分支定界法PPT课件
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【精编】算法课件六分支定界PPT课件
结点e出队；
若e是回答结点，则
输出解或求解路径；
否则
检查e的所有子结点x：
若x满足约束条件，则
将x入队；
记录搜索路径；
LOGO
17
LOGO
❖ 优先队列式分支限界法程序框架
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数 ；初始化优先队列Q；
计算~C(T)，并将T入队；
循环，直到队列Q空（无解）：
❖ 响度表示人所感受到的声音的强弱程度，它是一种与人耳 的 听感特性有关的人对声音强弱的主观表示法。与客观表示 法相比，主观表示法不仅与声音的强度（如声压）有关、而 且还与声音的频率有关。
❖ 响度的单位为宋（sone），1宋是声压级为40dB，频率为 1000Hz纯音所产生的响度。任何一个声音的响度，如果被 听者判断为1宋响度的几倍，则这个声音的响度就是几宋。
正常人的耳朵在声波频率为1000Hz时(纯音时)刚好等感觉 到的最弱声压为2×10-5Pa，此声压称为基准声压p0，或 称听阈声压。当声压达到20Pa时，使人的耳朵刚好产生疼 痛，故称痛阈声压。
声压P是声学中表示声音强弱的指标。声压大，则声音越 强(越响)；声压小，则声音听起来弱(低)。
5.6 汽车噪声的检测
当且仅当满足下述关系时，称之为堆
k k
i i
k2i k 2i1
或
k k
i i
k2i k 2i1
i
1,2,,
n 2
11
示例2：旅行商问题
LOGO
❖FIFO分支定界
E-节点 活节点表
B CDE
C DEFG
E FGH I J K
F 路径12341，59
G 路径12431，66
5.2 分支界定解法PowerPoint 演示文稿
12
已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框 图来表示，见下图。
x2≤3
B
x1=2.25 x2=3.75 y=41.25
x2≥4
UB=41.25 LB=0
B1 x1=3 x2=3 y=39
B2 x1=1.8 x2=4 y=41
UB=41 LB=39
13
3.定界：由图可知。界为max { 39，41 } = 41。于是
4
③如果相应线性规划有最优解， 但不符合原整数规划问题的整数条件， 则这个最优解不是原整数规划的最优解，
记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界， 转入第二步。
5
第二步：
主要特征是分支。 具体作法： 从相应线性规划的最优解中， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件
的决策变量xj=bj
x2 4
x1 1
x1, x2 0
5 x 1 9 x 2 45
B21
x1 x2 6
x2 4
B22
x1 2 x1, x2
0
解B21得：最优解（x1，x2）=（1，4），最优值ymax=40. 解B22得: B22无可行解。
14
至此，已完成的求解过程和所得到的计算结果运用 框图来表示，如图所示：
UB=14 LB=14
22
例2：A问题为
MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0 x1,x2 都为整数
B问题为 MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0
23
问题B
Z=356
x1=4.81 ,x2=1.82 Z=356
已完成的求解过程和所得到的计算结果可用框 图来表示，见下图。
x2≤3
B
x1=2.25 x2=3.75 y=41.25
x2≥4
UB=41.25 LB=0
B1 x1=3 x2=3 y=39
B2 x1=1.8 x2=4 y=41
UB=41 LB=39
13
3.定界：由图可知。界为max { 39，41 } = 41。于是
4
③如果相应线性规划有最优解， 但不符合原整数规划问题的整数条件， 则这个最优解不是原整数规划的最优解，
记此最优值为原整数规划问题Z*的上界, 然后, 用观察法求出下界， 转入第二步。
5
第二步：
主要特征是分支。 具体作法： 从相应线性规划的最优解中， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件
的决策变量xj=bj
x2 4
x1 1
x1, x2 0
5 x 1 9 x 2 45
B21
x1 x2 6
x2 4
B22
x1 2 x1, x2
0
解B21得：最优解（x1，x2）=（1，4），最优值ymax=40. 解B22得: B22无可行解。
14
至此，已完成的求解过程和所得到的计算结果运用 框图来表示，如图所示：
UB=14 LB=14
22
例2：A问题为
MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0 x1,x2 都为整数
B问题为 MaxZ=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2 ≤70 x1,x2≥0
23
问题B
Z=356
x1=4.81 ,x2=1.82 Z=356
分支限界法(课堂PPT)
与回溯法不同的是，分支限界法首先扩展解空间树 中的上层结点，并采用限界函数，有利于实行大范围 剪枝，同时，根据限界函数不断调整搜索方向，选择 最有可能取得最优解的子树优先进行搜索。所以，如 果选择了结点的合理扩展顺序以及设计了一个好的限 界函数，分支界限法可以快速得到问题的解。
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
1 1
2
1
0
0
9
1
0
3
1
0
4
5
6
1
0
7
8
Hale Waihona Puke 101011 12
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
1 1
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运筹学课件第三节分支定界法
约束条件组
n aij xj b i My i j1 st. p (i 1 ,2,...,p) yi pq i1
在约束条件中保证了在P个0-1 变量中有p-q个1,q个0;凡取值 =0的yi对应的约束条件为原约束 条件,凡取值=1的yi对应的约束 条件将自然满足,因而为多余.
,先加工某种产品 0 yj （ j 1 ,2 ,3 ,4 ） 1 ，先加工另外产品 机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。 分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ≥3 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 2≤ X1 ≤2 X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
分支限界法 ppt课件
优先级是结点所对应的当前路长
解空间树
（每一个结点旁的数字表示该结点所对应的当前路长（下界））
ppt课件
6
6.2 单源最短路径问题
2. 算法思想
解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一 极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前 路长。
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩 展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆 中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并 依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前 扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i 再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长 度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。 这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时 为止。
节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最 高的节点成为当前扩展节点。
ppt课件
4
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
在有向图G中，每一边都有一个非负边权。 求：图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
ppt课件
5
6.2 单源最短路径问题
优先队列式分支限界法求解
ppt课件
12
6.3 装载问题
3. 算法的改进
节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示 不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当 前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则 当ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船 装最多集装箱，就应该把此箱装上船。
另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在算法每一 次进入左子树的时候更新bestw的值。
顶点i和j间有边，且此 路径长小于原先从原点
解空间树
（每一个结点旁的数字表示该结点所对应的当前路长（下界））
ppt课件
6
6.2 单源最短路径问题
2. 算法思想
解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一 极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前 路长。
算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩 展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆 中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并 依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前 扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i 再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长 度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。 这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时 为止。
节点为扩展节点。 （2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最 高的节点成为当前扩展节点。
ppt课件
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6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
在有向图G中，每一边都有一个非负边权。 求：图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
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6.2 单源最短路径问题
优先队列式分支限界法求解
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6.3 装载问题
3. 算法的改进
节点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树表示 不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解；ew是当 前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱的重量。则 当ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时若要船 装最多集装箱，就应该把此箱装上船。
另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在算法每一 次进入左子树的时候更新bestw的值。
顶点i和j间有边，且此 路径长小于原先从原点
分支限界法PPT幻灯片
3
依次从表PT中选取使目标函数的值取得极值的结点成 为当前扩展结点，重复上述过程，直到找到最优解。
随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函 数的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时 ，如果该结点的目标函数值是表PT中的极值（对于最小化问 题，是极小值；对于最大化问题，是极大值），则该叶子结 点对应的解就是问题的最优解。
限界函数为：
u b v ( W w ) ( v i 1w i 1 )
2021/2/27
6
分支限界法求解0/1背包问题
1 w=0, v=0 ub=100
2 w=4, v=40 ub=76
4×
w=11 无效解
5 w=4, v=40 ub=70
6 w=9, v=65 ub=69
7 w=4, v=40 ub=64
物品 1
重量(w) 价值(v)
4
40
价值/重量 (v/w)
10
2
7
42
6
3
5
25
5
4
3
12
4
2021/2/27
5
应用贪心法求得近似解为(1, 0, 0, 0)，获得的价 值为40，这可以作为0/1背包问题的下界。
如何求得0/1背包问题的一个合理的上界呢？
考虑最好情况，背包中装入的全部是第1个物品 且可以将背包装满，则可以得到一个非常简单的上界 的计算方法：ub=W×(v1/w1)=10×10=100。于是，得 到了目标函数的界[40, 100]。
2021/2/27
11
若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将 该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点 表PT中。
从表PT中选取使目标函数取得极大值的结点作为下一 次扩展的根结点，重复上述过程，当到达一个叶子结点时， 就 得 到 了 一 个 可 行 解 X=(x1, x2, …, xn) 及 其 目 标 函 数 值 bound(x1, x2, …, xn)。
整数规划-割平面法-分枝定界法18页PPT
在求解实际问题中，割平面法经常会遇到收敛很慢的情
况，但若和其它方法，如分枝定界法，联合使用，一般能收 到比较好的效果。
§3 分枝定界法
分枝定界法是求解整数规划的常用算法，既可用来解全部变量 取值都要求为整数的纯整数规划，又可用以求解混合整数规划。
该算法的基本思路是：先不考虑整数限制，求出相应的线性规 划的最优解，若此解不符合整数要求，则去掉不包含整数解的部分 可行域，将可行域D分成D1、D2两部分（分枝） ，然后分别求解这 两部分可行域对应的线性规划，如果它们的解仍不是整数解，则继 续去掉不包含整数解的部分可行域，将可行域D1或D2分成D3与D4两 部分，再求解D3与D4对应的线性规划，……，在计算中若已得到一 个整数可行解X0，则以该解的目标函数值Z0作为分枝的界限，如果 某一线性规划的目标值Z≤ Z0 ，就没有必要继续分枝，因为分枝（ 增加约束）的结果所得的最优解只能比Z0 更差。反之若Z＞ Z0 ，则 该线性规划分枝后，有可能产生比Z0 更好的整数解，一旦真的产生 了一个更好的整数解，则以这个更好的整数解目标值作为新的界限 ，继续进行分枝，直至产生不出更好的整数解为止。
所以有
x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4
因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4
即
3x3+x4 ≥3
引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3
将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
由于x1，x2的值已是整数，所以该题经一次切割已得最优解： x1=1，x2=1，最优值：Z※=2
46
10
x1
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
《分支限界法》课件
《分支限界法》PPT课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
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分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
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空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
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2 x1
x2
1 3
x1, x2 0且取整数
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
2
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
１
区域2
x1２３3Fra bibliotek⑴ 分支
假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两
个约束条件 xi b i 及 xi b i 1
分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即 两个后继问题，并求解之。
⑵ 定界
就没有分支的线性规划问题而言,以最优目 标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 的各子问题中目标函数值最大者作为下界，若
无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
4
５ zD z21 61 /14
４
A(3 2,10 3)
zE z211 4
zF z212 4
３
B(1, 7 3)
C(2, 23 9)
２
D(33 14 ,2)
１
E(2,2) s2
F(3,1) s212
s1
s21
０
１s211 ２
３
x1
6
LP0
z 29 6
S x1 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6 z 0
x1 2
x2 3
z4 z 4 S211
LP211
x1 2, x2 2 z0 4
LP212
S212 x1 3, x 2 1
z0 4
返回
7
8
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
1
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。
２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例：max Z x1 x2
x1
9 14
x2
51 14
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x1 x2
x1
9 14
x2
51 14
2x1
x2
1 3
x1 , x2 0且取整数
5
x2
zB z1 m10a/x3 zC z2 41 / 9
x1 1
x1 2
LP1
S1
x1 1, x 2 7 / 3 z 0 10 / 3
LP2
z 41 9
S2
x1 2, x 2 23 / 9 z 0 41 / 9
z0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
LP21
S21 x1 33 / 14, x2 2
z0 61 / 14
LP22 S22 无可行解