
3x1 x2
d1 d1 60
x1
x2
2x3
d
2
d
2
10
x1
x2
x3
d
3
d
3
20
xi
0;
d
i
0;
d
i
0(i
1,2,3)
min z1 d1 60 3x1 x2 d1 min z2 d2 min z3 d3 d3 20 x1 x2 x3 2d3
建立模型的电 子表格模型
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
20
优化 目标1
P1： minZ1=d1-
优化 目标2
minZ2= d2++d2-
21
优化 目标3
P3： minZ3=d3-
此表也即为最优表，最优解为 x1 4.8, x2 4.8, d2 2, d3 3.6 ：
目标的达到情况：
Z
第4章 单纯形法
为0，求出了一组基本可行解。试想如果x1或者x2
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
18
§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了
不为0，是否会带来目标函数值变大？ 需要最优性
检验，即如果x1或x2不论取其他任何非负值都不会
带来目标函数值增大，那该基本可行解就是最优解。
管理运筹学
18
§1 单纯形法的基本思路和原理
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。 （1） 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求 只用非基变量来表示目标函数，或者说目标函数中基变量的系数都为零了。 此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数 记为σ i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标 函数为3x1+5x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函 数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知 σ 1=３，σ 2=５，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。 检验数：用非基变量来代换基变量，使得目标函数只用非基变量来表示。
• Ｚ＝3x1+5x2 • 非基变量的检验数都大于0，说明增加x1或x2都可以使目标
函数值变大。故非最优解。 • 3、基变换。 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面
介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从
可行基中换一个列向量，得到一个新的可行基，使得求解得
到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确
§1 单纯形法的基本思路和原理
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个
基，令这个基的非基变量(n-m个)为零，再求解这个m元线性方程组就可得 到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解（基解）。
在此例中我们不妨找到了
线性规划-单纯形法
函数值增大，故要选检验数大于0的非基变量换到基变量中（称 之为入基变量）。若有两个以上的 σj＞0，一般选其中的 σj最大 者 本例中σ2=100
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
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.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 3、确定进基变量 • 在Pk行，从那些上面没有正检验数的负检
验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就 是进基变量。若Pk行中有几个相同的绝对 值最大者，则依次比较它们各列下部的检 验数，取其绝对值最大的负检验数的所在 列的xs为进基变量。假如仍无法确定，则选 最左边的变量（变量下标小者）为进基变 量，转第4步。否则，转第6步。
• 例，某电视机厂装配黑白和彩色电视，每装配一 台占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。 预计市场每周彩色电视机的销售量为24台，每台 获利80元，黑白电视机销售量30台，每台可获利 40元，该厂目标为：
• 第一级：充分利用装配线每周开动40小时 • 第二级：允许装配加班，但每周尽量不超过10小
时 • 第三级：允许装配电视机的数量尽量满足市需要，
因彩色利润高，故其权系数为2
.
2.2.4 目标规划的基本概念
① 线性规划目标 ② 可行解 ③ 可接受解与不可接受解 ④ 达成函数 ⑤ 最优解 ⑥ 多重最优解 ⑦ 无界解
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
一般形式：
cj
c1
c2
CB
XB
b
x1
x2
cj1
5
P2
d
3
P2
d
4
P3
d
2
3
0
x1
2 x1
12
x2 x2
d
1
பைடு நூலகம்
d
2
d
1
d
2
2500 140
s .t .
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0 0 P1 0 0 P3
x x CB XB b
表，获得一组新解，返回到第2步。 • 6、对求得的解进行分析 • 当k=K时，计算结束，停止运算；表中的解
即为最终解。若不满意，需修改模型，即 调整目标优先等级和权系数，或者改变目 标值，重新进行第1步。否则置k=k+1，返 回第2步。
.
例 用单纯形法求解下列目标规划问题
m in Z
P1
d
1
2
.
0 1 00 1
1 0 00 0
0 1 00 0
P3
0 2.5P2 0
P2
d
2
d
3
d
3
0 －30 30
d
4
d
4
00
－1 －2 2 0 0
0 1 －1 0 0
0
0
0
1 －1
P1
0 －12 0 1 0
0 30 －30 0
0
σj
P2
0
0
00 0
0
0 2.5 0
1
P3
0
0 00 0
1
0
0
0
0
θ= min｛700/30,20/2,－, －｝=10 ,故 d为2 换出变量。
2.2.3 目标规划的图解法
• 例某企业生产两种产品，在单件利润等有关数据 已知条件下，要求制定一个获利最大的生产计划：
• 目标，第一级：允许加班，加班时间每周不超过 10小时；第二级：产品产量满足市场需求
产品
销量（kg/ 件）
时间（h/ 件）
利润（元/ 件）
Ⅰ
Ⅱ
24
30
1
1
8
10
.
限量 40
2.2.3 目标规划的图解法
P3
0 1/5 -1/15 1/15 1 0
xj1
bo1
e11
e12
cj2
xj2
bo2
e21
e22
cn+2m xn+2m e1n+2m e2n+2m
cjm
xjm
bom
em1
em2
P1
σ11
σ12
σj
P2
σ21
σ22
emn+2m σ1n+2m σ2n+2m
PK
σ.m1
σm2
σmn+2m
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 单纯形法的计算步骤 • 1、建立初始单纯形表 • 一般假定初始解在原点，即以约束条件中
0
0
d
4
100
0
1
0
0
0
0
0
0
00 00 00 1 -1
P1
0
3
0
1 15 -15 0
0
0
0
σj
P2
0 -5/4 0
0 -5/4 5/4 5/2 0
0
1
P3 0
0
0
0
0
1
00
0
0
θ= min｛400/15,－,－, －｝=10 ,故 d为1换出变量。
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0
CB XB
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0
0 P1 0
0
P3
0 2.5P2 0 P2
CB XB
b
x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
d
4
d
4
P1
d
1
400
0
-3
1
-1 -15 15
0
0
2.5P2
d
3
10
0 1/2 0
0 1/2 -1/2 -1
1
0 x1 70
1 1/2 0
0 1/2 -1/2 0
P3
d
2
2.5P2
d
3
b x1
80/3 0
70/3 0
0
x1 250/3
1
0
d
4
100
0
0
P1
0
0 P3
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
-1/5 1/15 -1/15 -1 1
2/5 1/30 -1/30 0 0
2/5 1/30 -1/30 0 0
1
0
000
P1
0
0
1
000
σj
P2
0
-1 -1/12 1/12 0 0
d
3
d
3
d
4
d
4
0
0
00
0
0
00
1 －1 0 0
0
0
1 －1
0 0 00
0 2.5 0 1
0 0 00
为d 3换出变量。
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
CB XB b
P1
d
1
700
0
d
2
20
0 x1 60
0
d
4
100
0 0 P1 0 0
x x 1
2
d
1
d
1
d
2
0 12 1 －1 0
的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变 量，按目标优先等级从左至右分别计算出 各列的检验数，填入表下半部的K行中，置 k=1 。
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 2、检验是否为满意解 • 若Pk这一行某些负检验数的同列上面（较
高优先等级）没有正检验数，说明未得到 满意解，应继续改进，转到第3步；若Pk这 一行全部负检验数的同列上面（较高优先 等级）都有正检验数，说明目标虽没达到， 但已不能改进，故得满意解，转到第6步。
1
2
d
1
d
1
d
2
d
2
P1
d
1
2500
30
12
1 －1 0
0
0
d
2
140
2
1
0 0 1 －1
0
d
3
60
1
0
00 0
0
0
d
4
100
0
1
00 0
0
P1 －30 －12 0 1 0
0
σj
P2
0
0
00 0
0
P3
0
0
00 0
1
θ= min｛2500/30,140/2,60/1. ｝=60 ,故
0 2.5P2 0 P2
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 4、确定出基变量 • 其方法同线性规划，即依据最小比值法则
minbeissi/eis 0beorsr
• 故确定xr为出基变量，ers为主元素。若有几个 相同的行可供选择时，选最上面那一行所对应 得变量为xr 。
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 5、旋转变换（变量迭代） • 以ers为主元素进行变换，得到新的单纯形
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 3、确定进基变量 • 在Pk行，从那些上面没有正检验数的负检
验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就 是进基变量。若Pk行中有几个相同的绝对 值最大者，则依次比较它们各列下部的检 验数，取其绝对值最大的负检验数的所在 列的xs为进基变量。假如仍无法确定，则选 最左边的变量（变量下标小者）为进基变 量，转第4步。否则，转第6步。
• 例，某电视机厂装配黑白和彩色电视，每装配一 台占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。 预计市场每周彩色电视机的销售量为24台，每台 获利80元，黑白电视机销售量30台，每台可获利 40元，该厂目标为：
• 第一级：充分利用装配线每周开动40小时 • 第二级：允许装配加班，但每周尽量不超过10小
时 • 第三级：允许装配电视机的数量尽量满足市需要，
因彩色利润高，故其权系数为2
.
2.2.4 目标规划的基本概念
① 线性规划目标 ② 可行解 ③ 可接受解与不可接受解 ④ 达成函数 ⑤ 最优解 ⑥ 多重最优解 ⑦ 无界解
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
一般形式：
cj
c1
c2
CB
XB
b
x1
x2
cj1
5
P2
d
3
P2
d
4
P3
d
2
3
0
x1
2 x1
12
x2 x2
d
1
பைடு நூலகம்
d
2
d
1
d
2
2500 140
s .t .
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0 0 P1 0 0 P3
x x CB XB b
表，获得一组新解，返回到第2步。 • 6、对求得的解进行分析 • 当k=K时，计算结束，停止运算；表中的解
即为最终解。若不满意，需修改模型，即 调整目标优先等级和权系数，或者改变目 标值，重新进行第1步。否则置k=k+1，返 回第2步。
.
例 用单纯形法求解下列目标规划问题
m in Z
P1
d
1
2
.
0 1 00 1
1 0 00 0
0 1 00 0
P3
0 2.5P2 0
P2
d
2
d
3
d
3
0 －30 30
d
4
d
4
00
－1 －2 2 0 0
0 1 －1 0 0
0
0
0
1 －1
P1
0 －12 0 1 0
0 30 －30 0
0
σj
P2
0
0
00 0
0
0 2.5 0
1
P3
0
0 00 0
1
0
0
0
0
θ= min｛700/30,20/2,－, －｝=10 ,故 d为2 换出变量。
2.2.3 目标规划的图解法
• 例某企业生产两种产品，在单件利润等有关数据 已知条件下，要求制定一个获利最大的生产计划：
• 目标，第一级：允许加班，加班时间每周不超过 10小时；第二级：产品产量满足市场需求
产品
销量（kg/ 件）
时间（h/ 件）
利润（元/ 件）
Ⅰ
Ⅱ
24
30
1
1
8
10
.
限量 40
2.2.3 目标规划的图解法
P3
0 1/5 -1/15 1/15 1 0
xj1
bo1
e11
e12
cj2
xj2
bo2
e21
e22
cn+2m xn+2m e1n+2m e2n+2m
cjm
xjm
bom
em1
em2
P1
σ11
σ12
σj
P2
σ21
σ22
emn+2m σ1n+2m σ2n+2m
PK
σ.m1
σm2
σmn+2m
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 单纯形法的计算步骤 • 1、建立初始单纯形表 • 一般假定初始解在原点，即以约束条件中
0
0
d
4
100
0
1
0
0
0
0
0
0
00 00 00 1 -1
P1
0
3
0
1 15 -15 0
0
0
0
σj
P2
0 -5/4 0
0 -5/4 5/4 5/2 0
0
1
P3 0
0
0
0
0
1
00
0
0
θ= min｛400/15,－,－, －｝=10 ,故 d为1换出变量。
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0
CB XB
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0
0 P1 0
0
P3
0 2.5P2 0 P2
CB XB
b
x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
d
4
d
4
P1
d
1
400
0
-3
1
-1 -15 15
0
0
2.5P2
d
3
10
0 1/2 0
0 1/2 -1/2 -1
1
0 x1 70
1 1/2 0
0 1/2 -1/2 0
P3
d
2
2.5P2
d
3
b x1
80/3 0
70/3 0
0
x1 250/3
1
0
d
4
100
0
0
P1
0
0 P3
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
-1/5 1/15 -1/15 -1 1
2/5 1/30 -1/30 0 0
2/5 1/30 -1/30 0 0
1
0
000
P1
0
0
1
000
σj
P2
0
-1 -1/12 1/12 0 0
d
3
d
3
d
4
d
4
0
0
00
0
0
00
1 －1 0 0
0
0
1 －1
0 0 00
0 2.5 0 1
0 0 00
为d 3换出变量。
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
CB XB b
P1
d
1
700
0
d
2
20
0 x1 60
0
d
4
100
0 0 P1 0 0
x x 1
2
d
1
d
1
d
2
0 12 1 －1 0
的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变 量，按目标优先等级从左至右分别计算出 各列的检验数，填入表下半部的K行中，置 k=1 。
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 2、检验是否为满意解 • 若Pk这一行某些负检验数的同列上面（较
高优先等级）没有正检验数，说明未得到 满意解，应继续改进，转到第3步；若Pk这 一行全部负检验数的同列上面（较高优先 等级）都有正检验数，说明目标虽没达到， 但已不能改进，故得满意解，转到第6步。
1
2
d
1
d
1
d
2
d
2
P1
d
1
2500
30
12
1 －1 0
0
0
d
2
140
2
1
0 0 1 －1
0
d
3
60
1
0
00 0
0
0
d
4
100
0
1
00 0
0
P1 －30 －12 0 1 0
0
σj
P2
0
0
00 0
0
P3
0
0
00 0
1
θ= min｛2500/30,140/2,60/1. ｝=60 ,故
0 2.5P2 0 P2
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 4、确定出基变量 • 其方法同线性规划，即依据最小比值法则
minbeissi/eis 0beorsr
• 故确定xr为出基变量，ers为主元素。若有几个 相同的行可供选择时，选最上面那一行所对应 得变量为xr 。
.
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 5、旋转变换（变量迭代） • 以ers为主元素进行变换，得到新的单纯形