广西南宁市2019-2020学年高三第一次适应性测试数学(理)试题
广西南宁三中2019届高考适应性月考卷(三)理数-答案
h(x)
2ln x x2
x
1 x
e(x 0)
，则
h(x)
2
4 ln
x x3
x3
x
，可知
t(x)
2
4 ln
x
x3
x
在
(0，
)
上为减函数，又
t(1)
0
，所以当
x 1 时， t(x) 0 ；当 0 x 1时， t(x) 0 ，所以当 x 1 时， h(x) 0 ；当 0 x 1时，
20．（本小题满分 12 分）
bc 3，
解：（1）依题意，得
ab
2，
a2 b2 c2，
…………………………………………（3 分）
c 3，
解得
a
2，
b 1，
…………………………………………………………（4 分）
故椭圆
C
的方程为
x2 4
y2
1．
………………………………………………（5 分）
∵
sin
2
π 12
0，
|
|
π 2
，
∴
π 6
，
……………………………………………………………………（2 分）
∴
f
(x)
sin
2x
π 6
．
……………………………………………………（4 分）
又由
2kπ
π 2
≤
2x
π 6
≤
2kπ
π 2
，
k
Z
，∴
kπ
π 3
≤
x
≤
kπ
π 6
，
k
Z
广西南宁市2019届高三第一次适应性测试理数试题
广西南宁市2019届高三第一次适应性测试理数试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合2{|20}A x x =->，{|0}B x x =>，则A B =（ ）A．(0 B ．(2)(0)-∞-+∞，， C．)+∞D．((0)-∞+∞，，2.复数13i i -=+ （ ） A ．931010i - B ．131010i + C ．931010i + D ．131010i - 3. 以下关于双曲线M ：228x y -=的判断正确的是（ ）A ．M 的离心率为2B ．M 的实轴长为2C.M 的焦距为16 D ．M 的渐近线方程为y x =±4.若角α的终边经过点(1-， ，则tan()3πα+= （ ） A． B．-5.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为2，则该几何体的体积为（ ）A ．51296π-B ．296 C.51224π- D ．5126.设x ，y 满足约束条件330280440x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8 C.3 D ．47.执行如图所示的程序框图，若输入的11k =，则输出的S =（ ）A．12 B．13 C.15 D．188.我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC△三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S=若2sin24sina C A=，2-+=-，则用“三斜求积公式”求得的S=（）(sin sin)()(27)sina C B cb a AA B9.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值（都在区间[90110]，，，内），将这些数据分成4组：[9095)，，[95100)，，得到如下两个频率分布直方图：，，[105110][100105)已知这2种配方生产的产品利润y（单位：百元）与其质量指标值t的关系式均为19509510011001052105t t y t t -<⎧⎪<⎪=⎨<⎪⎪⎩，，≤，≤，≥. 若以上面数据的频率作为概率，分别从用A 配方和B 配方生产的产品中随机抽取一件，且抽取的这2 件产品相互独立，则抽得的这两件产品利润之和为0 的概率为（ ）A ．0.125B ．0.195 C.0.215 D ．0.23510. 设38a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c << C.b a c << D ．b c a <<11. 将函数sin 2cos2y x x =+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在5()4ππ，上单调递减，则ϕ的取值范围为（ ）A ．3()88ππ，B ．()42ππ， C.3[]88ππ， D ．[)42ππ， 12.过圆P ：221(1)4x y ++= 的圆心P 的直线与抛物线C ：23y x = 相交于A ，B 两点，且3PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ）A ．116B ．2 C.136 D ．73二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 5=12，则a 6等于 ． 14．（x +）（2x ﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ．15．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 、Q 分别是边AB 、BC 边上的动点，且，则的最小值为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足对∀x ∈R ，有f （x +2）=f （x ）﹣f （1），且当x ∈[2，3]时，f （x ）=﹣2x 2+12x ﹣18，若函数y=f （x ）﹣log a （|x |+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，在四边形ABCD 中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin ∠ABD 的值；（Ⅱ）求△BCD 的面积．18．为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．20．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．广西南宁市2019届高三第一次适应性测试理数试题参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1-5:DADBC 6-10:ACDBA 11、12：CC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，S5=12，则a6等于3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的求和公式和已知条件可得公差d的方程，解方程可得d，由通项公式可得a6的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S5=12，∴S5=5a1+d=10+10d=12，解得d=，∴a6=2+5×=3，故答案为：3．14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．【考点】二项式系数的性质．【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为4015．已知正方形ABCD的边长为2，点P、Q分别是边AB、BC边上的动点，且，则的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立坐标系，如图所示根据，可得=0，求得x=y．化简为（x﹣1）2+3，利用二次函数的性质求得它的最小值．【解答】解：如图，分别以AB、AD所在的直线为x、y轴，建立坐标系，如图所示：则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D （0，2），设点P（x，0）、Q（2，y），x、y∈[0，2]，∴=（x，﹣2），=（2，y）．由，可得=2x﹣2y=0，即x=y．∴=（x﹣2，﹣2）•（x﹣2，﹣y）=（x﹣2）2+2y=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3≥3，则的最小值为3，故答案为：3．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】抽象函数及其应用；函数的零点．【分析】令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°．（Ⅰ）求sin∠ABD的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由余弦定理求得BD，再由正弦定理求得sin∠ABD的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cosC，进而求得sinC，最后根据三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）已知A=60°，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=7，解得，由正弦定理，，所以=．（Ⅱ）在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以7=4+4﹣2×2×2cosC，，因为C∈（0，π），所以，所以，△BCD的面积．18．为了解某商场旅游鞋的日销售情况，现抽取部分顾客购鞋的尺码，将所得数据绘成如图所示频率分布直方图，已知图中从左到右前三组的频率之比为1：2：3，第二组的频数为10．（1）用频率估计概率，求尺码落在区间（37.5，43.5]概率约是多少？（2）从尺码落在区间（37.5，39.5]（43.5，45.5]顾客中任意选取两人，记在区间（43.5，45.5]的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）通过频率分布直方图第四组第五组的频率．再由频率之比和互斥事件的和事件的概率等于概率之和求解即可．（2）设抽取的顾客人数为n，求出n．尺码落在区间（43.5，45.5]的人数为3人，得到X可能取到的值，然后求出概率，得到期望．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图第四组第五组的频率分别为0.175，0.075．再由频率之比和互斥事件的和事件的概率等于概率之和：P=0.25+0.375+0.175=0.8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）设抽取的顾客人数为n，则由已知可得n=40．尺码落在区间（43.5，45.5]的人数为3人，所以可知X可能取到的值为0，1，2．又尺码落在区间（37.5，39.5]的人数为10人，所以：P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以X的数学期望EX=﹣﹣﹣﹣19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结PO，CO，AC，∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB，又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴CO⊥AB，又OC∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴OP==1，OC==，∴PC2=OP2+OC2，∴OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（），=（），=（0，﹣1，1），=（，﹣1），设=（x，y，z）是平面BPC的一个法向量，则，取x=1，得=（1，），设平面DPC的一个法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，），∴cos＜＞===，∴侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值为．20．已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB 的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅱ）设，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知可得动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2，由此能求出动点P的轨迹C1的方程．（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为y=2tx﹣t2，联立方程组，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出三角形面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，点P满足∴动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中，2c=2…∴动点P的轨迹C1的方程为．…（Ⅱ）设N（t，t2），则PQ的方程为：y﹣t2=2t（x﹣t），整理，得y=2tx﹣t2，联立方程组，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，…有，而，点M到PQ的高为，…由代入化简得：即；当且仅当t2=10时，S△MPQ可取最大值．当直线的斜率不存在时，x=t，S△MPQ=．∴S△MPQ最大值．…21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（a为实数）．（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）如果关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把a=4代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（0）和g′（0），由直线方程的点斜式得切线方程；（2）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e x f（x），分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，g（x）=（﹣x2+4x﹣3）e x，g（0）=﹣3．g′（x）=（﹣x2+2x+1）e x，故切线的斜率为g′（0）=1，∴切线方程为：y+3=x﹣0，即y=x﹣3；）﹣0 +f（x）单调递减极小值（最小值）单调递增①当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，∴f（x）min=f（t）=tlnt；②当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，∴；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3，，令，．1﹣0h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增∵，h（1）=4，h（e）=，．∴关于x的方程g（x）=2e x f（x）在区间[，e]上有两个不等实根，则．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．[选修4-5：不等式]23．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c2≥3。
广西南宁2019高三第一次适应性测试-数学(理)
广西南宁2019高三第一次适应性测试-数学（理）数 学 试 题〔理〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。
第I 卷本卷须知1、答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清晰，并贴好条形码。
请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3、第I 卷，共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
【一】选择题 1、设复数3,2iZ Z Z i+=-+为的共轭复数，那么Z 为〔 〕A 、1+iB 、2+iC 、2-iD 、-1+i 2、函数2log (1)(1)a y x x =++>-的反函数为 〔 〕A 、2(2)x y a x -=-> B 、21()x y a x R -=-∈C 、21(2)x y ax +=-> D 、21()x y a x R +=-∈A 、2x y +=B 、2x y +>C 、222x y +>D 、1xy > 4、等比数列{}n a 中，2380a a +=，那么62S s = 〔〕A 、-10B 、10C 、20D 、215、设函数()2cos(2)4f x x π=-，将()y f x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位，使得到的图像关于原点对称，那么ϕ的最小值为 〔〕A 、8π B 、38π C 、4π D 、34π 6、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱 AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上一点，且A 1G (01)λλ=≤≤， 那么点G 到平面D 1EF 的距离为〔〕ABC D 7、从6个运动员中选出4人参加4×100米的接力赛，假如甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法的种数为 〔〕 A 、360 B 、240 C 、180 D 、120 8、函数()xf x eax -=+存在与直线20x y -=平行的切线，那么实数a 的取值范围是〔〕A 、(],2-∞B 、(),2-∞C 、(2,)+∞D 、[)2,+∞9、函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称，假设函数()(01)f x x =<≤，那么( 5.5)f -〔〕A 、2B 、1.5C 、D 、 1.5-10、F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，假设||||3AF BF +=，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为 〔〕A 、34B 、1C 、74D 、5411、正三棱锥A —BCD 内接于球O ，侧棱长为2，那么球O 的表面积为〔〕A 、643πB 、323πC 、163πD 、83π 12、,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，那么||c 的最大值是 〔〕AB 、2C 、1D 、2第II 卷【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
广西南宁市2019-2020学年高三毕业班第一次适应性测试数学(文)试题(word无答案)
广西南宁市2019-2020学年高三毕业班第一次适应性测试数学（文）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，则=（）A．B．C．D．(★★) 2 . 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 3 . 已知，，则的值为A．B．C．D．(★) 4 . PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国 PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5日均值在35 μg/ m 3以下空气质量为一级，在35 μg/ m 3～75 μg/ m 3之间空气质量为二级，在75 μg/ m 3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日 PM2.5日均值（单位：μg/ m 3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A．这10天中，12月5日的空气质量超标B．这10天中有5天空气质量为二级C．从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低D．这10天的PM2.5日均值的中位数是47(★) 5 . 若实数，满足，则的最小值为A．1B．2C．4D．10(★) 6 . 已知圆与直线相切，则圆的半径为A．B．2C．D．4(★★) 7 . 已知双曲线1（ a＞0， b＞0）的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，且• 0，若 a 1，则 F 2的坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（2，0）D．（1，0）(★★) 8 . 如图，正方体 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1中， E， F分别为 A 1 B 1， CD的中点，则异面直线 D 1 E与 A 1 F所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为A．B．1C．D．2(★★) 10 . 已知抛物线的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作，垂足为．若，则A．8B．7C．6D．5(★★) 11 . 已知函数的一个零点是，则当取最小值时，函数的一个单调递减区间是A．，B．，C．，D．，(★★) 12 . 已知定义域为 R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13 . 在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________．(★) 14 . 设 a， b， c分别为三角形 ABC的内角 A， B， C的对边，已知三角形 ABC的面积等于，则内角 A的大小为____________．(★) 15 . 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．(★★) 16 . 关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数 x， y组成的实数对（ x， y）；若将（ x， y）看作一个点，再统计点（ x， y）在圆 x 2+ y 2＝1外的个数 m；最后再根据统计数 m来估计π的值，假如统计结果是 m＝52，那么可以估计π的近似值为_______.（用分数表示）三、解答题(★) 17 . 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：产量（单位：斤）[840，860）[860，880）[880,900）[900,920）[920,940）播种方式直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低” （1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.828(★★) 18 . 已知数列{ a n}满足，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 n项和．(★★) 19 . 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，．（1）证明：平面；（2）若四棱锥的体积为，求四棱柱的侧面积．(★★) 20 . 已知函数．（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性．(★★)21 . 已知椭圆的离心率，为椭圆的右焦点，，为椭圆的上、下顶点，且的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于，两点，证明：在第一象限内存在定点，使得当直线与直线的斜率均存在时，其斜率之和是与无关的常数，并求出所有满足条件的定点的坐标．(★★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点 N为射线 OM上的点，满足| ，记点 N的轨迹为曲线 C．（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以 t为参数求直线的参数方程②求曲线 C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线 C交于 P， Q两点，求的值(★★) 23 . 己知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.。
南宁市2019-2020学年高考数学达标测试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥2．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．03．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．42C ．2D ．235．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e = A ．13B ．3 C ．12D ．2 7．函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．下列不等式正确的是（ ） A ．3sin130sin 40log 4>> B ．tan 226ln 0.4tan 48<< C ．()cos 20sin 65lg11-<<D ．5tan 410sin 80log 2>>9．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C处，由C向西开26百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5︒的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（）A．3 B．32C．4 D．4210．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积为( )A．15π2cm B．21π2cmC．24π2cm D．33π2cm11．已知n S是等差数列{}n a的前n项和，125 2a a+=，234+=a a，则10S=（）A．85 B．852C．35 D．35212．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2223S S，且B．2223S S，且C．2223S S，且D．2223S S，且二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西南宁市2019届高三第一次适应性测试数学(文)试卷(含解析)
2019届高三毕业班第一次适应性测试数学（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2. 请将各题答案填写在答题卡上。
3. 本试卷主要考试内容：高考全部范围。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得集合B，再利用集合的并集和补集定义直接求解即可.【详解】因为，，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数，则它的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算得，进而可得共轭复数，从而得解.【详解】因为，所以，对应点的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.在等比数列中，若，，则（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】 由得公比，进而可得首项.【详解】因为，所以，从而.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题. 4.已知，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 由两角差的正弦得，进而有，结合角的范围可得解.【详解】因为，所以由，得.故选：D【点睛】本题主要考查了两角差的正弦展开及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题. 5.如图所示，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），进而根据边长求解即可.【详解】作，垂足为，连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），且，因为，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，属于基础题.6.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得圆心到直线的距离，再结合弦长为6，利用垂径定理可求得半径.【详解】圆：可化为，设圆心到直线的距离为，则，又，根据，所以圆的标准方程为.故选：A【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式，垂径定理的应用，属于基础题.7.已知，分别是函数图象上相邻的最高点和最低点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据两个最值得横坐标的距离可得周期，进而得，把的坐标代入方程，可得，从而得解.【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得，因为，所以，.故选：D【点睛】已知函数的图象求参数的方法：可由观察图象得到，进而得到的值．求的值的方法有两种，一是“代点”法，即通过代入图象中的已知点的坐标并根据的取值范围求解；另一种方法是“五点法”，即将作为一个整体，通过观察图象得到对应正弦函数图象中“五点”中的第几点，然后得到等式求解．考查识图、用图的能力．8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时，即可得解.【详解】时，；时，；时，；时，退出循环.此时，，解得.故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.已知实数，满足，则目标函数的最小值为（）A. -24B. -22C. -17D. -7【答案】B【解析】【分析】作出不等式的可行域，平移直线，纵截距最大时z有最小值，数形结合即可得解.【详解】画出可行域，如图所示，平移直线，纵截距最大时z有最小值.，解得当直线过点时，取得最小值-22.故选：B【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.10.已知四棱锥，平面，，，，，.若四面体的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设的中点为，的中点为，可知点为四面体外接球的球心，进而根据垂直关系利用边长求解即可.【详解】因为，所以，，，四点共圆，.由，得，所以.设的中点为，的中点为，因为平面，所以平面.易知点为四面体外接球的球心，所以，.故选：C【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．11.已知抛物线的焦点为，准线为，直线交抛物线于，两点，过点作准线的垂线，垂足为，若等边三角形的面积为，则的面积为（）A. B. C. 16 D.【答案】B【解析】【分析】由为等边三角形，得，边长为，结合条件中的面积可得，进而由直线与抛物线联立可得交点坐标，利用面积公式求解即可.【详解】因为为等边三角形，所以，边长为，由，得，抛物线方程为，联立，得，所以，所以，.故.故选：B【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用了抛物线的定义研究抛物线上的点到焦点的距离，考查了数形结合和计算能力，属于中档题.12.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.【详解】∵，，∴.∵，∴，∴.又，∴，即.故选：D【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在正方形中，为线段的中点，若，则_______．【答案】【解析】【分析】由即可得解.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题.14.已知数列的前项和为，若，，，则___．【答案】26【解析】【分析】根据条件可知数列为等差数列，先求数列的公差，进而利用求和公式求和即可.【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为，则，所以.故答案为：26.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及求和公式的应用，属于基础题.15.不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为______．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，由此能求出摸到同色球的概率．【详解】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，基本事件总数n10，摸到同色球包含的基本事件个数m4，∴摸到同色球的概率p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则__________．【答案】【解析】【分析】由中心对称得，可解得，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由，得，解得，所以.又，所以.因为，，，由，得，即.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的值.【答案】(1) ；（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得，进而可得；（2）由正弦定理角化边可得，再利用面积公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，从而.（2）因为，所以，即.因为的面积为，所以，即，所以，解得.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.（1）求的值；（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可.【详解】（1）由题意得，解得，.（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.符合事件的有，，，，，，，共7种.故所求概率为.【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若交于点，，，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由得平面，进而可得证；（2）先计算，再由得，从而可得体积.【详解】（1）证明：因为，为线段的中点，所以.又，，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因为，，所以，，同理可证，所以平面.因为是的中位线，所以，又，所以.设点到底面的距离为，由，得，所以.【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查了三棱锥体积的求解，属于基础题.20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，所以，.①因为点在圆：上运动，所以.②将①式代入②式，得曲线的方程为.（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，令，得的坐标为.由，得.设，，则有，.③记直线，，的斜率分别为，，，从而，，.因为直线的方程为，所以，，所以.④把③代入④，得.又，所以，故直线，，的斜率成等差数列.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.【详解】(1) ，当时，，函数的单调增区间为，无减区间；当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。
2020届广西南宁市高三一模摸底数学(理科)试题(带答案解析)
三、解答题
17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间 之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中 ,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（1）求样本平均数的大小；
7．A
【解析】
【分析】
先由函数解析式可得函数 为奇函数，再结合奇函数图像的性质逐一检验即可得解.
【详解】
解：由已知可得函数 的定义域为 ，且 ，则函数 为奇函数，则函数 的图象应该关于原点对称，排除C和D，当 时， ，排除B，故A正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题.
故选：A
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．B
【解析】
【分析】
根据 求出 再根据 也在直线 上，求出b的值，即得解.
【详解】
因为 ，所以
所以 ，
又 也在直线 上，
所以 ，
解得
所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.
18．如图，在三棱柱 中， 平面ABC.
（1）证明：平面 平面
（2）求二面角 的余弦值.
19． 分别为 的内角 的对边.已知 .Fra bibliotek（1）若 ，求 ；
（2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长.
20．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学(理)试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2.A．B．C．D．3. 已知为等差数列且，，为其前项的和，则（ ）A ．142B ．143C ．144D ．1454. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，P 是C 的渐近线上一点且位于第一象限，，若圆与直线PF 1相交，则C 的离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（ ）A．B．C．D ．27. 已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．309. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）A．的方程为B．的离心率为C．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条10. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，点，且，则（ ）A ．直线的方程为B ．直线的方程为C．D．11. 2021年8月8日，第32届夏季奥林匹克运动会闭幕，中国代表团共夺得38枚金牌、32枚银牌、18枚铜牌．下表是本届奥运会夺得金牌数前10名的代表团获得的金牌数、银牌数、铜牌数和奖牌总数，则对这10个代表团来说，以下结论中正确的是（ ）排名代表团金牌数银牌数铜牌数奖牌总数1美国3941331132中国38321888广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学（理）试题 (2)广西南宁市2022届高三第一次适应性考试数学（理）试题 (2)三、填空题四、解答题3日本271417584英国222122655俄罗斯奥委会202823716澳大利亚17722467荷兰101214368法国101211339德国1011163710意大利10102040A ．金牌数的众数是10B ．银牌数的中位数是12C ．铜牌数的平均数是19D ．奖牌总数的极差是8012.已知函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，的图象关于轴对称，若的相邻两条对称轴的距离是，则下列说法正确的是（ ）A．B．的最小正周期为C ．在上的单调增区间是，D．的图象关于点中心对称13.已知函数用列表法表示如下表，则______0122114.设是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间上单调递减，且满足，，则不等式组的解集为______．15.二项展开式第六项的系数为_________.16. 已知复数满足，求复数z17. 生产实践中工人生产零件长度的总体密度曲线是正态分布曲线．甲、乙2名工人生产零件长度的总体密度曲线分别是，，其中．(1)判断甲、乙2名工人生产水平的高低，并说明理由；(2)现从甲乙2名工人生产的零件中分别抽取3件，2件．变量X 表示这5件零件中长度小于标准长度（平均值的估计值）的件数，写出X 的分布列，并求．18.如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.（1）当长为多少时，平面平面？（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.19. 如图，已知椭圆与轴的一个交点为，离心率为，，为左、右焦点，M，N为粗圆上的两动点，且．(1)求椭圆的方程；(2)设，的斜率分别为，，求的值；(3)求△面积的最大值．20. 已知函数，(1)讨论的单调区间;(2)证明:.21. 已知函数的导函数的两个零点为和0．(1)求的单调区间；(2)若的极小值为，求在区间上的最大值．。
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广西南宁市2019-2020学年高三第一次适应性测试
数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，则=（）A．B．C．D．
2. 设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 若实数满足，则的最小值为（）
A．2 B．4 C．5 D．10
4. 已知，，则的值为（）
A．B．C．D．
5. 是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35以下空气质量为一级，在35～75之间空气质量为二级，在75以上空气质量为超标. 如图是某
市2019年12月1日到10日日均值（单位：）的统计数据. 若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级
的恰好抽取了2天的概率为（）
A．B．C．D．
6. 设a为正实数，函数，若，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为
的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段的中点为D，若
，则此双曲线的离心率为（）
A．
D．
B．C．
8. 如图，四棱锥中，平面，，，
，，，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN 与平面SAD所成角为，则的最大值为（）
A．B．C．D．
9. 过曲线外一点作该曲线的切线，则在y轴上的截距为
（）
A．B．C．D．
10. 已知抛物线的焦点为F，准线为，与x轴的交点为P，点A在
抛物线C上，过点A作，垂足为，若，则四边形的面积为（）
A．8 B．10 C．14 D．28
11. 已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.
若，则的大小关系为（）A．B．C．D．
12. 已知函数的一个零点是，当
时函数取最大值，则当取最小值时，函数在上的最
大值为（）
D．0
A．
B．C．
二、填空题
13. 在平面上，，是方向相反的单位向量，若向量满足
，则的值为______.
14. 设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为____________．
15. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．
16. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y 组成的实数对
，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是，那么可以估计的近似值为____________．（用分数表示）
三、解答题
17. 水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采
产量（单位：斤）播种方式[840，
860）
[860，
880）
[880,900）[900,920）[920,940）
直播 4 8 18 39 31
散播9 19 22 32 18
约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”
（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？
产量高产量低合计
直播
散播
合计
P（K2≥k
）0.10 0.010 0.001
k
2.706 6.635 10.828
18. 已知数列{a n}满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19. 如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面
是直角梯形，，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
20. 已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．
（1）求面积的最大值；
（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．
21. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知函数的两个极值点，若，①证明：；②证明：．
22. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足| ，记点N 的轨迹为曲线C．
（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线的参数方程
②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值
23. 已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.。