矩阵代数简单介绍
高等代数中的矩阵分析 基本概念与方法
高等代数中的矩阵分析基本概念与方法高等代数中的矩阵分析: 基本概念与方法矩阵是高等代数中的重要工具和对象，广泛应用于各个领域，包括线性代数、概率论、统计学、物理学等等。
本文将介绍高等代数中相关的矩阵的基本概念和分析方法。
一、矩阵的定义与表示在高等代数中，矩阵是由元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。
一个m×n的矩阵A可以表示为：A = [a_ij] =a_11 a_12 ... a_1na_21 a_22 ... a_2n... ... ...a_m1 a_m2 ... a_mn其中 a_ij 为矩阵A的第i行第j列的元素。
在矩阵中，行数m代表矩阵的行数，列数n代表矩阵的列数。
二、矩阵的基本运算在高等代数中，矩阵的基本运算包括加法、减法、数乘和乘法。
1. 加法与减法：对于两个同型矩阵A和B，它们的加法与减法定义如下：A +B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]A -B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]其中 a_ij 和 b_ij 分别为矩阵A和B的对应元素。
2. 数乘：对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘定义如下：kA = [ka_ij] = [ka_11 ka_12 ... ka_1nka_21 ka_22 ... ka_2n... ... ...ka_m1 ka_m2 ... ka_mn]其中 ka_ij 为k与矩阵A的对应元素的乘积。
3. 矩阵乘法：对于两个矩阵A和B，它们的乘法定义如下：AB = C其中矩阵C的第i行第j列的元素c_ij为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj其中 a_ij 是矩阵A的第i行第j列的元素，b_ij 是矩阵B的第i行第j列的元素。
三、矩阵的转置与逆矩阵在高等代数中，矩阵的转置与逆矩阵是两个重要的概念。
1. 矩阵的转置：对于一个矩阵A，它的转置定义如下：A^T = [a_ji] =a_11 a_21 ... a_m1a_12 a_22 ... a_m2... ... ...a_1n a_2n ... a_mn其中 a_ij 是矩阵A的第i行第j列的元素，a_ji 是矩阵A的转置后的第i行第j列的元素。
线性代数中的矩阵：概念与基本性质
线性代数中的矩阵：概念与基本性质矩阵是线性代数中最基本、也是最常用的概念之一。
它是由若干个按照规定大小和次序排列的数构成的矩形阵列，常用大写字母表示。
下面将介绍矩阵的概念与基本性质。
一、矩阵的定义设有m行n列的数a_ij排成一个m×n的矩形阵列，则称这个m×n的阵列为一个矩阵，记作A=(a_ij)，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵A中，a_ij称为矩阵A的第i行第j列的元素，第i行的元素排列在一起，构成了矩阵A的第i行，第j列的元素排列在一起，构成了矩阵A的第j列。
二、矩阵的基本性质1、矩阵的加法设矩阵A=(a_ij)与B=(b_ij)的大小及相对应的元素都相同，则A 与B的和C=A+B的元素c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵加法具有结合律、交换律和分配律。
2、矩阵的数乘设k是一个数，矩阵A=(a_ij)，则kA的元素为(k·a_ij)，1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵数乘同样具有分配律和结合律。
3、矩阵的乘法设矩阵A=(a_ij)的大小为m×p，矩阵B=(b_ij)的大小为p×n，矩阵C=(c_ij)的大小为m×n，则称C=AB，如果c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj，1≤i≤m，1≤j≤n。
在矩阵C中，第i行第j列的元素c_ij是矩阵A的第i行的元素和矩阵B的第j列的元素的乘积和。
矩阵乘法不具有交换律。
4、矩阵的转置设矩阵A=(a_ij)的大小为m×n，则称A的转置矩阵为A^T=(b_ij)，大小为n×m，其中b_ij=a_ji。
矩阵的转置具有分配律和结合律。
5、矩阵的逆设方阵A的大小为n×n，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=E，其中E是n阶单位矩阵，那么称矩阵A是可逆的。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
如果矩阵A是可逆的，则其逆矩阵唯一。
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质
线性代数中的矩阵的特殊类型与性质矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，矩阵可以分为多种特殊类型，每种类型都有其独特的性质和特点。
本文将介绍几种常见的矩阵特殊类型以及它们的性质。
一、对角矩阵对角矩阵是一种具有特殊形式的矩阵，其除了主对角线上的元素外，其余元素均为零。
对角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值，也可以是相同的值。
对角矩阵的性质如下：1. 对角矩阵的乘法：两个对角矩阵相乘仍然得到一个对角矩阵，且新矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的乘积。
2. 对角矩阵的逆矩阵：对角矩阵的逆矩阵存在当且仅当主对角线上的元素均不为零。
逆矩阵的主对角线上的元素等于原矩阵对应位置元素的倒数。
3. 对角矩阵的转置：对角矩阵的转置等于其本身。
二、上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线及其以上的元素均不为零，而主对角线以下的元素均为零。
下三角矩阵与上三角矩阵相反，其主对角线及其以下的元素均不为零，而主对角线以上的元素均为零。
上三角矩阵和下三角矩阵的性质如下：1. 上三角矩阵和下三角矩阵的乘法：两个上三角矩阵或两个下三角矩阵相乘仍然得到一个上三角矩阵或下三角矩阵。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵的逆矩阵存在当且仅当其主对角线上的元素均不为零。
3. 上三角矩阵和下三角矩阵的转置：一个上三角矩阵的转置是一个下三角矩阵，一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。
三、对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于其本身。
也就是说，如果矩阵A是一个对称矩阵，那么A的转置矩阵等于A本身。
对称矩阵的性质如下：1. 对称矩阵的特征值：对称矩阵的特征值均为实数。
2. 对称矩阵的特征向量：对称矩阵的特征向量相互正交。
3. 对称矩阵的对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以找到一个正交矩阵P，使得P的逆矩阵乘以对称矩阵A再乘以P等于一个对角矩阵。
四、单位矩阵单位矩阵是一种特殊的矩阵，其主对角线上的元素均为1，其余元素均为零。
线性代数之矩阵总汇
线性代数之矩阵总汇⼀. 矩阵介绍1. 矩阵的定义由m × n个数a ij (i=1，2，...，m；j=1，2，...，m)排成的m⾏n列的数表成为m⾏列矩阵，简称m × n矩阵，为了表⽰是⼀个整体通常写法总是加⼀个括弧，并使⽤⼤写⿊体字符表⽰它，记作：A =a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a m 1a m 2⋯a mn这m × n个数称为矩阵A的元素，简称为元，数a y 位于矩阵A的第i⾏第j列，简称为矩阵A的(i，j)元。
⽽元素是实数的矩阵成为实矩阵，元素是复数的矩阵成为复矩阵2. 矩阵的分类n 阶⽅阵(n 阶矩阵)⾏数和列数都等于n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶⽅阵，n 阶矩阵A 记作A n ⾏矩阵(⾏向量)只有⼀⾏的矩阵，称为⾏矩阵，⼜称⾏向量，⾏矩阵记作：A =(a 1,a 2,⋯,a n )列矩阵(列向量)只有⼀列的矩阵，称为列矩阵，⼜称列向量，列矩阵记作:B =b 1b 2⋅⋅⋅b n 同型矩阵%两个矩阵的⾏数和列数都相等，就称它们是同型矩阵零矩阵元素全部都为零的矩阵称为零矩阵，记作O,注意不同型的零矩阵是不同的对⾓矩阵除主对⾓线的元素之外其余位置元素都为0的矩阵叫对⾓矩阵，如：A =10000200003004数量矩阵主对⾓线的元素都相等，其余位置元素都为0的矩阵叫数量矩阵，如：E =20000200002002单位矩阵主对⾓线的元素为1，其余位置的元素为0的矩阵叫做单位矩阵,通常单位矩阵使⽤E 来表⽰，如:E =10000100001001数量矩阵和单位矩阵都是对⾓矩阵的⼀种特例，因此数量矩阵和单位矩阵也叫对⾓矩阵。
单位矩阵⼜是数量矩阵的⼀种特例，所以单位矩阵⼜可以叫做数量矩阵对称矩阵设矩阵A 为n 阶⽅阵，满⾜A T =A ，即a ij =a ji (i ,j =1,2,⋯,n )那么A 成为对称矩阵，简称为对称阵，对称矩阵的特点是它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等3. 矩阵的应⽤1. ⽰例⼀：求解多元⼀次⽅程组()()()()()a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m 可以提取出如下⼏个矩阵:A=x1x2⋮x nB=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mnC=b1b2⋮b nD=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮a m1a m2⋯a mn其中A称为未知数矩阵，B为系数项矩阵，C为常数项矩阵，D为增⼴矩阵2.实例⼆：航线问题四个城市间的单向航线如图所⽰，若1表⽰冲i市到j市有1条单向航线,0表⽰从i市到j市没有单项航线。
线性代数中的矩阵运算
线性代数中的矩阵运算矩阵运算，在线性代数中是一个十分重要的概念，我们通常用矩阵来表示线性映射，这些矩阵之间的加、减、乘等运算，是我们学习矩阵的基础。
本文将从矩阵的定义、矩阵的加减、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等方面详细介绍矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行、n列元素排列成的矩形表格，其中每个元素都是一个数字(标量)，通常用 A = [aij]表示。
其中，i表示行号，j表示列号， aij表示第i行、第j列的元素，矩阵的大小写成m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。
二、矩阵的加减对于两个具有相同大小的矩阵A和B，它们的和C可以通过将每个对应的元素相加得到，即Ci,j = ai,j + bi,j，也可以用向量的形式表示C = A+B。
矩阵的差同理，Ci,j = ai,j - bi,j，用向量的形式表示C = A - B。
加减运算的性质：1.交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A；2.结合律：(A + B) + C = A + (B + C)， (A - B) - C ≠ A - (B - C);3.分配律：a(A + B) = aA + aB，(a + b)A= aA + bA。
三、矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，只有满足A的列数等于B的行数时，A和B才能相乘。
设A为m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，它们相乘得到的结果C是一个m行p列的矩阵。
在矩阵乘法中，相乘的行列数相等的两个矩阵必须一一对应进行相乘，并将所有乘积相加。
矩阵乘法的表达式：Cij = ∑ akj ᠖ bj i，其中k=1,2,,....,nC = AB，A的第i行乘以B的第j列，它们的乘积之和就是C的第i行第j列元素。
用向量的形式表示C = A×B。
在矩阵乘法中，乘法不具备交换律，即AB ≠ BA。
(只有在A、B中至少有一个为单位矩阵时，AB=BA)矩阵乘法的性质：1.结合律：A(BC) = (AB)C；2.分配律：A(B+C) = AB + AC；3.结合律：(aA)B = A(aB) = a(AB)；4.单位矩阵： AI = IA = A；5.逆矩阵：存在矩阵B满足AB=I，则称矩阵A可逆，矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵(A的行列式必须不等于零)。
矩阵的乘除法-概述说明以及解释
矩阵的乘除法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述矩阵是线性代数中的重要概念，它是一个由数值排列成的矩形阵列。
矩阵可用于描述线性方程组、变换矩阵和向量空间等数学问题。
在实际应用中，矩阵广泛应用于计算机图形学、物理学、金融和工程等领域。
本文主要介绍矩阵的乘除法。
矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
矩阵的乘法具有结合性和分配性，但不满足交换律。
我们将详细探讨矩阵乘法的定义、基本性质和计算方法。
然而，矩阵的除法并不像乘法那样直接定义。
事实上，不存在矩阵的除法运算，因为矩阵除法的定义涉及到矩阵的逆。
我们将介绍矩阵的逆以及与矩阵除法相关的概念。
在文章的结论部分，我们将强调矩阵乘法在数学和实际应用中的重要性。
同时，我们也会讨论矩阵除法的限制和应用领域，并提供一些示例。
通过深入了解矩阵的乘除法，读者将能够更好地理解线性代数中的重要概念和运算，并将其应用于实际问题的求解中。
本文旨在为读者提供一个全面而清晰的介绍，帮助他们建立起对矩阵乘除法的深入理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容:文章结构部分提供了对整篇文章的概要介绍和组织方式的说明。
通过明确提供文章的大纲，读者可以更好地理解文章的逻辑和结构，有助于他们更好地阅读和理解文章的内容。
在本文中，文章结构部分主要包括以下几个方面的信息：1. 引言：引言部分将对整篇文章的内容进行简要介绍和概述。
读者可以通过引言部分了解文章的主题和要解决的问题，从而更好地准备阅读和理解后续的内容。
2. 正文：正文部分是文章的主体，包含了关于矩阵的乘除法的详细讨论和分析。
正文部分将分为两个小节，分别介绍矩阵的乘法和除法的相关知识。
2.1 矩阵的乘法：在这一小节中，将给出矩阵的乘法的定义和基本性质的介绍。
读者将了解到矩阵乘法的基本概念和性质，从而为后续的计算方法提供基础。
2.1.1 定义和基本性质：本小节将详细介绍矩阵乘法的定义和基本性质。
从定义上了解矩阵乘法的运算规则，以及矩阵乘法的交换律、结合律等基本性质。
大一线性代数矩阵知识点
大一线性代数矩阵知识点在大一的学习中，线性代数是一门基础而重要的数学课程。
其中，矩阵是线性代数的核心概念之一。
本文将介绍大一线性代数中的矩阵知识点，包括矩阵的基本概念、运算规则以及特殊类型的矩阵。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数按照一定顺序排列成的矩形阵列。
矩阵的行数和列数分别构成矩阵的维数。
一个m × n的矩阵有m行n列，通常用A、B、C等大写字母表示矩阵。
二、矩阵的运算规则1. 矩阵加法矩阵加法是指将两个行列相等的矩阵按照相同位置的元素进行相加。
若A与B是同维数的矩阵，则它们的和A + B的第i行第j列元素是A和B的对应元素之和。
2. 矩阵数乘矩阵数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数。
若A是一个m ×n的矩阵，k是一个常数，则kA是一个同维数的矩阵，它的第i行第j列元素等于k乘以A的第i行第j列元素。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是指将一个m × n的矩阵A与一个n × p的矩阵B相乘得到一个m × p的矩阵C。
其中，C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
三、特殊类型的矩阵1. 零矩阵零矩阵是指所有元素都为0的矩阵。
零矩阵通常表示为O。
2. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的矩阵。
单位矩阵通常表示为I，它是一个方阵。
3. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。
即A的转置等于A，通常表示为A^T = A。
4. 逆矩阵对于一个方阵A，若存在一个方阵B，使得AB = BA = I，那么B称为A的逆矩阵，记为A^(-1)。
四、矩阵的应用矩阵在许多领域中有着广泛的应用，例如线性方程组的求解、向量空间的研究、图像处理等。
通过矩阵的运算，我们可以描述、分析和解决各种实际问题。
结语矩阵作为线性代数的核心概念之一，在大一的线性代数课程中扮演着重要的角色。
本文介绍了矩阵的基本概念、运算规则，以及几种特殊类型的矩阵。
矩阵与线性代数
矩阵与线性代数矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵的定义、基本操作以及与线性代数的关系，帮助读者深入理解矩阵和线性代数的概念。
1. 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
一个m行n列的矩阵可以表示为：A = [a_{ij}] (m × n)其中a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数。
2. 矩阵的基本操作矩阵有一些基本操作，包括矩阵的加法、数乘、乘法等。
2.1 矩阵的加法设A和B为两个同型矩阵（即行数和列数相等），它们的和记作：C = A + B其中C的第i行第j列的元素等于A和B对应位置元素的和。
2.2 矩阵的数乘设A为一个矩阵，k为一个数（实数或复数），它们的数乘记作：B = kA其中B的第i行第j列的元素等于k乘以A的对应位置元素。
2.3 矩阵的乘法设A为一个m行n列的矩阵，B为一个n行p列的矩阵，它们的乘积记作：C = AB其中C为一个m行p列的矩阵，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列各元素的乘积之和。
3. 矩阵与线性代数的关系矩阵与线性代数密切相关，线性代数可以通过矩阵来进行表示和求解。
3.1 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它可以用矩阵表示。
设有一个线性方程组：AX = B其中A为一个m行n列的矩阵，X和B分别为n行1列的矩阵（即向量），X表示未知量，B表示常数项。
通过对矩阵A进行变换和运算，可以求解出线性方程组的解。
3.2 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵特有的性质，它们在线性代数中有重要的应用。
设A为一个n阶矩阵，如果存在一个数λ和一个非零向量X，使得：AX = λX则称λ为矩阵A的特征值，X为对应的特征向量。
通过求解特征值和特征向量，可以研究矩阵的性质和变换。
4. 矩阵的应用领域矩阵作为线性代数的基本工具，在各个领域有广泛的应用。
线性代数中的矩阵理论及其应用
线性代数中的矩阵理论及其应用线性代数是近年来非常热门的学科，它广泛应用于物理和工程等领域，包括机器学习、图像和信号处理、网络分析和优化，数学建模等等。
而矩阵理论是线性代数中的重要分支，是许多应用的基础。
本文将介绍矩阵理论的基本概念和应用，以及其中一些重要的定理和算法。
一、矩阵的基本概念在矩阵理论中，矩阵是指一个由m行n列元素组成的矩形阵列，通常用A=[aij]表示，其中i代表行号，j代表列号，aij代表矩阵A中的第i行第j列的元素。
当m=n时，矩阵A称为方阵，元素aij对应于A的第i个行向量和第j个列向量的内积。
对于矩阵A和B，它们的和C=A+B是一个矩阵，其中C的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
同样地，矩阵的差和数乘分别为D=A-B和E=kA，其中D的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差，E的每个元素都等于A的对应元素乘以k。
此外，矩阵的转置AT是一个矩阵，其中AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
二、矩阵的应用矩阵理论的应用非常广泛，以下介绍一些常见的应用。
1.线性方程组的求解线性方程组的求解是矩阵理论的基础应用之一。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n行n列的矩阵，x和b都是n 维列向量，x的每个元素都代表方程组的一个未知数，b的每个元素都代表方程组的一个常数项。
则方程组的解为x=A-1b，其中A-1是矩阵A的逆矩阵。
若A没有逆矩阵，则方程组无解或有无穷解。
2.特征值和特征向量特征值和特征向量也是矩阵理论中的重要概念之一。
对于一个n阶方阵A，若存在一个非零向量x，以及一个标量λ，使得Ax=λx，则λ是矩阵A的一个特征值，x是对应的特征向量。
特征值和特征向量可以用来描述矩阵的几何特性和运动轨迹，以及在状态空间中的扭曲和伸缩等现象。
3.奇异值分解奇异值分解（SVD）是矩阵理论中的另一个重要概念，可以用来分析矩阵的结构和性质。
对于一个m行n列的矩阵A，它的奇异值分解为A=UΣVT，其中U是一个m行m列的正交矩阵，VT是一个n行n列的正交矩阵，Σ是一个m行n列的矩形对角矩阵。
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线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
矩阵相乘满足如下运算规则：)()(BC A C AB =，ACAB C B A +=+)(，CABA A C B +=+)(，ABB A )())((kl l k =，AA =I ，AA =I ，OAO =，OOA =．●转置把矩阵的行和列互换得到的矩阵称为A 的转置矩阵，记为'A。
转置矩阵满足如下运算规则：A A ='')(；''')(BA B A +=+；'')(kAkA =；''')(AB AB =。
若'AA =，那么A 称之为对称矩阵。
●矩阵的逆对于n阶方阵A ，存在n阶方阵B ，使得IBA AB ==，那么A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为1-A。
方阵A 可逆的充要条件是||≠A ，此时A 是非奇异矩阵。
若0||=A ，A 是奇异矩阵。
逆矩阵具有的性质：AA =--11)(；1''1)()(--=A A ；111)(---=AB AB 。
分块矩阵的运算（重点！）在运算中，可以把子块当作数量元素处理；但矩阵的分块方式要与运算相配套。
记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211B B B B B ，那么⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+2222212112121111B A B A B A B A B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=22221221212211212212121121121111B A B A B A B A B A B A B A B A AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡='22'12'21'11'A A A A A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=------22111212222121111112122121111111C A A C C A A A A C A A A A，其中112111212222)(---=A A A A C ，11A 和22A 都是非奇异的方阵。
特别地，设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111B O O A B O O A，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A BOO B A O 111，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k kkB O O A B O O A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111BO CBA AB OC A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A ． ●方阵的迹方阵的迹定义为矩阵主对角线上元素之和，记为∑=iiiaA tr )(；对于nm ⨯矩阵A 和mn ⨯矩阵B ，有)()(BA tr AB tr =。
若多个矩阵不同次序相乘都是方阵，那么有)()()(BCA tr CAB tr ABC tr ==。
1.3线性组合、线性无关与矩阵的秩 ●线性组合给定nR内一个向量组,1α,,2⋅⋅⋅αs α，又给定实数域R 内s 个数1k ,2k ,…,sk ,称向量ss k k k ααα+⋅⋅⋅++2211为向量组,1α,,2⋅⋅⋅αsα的一个线性组合。
线性组合通常可表示为：11...s sAk k k αα=++，其中A是n s⨯矩阵，k是1s ⨯的向量。
● 线性相关与线性无关给定一组n维向量{,1α,,2⋅⋅⋅αs α}，如果存在一组不全为零的数1k ,2k ,..,s k ，使得02211=+⋅⋅⋅++s s k k k ααα成立，则称1α2αs α线性相关，换句话说，向量组线性相关等价于组中至少有一个向量可以写成其他向量的线性组合。
{,1α,,2⋅⋅⋅αsα}是线性无关当且仅当2211=+⋅⋅⋅++s s k k k ααα推出0...21====s ααα。
● 矩阵的秩矩阵的秩就是矩阵列向量组中极大线性无关组的向量个数，记为rank(A)。
它满足以下性质：1）);()()()('''AA rank A A rank A rank A rank ===2）对于nm ⨯矩阵A ，),min()(n m A rank ≤；3）若A 是n 阶方阵且秩为n ，那么A 是非奇异的，即|A|存在。
1.4 矩阵的特征根与特征向量● 特征根与特征向量的定义 设A 是n 维矩阵，若存在一个数λ以及一个非零的n 维列向量c ，使得cAc λ=，那么λ就是A 的特征根，c 就是A 的特征向量。
通过求解特征方程0||=-I A λ得到特征根，再计算其特征向量。
●特征根和特征向量满足的性质：1）所有特征根的和等于A 的迹；2）所有特征根的乘积等于A 的行列式； 3）非零特征根的数目等于A 的秩；1.5 一些重要的矩阵 ●正交矩阵对于n 维向量'21],...,,[n αααα=和'21],...,,[n ββββ=，称以下运算为α和β的内积：∑==ni ii1'βαβα。
向量α的长度定义为ααα'||=。
若||1α=，则称α为单位向量。
若'=βα，则称向量α、β正交。
如果n 阶方阵Q 满足I QQ Q Q ==''，则称Q为正交矩阵。
方阵Q为正交矩阵的充要条件就是Q的所有行（列）向量都是单位向量，而且两两正交。
●对称矩阵如果n 阶方阵Q 满足'QQ =，则称Q为对称矩阵。
幂等矩阵若n 阶方阵⋅⋅⋅===32MMM ，那么M 称为nn ⨯幂等矩阵。
幂等矩阵的性质：1）幂等矩阵的特征根或者是1或者是0，所以它的秩等于它的迹；即rank （M ）＝tr(M)； 2）M 是半正定的。
例子（一个常用的幂等矩阵M ）给定一个列向量1⨯n Y 以及元素全为1的n 维列向量i ，那么有：Yi y ni i '1=∑=；iai na '=；Yi nY '1=；(用内积表示多元素相加)令)(1'ii nI M-=，易证0M 是对称幂等矩阵，因此000M M M =；00'0M M M =；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⋅-=Y y Y y Y M n10，也就是说左乘矩阵0M 能使Y 中的原始数据转换成离差形式。
00=i M ；)(0'1==-∑=Y M i y yni i；YM Y Y M Y M y yni i0'0'012)()()(==-∑=；XM Y X M Y M x x y yni i i0'0'01)()())((==--∑=；此外，'1')(X X X X P -≡，P I X X X X I M n n -=-≡-'1')(都是对称幂等矩阵，前者秩等于k ，后者秩等于n －k 。
1.6 二次型与正定矩阵含有n 个变量的二次齐次函数),,(,21n x x x f ⋅⋅⋅的一般形式是∑∑===⋅⋅⋅n i nj ji ijn x x ax x x f 11,21),,(；并约定),,2,1,(n j i a a ji ij ⋅⋅⋅==，那么二次型可以表示为Axx q '=，其中)(ij a A =的n 阶对称矩阵，q 是数量，x 是n 维列向量。
正定矩阵、半正定矩阵若对于任意的非零向量x ，q 都严格为正，那么A 就称为正定矩阵；若对于任意的非零向量x ，q都非负，那么A 就称为非负定矩阵。
正定矩阵的性质：1）实对称矩阵A 是正定（半正定）的充要条件是A 所有的特征根都是大于零（不小于零）的。
2）若A 是正定，1A-也是正定。
3）若A 是正定，B 是非奇异矩阵，那么'B AB是正定的。
4）若A 是n k⨯矩阵，那么AA '和'AA都是半正定矩阵；若A 是n k⨯矩阵，而且()rank A k=，那么AA '是正定矩阵，因此也是非奇异的。
1.7 线性二次型的微分运算假设一个多元函数)(),...,(1X f x x f y n ≡=，那么一个梯度向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂=)(...)(/.../)(11x f x f x y x y XX f D n n ；海赛矩阵（二阶偏导矩阵）为221112'221/.../()........./.../n n n n y x x y x x f X H X Xy x xy x x ⎡⎤∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥==⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦通常涉及的一些运算：1）当D A x=，那么/D x A '∂∂=。
2）令'y a x =，a是给定的1⨯n 向量，那么/y x a∂∂=。