分式概念及意义

分式的意义和性质
一、分式的概念
1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做
分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不
一定可以取任意值。

分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有
意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3.〔1〕分式：，当B=0时，分式无意义。

〔2〕分式：，当B≠0时，分式有意义。

〔3〕分式：，当时，分式的值为零。

〔4〕分式：，当时，分式的值为1。

〔5〕分式：，当时，即或时，为正数。

〔6〕分式：，当时，即或时，为负数。

〔7〕分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的根本性质：
1、学习分式的根本性质应该与分数的根本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：〔M为不等于零的整式〕
3、学习根本性质应注意几点：
〔1〕分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；
〔2〕易犯错误是只乘〔或只除〕分母或只乘〔或只除〕分子；
〔3〕如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法那么的依据是分式的根本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如以下式子：
，。

四、约分：
1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

2、约分的理论依据是分式的根本性质。

3、约分的方法：
〔1〕如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中一样因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

例1，请说出以下各式中哪些是整式，那些是分式？〔1〕〔2〕〔3〕
〔4〕
〔5〕a2-a〔6〕。

解：根据分式定义知〔1〕、〔2〕、〔3〕是分式，〔4〕、〔5〕、〔6〕是整式。

说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。

这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。

要区分分式的值和分式这两个不同的概念。

另外是整式而不是分式。

虽然分母中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。

例2，在分式〔1〕〔2〕〔3〕中，字母x的值有什么限制？
解：〔1〕在中，当x=2时，使得分母x-2=0，∴x≠2,
〔2〕在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, ∴x≠-2,
〔3〕在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，
∴x≠-2且x≠3。

例3，x为何值时，分式，〔1〕无意义；〔2〕值为零；〔3〕值为1；〔4〕值为非负数。

解：〔1〕∵当分母2x+3=0时分式无意义，∴x=-时，分式无意义。

〔2〕∵当时，分式值为零。

∴，∴x=1时分式值为零。

〔3〕∵当时，分式值为1，∴x=-4时分式值为1。

〔4〕∵当或时，分式值为非负数。

∴或∴x≥1或x<-时分式值为非负数。

例4，当x取何值时，分式〔1〕值为零；〔2〕无意义；〔3〕有意义。

解：〔1〕∵当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴当x≠-3且x≠1时分式有意义。

又∵6-2|x|=0时分式值为零，那么3-|x|=0, ∴|x|=3, ∴x=±3。

∴，∴x=3时分式值为零。

〔2〕∵(x+3)(x-1)=0分式无意义，
即x+3=0或x-1=0，∴x=-3或x=1时分式无意义。

说明：对于〔1〕也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。

对于〔2〕当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或〞字的使用。

解：〔3〕∵(x+3)(x-1)≠0时分式有意义。

即x+3≠0且x-1≠0时，∴x≠-3且x≠1时分式有意义，
说明：对于〔3〕分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且〞字，而不用“或〞字。

意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。

因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。

例5，写出等式中未知的分子或分母：
〔1〕；〔2〕；〔3〕；
〔1〕分析：这类问题要从条件入手，根据分式的根本性质，分析变化的过程，如〔1〕右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。

解：，∴未知的分子是(x-y)2,
〔2〕分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。

解：=，未知的分母是b。

〔3〕∵a2+ab=a(a+b)〔将分子因式分解〕
∴〔比拟分子，发现分子、分母同乘以a〕
=，2ab即为所求的分母。

例6，把以下分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。

〔1〕；〔2〕；
〔1〕分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数根本性质，分子和分母同乘以15。

解：=。

〔2〕解：==
注：必须乘以分子和分母的每一项，防止发生(0.2a+3b)×10=2a+3b这样的错误。

例7，不改变分式的值，使以下分式中分子与分母不含“-〞号，〔1〕-；〔2〕-。

解：根据分式的符号法那么得：
〔1〕-=；〔2〕-=-。

注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。

〔1〕中改变分式本身和分母两个负号，〔2〕中改变分子和分母两个负号。

例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。

〔1〕；〔2〕-。

解：〔1〕===；
〔2〕-=-=-
=-。

说明：解题可分为三步：〔1〕先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。

〔2〕将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要变号。

〔3〕运用符号法那么进展变号。

注意：如果分子或分母的首项为负，那么必须先将负号提到括号外面，再使用符号法那么，要注意防止以下的错误：
=。

例9，约分：〔1〕〔2〕。

解：〔1〕===-3yz10。

注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。

假设化简分式时千万不要犯以下错误：
==0。

〔2〕===-。

注意：分母的负号一般要移去。

〔2〕如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。

例10、约分：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕。

解：〔1〕=。

注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。

〔2〕=。

注：不要将约做，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以一样的整式。

〔3〕===x2+1。

注：不要犯下面的错误：=x3-x2。

〔4〕==
==-。

注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。

〔5〕=〔分子按x的降幂排列〕
=〔分子提取公因式-1〕
=〔分子、分母都分解因式〕
=〔约去公因式：x-1〕
=-〔应用分式的符号法那么〕
说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。

分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。

同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的根本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。

附录：
一、本讲教学内容及要求
单元节次知识要点教学要求
二、本讲技能要求
1、了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念，会利用这些概念进展判断。

2、掌握分式有意义的条件，分式为零的条件及分式的根本性质，掌握分式的变号法那么，能熟练地进展约分。

3、重要数学思想
通过本讲中分式性质及分式约分进一步理解转化思想；
对本章中数、式通性的理解，进一步掌握类比归纳的思维方法。