数学---湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二上学期第四次月考(理)
醴陵二中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 理
醴陵二中2018年上学期高二年级理科数学期末考试试卷总分：150分。
考试时量：120分钟.一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 1.已知全集}10,8,6,4,2,0{=U ，集合}6,4,2{=A ,}1{=B ，则B AC U )(=()A 。
}10,8,1,0{B 。
}6,4,2,1{C 。
}10,8,0{ D.φ2.若1tan()42πθ+=，则tan θ＝（ ）A 。
12B 。
2 C.13-D. 33。
由数字0,1，2，3,4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有( )个.A 72B 36C 124D 1924。
六个人站成一排，其中甲不站最左,乙不站最右的排法有（ ）A 720B 480C 504D 3605. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ) A ．6种 B ．12种C ．24种D ．30种6。
设,m n 是两条不同的直线,α表示平面，下列说法正确的是( ）A.若//,m n αα⊂，则//m n ；B 。
若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥；C.若,m m n α⊥⊥，则//n α；D. 若//,m m n α⊥，则n α⊥;7。
则输入整数p 的最大值是（A . 15 B 。
14 C.8. 已知函数f (x )是定义在（－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x∈[0,2）时f （x )＝log 2（x ＋1)，则f （－2 019）＋f (2 018)的值为( ）A ． 1B ． 2C ．－2D ．－19。
要得到2sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数2sin y x =的图象( )A ．向右平移6π，横坐标缩短为原来的21 B ．向右平移6π，横坐标伸长为原来的2倍C ．向右平移3π，横坐标缩短为原来的21 D ．向右平移3π，横坐标伸长为原来的2倍10。
2017-2018学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高二上学期期末联考数学(理)试题 解析版
绝密★启用前湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中2017-2018学年高二（上）期末联考数学（理）试题一、单选题1．函数：的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出的导函数，令导函数大于0，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围，即为函数的单调递增区间．【详解】由函数得：，令即，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选C．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查对基础知识的理解与应用，属于简单题．2．函数的图象在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】f′(x)＝，则f′(1)＝1，故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故选：C3．已知，，，则向量与的夹角为A．B．C．D．【答案】C【解析】略4．已知椭圆(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝() A．2 B．3C．4 D．9【答案】B【解析】试题分析：由题意，知该椭圆为横椭圆，所以，故选B．考点：椭圆的几何性质．5．等于A．1 B．C．e D．【答案】C【解析】因为，选C6．若函数在处有极大值，则A．9 B．3 C．3或9 D．以上都不对【答案】C【解析】因为若函数在处有极大值，所以，解得或，当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极小值（舍去）；当时，，当时，，当时，，则函数在处取得极大值，即；故选A.7．函数的示意图是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】当时，可得，排除；根据单调性排除，从而可得结果.【详解】由函数，当时，可得，排除，当时，可得，时，．当x从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除，故选C．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为A ． 6B ． 12C ． 24D ． 48 【答案】B 【解析】,当直线斜率不存在时,三角形面积为.当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为,交点到直线距离为,将直线方程代入椭圆方程,得,所以,故面积为.综上所述面积的最大值为.选.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的直至关系,考查三角形面积的最值问题.首先根据题意求出椭圆的的值,由于题目不限制焦点是左焦点还是右焦点,故用其中一个交点就可以.在写直线的方程时,当直线斜率不存在,可直接求得面积,当直线斜率为时,不符合题意,当直线斜率存在且不为零时,设出直线的方程,求得面积后利用不等式的性质可求得最值.9．设函数的极大值为1，则函数的极小值为A ．B ．C ．D ． 1【答案】A 【解析】 试题分析：,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且，故选A.考点：导数与函数的极值.10．设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴)(Q为准线与x轴的交点),设过Q点的直线l方程为.∵l与抛物线有公共点，，∴方程组有解即有解。
湖南省醴陵市第二中学2017届高三数学上学期第三次月考试题 理
醴陵二中2017届高三第三次月考数学理科试题姓名： 班级：一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（ ） A ．4B ．一4C ．4+4iD ．2i2．在等差数列{}n a 中，若1004100510063a a a ++=，则该数列的前2009项的和为（ ） A ．3000B ．2009C ．2008D ． 20073.已知向量,a b r r的夹角为︒60，且1,2a b ==r r ，则2a b +=r r （ ）A.3 B ．5 C ．22 D ．324．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 、的对边，若2a c b +=,且54sin =B ，当△ABC 的面积为23时，则b=（ ） A231+ B ．2C ．4D ．2+35．设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝( )A. 5-B. 5C. 10-D. 106．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所 ( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π67.已知函数()()x x x x f cos cos sin +=，则下列说法正确的为（ ） A ．函数()x f 的最小正周期为π2 B ．函数()x f 的最大值为2 C ．函数()x f 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后得到一个奇函数图像8.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=uu r uu r uu u r uu u r，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34 9．设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，则xy 的最小值为（ ） A ．4B ．34C ．9D ．1610．在∆ABC ，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2cos22A b cc+=，刚∆ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰直角三角形 11.已知复数z x yi =+，满足341z i --=，则22x y +的取值范围是（ ） A []4,6 B []5,6 C []25,36 D []16,3612．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()OB OA ON λλ-+=1，k 恒成立， 则称函数()f x 在[,a b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( ) A ．[)0,+∞ B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,223 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,223 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(131x dx -+=⎰.14.设函数()21x f x x =-，则1234010()()()()4011401140114011f f f f ++++L L =15．设两个向量a r ＝(λ，λ－2cos α)和b r ＝(m ，m2＋sin α)，其中λ、m 、α为实数．若a r ＝2b r ，则m 的取值范围是 . 16.给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3L ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则n a =三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省醴陵二中2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题文
醴陵二中2018年上学期高二数学（文）科期末考试试卷（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、已知集合{3,2,0,2,4}A =--,2{|32}B x y x x ==--,则下图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{3,2,0}-B ．{2,4}C ．{0,4}D ．{3,2,4}--2、下列命题的说法错误的是（ ）A ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++>则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．B ．“1x =”是”2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．命题”若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：”若1x ≠，则2320x x -+≠D ．“22ac bc <”是”a b <”的必要不充分条件．3、一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最长的棱的长为( )A ．2．2 C 2 D ．234、关于x y 、的不等式组360,20,40,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．3B ．5 C. 7 D ．95、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A.4B. 3C.2D. 56、已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a << C.b c a << D ．a b c <<7、从编号001,002,003，…，300的300个产品中采用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号是002,017，则样本中最大的编号应该是（ ）A ．285B ．286C ．287D ．2888、函数()21log f x x x=-+的一个零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,49、双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A 6B 53 D 210、若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.8π B. 4π C. 38π D. 34π 11、若2214(0,),2sin cos x y πθθ∈=+则的取值范围为（ ）A ．[4,)+∞B ．[9,+∞）C ．[6,)+∞D ．(9,)+∞12、已知向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立，设a 与b 的夹角为θ，则tan2θ=（ ）A.2B.2-C.22-D.22二、填空题（每小题5分，共20分）13、等差数列{}n a 中，121,3a a ==，数列11{}n n a a +的前n 项和为1531，则n = . 14、已知向量a ，b 满足1=a ，且()2-==a a b b ，则向量a 与b 的夹角是______．15、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，060ABC ∠=，12AC =，10AD =，ACD ∆的面积30S =，则AB =16、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-0),1(0,12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：（共70分）17、（本小题满分10分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．频率分布直方图 茎叶图（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 与y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率．18、（本小题满分12分）已知函数()22cos 23sin cos 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若()2f A =，,34B c π==，求边a ．19、(本小题满分12分)如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）若PD=2AB=2，且三棱锥P ﹣ACE 的体积为122， 求AE 与平面PDB 所成的角的大小．20、(本小题满分12分)设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（1）求实数a 的取值范围； （2）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由．21、（本小题满分12分）数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n n n ∈+==+. （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足n n n n a n b ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，22、（本小题满分12分）动点(,)P x y 到定点(1,0)F 与到定直线,2x =的距离之比为2． （1）求P 的轨迹方程；（2）过点(1,0)F 的直线l （与x 轴不重合）与（1）中轨迹交于两点M 、N ,探究是否存在一定点(,0)E t ，使得x 轴上的任意一点(异于点,E F )到直线EM 、EN 的距离相等？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．醴陵二中2018年上学期高二数学（文）科期末考试试卷命题学校：醴陵二中 命题人：贺建军 审题人：李庆德（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、已知集合{3,2,0,2,4}A =--,2{|32}B x y x x ==--,则下图中阴影部分所表示的集合为( B )A ．{3,2,0}-B ．{2,4}C ．{0,4}D ．{3,2,4}--2、下列命题的说法错误的是（ D ）A ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++>则2000:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．B ．“1x =”是”2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．命题”若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：”若1x ≠，则2320x x -+≠D ．“22ac bc <”是”a b <”的必要不充分条件．3、一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正方形,则该几何体最长的棱的长为( A )A ．2．2 C 2 D ．234、关于x y 、的不等式组360,20,40,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的最大值是（ C ）A ．3B ．5 C. 7 D ．95、宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n =（ A ）A.4B. 3C.2D. 56、已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ B ）A ．c a b <<B ．c b a << C.b c a << D ．a b c << 7、从编号001,002,003，…，300的300个产品中采用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号是002,017，则样本中最大的编号应该是（C ）A ．285B ．286C ．287D ．2888、函数()21log f x x x=-+的一个零点所在区间为（ B ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,49、双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ C ）A ．6B ．5．3．210、若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是(C )A.8πB. 4πC. 38πD. 34π11、若2214(0,),2sin cos x y πθθ∈=+则的取值范围为（ B ） A ．[4,)+∞ B ．[9,+∞） C ．[6,)+∞ D ．(9,)+∞12、已知向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立，设a 与b 的夹角为θ，则tan2θ=（ D ）A.2B.2-C.22-D.22二、填空题（每小题5分，共20分）13、等差数列{}n a 中，121,3a a ==，数列11{}n n a a +的前n 项和为1531，则n = 15 . 14、已知向量a ，b 满足1=a ，且()2-==a a b b ，则向量a 与b 的夹角是__120︒____．15、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，060ABC ∠=，12AC =，10AD =，ACD ∆的面积30S =，则AB = 8316、已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-0),1(0,12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为 )1,(-∞ ．三、解答题：（共70分）17、（本小题满分10分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．60° D CB A频率分布直方图 茎叶图（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 与y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，求所抽取的2名同学来自不同组的概率． 解：（1）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯ 2分 20.0045010y ==⨯ 0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=． 5分（2）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为a ，b ，c ，d ，e ，分数在[90，100)有2人，分别记为F ，G ．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，F )，(a ，G )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，F )，(b ，G )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，F )，(c ，G )，(d ，e )，(d ，F )，(d ，G )，(e ，F )，(e ，G )，(F ，G )，共有21个基本事件； 7分其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a ，F )，(a ，G )，(b ，F )，(b ，G )，(c ，F )，(c ，G )，(d ，F )，(d ，G )，(e ，F )，(e ，G )，共10个， 9分所以抽取的2名同学来自不同组的概率1021P =． 10分 18、（本小题满分12分）已知函数()22cos 23sin cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若()2f A =，,34B c π==， 求边a ．解：（1）()222cos 23cos 12cos 322sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+ 3分∵x ∈R ，由222262k x k πππππ-+≤+≤+得()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为．[,]()36k k k Z ππππ-++∈ 6分 （2）∵()2f A =，即2sin(2)26A π+=， 7分 30,44B A ππ⎛⎫=∴∈ ⎪⎝⎭，得6A π=， 8分 又4B π=，712C π=，62sin C +=分 由正弦定理得sin 3(62)sin c A a C -== 12分19、(本小题满分12分)如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）若PD=2AB=2，且三棱锥P ﹣ACE 的体积为122，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC ⊥面PDB ． 4分（2）因为V P ﹣ACE =V P ﹣ABCD ﹣V P ﹣ACD ﹣V E ﹣ABC设E 点到平面ABC 的距离为h ，代入上式，可解得h=，即E 为PB 的中点．设AC∩BD=O，连接OE ，由（1）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角 6分∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，OE=，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD 9分，在Rt △AOE 中，OE=，∴∠AOE=45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为450． 12分20、(本小题满分12分)设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（1）求实数a 的取值范围； （2）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 解：（1）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，， 2分01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 4分 故所求实数a的取值范围是(03-，． 6分 （2）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，令2()2h a a =． 7分当0a >时，()h a 单调增加， 8分∴当03a <<-时，20()(32(32(17h a h <<-=-=-1612121712<+⋅=，10分 即(0)(1)(0)f f f -<116． 12分 21、（本小题满分12分）数列{}n a 中，)(3,1*11N n a a a a n n n ∈+==+. （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足n nn n a n b ⋅⋅-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 解：（1）由*111,()3n n n a a a n N a +==∈+知，11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 2分又111311,222n a a ⎧⎫+=∴+⎨⎬⎩⎭是以32为首项，3为公比的等比数列， 111332=3,22231n n n n n a a -∴+⨯=∴=- 6分 （2）12-=n n nb ， 7分122102121)1(213212211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T n n n n n T 2121)1(2122112121⨯+⨯-++⨯+⨯=- ， 8分 两式相减得n n n n n n T 222212121212121210+-=⨯-++++=- ， 10分 1224-+-=∴n n n T 12分 22、（本小题满分12分）动点(,)P x y 到定点(1,0)F 与到定直线,2x =的距离之比为22． （1）求P 的轨迹方程；（2）过点(1,0)F 的直线l （与x 轴不重合）与（1）中轨迹交于两点M 、N ,探究是否存在一定点(,0)E t ，使得x 轴上的任意一点(异于点,E F )到直线EM 、EN 的距离相等？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意得22(1)22x y -+=,化简得, 2222x y +=,即2212x y +=,即点P 的轨迹方程 4分（2）若存在点E(t ，0)满足题设条件.并设M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，当MN ⊥x 轴时，由椭圆的对称性可知，x 轴上的任意一点(异于点E 、F)到直线EM 、EN 的距离相等， 5分当MN 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，2222(12)4220k x k x k +-+-=， 6分 所以22121222422,,1212k k x x x x k k-+==++ 7分 根据题意，x 轴平分∠M EN ，则直线M E 、N E 的倾斜角互补，即K ME ＋K NE ＝0． 8分 设E (t ，0)，则有12120y y x t x t+=--(当x 1＝t 或x 2＝t 时不合题意)， 所以12120y y x t x t +=--，将y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)代入上式，得1212(1)(1)0k x k x x t x t--+=--，又k ≠0，所以1212110x x x t x t --+=--，即122112(1)()(1)()0()()x x t x x t x t x t --+--=--， 10分1212122(1)()20()()x x t x x t x t x t -+++=--，12122(1)()20x x t x x t -+++=， 将22121222422,1212k k x x x x k k -+==++代入，解得t ＝2． 综上，存在定点E(2，0)，使得x 轴上的任意一点(异于点E 、F )到直线EM 、EN 的距离相等. 12分 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湖南省醴陵市第二中学高二数学12月月考试题文
醴陵二中2018年下学期高二年级12月月考文科数学时量：120分钟 总分:150分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、“p q ∨是真命题”是“p 为真命题”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．命题“∃x ∈Z ，使22x x m ++≤0”的否定是（ ）A ．∀x ∈Z,都有22x x m ++≤0B ．∃x ∈Z ，使22x x m ++＞0C ．∀x ∈Z,都有22x x m ++＞0 D. 不存在x ∈Z ，使22x x m ++＞03．双曲线221169x y -=的渐近线方程为（ ）A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±= 4．“2<m<6”是“方程 x 2m －2＋y26－m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1） C.（－2，－8）或（2，8） D.（－1，－1）或（1，1）6.下列四个结论：①若"p q"∨是假命题，则"p"⌝是真命题；②命题2000"x R,10"x x ∃∈--<的否定是2"x R,10"x x ∀∈--≥; ③若x+y>0,则x>0且y>0的逆命题是真命题 ④2xx R,>2x ∃∈其中正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别（ ） A ．1，-1 B ．1，-17C ．3，-17D ．9，-198. 已知21,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若2ABF∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．22B．32C．33D．239.. 已知椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>的右焦点为()3,0F，过点F的直线交椭圆E于,A B两点，若AB的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（）102255225、、、、DCBA10．已知函数f（x）的导函数()xf'的图像如左图所示，那么函数()x f的图像最有可能的是（）11．若a≠b且ab≠0，则直线ax－y＋b＝0和二次曲线bx2＋ay2＝ab的位置关系可能是( ) A．B．C．D．12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为 （ ）A ．132B ．24C ．133D ．64二、填空题（每题5分，满分20分）13. 过点)4,2(M 作与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线l 有( )条． 14．曲线x x y ln =在点x ＝1处的切线方程是( )15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22,过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 ( )16.有下列命题：①双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点②e x x lg 1)(ln ='； ③x x 2cos 1)(tan ='； ④2)(v u v v u v u '-'='⑤R x ∈∀，0332≠+-x x ．其中正确命题的序号为( )三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分） 求下列各曲线的标准方程(Ⅰ)实轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆； (Ⅱ)抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点.18. （本题满分12分）设命题p ：实数x 满足0)3)((<--a x a x ,其中0a >,命题:q 实数x 满足023≤--x x . (Ⅰ)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (Ⅱ)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19. （本题满分12分）已知函数x b ax x f ln )(2+=在1=x 处有极值21 （1）求b a ,的值（2）判断函数)(x f 的单调性并求出其单调区间20应用题（本题满分12分）某工厂生产某种产品,已知该产品的产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为25124200x P -=,且生产x 吨的成本为R=50000+200x 元。
2017-2018学年湖南省株洲市醴陵二中高二上学期12月月考数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省株洲市醴陵二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）A．无数多条B．3条 C．2条 D．1条2．（5分）实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或3．（5分）在以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2﹣2﹣，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|=||•||•||．A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．77．（5分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（）A．（2，，0）B．（2，，0） C．（2，，0） D．（2，，0）8．（5分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则n的值为（）A．1 B．4 C．8 D．129．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．211．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．14．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．15．（5分）点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与P到直线x=﹣1的距离和的最小值是16．（5分）已知向量=（1，2，3），=（﹣2，﹣4，﹣6），|c|=，若（+）•=7，则与的夹角为．三、解答题（共70分）17．（10分）已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．（1）求证：EF⊥CD；（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在C上．（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O为AB的中点．（1）证明：PO⊥CD；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值．22．（12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），左顶点为A（﹣2，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M，N两点．试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2017-2018学年湖南省株洲市醴陵二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有（）A．无数多条B．3条 C．2条 D．1条【分析】当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0；当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k 的值，从而得到结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），当过点（0，2）的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，即直线为y轴时，与抛物线y2=8x只有一个公共点．当过点（0，2）的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2，与抛物线y2=8x只有一个公共点．当过点（0，2）的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y﹣2=kx，即：y=kx+2，代入抛物线方程可得k2x2+（4k﹣8）x+4=0，由判别式等于0 可得：64﹣64k=0，∴k=1，此时，直线的方程为y=kx+2．综上，满足条件的直线共有3条，故选B．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率，是解题的关键．2．（5分）实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或【分析】利用双曲线的实轴与虚轴的长，直接写出双曲线方程即可．【解答】解：实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是：或，故选：D．【点评】本题考查双曲线方程的求法，注意焦点坐标所在的轴，是易错题．3．（5分）在以下命题中，不正确的个数为（）①||﹣||=|+|是，共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若=2﹣2﹣，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{+，+，+}构成空间的另一个基底；⑤|（•）•|=||•||•||．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用不等式||﹣||≤||等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可．【解答】解：对①，∵向量、同向时，，∴只满足充分性，不满足必要性，∴①错误；对②，当为零向量时，λ不唯一，∴②错误；对③，∵2﹣2﹣1=﹣1≠1，根据共面向量定理P、A、B、C四点不共面，故③错误；对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；设⇒x=（x﹣1）+⇒=x+（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；对⑤，∵|（）|=||×||×|cos＜，＞|×||≤||||||，∴⑤错误．故选C．【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式．4．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．【点评】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导．5．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．6．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则点F的坐标为（）A．（2，，0）B．（2，，0） C．（2，，0） D．（2，，0）【分析】求出对应点的坐标，利用∠C1EF=90°转化为向量垂直关系即可．【解答】解：由题意得E（2，0，1），C1（0，2，2），设F（2，y，0），则=（﹣2，2，1），=（0，y，﹣1），∵∠C1EF=90°，∴•=2y﹣1=0，解得y=，则点F的坐标为（2，，0），故选：A【点评】本题主要考查空间向量的应用，根据直线垂直转化为•=0是解决本题的关键．8．（5分）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，则n的值为（）A．1 B．4 C．8 D．12【分析】先确定抛物线的焦点坐标，再利用双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4mx的焦点重合，建立方程，从而可求n的值．【解答】解：抛物线y2=4mx的焦点F（m，0）（m≠0）为双曲线一个焦点，∴m+n=m2①，又双曲线离心率为2，∴1+=4，即n=3m②，②代入①可得4m=m2，∵m≠0，∴m=4，∴n=12．故选D．【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】解：设，=，=，则=，=，由此利用向量法能求出异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．【解答】解：设，=，=，则=，=，∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°，∴=（）•（）==1+1﹣4=﹣2，=（）2==1+4+2=7，||2=（）2=﹣2+2+2=1+1+4﹣2﹣2=2，∴=，=，∴cos＜＞===﹣．∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故选D．【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．14．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．15．（5分）点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与P到直线x=﹣1的距离和的最小值是【分析】先求出抛物线的准线方程为直线x=﹣1，再根据抛物线的基本性质可得当焦点、P点、A点共线时距离最小，从而得到答案．【解答】解：y2=4x的准线是x=﹣1．∴P到x=﹣1的距离等于P到焦点F的距离，故点P到点A（0，1）的距离与P到x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=．故答案为：【点评】考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法．16．（5分）已知向量=（1，2，3），=（﹣2，﹣4，﹣6），|c|=，若（+）•=7，则与的夹角为120°．【分析】设=（x，y，z），推导出，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，由此能求出与的夹角．【解答】解：设=（x，y，z），∵向量=（1，2，3），=（﹣2，﹣4，﹣6），|c|=，（+）•=7，∴=（﹣1，﹣2，﹣3），∴，设与的夹角为θ，cosθ===﹣，∴θ=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查向量的夹角的求法，考查空间向量的夹角与距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题（共70分）17．（10分）已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．【分析】（1）根据双曲线的定义得到关于m的不等式组，解出即可；（2）根据焦点相同，得到关于m的方程，求出m的值，从而求出双曲线方程，求出渐近线方程即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：0＜m＜4；（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x2﹣y2=3，故渐近线方程是：y=±x．【点评】本题考查了双曲线的定义，考查双曲线和椭圆的焦点，以及渐近线方程问题，是一道中档题．18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l：（1）l与抛物线y2=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．【分析】假设存在，设出点的坐标，联立方程可表示出AB的斜率，根据已知条件确定直线AB的斜率，进而求得y1+y2的值，则AB的中点的纵坐标可求，带入直线求得x，进而求得直线AB的方程．【解答】解：假定在抛物线y2=8x上存在这样的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．则有：∵线段AB被直线l1：x+5y﹣5=0垂直平分，且，∴k AB=5，即．设线段AB的中点为．代入x+5y﹣5=0得x=1．∴AB中点为．故存在符合题设条件的直线，其方程为：．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的关系综合问题．解题过程巧妙运用了错差法把抛物线与直线的斜率问题联系，找到了解决问题的突破口．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．（1）求证：EF⊥CD；（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．【分析】以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐标（1）通过=0，证明EF⊥CD．（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z），由，推出=（1，﹣2，1），利用cos＜，＞═=﹣．设DB与平面DEF所成角为θ，求出sinθ=．【解答】解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．设AD=a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），P（0，0，a），F（，，）．（1）证明：∵=（﹣，0，）•（0，a，0）=0，∴⊥，∴EF⊥CD．（2）设平面DEF的法向量为=（x，y，z），由，得即，取x=1，则y=﹣2，z=1，∴=（1，﹣2，1），∴cos＜，＞═=﹣．设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ=．【点评】本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，证明直线与直线的垂直，直线与平面所成的角，考查计算能力．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在C 上．（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解得a2=8，b2=4，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得M坐标，得到直线OM的斜率，进一步可得直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为；证明：（Ⅱ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把y=kx+b代入，得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0．故，于是直线OM的斜率，即，∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O为AB的中点．（1）证明：PO⊥CD；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值．【分析】（1）联结PO，推导出PO⊥AB，从而PO⊥平面ABCD，由此能证明PO ⊥CD．（2）取线段CD的中点E，以O为原点，射线OB，OE，OP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角C﹣PD﹣O的余弦值．【解答】（满分12分）证明：（1）联结PO，∵PA=PB=3，O为AB的中点，∴PO⊥AB．又平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，PO⊆平面PAB，∴PO⊥平面ABCD．又CD⊆平面ABCD，∴PO⊥CD．…（5分）解：（2）取线段CD的中点E，OE=2，OE∥BC，∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AB⊥OE．由（1）知，PO⊥平面ABCD．∴以O为原点，射线OB，OE，OP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则．…（6分）．设平面CPD的一个法向量为=（x1，y1，z1），由，得，令z1=1，得=（，1）．…（8分）设平面OPD的法向量为=（x2，y2，z2），由，得，令x2=3，得=（3，1，0）．…（10分）∴cos＜＞===．∵二面角C﹣PD﹣O的平面角为锐角，∴二面角C﹣PD﹣O的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．22．（12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），左顶点为A（﹣2，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M，N 两点．试判断直线MN与x轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得a、c的值，计算可得b的值，即可得椭圆的方程；（2）分2种情况讨论：①当直线MN与x轴垂直时，直线AM的方程为y=x+2，与椭圆的方程联立，分析可得直线MN与x轴的交点坐标，②当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立，设M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析可得，又由，分析可得，解可得m的值，即可得直线MN的方程，即可得线MN与x轴的交点坐标．综合即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，椭圆的右焦点为F（1，0），左顶点为A（﹣2，0），则c=1，a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆E的方程为．（2）根据题意，①当直线MN与x轴垂直时，直线AM的方程为y=x+2，联立得7x2+16x+4=0，解得．此时直线MN的方程为．直线MN与x轴的交点为．②当直线MN不垂直于x轴时，设直线MN的方程为y=kx+m．联立得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，且△=（8km）2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＞0，即m2＜4k2+3．而，由题意知，，即，解得或m=2k（舍去）．当时，满足m2＜4k2+3．直线MN的方程为，此时与x轴的交点为．故直线MN与x轴的交点是定点，坐标为．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程与几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．。
湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二上学期第四次
醴陵二中高二第四次月考物理试题总分100分，时间90分钟一、单选题(每个小题只有一个答案符合题意，每小题3分，共30分) 1．下列现象中，属于电磁感应现象的是A ．小磁针在通电导线附近发生偏转B ．变化的磁场使闭合电路中产生电流C ．插在通电螺线管中的软铁棒被磁化D ．通电线圈在磁场中转动2．下列图中，此时能产生感应电流的是：3．如图所示，一个有界匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。
一个矩形闭合导线框abcd ，沿纸面由上向下匀速穿过磁场，则： A. 导线框进入磁场时，感应电流方向为a→b→c→d→a B. 导线框离开磁场时，感应电流方向为a→d→c→b→a C. 导线框离开磁场过程中，bc 边受到安培力方向水平向右 D. 导线框进入磁场过程中．bc 边受到安培力方向水平向右4．如图，竖直向上的磁感应强度变大，导体环中和磁通量发生变化，将产生电动势，因而在电路中有电流通过，下列说法中正确的是：A ．因磁场变化而产生的感应电动势称为动生电动势B ．右图中产生的电动势的产生与洛仑兹力有关C ．右图中产生的电动势的产生与感生电场有关D ．动生电动势和感生电动势产生的原因是一样的5．如图所示，磁场分布在虚线框内，闭合的有弹性的金属圆环置于匀强磁场中，磁场方向放与金属圆环垂直，将它从匀强磁场中匀速拉出，以下各种说法中正确的是：A ．向左拉出和向右拉出时，环中的感应电流方向相反。
B ．向左或向右拉出时，环中感应电流方向都是沿顺时针方向的。
ACDb ca b cC ．向左或向右拉出时，金属圆环都有会向内收缩。
D ．向左或向右拉出时，磁场对环的安培力方向相反。
6．一正电荷在电场中仅受电场力作用，从A 点运动到B 点，速度随时间变化的图象如图所示，t A 、t B 分别对应电荷在A 、B 两点的时刻，则下列说法中正确的是A ．A 处的电场强度一定小于B 处的电场强度 B ．A 处的电势一定低于B 处的电势C ．电荷在A 处的电势能一定大于在B 处的电势能D ．从A 到B 的过程中，电场力对电荷做正功7．如图所示，三个电阻，已知R l ：R 2：R 3=1：3：6，则电路工作时，电压U l ：U 2为：A ．1：6B ．1：9C ．1：3D ．1：28．如图所示，回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得很大动能的装置．其核心部分是两个D 型金属盒，置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连．则下列说法正确的是：A ．粒子做圆周运动的周期随半径增大而增长B ．粒子从磁场中获得能量C ．带电粒子加速所获得的最大动能与加速电压的大小有关D ．带电粒子加速所获得的最大动能与金属盒的半径有关9．电动势为E 、内阻为r 的电源与定值电阻R 1 、R 2 及滑动变阻器R 连接成如图所示的电路，当滑动变阻器的触头由中点滑向b 端时，下列说法正确的是：A ．电压表和电流表读数都增大B ．电压表和电流表读数都减小C ．电压表读数增大，电流表读数减小D ．电压表读数减小，电流表读数增大10．如图示是速度选择器的原理图，如果粒子所具有的速率v=BE，则： A ．粒子必须带正电且沿水平方向从左侧进入场区，才能沿直线通过 B ．粒子必须带负电且沿水平方向从右侧进入场区，才能沿直线通过C．不论粒子电性如何，沿水平方向从左侧进入场区，都能沿直线通过D．不论粒子电性如何，沿水平方向从右侧进入场区，都能沿直线通过二、多选题(每小题有多个答案符合题意，每小题4分，共24分，全部选对者，该小题得4分，选对而不全者，该小题得2分)11．电阻R与一线圈连成闭合电路，条形磁铁静止于线圈的正上方，N极朝下，如图所示。
湖南省醴陵市第二中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理
湖南省醴陵市第二中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题理一、选择题.（每小题5分，共60分）∀∈R，，那么下列结论正确的是（）1．已知命题已知命题:p xA命题 B．命题C．命题 D．命题2．若ABC中，sinA:sinB:sinC=5:7:8，那么cosB=（）A. B. C. D.3．在中，若，则等于（）A．B．C．或D．或4．“pq为假命题”是“p为真命题”的（）A．充分不必要条件. B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件5．在中，若，则的形状一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形6.已知等比数列中，则 ( )A．150 B．200 C．360 D．4807、在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．28 B．16 C． D．1218. 已知-9,,,-1四个实数成等差数列，-9,,,,-1五个实数成等比数列，则（）A. 10B. -30C.±30D.309、设x，y为正数，若x+y=1，则最小值为 ( )A、6B、9C、12D、1510．等比中,,则 ( )A、8B、9C、10D、1211、下列命题是真命题的有 ( )①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．A、0个B、1个C、2个D、3个12．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列有以下结论，①；②是一个等差数列；③数列是一个等比数列；④数列的递推公式其中正确的是（）A．①②④B．①③④ C．①② D．①④二、填空题.（每小题5分，共20分）13、已知实数x，y满足则z＝2x＋4y的最大值为________。
14.不等式的解集为，则不等式的解集为_______15. .数列都为等差数列，分别是其前项和，且16.已知数列满足, ,设的前项和为，则 .三、解答题.(本大题4小题,共10分)17．已知命题p:函数在R上是增函数，命题无实根，若为真，为假，求的取值范围．18．解关于x的不等式：19、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？20.（12分）已知数列是等差数列，，（1）求数列的通项公式。
2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期第三次月考数学理试题(解析版)
2017-2018学年湖南省醴陵市第二中学高二上学期第三次月考数学理试题（解析版）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ()A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】C【解析】抛物线的焦点为，当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，与抛物线只有一个公共点；当过的直线的斜率等于时，直线的方程，与抛物线只有一个公共点；当过点的直线的斜率存在且不为零时，设斜率为，那么直线方程为，即，代入抛物线方程可得，由判别式等于可得，此时，直线与抛物线有一个公共点，所以，满足条件的直线共有条，故选C.2. 实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（）A. B.C. 或D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，焦点在轴时，双曲线的标准方程是，焦点在轴时，标准方程为，故选D.考点：双曲线的标准方程3. 在以下命题中，不正确的个数为( )①是共线的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使；③对于空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面；④.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D4. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由得：，因为焦点在轴上，所以，解得：，反之，当时，表示焦点在轴上的椭圆，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C．考点：充分条件、必要条件．5. 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.视频6. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，则( )A. B. 6 C. 12 D.【答案】C【解析】试题分析：由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．视频7. 在空间直角坐标系中,正方体棱长为为正方体的棱的中点,为棱上的一点,且则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正方体的性质可得，设，则，因为，，解得，则点的坐标为，故选C.8. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为( )A. 1B. 4C. 8D. 12【答案】D【解析】抛物线焦点F(m,0)为双曲线的一个焦点，∴m＋n＝m2.又双曲线离心率为2，∴1＋＝4，即n＝3m.所以4m＝m2，可得m＝4，n＝12.9. 已知椭圆的左、右焦点为离心率为，过的直线交于两点.若的周长为，则的方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：若△AF1B的周长为4可知，所以方程为考点：椭圆方程及性质视频10. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点．若，则|( )A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为-2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=-2（x-2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3考点：抛物线的简单性质11. 已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，则异面直线与所成角的余弦值()A. B. C. D.【答案】C【解析】设，则平行六面体，底面是边长为的正方形，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选C.12. 已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】椭圆的左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，两点关于轴对称，可设四边形是菱形，，将代入抛物线方程，得，，再代入椭圆方程，得，化简整理，得，解之得不合题意，舍去），故答案为.【方法点睛】本题主要考查抛物线的方程及椭圆的几何性质与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据点在椭圆上可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 抛物线的准线方程为___________．【答案】【解析】试题分析：将化成，所以准线方程为.考点：抛物线的标准方程.14. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________.【答案】【解析】因为双曲线渐近线方程为，所以可设双曲线方程，代入点，可得，双曲线的标准方程是，故答案为.15. 设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是________．【答案】【解析】的准线是，到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到的距离之和等于，即点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.16. 已知向量，若，则与的夹角为______________.【答案】【解析】设向量，，，设与的夹角为，，，故答案为.三、解答题（共70分）17. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线．（1）求的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．【答案】（1）；（2） .试题解析：（1）双曲线方程为，∴，，∴．（2）椭圆焦点，∵双曲线的，，∴，解得或．当时，，，渐近线方程：，当时，，，渐近线方程：．考点：双曲线及其性质．18. 是否存在同时满足下列两条件的直线.（1）与抛物线有两个不同的交点和；（2）线段被直线垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程．【答案】.【解析】试题分析：假设存在满足条件的直线l，，可设, 联立, 得，设，，其中点,根据韦达定理求出的中点的坐标，代入直线方程求得，进而求得直线的方程.试题解析：假设存在满足条件的直线l，可设,联解,得设，，其中点,由△＞0得且，,∴,而,故，解得,∴存在这样的直线l，方程为.19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意可证得，，则平面，由线面垂直的性质有，由三角形中位线的性质可得，则(Ⅱ)（方法一）为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为.（方法二）由等体积法可得点到平面的距离，据此可得与平面所成角的正弦值为.试题解析：（Ⅰ）因为底面，平面，所以又因为正方形中，，所以平面又因为平面，所以因为分别是、的中点，所以所以（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知，，，两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，设，，，，，，，设平面的一个法向量，，解得设直线与平面所成角为，则（方法二）设点到平面的距离为等体积法求出设直线与平面所成角为，20. 已知椭圆的离心率为,点在上.(1)求的方程；(2)直线不经过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）设直线,,把代入得故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.视频21. 如图,在四棱锥中,平面平面，为的中点.（1）证明:（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形三线合一证得，再根据面面垂直性质定理证得，从而证得；（2）可以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和平面的法向量，从而求得.试题解析：（1）联结因为为的中点,所以又平面平面交线为平面所以又所以（2）取线段的中点因为所以由（1）知, 故可以为原点, 射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系则于是设平面的一个法向量为由得令得设平面的法向量为由得令得所以易知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为22. 已知椭圆的右焦点为左顶点为（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点.试判断直线与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得椭圆的方程为（2）①当直线与轴垂直时的方程为联立直线与轴的交点为②当直线不垂直于轴时设直线的方程为联立且即由题意知或直线与轴的交点为.试题解析：（1）由已知得所以椭圆的方程为（2）①当直线与轴垂直时,直线的方程为联立得解得此时直线的方程为直线与轴的交点为②当直线不垂直于轴时,设直线的方程为联立得设则且即而由题意知,即解得或当时,满足直线的方程为此时与轴的交点为故直线与轴的交点是定点,坐标为【点睛】本题的几个关键难点有：利用分类讨论思想确立解题总体思路,即：①直线与轴垂直，②当直线不垂直于轴；利用舍而不求法，结合韦达定理将问题转化为；较为繁杂的计算量.。
数学---湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二下学期开学考试(文)
湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二下学期开学考试（文）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)1．直线x －3＝0的倾斜角是 ( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．不存在2.函数()y f x =的图象与直线2x =的交点有几个 （ ）A ．1B ．0或1C ．0D ．1或23. 函数y= cos 2x + sin 2x ,x ∈R 的值域是( )A.[0,2]B. C.[-1,2] D.[0,1] 4.函数2()25f x x ax =-+在[4,)+∞上为增函数，则实数a 取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a =C ．4a ≤-D ．4a ≥5.设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则f (x )＜0的解集为 （ ）A ．(－∞，－2)∪(0,2)B ．(－2,0)∪(2，＋∞)C ．(－2,0)D ．(－2,0)∪(0,2)6．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D. 457.已知m 是平面α的一条斜线,点A ∉α,l 为过点A 的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( )A .l ∥m ,l ⊥αB .l ⊥m ,l ⊥αC .l ⊥m ,l ∥αD .l ∥m ,l ∥α 8．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1), 则4a b +的最小值等于 ( ) A. 2 B. 8 C. 9 D. 59．如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数和方差分别为( )A.x ，s 2B ．5x ＋2，s 2C ．5x ＋2,25s 2D.x ，25s 210．设α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；③若平面α垂直于平面β，直线l 在平面α内，则l ⊥β；④若平面α平行于平面β，直线l 在平面α内，则l ∥β.其中正确命题的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11.设变量x,y 满足约束条件则的最大值为( )A. 3B.6C.D.1 12．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．±33 C ．- 33D ．－ 3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知函数()lg x f x =，则满足1(31)()2f x f -<的x 的取值范围是_______.14．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为________．15. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时函数 的解析式为 ；16．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是___________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 过点A (1，2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程．18．(本小题满分10分)已知函数32()f x x bx c =++是R 上的奇函数，且(1)2f =·(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义法证明()f x 在R 上是增函数；(3)若关于x 的不等式2(4)(2)0f x f kx k -++<在(0,1)x ∈上恒成立．求k 的取值范围19.(本小题满分12分)已知向量a =(1,cos 2x ),b =(sin 2x ,-),函数f (x )= a·b . (1)求函数f (x )的单调递减区间; (2)若 f,求 f 的值.20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．21．(本小题满分12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求BD与平面EBC所成角的大小；(3)求几何体EFBC的体积．22.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.参考答案1-5.BCDABBCB11-12.B C 13.)2131，（14.相切或相离15.2x x -16.417.解：解法一 设l ：y －2＝k (x －1)(k <0)，令x ＝0，y ＝2－k .令y ＝0，x ＝1－2k， S ＝12(2－k )⎝⎛⎭⎫1－2k ＝4， 即k 2＋4k ＋4＝0.∴k ＝－2，∴l ：y －2＝－2(x －1)，即l ：2x ＋y －4＝0.解法二 设l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎨⎧12ab ＝4，1a ＋2b ＝1. a 2－4a ＋4＝0⇒a ＝2，∴b ＝4.直线l ：x 2＋y 4＝1. ∴l ：2x ＋y －4＝0.18.分函数的解析式是解得即即是奇函数函数解：3............................................................................)(1:,21,2)1(002)()(`)()1(322323x x x f c c f b bx cx bx x cx bx x x f x f x f +=∴==+∴===∴---=-+--=-∴（2）证明：设x 1,x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2,]143)2)[(()1)(()())(()()(222212122212121212221212123213121+++-=+++-=-+++-=--+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f021<-x x 0143)2(22221>+++x x x )()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-∴即∴函数)(x f )在R 上是增函数．........................................................................... ６分（3）)22()4(,0)2()4(22k kx f k kx f x f k kx f x f --=+-<-∴<++-（）又因为)(x f 是增函数，则k kx x 242--<- ），在（100422<-++∴k kx x 上恒成立 .................................................... ８分法(一)），（令10,42)(2∈-++=x k kx x x g 1033)1(042)0(≤⎩⎨⎧≤-=≤-=k k g k g 解得∴k 的取值范围是]1,(-∞ ................................................................................... 10分19.解:(1)由题意得f (x )=a·b =sin 2x-cos 2x=2sin .因为函数y=sin x 的单调递减区间为,k ∈Z,∴由+2k π≤2x-+2k π,k ∈Z 得+k π≤x ≤+k π,k ∈Z,∴函数f (x )的单调递减区间为,k ∈Z .(2)∵f (x )=2sin ,∴f=2sin=2sin (α+π)=-2sin α=,∴sin α=-,∴f=2sin=2sin=2cos 2α=2(1-2sin2α)=2.20.解(1)由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179 cm之间，而乙班身高集中于170～180 cm之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高为x＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P(A)＝410＝2 5.21.(1)证明：如图连接EA交BD于F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点，∴FG∥AC.又FG⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴FG∥平面ABC.(2)解析：∵平面ABED⊥平面ABC，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22AB，∴BC⊥AC，又∵BE∩BC＝B，∴AC⊥平面EBC. 由(1)知，FG∥AC，∴FG ⊥平面EBC ，∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角．又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a 4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12. ∴∠FBG ＝30°.(3)解析：V EFBC ＝V FEBC ＝13S △EBC ·FG ＝13·12·a ·2a 2·12·2a 2＝a 324. 22.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d,由已知条件得解得 ∴数列{a n }的通项公式为a n =2-n(n ∈N *).(2)设数列的前n 项和为S n ,∵=,∴S n =++++…+,①则S n =+++…++,②①-②得 S n =1--=1-（1-）-=,∴S n =(n ∈N *).。
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湖南省醴陵市第二中学2017-2018学年高二上学期第四次月考（理）全卷共150分 时量：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 过点(0,2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条2.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（ ）A. 2214y x -= B. 2214x y -=C. 221416x y -=，或221416y x -=D. 2214y x -=，或2214x y -=3．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ， B ，C 四点共面；④|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. “m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.536.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B.6C.12D.7 3 7. 在如图所示的空间直角坐标系中,正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 为正方体的棱1AA 的中点,F 为棱AB 上的一点,且190,C EF ∠=︒则点F 的坐标为（ ）A. 12,,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 12,,03⎛⎫⎪⎝⎭C. 12,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 22,,03⎛⎫⎪⎝⎭ 8、双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的离心率为2，有一个焦点与抛物线24y mx =的焦点重合，则n 的值为（ ） A 、1B 、4C 、8D 、129.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝110．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若4FP FQ =，则|QF |＝（ ）A ．72B ．3C ．52D ．211. 已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值 ( ) A.63B. 155C. 147D.10512．已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的半焦距为c (c >0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是( ) A ．815B ．415C ．23 D ．12二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．抛物线24y x =的准线方程为___________．14.已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为______________.15．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (0,1)的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值是________．16．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为______________. 三、解答题（共70分）17．(10分)已知方程mx 2+（m ﹣4）y 2=2m+2表示焦点在x 轴上的双曲线． （1）求m 的取值范围； （2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．18．（12分）是否存在同时满足下列两条件的直线l ：⑴l 与抛物线28y x =有两个不同的交点A 和B ；⑵线段AB 被直线l 1：550x y +-=垂直平分．若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程．19．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、 F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,点(2,2)在C 上.(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ， 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21.（12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面,,90,ABCD AD BC ABC ∠= PA =3,1,2,3,PB BC AB AD O ====为AB 的中点.（1）证明:PO CD ⊥；（2）求二面角C PD O --的余弦值.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(1,0),F 左顶点为(2,0).A -（1）求椭圆E的方程；M N两点.试判断（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）,直线MN与x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.参考答案二、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1-5. CDDCD DAB 11-12.CD二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.答案: 14.答案:x 24－y 2＝115.答案:2 16.答案:120°三、解答题（共70分）17．解：（1）由题意得：，解得：0＜m ＜4；..................5分 （2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x 2﹣y 2=3，故渐近线方程是：y=±x ．..................10分 18．解：假设存在满足条件的直线l ，可设联解 得………………………… 4分设，，其中点 由△＞0得 且， ∴ 而116y =-:50l x y c -+=2508x y c y x-+=⎧⎨=⎩25880y y c -+=11(,)A x y 22(,)B x y 00(,)M x y 25c <1242255x x c+=-12425y y +=00425545c x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1M l ∈故 ∴存在这样的直线l ，方程为…… 12分19． 解：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝a ，则D (0,0,0)， A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E (a ，a 2，0)，P (0,0，a )，F (a 2，a 2，a2)．… 2分(1)证明：∵EF →·DC →＝(－a 2，0，a2)·(0，a,0)＝0，∴EF →⊥DC →，∴EF ⊥CD . ……………5分 (2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DF →＝0n ·DE →＝0，得⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(a 2，a 2，a 2)＝0(x ，y ，z )·(a ，a2，0)＝0，即⎩⎨⎧a2(x ＋y ＋z )＝0ax ＋a2y ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2,1)， ................8分∴cos 〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →|·|n |＝－a 2a ·6＝－36.………11分设DB 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝36.…………12分 20.解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. ..................5分(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. ........9分于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. .............12分44()5502555c -+⨯-=21255c =-<255210x y --=21. 解：（1）联结,PO 因为3,PA PB ==O 为AB 的中点, 所以.PO AB ⊥又平面PAB ⊥平面,ABCD 交线为,ABPO ⊆平面,PAB 所以.PO ABCD ⊥平面又CD ⊆平面 ,ABCD 所以.PO CD ⊥…………（5分）（2）取线段CD 的中点,E 2OE =，,OE BC 因为90,ABC ∠= 所以,.AB BC AB OE ⊥⊥由（1）知, .PO ABCD ⊥平面故可以O 为原点, 射线,,OB OE OP 分 别为,x y z 轴,轴轴的正半轴建立空间直角坐标系.O xyz -则(0,0,0),(1,1,0),(0,0,22),(1,3,0).O C P D -…………（6分）于是(1,1,22),(2,2,0),(0,0,22).CP CD OP =--=-=设平面CPD 的一个法向量为111(,,),x y z =m 由0,0CP CD ⋅=⋅=m m 得 11111220,220x y z x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩令11,z =得(2,2,1).=m …………（8分） 设平面OPD 的法向量为222(,,),x y z =n 由0,0OP OD ⋅=⋅=n n 得 222220,30z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令23,x =得(3,1,0).=n …………（10分） 所以424cos ,.5510⋅<>===⋅m n m n m n 易知二面角C PD O --的平面角为锐角,所以二面角C PD O --的余弦值为4.5…………（12分） 22.（12分）解：（1）由已知得1,2,c a ==2223.b a c =-=…………（3分）所以椭圆的方程为221.43x y +=…………（4分） （2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+ 联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去此时直线MN 的方程为2.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7-…………（6分） ②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120.k x kmx m +++-= E设1122(,),(,),M x y N x y 则2221212122228412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k --+=-==+++且222(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分）而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+ 由题意知,,AM AN ⊥即22121212271642()40,43m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+ 解得27m k =或2().m k =舍去…………（10分） 当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2(),7y k x =+此时与x 轴的交点为 2(,0).7-故直线MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2(,0).7-…………（12分）。