浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
2014-2015年浙江省杭州市求是高中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．48．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是．12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为．15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为．三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°【解答】解：因为直线的方程为x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=﹣1的倾斜角为90°，故选：C．2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④【解答】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选：D．3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选：C．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．【解答】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0∴（a﹣1）（a+1）=0∴a=1，或a=﹣1故选：C．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选：C．8．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能【解答】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选：D．9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方【解答】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选：C．10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．【解答】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为3．【解答】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．【解答】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为16π．【解答】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16π15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为3x+5y﹣34=0．【解答】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y﹣5=（x﹣3），化为一般式可得3x+5y﹣34=0，故答案为：3x+5y﹣34=0三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（﹣2，2），∵l垂直于直线x﹣4y﹣1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（﹣2，2）代入，得﹣8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．【解答】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m﹣1=0，联立解得，n=﹣．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，﹣1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x﹣1=0．∴﹣8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【解答】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中考试数学试卷word含答案
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷时间：100分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 .14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且ο90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，ο60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++=Λ，求不超过m 的最大整数.{}n a杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.9 10． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，ο60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值. （1）证明：连接1111,D B C A 交于点G ，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCOA 1是平行四边形，故OG O A //1，又C DB OG 11平面⊂，故CD B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 11B因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF.（1）求证：EA FC ⊥； （2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥ 又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又F1BAEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=οCB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++L ，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ΛΛ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m Λ 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故21)34(3120142014>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.{}n aF。
浙江省杭州市二中2015-2016学年高二上学期期终考试数学试卷
杭州二中2015学年第一学期高二年级期终考数学试卷 命题、审核、校对：黄宗巧 徐存旭 李 鸽本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．双曲线221169x y -=的焦距是（ ）A.B.5C. 10D.2.设a R ∈，则“2a =”是“直线1:0l x ay a +-=与直线2:(23)10l ax a y --+=垂直”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3.设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m nB. 若//,//,//,m n αβαβ则//m nC. 若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβD. 若//,,,m m n αβαβ⊂= 则//m n4. 已知不等式210mx nx m +-<的解集为1{|2}2x x x <->或.则m n -=（ ）A. 12B. 52-C. 52D. 12-5.直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是（ ）A. 1B.2 C .3 D. 46. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A. 90° B .60° C. 45° D.30°7．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若BF AF 3=，则l 的斜率是（ ）A.B.C.D.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A．7B．5C．4D．39．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将∆AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）BAA．23B．332C．2πD．3π10．已知0x>，0y>，若不等式()a x y x+≥+恒成立，则a的最小值为（）A. B. 2+ D. +二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是．12. 设,,,P A B C是一个球面上的四个点，,,PA PB PC两两垂直，且1PA PB PC===，则该球的体积为． .13. 已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左、右焦点分别为12F F，，过2F作斜率为2-的直线交双曲线的渐近线于P Q，两点，M为线段P Q的中点．若直线1M F平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为．14.如图，直线lα⊥平面，垂足为O，已知ABC∆中，ABC∠为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A l∈，（2）Bα∈.则C、O两点间的最大距离为______.15．已知00x y>>，，且满足18102yxx y+++=，则2x y+的最大值为．正视图侧视图俯视图16. 在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ， 设c by ax cby ax ++++=2211δ 有下列四个说法：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交.在上述说法中，所有正确说法的序号是 .三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． （本小题满分8分）关于y x ,的方程C ：04222=+--+m y x y x . （1）若方程C 表示圆，求实数m 的范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线042:=-+y x l 相交于N M ,两点，且 554||=MN ，求实数m 的值.18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P AB C -中，BC ⊥平面APC ，AB = 2A P P CC B ===．C AP（1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P A B C --的大小．19．（本小题满分12分） 已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点F 和上顶点B ,如图所示．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与 圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值.20．（本小题满分14分）已知函数()axf xx b=+,且(1)1f=,(2)4f-=.（1）求a､b的值；（2）已知定点(1,0)A,设点(,)P x y是函数()(1)y f x x=<-图象上的任意一点,求||AP的最小值；（3）当[1,2]x∈时,不等式2()(1)||mf xx x m≤+-恒成立,求实数m的取值范围.RQCBAP参考答案一、选择题：CADBC ，CCBDA二、填空题： 11．2+；12. . 13. 17． 14.1+． 15． 18．16.②③④三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． 【解析】（Ⅰ）方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22 若方程C 表示圆只需05>-m ,所以m 的范围是)5,(-∞ -----3分由（Ⅰ）圆的圆心C （1，2）半径为m -5，过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足，则55||=CD ，又554||=MN ，知552||=MD -----6分则222)552()55()5(+=-m ，解得4=m -----8分18． （本小题满分12分）【解析】(Ⅰ）因为BC ⊥面APC ，A C ，AP ⊂面APC ， 所以B C A P ⊥， B C A C ⊥ -----2分因为AB =2CB =，所以AC =．又因为2A P P C ==，所以222A C P A P C =+，故 AP P C ⊥ -----4分 因为PC B C C = ，所以AP ⊥平面PBC -----6分 （Ⅱ）因为BC ⊥平面APC ，所以面APC ⊥平面ABC ． 在面APC 内作P Q A C ⊥于Q ，则P Q ⊥平面ABC ． 过Q 作Q R A B ⊥于R ，连接P R ，则PRQ ∠即为二面角P A B C --的平面角 -----9分在Rt APC V 中，AP PCPQ AC ⋅==，（第17题图）CBAP在Rt ABC V中，QR =故tan PQPRQ QR ∠==．从而二面角P A B C --的大小为3π-----12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分 由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx 22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=.设1(1)t k t =+>，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅= . ---------------12分法二：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分又2200184x y +=，设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±又点00(,)Q x y在第一象限，∴当0x =时，OM OQ ⋅取最大值. ----------12分 20．（本小题满分14分）【解析】 (1)由⎧⎨⎩(1)1(2)4f f =-=,得⎧⎨⎩122a b a b =+-=-, 解得:⎧⎨⎩21a b == ----------2分(2)由(1)2()1x f x x =+,所以22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++,令t x =+1,0t <,则22222142||(2)4(1)4()8AP t t t t t t =-+-=+-++ 22222()4()4(2)t t t t t t =+-++=+-22||22()2AP t t t t ∴=+-=-+≥+即||AP的最小值是2,此时t = ---------------8分【另解】221[(1)1]1||1(1)x x AP x x ++-+====+-+2||2[(1)]2)11()AP x x x ∴=-++≥+<-+ ---------------8分(3)问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立,要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<,或2m >. ----------10分法一:在01m <<或2m >下,问题化为||mx m x -≤对[1,2]x ∈恒成立,即m m m x m x x -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,即2mx m x mx m -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,①当1x =时,112m ≤<或2m >,②当1x ≠时,21x m x ≥+且21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立, 对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立,等价于2max()1x m x ≥+,令1t x =+,(1,2]x ∈,则1x t =-,(2,3]t ∈,22(1)121x t t x t t -==+-+,(2,3]t ∈递增,2max 4()13x x ∴=+,43m ≥,结合01m <<或2m >,2m ∴> 对于21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立,等价于2min()1x m x ≤- 令1t x =-,(1,2]x ∈,则1x t =+,(0,1]t ∈,22(1)121x t t x t t +==++-,(0,1]t ∈递减,2min ()41x x ∴=-,4m ∴≤,0124m m ∴<<<≤或,综上:24m <≤ ----------14分法二:故问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立, 其中01m <<或2m > 令()||g x x x m =-①若01m <<时,由于[1,2]x ∈,故2()()g x x x m x mx =-=-, ()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,依题意(2)g m ≤,43m ≥,舍去;11 ②若2m >,由于[1,2]x ∈,故22()()()24m m g x x m x x =-=--+, 考虑到12m >,再分两种情形:(ⅰ)122m <≤,即24m <≤,()g x 的最大值是2()24m m g =, 依题意24m m≤,即4m ≤,24m ∴<≤;(ⅱ)22m >,即4m >,()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,故(2)g m ≤,2(2)m m ∴-≤,4m ∴≤,舍去｡综上可得,24m <≤ ----------14分【另解】问题即为221(1)||x m x x x m ≤++- 对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤- 对[1,2]x ∈恒成立, 要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<或2m >.（*）----------10分 此时，问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立,令()||g x x x m =-，则max ()g x m ≤ 首先4(2)2|2|43g m m m =-≤∴≤≤，则由（*）得 24m <≤(缩小范围，避免讨论！)此时 22()()(),24122m g x x m x m m x =---<=+≤2max2 4.()(),24m m x m g g m ∴==∴<≤≤ ----------14分。
浙江省杭州二中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学试卷命题：李 鸽 校对：金 迪 审核：徐存旭时间：100分钟注意：本试卷不得使用计算器参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32 D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 . 14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．9． 10．11． 12．13. 14.15.三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D CB A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列{}n a 满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++= ，求不超过m 的最大整数.杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．910． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或 14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.（1）证明：连接1111,D B C A 交于点G，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCO A 1是平行四边形，故11BOG O A //1，又C D B OG 11平面⊂，故C D B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF. （1）求证：EA FC ⊥；F1B（2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又AEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=CB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故F21)34(3120142014>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.。
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试语文试题
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试语文试题一、语言文字运用（共18分）1．下列词语中加点的字，注音全都正确的一组是（3分）A．镣．铐（liào）坳．堂（āo）一沓．纸（dá）肆无忌惮．（dàn）B．铁镐．（gāo）引擎．（qín）蹬．三轮（dēng）呱．呱坠地（gū）C．揾．泪（wân）喋血．（xuâ）国子监．(jiàn) 强．颜欢笑（qiáng）D．菲．薄（fěi）挣．脱（zhâng）黑黢．黢（qū）呼天抢．地（qiāng）2．下列词语中，错别字最多的一项是（3分）A．蜷曲廖落桀骜峰利陨身不恤B．遨翔攒聚食不果腹金榜提名C．厮守编缉黯然失色劳民伤财D．憔悴迁徒孤苦伶仃慢条斯理3．下列各句中，加点的词语运用正确的一项是（3分）A．出于自身利益的考虑，一些地方政府画地为牢．．．．，利用行政权力对本地区企业实行地方保护主义，这种做法或许短期内有效，但从长远看削弱了企业的市场竞争力。
B．听证会、公示、公开征求意见……距离老百姓不再遥远，知情权、参与权、表达权、监督权等也已成为公众耳熟能详．．．．的词汇。
C．三年的学校生活中，我们一同欢笑，一同流泪。
而今毕业在即，同学们劳燕分飞．．．．，各奔东西，但我们相信，今日的友情是明日永恒的回忆。
D．如今汽车厂商做产品研发，都要考虑将新车设计得八面玲珑．．．．：既要外形美观，又要内饰精致；不仅动力强劲，而且驾乘舒适。
4．下列各句中，没有语病的一项是（3分）A．2014年出现了史上最严重的埃博拉疫情大暴发。
据世界卫生组织10月8日的最新疫情通报显示,埃博拉病毒已致近4000人死亡。
B．中共十八大报告提出的“三个倡导”为基本内容的社会主义核心价值观，与中国特色社会主义发展的要求相契合，是我党凝聚全社会共识作出的重要论断。
C．旅人结束一个阶段的行程后，都想得到理想的食宿条件以恢复体力，这不但是下一段行程得以顺利进行的必要条件，而且关系到之后旅途中的精神状态。
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二(上)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.直线x=-1的倾斜角为（）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】C【解析】解：因为直线的方程为x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=-1的倾斜角为90°，故选C直线x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，进而可得其倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．2.下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④【答案】D【解析】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选D．利用旋转体的概念直接进行判断．本题考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．①利用空间平面平行的传递性可判断①；②利用面面平行的性质可判断②；③利用线面垂直的性质与线面平行的判定定理可判断③．本题考查空间线面平行、面面平行的判定与性质，考查空间想象能力，是对空间线面位置关系等基础知识的考查．4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax 与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax 递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选C．由C1C⊥ABCD，知直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，由此能求出sinθ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．6.直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A.-1B.1C.±1D.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0∴（a-1）（a+2-2a-3）=0∴（a-1）（a+1）=0∴a=1，或a=-1故选C．根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．7.已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A. B.2 C.2 D.4【答案】C【解析】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选C．利用斜二测画法的规则即可求出．熟练掌握斜二测画法是解题的关键．8.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能【答案】D【解析】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选A根据直线与平面所成的角的定义，可得两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则两条直线可能平行，可能相交，也可能异面本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义及几何特征是解答的关键．9.一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A.右前上方B.左前上方C.右后上方 D.左后上方【答案】C【解析】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选C．由该楼的三视图，逐步判断该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置．本题考查三视图的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．10.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面【答案】A【解析】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)11.直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是______ ．【答案】（1，0）【解析】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）解方程组得到直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知原点O到直线3x+4y=15的距离为______ ．【答案】3【解析】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．利用点到直线的距离公式求解．本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．由该几何体的三视图，知该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，由此能求出该几何体的体积．本题考查由几何体的三视图求几何体的体积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.R t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为______ ．【答案】16π【解析】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16πR t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体是圆锥，推出底面半径和高，即可求出几何体的体积．本题是基础题，考查旋转体的体积，正确推测几何体的图形形状，求出有关数据，是本题的关键．15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______ ．【答案】【解析】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△R t ADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16.设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为______ ．【答案】3x+5y-34=0【解析】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y-5=（x-3），化为一般式可得3x+5y-34=0，故答案为：3x+5y-34=0由题意当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，进而可得其斜率，由点斜式方程可得，化为一般式即可．本题考查直线方程的求解，得出当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值是解决问题的关键，属基础题．三、解答题(本大题共4小题，共36.0分)17.已知直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-4y-1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（-2，2），∵l垂直于直线x-4y-1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（-2，2）代入，得-8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．【解析】（1）解方程组，得P（-2，2），由l垂直于直线x-4y-1=0，设直线l 的方程为4x+y+c=0，由此能求出直线l的方程．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．由此能求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．本题考查直线的方程的求法，考查直线与两坐标轴围成的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程性质的合理运用．18.已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试分别确定m、n的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，-1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1．【答案】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得，n=-．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，-1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．∴-8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．【解析】（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得即可．（2）由于l1∥l2且l1过点（3，-1），根据平行线的斜率相等及点适合直线l1的方程可得，解得即可；（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．可得-8+n=0，解得即可．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．本题考查了直线的平行、垂直与斜率的关系、直线相交问题，属于中档题．19.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【答案】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．【解析】（1）连接AC，BD交于点O，连接MO，可得△ACF中，MO为中位线，即MO∥AF，进而由线面平行的判定定理可得AF∥平面MBD；（2）由（1）中MO∥AF，可得AF与BM所成角即∠OMB，解三角形可得：异面直线AF与BM所成角的余弦值．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，难度中档．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【答案】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，，，，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．【解析】（1）取PB中点N，连NM，NA，证明四边形NMDA为平行四边形，可得DM∥AN，利用线面平行的判定，可得线面平行；（2）取PA中点G，连接MG，连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角，从而可得结论．本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．。
浙江省杭州二中高二上学期期中考试(数学文).doc
浙江省杭州二中高二上学期期中考试（数学文）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列给出的赋值语句中正确的是 （ ） A ．4M = B ．M M =- C ．3B A == D ．0x y +=2． 在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的（ ）A ．平均状态B ．分布规律C ．离散程度D ．最大值和最小值3．下面为一个求的平均数的程序,在横线上应填充的语句 为（ ）A ．i>B ．i<．i>= D ．i<=．采用系统抽样的方法从个体数目为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率为（ ） A ．18 B ．1083 C ．183 D ．1105．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为7.1973.93y x =+，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）A ． 身高一定是145.83cmB ． 身高在145.83cm 左右C ． 身高在145.83cm 以上D ． 身高在145.83cm 以下 6．下列说法中正确的有（ ）①样本中位数不受少数几个极端数据的影响；②抛掷两枚均匀硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确； ④互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥 事件． A ． ①③ B ．①②③ C ． ①②④ D ．③④ 7．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（ ） A ．19 B ．16 C ． 14D ． 13 8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =( ) A ．2450B ．2500C ．2550D ．26529．用秦九韶算法计算多项式6532()235678f x x x x x x =+++++在2x = 时的值时,2V 的值为 A ．2 B ．19 C ．14 D ．3310．将标号为1,2,…,5的5个球放入标号为1,2,…,5的5个盒子内，.每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不．一致的概率是（ ）A ．25 B ． 13 C ． 16 D ．23二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在对应题号后的横线上.）11．某学校的甲、乙两名篮球运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是 .12．将二进制数(2)101101化为十进制的结果为 ，再将该数化为八进制数其结果为 .13．1248和585的最大公约数是 .14．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，……，由此猜测凸(4)n n ≥边形的对角线有 条.15．某种产品的广告支出x （百万元）与销售额（百万元）之间有如下对应数据：由线性回归公式算得回归方程y bx a =+中的0.65b =，则当投入的广告支出10x =（单位百万元）时，可预测销售额y （百万元）的值为 .16．在DEF ∆中有余弦定理：2222cos DE DF EF DF EF DFE =+-⋅∠.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱111C B A ABC -的中11A ABB 与11B BCC 所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是 .17．已知函数RAND 可以产生[0,1]区间上的均匀随机数，现在利用均匀随机数产生坐标为（x,y ）的点M ，已知10*(0.5),10*,x RAND y RAND =-=则其中满足5x y x <<+的概率是 . 三、解答题：本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．(本题10分) 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；（Ⅱ）补全频率分布直方图；（Ⅲ）学校决定成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？19．(本题10分) 在一个盒中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，求（Ⅰ）从中任取1枝，得到一等品或二等品的概率； （Ⅱ）从中任取2枝，没有三等品的概率． 本题11分) 已知,a b c >>且0,a b c ++=求证： （Ⅰ）0,0a c ><；<21．(本题11分) 下面是用二分法求方程5310x x -+=在(0,1)上的近似解（精确度为0.001）的部分程序框图.（Ⅰ）补全程序框图中下列编号处的对应的内容：① ；② ；③（Ⅱ）试用当型循环结构改写图中虚线框中的部分框图，请把结果写在右边相应方框内.参考答案一、选择题二、填空题11．甲; 12．45,(8)55 ; 13．39; 14．1(3)2n n -; 15．8.25; 16．.cos 21111111111222θB BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+=； 17． 38三、解答题：（每小题10分，共40分） 18．解：(1)(2) 频数直方图如右上所示(3) 成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的510，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ， 成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的105，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16 所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26， 由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26⨯900=234（人） 19．（1）65)(=A P （2）32)(=B P1)因,a b c >>故03a b c a =++<，所以0,0a c ><同理，用反正也可以(2)要证a<< 即证223b ac a -< 即2230a b ac -+>又因为c a b =-- 即证223()0a b a a b -+--> 即证2220a ab b --> 即证()(2)0a b a b -+>又因为,a b >0a b ->，即证20a b +>，又因为a b c +=-即证0a c -> 即证a c > 又由已知，a c >，故原不等式成立21．解：(Ⅰ) a+bm 2＝；② 否； ③是； （Ⅱ）略 注意：0.001()0?a b f m -≥≠且。
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣24．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣25．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．27．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：直线x+y+=0的斜率为：﹣，所以直线x+y+=0的倾斜角为α，则tan，所以α=120°．故选：D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球【解答】解：根据柱、锥、台、球的定义，可得圆台平行于底面的截面是圆面，故选：C．3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣2【解答】解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+2（1﹣k）=0∴k2﹣3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．4．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵直线l与直线y=1，x=5分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为：P（a，1），Q（5，b），∵线段PQ的中点坐标为M（1，﹣1），∴由中点坐标公式得：=1，=﹣1，∴a=﹣3，b=﹣3；∴直线l的斜率k===﹣．故选：A．5．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交、异面，即A不正确；∵若m∥α，α⊥β，则m可以与β垂直、平行，相交或m⊂β，即B不正确．若m∥α，m∥β，则α∥β或m与α、β交线平行，即C不正确；直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，m∥n，∴α⊥β．故D成立；故选：D．6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可得：几何体是一个三棱锥，如图所示，AC⊥平面BCD，AB=AD=BD=2，AC=，因为左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，所以△BCD的高为1．所以三棱锥的体积为：=．故选：A．7．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|【解答】解：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等．当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为﹣和﹣，由题意可得﹣=﹣，故a=b．综上，当c=0或c≠0且a=b时，直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，故选：C．8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直【解答】解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选：B．9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大【解答】解：由题意得△ADE是一个等腰三角形，AD=AE，∵在D点由P到B的运动过程中，两腰长先减小后增大，故可得△ADE周长也会先减小后增大，故选：D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分【解答】解：由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．【解答】解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG 与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是50π．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为2．【解答】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×1，解得x=2．故答案为：2．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．【解答】解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′．∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′=A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=．在Rt△BB′C′中，BC′==．∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值==．故答案为：．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．【解答】解：∵三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，∴三棱锥的高为h==，∴侧视图为等腰三角形，底面边长为AB=，BC=，C到AB的高为：，∴=故答案为：，16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．【解答】解：因为直线ax+by+c=0，又a﹣b﹣c=0，所以直线过定点（﹣1，1），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离：．故答案为：17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1] ．【解答】解：要使x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立（1）当k+1≥0时，x+k+2≥0，故命题化为：kx+k＜x+k+2﹣1，即kx＜x+1对x∈（﹣1，+∞）时恒成立，只要0≤k≤1即可如图（1）．图（1）（2）当k+1＜0时，∵x∈（﹣1，+∞）时，∴x+1＞0，令t=x+1，则t∈（0，+∞）故命题化为：kt＜|t+k+1|﹣1，对t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t则命题化为：kx+1＜|x+k+1|，对x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）时，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方即可，如图（2）．只要﹣k﹣1≥1即可，∴k≤﹣2图（2）综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1]三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．【解答】证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．【解答】解：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，可得，解得，故A′的坐标为（﹣，）．（2）由于点A关于x轴的对称点A2（2，﹣2），|A′A2|==，∴△ABC的周长的最小值为．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB，CD相交，所以PM⊥面ABCD，且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，平面PMH⊥平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角．…（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则DM=t，PM=t，MH=t，∴PH=t，MN=t，从而sin∠MDN==，…（13分）即直线DM与平面PCD所成角的正弦值为．…（14分）21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：∵EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC=F∴EF⊥平面PFC又∵PC⊂平面PFC∴EF⊥PC；（2）解：由（1）知，EF⊥平面PFC，∴平面BCFE⊥平面PFC作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG∴∠PGH是个二面角的平面角，设AF=x，则0＜x≤1，∵∠PFC=60°，∴FH=，PH=x，∵GH=x，∴tan∠PGH==，∴二面角P﹣EB﹣C的大小是定值．。
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浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为SBA CO3题B.4πC.8πD.16π 6题7题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC和OA 上1A D O1D 1C 1B CBA8题移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为 ．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，APQ ODB则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ．(l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每题4分，共24分）11. 12. 13.14. 15. 16. 三、解答题（共46分） 17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2）， =（2，6，-3），=（-4，3，1），∵AP =21（AB -）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+53b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD,所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC,所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB.其中ED=EA+DA=2+2=4,因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=.方法二：因为EA ⊥平面ABC, 所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED.其中ED=EA+DA=2+2=4,因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。
×4×4=.19.【解析】（1）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D , 平面1D EGF 平面11,ABB A EG =平面1D EGF 平面1111=,//DCC D D F EG D F ∴（2）解：如图，以D 为原点分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则有()()()10,0,2,2,1,2,0,2,1D E F()112,1,0,(0,2,1)D E D F ∴==-设平面1D EGF 的法向量为(),,n x y z =则由10n D E ⋅=和10n D F ⋅=得2020x y y z +=⎧⎨-=⎩ 取1,x =得()2,4,1,2,4y z n =-=-∴=--又平面ABCD 的法向量为()10,0,2DD = 故1121cos ,1DD nDD n DD n ⋅<>===⋅ 所以截面1D EGF 与底面ABCD （3）解：设所截几何体11ABGEA DCFD -的体积为V1EGB ∆与11D FC ∆相似，1112,1D C C F == 111111111,222EB D C B G C F ∴==== 111111112224EGB S EB B G ∆∴=⋅=⨯⨯= 111111121122D FC S D C C F ∆=⋅=⨯⨯= 故()1111111121713346EGB D FC D FC EGB B C V S S ∆∆-⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭棱台 1113741266D FC EGB V V V -=-=-=正方体棱台 20.试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔.（2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11(,][,)22k ∈-∞-+∞. 又对任意的11(,][,)22k ∈-∞-+∞，点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是11(,][,)22-∞-+∞．（3）由题得，设(,)M x y ，化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅=①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =.联立方程，2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩. 令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<，所以方程()0F x =有实解，直线y kx =与曲线E 有交点．直线y kx =不是曲线E 的分隔线．②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线0x =是E 分隔线．综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线.。