2014浙江省杭州二中高二期中考试理科数学试题及答案
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2014-2015学年高二上
2014学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科 试题（文理合卷）考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）10y +=的倾斜角是（ ▲ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒ 2．下列说法正确的是（ ▲ ）A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 C. 圆台平行于底面的截面是圆面 D ．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．已知两条直线1(:1)30l kx k y +--=和22:(120)k x l y -+-=互相垂直，则k =（ ▲ ） A ．1或－2 B ．－1或2 C ． 1或2 D ．－1或－2 4．直线l 与直线1y =，直线5x =分别交于P ，Q 两点，PQ 中点为M （1，-1），则直线l 的斜率是（ ▲ ） A ． 12-B ． 12C ． 2D ．－2 5．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若//,//m n αα，则//m n B ．若//,,m n m n αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//m m αβ，则//αβ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥6．如图是一个空间几何体的三视图，其正视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个两直角边长分别为3和1的直角三角形，则此几何体的 体积为 （ ▲ ）A ．33 B ．1 C ． 23 D ．2 7．若直线0(0)ax by c ab ++=≠在两坐标轴上的截距相等，则,,a b c 满足的条件是（ ▲ ） A. a b = B. ||||a b = C. 0c a b ==或 D ．0c a b ==或 8．ABCD 为空间四边形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ≠AD ，M 、N 分别是对角线AC 与BD 的中点， 则MN 与（ ▲ ）A. AC 、BD 之一垂直B. AC 、BD 都垂直 C ．AC 、BD 都不垂直 D. AC 、BD 不一定垂直9．如图，三棱锥P -ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60°.设动点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，点D 由P 运动到B ，点E 由P 运动到C ，且满足DE ∥BC ，则下列结论正确的是（ ▲ ）A ．当点D 满足AD ⊥PB 时，△ADE 的周长最小 B ．当点D 为PB 的中点时，△ADE 的周长最小C ．当点D 满足13PD PB =时，△ADE 的周长最小 D ．在点D 由P 运动到B 的过程中，△ADE 的周长先减小后增大 10. 在正方体''''ABCD A B C D - 中，P 为棱'AA 上一动点，Q 为 底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点P ，Q 都运动时， 点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（ ▲ ）A. 棱柱B. 棱台C. 棱锥D.球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在正方体1111ABCD A B C D -中， E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1， B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为 ▲ .12．已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是 ▲ . 13．已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ▲ .14．如左下图，在三棱柱'''ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，'AA ⊥底面ABC ， 且AB ＝1，'AA ＝2，则直线'BC 与平面''ABB A 所成角的正弦值为 ▲ .A第B'15．已知一个三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如右上图所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图．．． 面积为 ▲ .16．已知实数a b c 、、满足0a b c --=则原点(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离的最大值为 ▲ .17．若当(1,)x ∈-+∞时，(1)21()k x x k k R +<++-∈恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ .三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直， 且12AD AB CD ==，//AB CD ，M 为CE 的中点. （1）证明：//BM 平面ADEF ； （2）证明：平面BCE ⊥平面BDE .19.（本小题满分12分）已知点A （2，2），直线:21l y x =+. (1)求点A 关于直线l 的对称点'A 的坐标；(2)当点B ，C 分别在x 轴和直线l 上运动时，求ABC ∆周长的最小值.F20．（本小题满分14分）在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，4AB MB =，且CD PM ⊥，22AB BC PB AD ===．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值．21.（本小题满分14分）在等边三角形ABC 中，AB =2，E 是线段AB 上的点(除点A 外），过点E 作EF AC ⊥于点F ，将AEF ∆ 沿EF 折起到PEF ∆(点A 与点P 重合，如图)，使得3PFC π∠=，(1) 求证：EF PC ⊥；(2) 试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？ 若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由.C BB二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．060 12．50π 13． 2 14 15 1617．(,2][0,1]-∞- 三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18. （本小题满分12分）解析：（1）（解法一）取DE 的中点N ，连结MN ，AN . 在DEC ∆中，因为M ，N 分别为EC ，ED 的中点， 所以//MN CD ，且12MN CD =. 又因为//AB CD ，12AB CD =，F所以//MN AB ，且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形，故//MB NA ， 又因为MB ⊄平面ADEF ，NA ⊂平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （解法二）取DC 的中点P ，连结,MP BP . 在直角梯形ABCD 中，因为//AB CD ，12AB CD =，12DP DC =， 所以//AB DP ，且AB DP ＝，故四边形ABPD 为平行四边形，所以//BP AD .在DEC ∆中，因为M ，P 分别为EC ，DC 的中点，所以//MP ED . 又因为MPPB P =，ED DA D =，所以平面//MPB 平面EDA ，又因为M B ⊂平面MPB ，所以//BM 平面ADEF . （5分） （2）直角梯形ABCD 中，//AB CD ，设12AD AB CD a ===，所以BD BC ==，2CD a =，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. （8分）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 又平面ADEF平面ABCD AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥平面ABCD ，故ED BC ⊥. （10分） 又因为BDED D =，所以BC ⊥平面BDE . （11分）又因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面BDE . （12分）19.（本小题满分12分）1'(,),222-,21522-2116--225216'(-,).(655A a b b a a b b a A ⎧++⎧==⨯+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴⋯⋯⋯解：（）设则有解得点的坐标为分）22222'(12A x A A A ABC ==∆⋯⋯⋯（）点关于轴的坐标为（，－）则分）20. （本小题满分14分） 解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ， 且⊂PM 面PAB ． 所以，面⊥PAB 面ABCD .………（6分） （2）过点M 作CD MH ⊥，连结HP ， 因为CD PM ⊥，且M MH PM = ，所以⊥CD 平面PMH ，又由⊂CD 平面PCD ，得到平面⊥PMH 平面PCD ， 平面 PMH 平面PH PCD =，过点M 作PH MN ⊥，即有⊥MN 平面PCD ， 连结DN ，则MDN ∠为直线DM 与平面PCD 所成角． ………（10分）在四棱锥ABCD P -中，设t AB 2=， 则t DM 213=，t PM 23=，t MH 1057=，∴t PH 554=，t MN 1637=， 从而104397sin ==∠DM MN MDN ，………（13分） 即直线DM 与平面PCD 所成角的正弦值为104397.………（14分）21. （本小题满分14分）(1),,,.,.(5EF PF EF FC PF FC F EF PFC PC PFC EF PC ⊥⊥⋂=∴⊥⊂∴⊥证明：平面又平面分）21,.,,(10EF PFC BCFE PFC PH FC FC H PH BCFE HG BE BE G PG BE PG PGH ⊥∴⊥⊥⊥⊥⊥∠（）由（）知平面平面平面作交于点则平面作交于点，连结，则所以就是二面角的平面角分）0,0 1.60,,,21,42tan .(1332.(143AF x x x PFC FH PH x GH x PH PGH GH E AB P EB C =<≤∠=∴=∴-==∴∠==-当点在线段上移动时，二面角的大小定值，这个二面角的平面角的正切设据题意有在图形（）中可求得分值）为分）备注：对于简答题的其他解法，请参照评分标准评分.。
浙江省杭州二中2014届高三数学上学期第二次月考试题 理
杭州二中2013学年第一学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。
本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。
一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设b a、为向量，则“a b a b ⋅=”是“b a //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33. 已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ） A ．2cos x B ．x sin 2 C ．sin x D ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，7．设函数f(x)=x 2－23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)+…+g (20)=（ ） A ．0 B ．38 C ． 56 D ．1128．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123,x x x <<则下列结论正确的是（ ）A ．11x >-B ．20x <C ．201x <<D ．32x >9.已知()log (1),()2log (2)(1)a a f x x g x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ）A.1B.2C.1或2D. 2或410．已知定义在[1,)+∞上的函数4812(12)()1()(2)22x x f x x f x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则 ( )A.在[1,6）上，方程1()06f x x -=有5个零点 B.关于x 的方程1()02nf x -=（n N *∈）有24n +个不同的零点 C.当1[2,2]n n x -∈（n N *∈）时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4D.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立 二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 11.已知4cos(),25πθ+=则cos2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 .13.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=+∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 .14.已知正实数a b 、满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为 . 15.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，设2=a ，则t 的取值范围是 .17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 . 三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.19. （本题满分14分）在数列{}n a 中，点1(,)(1,2,,)i i P a a i n +=在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值.20.（本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(Ⅱ)设△ABC 的对边分别为c b a ,,，且3=c ，0)(=C f ,若A B sin 2sin =，求b a ,的值.21．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n amn a ⋅>对*n ∀∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分15分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”； 若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t ⋅+->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的 最小值；若不存在，说明理由.杭州二中2013学年第一学期高三年年级期中考试数学答案一、选择题二、填空题 11.725-12.1 13.1 14.217 15.1或12 16. 17.12三、解答题18.解;{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题， 即AB ≠∅，且A C ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19.解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n nn b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分(Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅ 2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯- 由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分20.解: (Ⅰ)211+cos21()2cos 222x f x x x x =--=--1)62sin(--=πx 由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-()f x ∴的最小值为.0,231最大值---------7分 (Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==. ----------14分21.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N .所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-.所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x=>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分22.解：(Ⅰ)1(),f x ∈Ω且2(),f x ∉Ω即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞上是增函数，∴0h ≤2分 而2()()2f x h h x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而'2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥，∴ ()h x 不是增函数时，0h <，综上0h <4分.(Ⅱ)1(),f x ∈Ω且0a b c <<<a b c <++，则()()4,f a f a b c a a b c a b c++<=++++4()a f a d a b c ∴=<++，同理44(),()b cf b d f c t a b c a b c=<=<++++，则有 4()()()()24a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++，240d t ∴+-<，又(),0d d d b a a b ab-<∴<，而00b a d >>∴<，0d ∴<，(24)0d d t ∴+->8分.(Ⅲ){}2()(),,(0,),()f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ，使得()f x k <，对(0,)x ∈+∞成立.先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立，假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记020()0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数，即2()f x x是增函数，0x x ∴>时，0220()()f x f x m x x >=，2()f x mx ∴>， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与对(0,)x ∈+∞，()f x k <矛盾.11分∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立.下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >，使得2()0f x =，一定存在320x x >>，3232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾，()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解. 综上，对任意()f x ∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，存在0,(0,)M x ≥∈+∞使，任意()f x ∈ψ， 有()f x M <成立，min 0M ∴=. 15.。
(精)杭州第二中学年高二下期中数学(理)试题有答案
杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）试卷命题 樊波新 校对 李恭喜 审核 斯理炯一. 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.41()x x-展开式中的常数项是（ ）A ．6B ．4C ．-4D ．-62．用数学归纳法证明123(31)n +++++=(31)32)2n n ++（，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上（ ） A ．(32)k + B ．(34)k +C ．(32)(33)k k +++D ．(32)(33)(34)k k k +++++3．设函数x xe x f =)(，则 （ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1-=x 为()f x 的极大值点D ．1-=x 为()f x 的极小值点4．用数学归纳法证明333"(1)(2)()n n n n N *++++∈能被9整除”，要利用归纳假设证1n k =+时的情况，只需展开 ( )A ．3(3)k +B ．3(2)k +C ．3(1)k +D ．33(1)(2)k k +++5. 四张卡片上分别标有数字"2""3""3""9",、、、其中"9"可以当"6"使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）A ．18 C ．24 D ．66．()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2B ．4C ．14-D ．12- 7. 学校计划利用周一下午第一、二、三节课开设语文、数学、英语、物理4科的选修课，每科一节课，每节至少有一科，且数学、物理不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种8．若函数2()ln 3(01)x f x a x x a m a a =+--->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A ．(2,4)- B ．(4,2)- C ．(1,3)- D ．(3,1)- 二. 填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．计算1239910101010101392733C C C C -+-+-+= ．10．函数x x x f 3)(3-=极大值为 ．11．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为__________.(用数字作答)12．函数1()ln 2xf x x x -=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________. 13．设542345012345(21)(2)x x a a x a x a x a x a x -++=+++++，则024a a a ++=__________．14．函数3()31f x x x =--，若对于区间[3,2]-上的任意12,x x ，都有12()()f x f x t -≤，则实数t 的最小值是__________．15.设m n t 、、为整数，集合{333,0}m n ta a m n t =++≤<<中的数由小到大组成数列{}n a ：13，31,37,39,,则21a = .杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）答卷共9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三．解答题（本大题共4题，共48分） 16.(本题满分10分) 求下列函数的导数： （1）()tan f x x x =；（2）()(1)(2)(3)f x x x x =---；（3）()2sin3.f x x =17.（本题满分12分）已知函数()ln ,af x x x=-其中a R ∈． （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．18.（本题满分12分）设，其中为正整数．（1）求(1)(2)(3)f f f 、、的值；（2）猜想满足不等式()0f n <的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．19.（本题满分14分）已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+． （1）当1=a 时，求()f x 在[1,)x ∈+∞的最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+．杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）答案择题9. 1024 10. 2 11.32 12.32- 13.110 14.20 15.733 三．解答题（本大题共4题，共46分） 16. （本题满分10分）解：（1）2()tan cos x f x x x'=+. （2）.2()31211.f x x x '=-+ （3）()6cos3.f x x = 17．（本题满分12分） 解：（1）当2a =时，由已知得2()ln f x x x =-，故212()f x x x'=+， 所以'(1)123f =+=，又因为2(1)ln121f =-=-， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x +=-， 即得350x y --=；（2）解：由()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+，又(1,)x ∈+∞，故2ln 2a x x x x <+-．设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则1'()ln 22ln 21g x x x x x x x=+⋅+-=+-．因为(1,)x ∈+∞， 所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，'()ln 210g x x x =+->， 故函数()g x 在(1,)+∞上单调递增．所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1ln11211g x g >=⨯+-⨯=-． 因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立． 所以1a ≤-．18．（本题满分12分） 解：（1）（2）猜想： 证明：①当时，成立②假设当时猜想正确，即∴由于∴，即成立由①②可知，对成立. 19．（本题满分14分） 解：（1）12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．0)1(1)1(21)('222>++=+-=x x x x x x f ， ()f x ∴在),0(+∞上是增函数． ∴()(1)1f x f ==.（2） 因为若()f x 存在单调递减区间，所以()0h x <有正数解. 即22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解当0a =时，明显成立 .②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解； ③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根. 因为1210x x =>，所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根. 当1≥x 时，1)1()(=≥f x f ；⎩⎨⎧>+>∆0021x x ，解得210<<a ． 综合①②③知：21<a ．（3）（法一）根据（1）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln 81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立．设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（1）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立．。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二数学下学期期中联考试题 理
2014学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级 数学（理科） 试题一、选择题(本小题每题4分,共计32分)1、i是虚数单位,复数31i i--=( )A ．2i -B ．12i -C ．i 21+D ．2i +2、“0b a >>”是 “22a b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、过曲线上一点的切线方程为（ ）A ．2y -=B ．016y x 9=-+C ．2y 016y x 9-==-+或D ．016y x 9=--4、下列结论：①函数y =2y =是同一函数；②函数(1)f x -的定义域为[1,2]，则函数2(3)f x的定义域为[0,3；③函数22log (23)y x x =+-的递增区间为(1,)-+∞；其中正确的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5|)|(x f y -=的图像如左图所示，则函数)(x f y =的图像不可能是（(1)(2)(3)(4)A.（1）B.（2）C.（3）D.（4） 6、定义：区间的长度为．已知函数的定义域为，值域为，记区间的最大长度为m, 最小长度为n ．则函数的零点个数是（ ）[]()1212,x x x x <21x x -||2x y =[],a b []1,2[],a b )2()(n x m x g x +-=A ．1B ．2C ．0D ．37、若直角坐标平面内的两个不同的点M N 、满足条件：①M N 、都在函数()y f x =的图象上；②M N 、关于原点对称.则称点对[,]M N 为函数()y f x =的一对“友好点对”.（注：点对[,]M N 与[,]N M 为同一“友好点对”）.已知函数42log (0)()6(0)x x f x x x x >⎧=⎨--≤⎩，此函数的友好点 对有 （ ） A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(9—12小题每题6分,13—15小题每题4分，共计36分)9、 已知集合}42|{<<-=x x M ，}313|{>=x x N ，则N M I = ，N M Y =_____，N C M R I =_________．10、函数223)(x x x f --=的定义域为_________，值域为_________．11、若函数)x (f y =是定义在R 上的增函数，且满足1)b a (f )b (f )a (f ,0)1(f -+=+=，那么=)2(f ，关于x 的不等式0)x 1(f )1x (f 2>-+-的解集是 。
杭州第二中学年高二下期中数学(理)试题有答案-精编
杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）试卷命题 樊波新 校对 李恭喜 审核 斯理炯一. 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.41()x x-展开式中的常数项是（ ）A ．6B ．4C ．-4D ．-62．用数学归纳法证明123(31)n +++++=(31)32)2n n ++（，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上（ ） A ．(32)k + B ．(34)k +C ．(32)(33)k k +++D ．(32)(33)(34)k k k +++++ 3．设函数x xe x f =)(，则 （ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1-=x 为()f x 的极大值点D ．1-=x 为()f x 的极小值点4．用数学归纳法证明333"(1)(2)()n n n n N *++++∈能被9整除”，要利用归纳假设证1n k =+时的情况，只需展开 ( )A ．3(3)k +B ．3(2)k +C ．3(1)k +D ．33(1)(2)k k +++5. 四张卡片上分别标有数字"2""3""3""9",、、、其中"9"可以当"6"使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）A ．18B ．C ．24D ．66()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2B ．4C ．14-D ．12- 7. 学校计划利用周一下午第一、二、三节课开设语文、数学、英语、物理4科的选修课，每科一节课，每节至少有一科，且数学、物理不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种8．若函数2()ln 3(01)x f x a x x a m a a =+--->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A ．(2,4)- B ．(4,2)- C ．(1,3)- D ．(3,1)- 二. 填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．计算1239910101010101392733C C C C -+-+-+= ． 10．函数x x x f 3)(3-=极大值为 ．11．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为__________.(用数字作答)12．函数1()ln 2xf x x x -=+的导函数是()f x '，则(1)f '-=__________. 13．设542345012345(21)(2)x x a a x a x a x a x a x -++=+++++，则024a a a ++=__________．14．函数3()31f x x x =--，若对于区间[3,2]-上的任意12,x x ，都有12()()f x f x t -≤，则实数t 的最小值是__________．15.设m n t 、、为整数，集合{333,0}m n ta a m n t =++≤<<中的数由小到大组成数列{}n a ：13，31,37,39,,则21a = .杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）答卷一分，二9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 三．解答题（本大题共4题，共48分） 16.(本题满分10分) 求下列函数的导数： （1）()tan f x x x =；（2）()(1)(2)(3)f x x x x =---；（3）()2sin3.f x x =17.（本题满分12分）已知函数()ln ,af x x x=-其中a R ∈． （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．18.（本题满分12分）设，其中为正整数．（1）求(1)(2)(3)f f f 、、的值； （2）猜想满足不等式()0f n <的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．19.（本题满分14分）已知函数2()ln ()1f x a x a R x =+∈+．（1）当1=a 时，求()f x 在[1,)x ∈+∞的最小值； （2）若()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）求证：1111ln(1)()35721n n N n *+>++++∈+．杭州二中2014学年第二学期高二年级期中考数学（理科）答案一. 选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）二9. 1024 10. 2 11.32 12.32- 13.110 14.20 15.733 三．解答题（本大题共4题，共46分） 16. （本题满分10分）解：（1）2()tan cos x f x x x'=+. （2）.2()31211.f x x x '=-+ （3）()6cos3.f x x = 17．（本题满分12分） 解：（1）当2a =时，由已知得2()ln f x x x =-，故212()f x x x'=+， 所以'(1)123f =+=，又因为2(1)ln121f =-=-， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为23(1)y x +=-， 即得350x y --=；（2）解：由()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+，又(1,)x ∈+∞， 故2ln 2a x x x x <+-．设函数2()ln 2g x x x x x =+-，则1'()ln 22ln 21g x x x x x x x=+⋅+-=+-．因为(1,)x ∈+∞， 所以ln 0x >，210x ->，所以当(1,)x ∈+∞时，'()ln 210g x x x =+->， 故函数()g x 在(1,)+∞上单调递增．所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1ln11211g x g >=⨯+-⨯=-． 因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立． 所以1a ≤-． 18．（本题满分12分） 解：（1）（2）猜想： 证明：①当时，成立②假设当时猜想正确，即∴由于∴，即成立由①②可知，对成立. 19．（本题满分14分） 解：（1）12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．0)1(1)1(21)('222>++=+-=x x x x x x f ， ()f x ∴在),0(+∞上是增函数． ∴()(1)1f x f ==.（2） 因为若()f x 存在单调递减区间，所以'()0h x <有正数解.即22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解 当0a =时，明显成立 .②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解； ③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线， 即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根. 因为1210x x =>，所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根. 当1≥x 时，1)1()(=≥f x f ；⎩⎨⎧>+>∆0021x x ，解得210<<a ． 综合①②③知：21<a ．（3）（法一）根据（1）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln 81=>，1ln 23∴>，即1n =时命题成立．设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln35211k k k +>++++++． 根据（1）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令21k x k +=+，则有21ln 123k k k +>++， 则有1111ln(2)352123k k k +>++++++，即1n k =+时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．。
浙江省杭州二中2014年高二下学期期中考试理科数学试卷 有答案
浙江省杭州高二下学期期中考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a 、b 、m 为正实数，则不等式a m ab m b+>+成立的条件是（ ）A ．a < bB ． a > bC ． a ≤bD ． a ≥b2.已知,x y R ∈，则“xy ＞0”是“|x +y |=|x |+|y |”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞-及(0,1]D ．[1,0)-及(0,1]4. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 5.已知点P 是抛物线22x y =上的一动点,焦点为F ,若定点(1,2)M ,则当P 点在抛物线上移动时, PM PF +的最小值等于 （ ） A.52 B.2 C. 32D.3 6. 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；③平行于同一直线的两条直线平行；④平行于同一平面的两条直线平行．其中是“可换命题”的是（ ） A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④7.各位数字之和等于6的三位数共有（ ）A ．17个B ．18个C ．21个D ．22个 8. 如图，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,2)，(－2,0)，(2,0)，点M 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点M 出发，经BC ，CA 反射后又回到起点M ．若光线NT 交y 轴于点(0,23)，则点M 的坐标为（ ） A ．15(,)33- B ．24(,)33-C ．(1,1)-D ．42(,)33-9.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2014时对应 的指头是（ ）A ．大拇指B ．食指C ．中指D ．无名指10. 设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，与双曲线的其中一个交点为，设O 为坐标原点，若(,)OP mOA nOB m n R =+∈，且29mn =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D ．98二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 已知直线l 与直线10x y --=垂直，则直线l 的倾斜角α= .12. 已知某几何体的三视图（单位:）如图所示，则此几何体的体积 是 .13. 二项式5)y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)14. 函数y =sin 2(0)x x x π+≤≤的递减区间为___________.15. 已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则m 的值为___________.16. 已知命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点(,0)A p -和(,0)C p ，顶点B 在椭圆22221(0,x y m n p m n +=>>=上，则sin sin 1sin A C B e +=（其中e 为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点(,0)A p -和(,0)C p ，顶点B 在双曲线22221(0,0,x y m n p m n -=>>=上，则 ．17. 如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆．若M 为线段A 1C的中点，则在ADE ∆① BM |是定值； ② 点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．杭州2013年第二学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.17.三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分8分） 数列{}n a 的前n 项和n S 满足2()n n S n a n N *=-∈，（1）计算1234,,,a a a a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.19. （本题满分12分）如图,在梯形ABCD中，AD CD⊥//AB CD,12AD CD AB a===，平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE a=,点M在线段EF上.（1）求证：AM BC⊥；（2）若13EM EF=，求二面角B AM D--的余弦值.20. （本题满分10分） 设函数3211()(1)32f x x ax a x =-+-，（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（0,0）处的切线方程； （2）当a 为何值时，函数()y f x =有极值？并求出极大值.21. （本题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -，且椭圆C 的离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程； 设椭圆C 的上下顶点分别为12,,A A Q 是椭圆C 的任一点,直线12,QA QA 分别交x 轴于点,S T ,证明:OS OT ⋅为定值,并求出该定值；（3）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线l 圆2216:7O x y +=相交于不同的两点,A B ，且O A B ∆坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.高二数学理科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 34π(或135) ；12.7；13.20；14.12[,]33ππ15.3；16.17.①②④三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分8分）【解析】（1）解当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4由此猜想a n∈N*).（2）证明①当n=1时，a1=1，结论成立.②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，即a k那么n=k+1时，a k+1=S k+1-S k=2(k+1)-a k+1-2k+a k=2+a k-a k+1.∴2a k+1=2+a k,∴a k+1这表明n=k+1时，结论成立， 由①②知猜想a nn ∈N *）成立.19.（本题满分10分）（1）证明：在梯形ABCD 中，AD CD ⊥ //AB CD ,12AD CD AB a ===，得AC BC ==，BC AC ⊥，又四边形ACFE 是矩形，则E A A C ⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD ＝AC ，则AE ⊥平面ABCD ，平面BC ⊂平面ABCD ，则A EBC ⊥，则BC ⊥平面ACFE ，则AM BC ⊥；（2）解：以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过点D 平行与EA 的直线为Z 轴，则 D （0,0,0），A （a ，0，0），B （a ，2a ，0），M 21(,,)33a a a ，得平面DAM 得法相量为111031x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，同理可得平面ABM 的法向量为222301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则所求的余弦值为110-；20. （本题满分12分）解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---（1）当1a =时，(0)1f '=，则曲线()y f x =在点（0,0）处的切线方程y x =； （2）显然，当11a -≠时，即 2a ≠时函数有极值。
2014届杭二中二模理科数学试卷
绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生适应性考试数 学（理科）姓名 准考证号 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．设p ：11>a；q ：1<a ，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数()26ln f x x x =-+的零点一定位于下列哪个区间A. (1,2)B.(2,3)C.()3,4D. ()4,54．对于任意向量c b a ,,，下列等式一定成立的是5．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 A ．y =B ．sin y x x =C ．1lg1x y x -=+D ． x xy e e -=- 6. 一空间几何体的三视图如图所示，图中各线段旁的数字表示该线 段的长度，则该几何体的体积可能为A ． 36 B. 35 C. 33 D. 32 7．设数列{}n a 是以1为首项、2为公差的等差数列，{}n b 是以1 为首项、2为公比的等比数列，则521a a a b b b +++ 等于 A ．85B ．128C ．324D ． 3418.设直线l 与双曲线)0,(12222>=-b aby a x 相交于B A 、两点，M 是线段AB 的中点，若l与OM（O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 A B C ．2D ． 39．三对夫妇排成一排照相，则每对夫妇互不相邻的排法有 A ．80种 B ．160种C ．240种D ．320种10．如图，在四棱锥ABCD P -中， AD 与BC 相交．若平面 α截此四棱锥得到的截面是一个平行四边形，则这样的平面α A ．不存在 B ．恰有1个 C ．恰有5个 D ．有无数个非选择题部分 (共100分)注意事项：1． 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2014-2015年浙江省杭州市(含周边)重点中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
中数学试卷（理科）
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．（4 分）i 是虚数单位，复数 =（ ）
A．2+i
B．1﹣2i
C．1+2i
D．2﹣i
2．（4 分）“a＞b＞0”是“a2＞b2”的（ ）
A．充分不必要条件
的定义域为[1，2]，则函数 f（3x2）的定义域为[0， ]；③函数 y=log2（x2+2x
﹣3）的递增区间为（﹣1，+∞）：期中正确的个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．（4 分）已知函数 y=f（﹣|x|）的图象如图所示，则函数 y=f（x）的图象不可
能是（ ）
A． C．
7．（4 分）若直角坐标平面内的两个不同的点 M、N 满足条件：
①M、N 都在函数 y=f（x）的图象上；
②M、N 关于原点对称．则称点对[M，N]为函数 y=f（x）一对“友好点对”（注：
点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）．
已知函数 f（x）=
，此函数的友好点对有（ ）
A．0 对
B．1 对
数 b 的取值范围．
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2014-2015 学年浙江省杭州市（含周边）重点中学高二（下）
期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．（4 分）i 是虚数单位，复数 =（ ）
A．2+i
B．1﹣2i
C．1+2i
【解答】解：复数 =
8．（4 分）已知函数 f（x）=
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2014年杭州二中第二学期高二年级期中考试数学试卷（理科）注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a 、b 、m 为正实数，则不等式a m ab m b+>+成立的条件是（ ）A ．a < bB ． a > bC ． a ≤bD ． a ≥b2.已知,x y R ∈，则“xy ＞0”是“|x +y |=|x |+|y |”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数2()2ln f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(,1]-∞-及(0,1]D ．[1,0)-及(0,1]4. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 5.已知点P 是抛物线22x y =上的一动点,焦点为F ,若定点(1,2)M ,则当P 点在抛物线上移动时, PM PF +的最小值等于 （ ） A.52 B.2 C. 32D.3 6. 若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；③平行于同一直线的两条直线平行；④平行于同一平面的两条直线平行．其中是“可换命题”的是（ ） A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④7.各位数字之和等于6的三位数共有（ ）A ．17个B ．18个C ．21个D ．22个 8. 如图，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,2)，(－2,0)，(2,0)，点M 是边AB 上异于A，B的一点，光线从点M出发，经BC，CA反射后又回到起点M．若光线NT交y轴于点(0,23)，则点M的坐标为（）A．15(,)33-B．24(,)33-C．(1,1)-D．42 (,)33 -9.某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到2014时对应的指头是（）A．大拇指B．食指C．中指D．无名指10.设双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，与双曲线的其中一个交点为，设O为坐标原点，若(,)OP mOA nOB m n R=+∈，且29mn=，则该双曲线的离心率为（）A B C D．9 8二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 已知直线l与直线10x y--=垂直，则直线l的倾斜角α= .12. 已知某几何体的三视图（单位:）如图所示，则此几何体的体积是.13. 二项式5)y+的展开式中,含23x y的项的系数是_________.(用数字作答)14. 函数y=sin2(0)x x xπ+≤≤的递减区间为___________.15. 已知圆2260x y x y m++-+=和直线230x y+-=交于,P Q两点，若OP OQ⊥（O为坐标原点），则m的值为___________.16. 已知命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点(,0)A p -和(,0)C p ，顶点B 在椭圆22221(0,x y m n p m n +=>>上，则sin sin 1sin A C B e +=（其中e 为椭圆的离心率）．试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题：在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的顶点(,0)A p -和(,0)C p ，顶点B 在双曲线22221(0,0,x y m n p m n-=>>=上，则 ．17. 如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆．若M 为线段A 1C的中点，则在ADE ∆① BM |是定值； ② 点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．杭州二中2013学年第二学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.17.三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分8分） 数列{}n a 的前n 项和n S 满足2()n n S n a n N *=-∈，（1）计算1234,,,a a a a ； （2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.19. （本题满分12分）如图,在梯形ABCD中，AD CD⊥//AB CD,12AD CD AB a===，平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE a=,点M在线段EF上.（1）求证：AM BC⊥；（2）若13EM EF=，求二面角B AM D--的余弦值.20. （本题满分10分） 设函数3211()(1)32f x x ax a x =-+-，（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（0,0）处的切线方程； （2）当a 为何值时，函数()y f x =有极值？并求出极大值.21. （本题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且椭圆C 的离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上下顶点分别为12,,A A Q 是椭圆12,A A 的任一点,直线12,QA QA 分别交x 轴于点,S T ,证明:OS OT ⋅为定值,并求出该定值；（3）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线l 与圆2216:7O x y +=相交于不同的两点,A B ，且∆点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.高二数学理科参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11. 34π(或135) ；12.7；13.20；14.12[,]33ππ15.3；16.17.①②④三、解答题：本大题共4小题．共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分8分）【解析】（1）解当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2当n=3时，a 1+a 2+a 3=S 3=2×3-a 3,∴a 3当n=4时，a 1+a 2+a 3+a 4=S 4=2×4-a 4,∴a 4由此猜想a n∈N *).（2）证明 ①当n=1时，a 1=1，结论成立. ②假设n=k(k≥1且k ∈N *)时,结论成立，即a k那么n=k+1时，a k+1=S k+1-S k =2(k+1)-a k+1-2k+a k =2+a k -a k+1. ∴2a k+1=2+a k ,∴a k+1这表明n=k+1时，结论成立， 由①②知猜想a nn ∈N *）成立.19.（本题满分10分）（1）证明：在梯形ABCD 中，AD CD ⊥ //AB CD ,12AD CD AB a ===，得AC BC = ，BC AC ⊥，又四边形ACFE 是矩形，则EA AC ⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD ＝AC ，则AE ⊥平面ABCD ，平面BC ⊂平面ABCD ，则AE BC ⊥，则BC ⊥平面ACFE ，则AM BC ⊥；（2）解：以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过点D 平行与EA 的直线为Z 轴，则 D （0,0,0），A （a ，0，0），B （a ，2a ，0），M 21(,,)33a a a ，得平面DAM 得法相量为111031x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，同理可得平面ABM 的法向量为222301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则所求的余弦值为110-；20. （本题满分12分）解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---（1）当1a =时，(0)1f '=，则曲线()y f x =在点（0,0）处的切线方程y x =； （2）显然，当11a -≠时，即 2a ≠时函数有极值。
①当2a <时，即11a -<时，有此时，函数函数()y f x =极大值为24(1)(1)6af a a --=-. ②当2a >时，即11a ->时，有此时，函数()y f x =极大值为2(1)23a f =-. 综上，函数()y f x =极大值为24(1),(2)6()2,(2)23aa a f x a a -⎧-<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩极大值.21. （本题满分12分）解：（1）由题意：，解得： 3分所以椭圆 4分(2) 由（1）可知,设,直线:,令,得; 5分直线:,令,得; 6分则, 7分而,所以,所以 8分(3)假设存在点满足题意，则，即设圆心到直线的距离为，则，且 9分所以 10分所以 11分因为，所以，所以所以 12分当且仅当，即时，取得最大值由，解得 13分所以存在点满足题意，点的坐标为此时的面积为 .。