三角形的形状的判定
初二数学上册：全等三角形五大判定方法
初二数学上册：全等三角形五大判定方法全等三角形5大判定一、边边边（SSS）学习全等三角形判定法则时，第一条就是边边边。
内容：它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出三条线段长度AB=c，BC=a，AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。
这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。
二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出AB=cBC=a∠B=α，确定过程如下：①画∠EAD=α；②在射线AE上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。
这样，三角形的.大小形状同样被确定了。
三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠CBA=β，确定过程如下：①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=α，∠EBA=β，AD，BE 交于点C。
这样，三角形的大小形状同样被确定了。
四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠ACB=β，确定过程如下：由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。
相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(HL)理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。
判定全等三角形的五种方法
判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。
判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。
下面将介绍判定全等三角形的五种方法。
方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。
这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。
需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。
如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。
判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。
通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。
总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。
根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。
本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。
边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。
角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。
边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。
中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。
角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。
正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。
面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。
向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。
代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。
例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。
这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。
在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，将一个平面分割成三条边长不为零且不平行的线段后所形成的图形。
在几何学中，我们可以通过不同的方法来判定三角形的形状。
本文将介绍十种常用的方法。
方法一：根据三条边的长度关系首先，我们可以通过三条边的长度关系来判断三角形的形状。
如果三条边的长度满足以下条件之一，则可以确定三角形的形状：1. 如果三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。
2. 如果有两条边的长度相等，但与第三条边不相等，则这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三条边的长度都不相等，则这个三角形是一般三角形。
方法二：根据三个角的度数关系除了边长关系，我们还可以通过三个角的度数关系来判断三角形的形状。
1. 如果一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
3. 如果三个角的度数之和等于180度，则这个三角形是锐角三角形。
方法三：根据角度关系判断除了上述的度数关系，我们还可以根据各个角的大小关系来判断三角形的形状。
1. 如果有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
2. 如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
3. 如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
方法四：根据角度和边长关系判断接下来，我们来看一些综合考虑角度和边长关系的判断方法。
1. 如果一个角是90度，且边长满足勾股定理的条件，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角是60度，且三个边长相等，则这个三角形是等边三角形。
3. 如果一个角是30度，且两边的边长相等，则这个三角形是等腰三角形。
方法五：根据角的相等关系判断三角形中的角也可以根据相等关系来判断形状。
1. 如果两个角是相等的，则这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三个角都是相等的，则这个三角形是等边三角形。
方法六：根据边的比例关系判断我们可以通过三个边的比例关系来判断三角形的形状。
1. 如果三个边的比例都相等，则这个三角形是全等三角形。
正、余弦定理判定三角形的形状
正、余弦定理之判定三角形的形状一、运用正弦定理进行判断基本思路：运用正弦定理将条件全部转化为边（或角）之间的关系，进一步判断。
二、运用余弦定理进行判断基本思路：关注特殊角余弦值，往往向边与边之间的关系进行转化。
三、运用正、余弦定理综合判断基本思路：尽量统一边（或角）之间的关系，使3个未知量减少为2个未知量之间的关系往往可以导出结果；常用到sinA=sin(π-A)=sin(B+C)；正弦值的比可以直接化为边的比值。
1、已知在△ABC 中，A c b cos ∙=，试判断△ABC 的性状。
2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且B A sin cos ＞，试判断△ABC 的形状。
3、已知在△ABC 中，C a b sin ∙=，且)2sin(B a c -∙=π，试判断△ABC 的形状。
4、已知在△ABC 中，C B A sin cos sin 2=∙，试判断△ABC 的性状。
5、已知在△ABC 中，C B A cos sin 2sin ∙=，且C B A 222sin sin sin +=，试判断△ABC 的性状。
6、已知在△ABC 中，3bc a)-c c)(b b (a =+++，且cosC 2sinB sinA ∙=，试判断△ABC 的性状。
7、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且ac b =2，试判断△ABC 的性状。
8、已知在△ABC 中，︒=∠60B ，且c a b +=2，试判断△ABC 的性状。
9、已知在△ABC 中，c C b B a A cos cos sin ==，试判断△ABC 的性状。
10、已知在△ABC 中，)sin()()sin()(2222B A b a B A b a -∙+=+∙-，试判断△ABC 的性状。
11、在△ABC 中，B a C B A c b a sin 3)sin sin )(sin (∙=-+++，且B a A b cos cos ∙=∙，试判断△ABC 的性状。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。
解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。
1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等腰三角形。
2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC为等边三角形。
3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形；若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。
4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形。
5、若有a=b且a2+b2=c2，则△ABC为等腰直角三角形。
以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。
6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。
7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中的最大角), 则△ABC为钝角三角形。
9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。
10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。
以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质：例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角形为（）（A）锐角三角形；（B）钝角三角形；（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角三角形；(“缙云杯”初中数学邀请赛)解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾，∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根，∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例2：已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC 的形状。
判定三角形形状的常用方法
专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。
解：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．【解读】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=c，即可确定出三角形形状，此题考查了三角形边的牲与因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。
【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解：将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，【解读】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．【分析】根据非负数的性质可得a2﹣b2﹣c2=0，b﹣c=0，进而可得a2﹣b2=c2，b=c，从而可得三角形的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．学#科*网。
中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a，b，c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a，b，c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a，c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a，b，c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a≠c时，α＝．将其代入①、②，得＋b2＝0．化简，得b2＋c2＝a2，所以△ABC是以∠A为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x2－xb cos A＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，a，b，c为三角形的三边，试判定△ABC的形状．解在△ABC中，作C D⊥AB于D，在△A D C中，A D＝b cos A，在△C D B中，B D＝a cos B，由韦达定理，得x1＋x2＝b cos A，x1·x2＝a cos B．∴b cos A＝a cos B，即A D＝B D．又∵C D⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC中，若h a＋h b＋h c＝9r，其中h A.h B.h c为三边上的高，r为三角形内切圆的半径，试判定△ABC的形状．解 设△ABC面积为S，由三角形面积公式可得八、利用解方程组例8 已知△ABC的三条边是a，b，c，三个角是A,B,C．若b是a，c的比例中项，且a－b＝b－c，试判定这个三角形的形状．九、利用二次函数性质a，b，c是△ABC的三边长，试判定△ABC的形状．解因为a>0，b>0，c>0，∴a＋b>0．据题设，有故△ABC是等边三角形，十、综合运用判定方法例10 已知a，b，c为△ABC中角A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b（x2＋m）＋c（x2－m）－2ax＝0有两个相等的实数根，且sin C·cos A－cos C sin A＝0，试判定△ABC的形状．解将原方程整理成∴sin A＝cos C，cos A＝sin C．又sin C cos A－cos C sin A＝0，∴sin2C＝sin2A，∴C＝A，∴a＝c，故△ABC为等腰直角三角形．综上所述，如果要判定的某个三角形是锐角三角形或是钝角三角形或是直角三角形，可通过余弦函数直接去判定角的范围，例如从cos A>0，cos A<0，cos A＝0既可得A< 90°，90°<A<180°，A＝90；如果要判定某个三角形是特殊三角形（例如直角三角形、等边三角形或等腰三角形等），则可以从边的关系人手或从角的关系人手，同时在解题过程中，还要注意综合运用三角形面积公式、韦达定理、根的判别式、二次函数的等等知识．。
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三角形的形状的判定浙江奉化江口中学（315504）毛显勇在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。
这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。
1、复习三角形中有关知识：1.1角的关系：A+B+C=ππ=⇒C -(A+B)、 222B A C +-=π 或A+B=π-C 、222C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。
1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。
正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=。
三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。
按边分：等腰Δ，等边Δ。
其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。
2、三角形形状的判定：在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。
2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ⇒ A=B 则三角形是等腰三角形；2.2若222c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形；22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形；222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。
2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形；cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。
2.4若a •b =0⇔a ⊥b ，则三角形是直角三角形。
3、举例应用：例1 已知α是一个三角形的内角，且sin α+cos α=32，则这个三角形的形状是（ ） A 、 锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定解：∵ 00<α<1800，且sin α+cos α=32<1，∴ 900<α<1800（当00<α<900时，有三角函数线，得sin α+cos α>1；当α=900时，sin α+cos α=1）。
故选B 。
说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。
例2 在ΔABC 中，内角A 和B 满足cosAcosB=sinAsinB ，则ΔABC 的形状是 。
解： cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0 又 A+B ∈（0，π）∴ A+B=2π。
故ΔABC 是直角三角形。
变式1：若条件为cosAcosB>sinAsinB ，则ΔABC 的形状是钝角三角形。
变式2：若条件为cosAcosB<sinAsinB ，则ΔABC 的形状不能确定。
说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B 的范围，从而确定角C 的范围，就得解。
例3 在ΔABC 中，已知cos 2A+cos 2B+cos 2C=2，试判定其形状。
解：在ΔABC 中，cos 2A+cos 2B+cos 2C=22cos 1A ++22cos 1B ++cos 2(A+B) =1+21(cos2A+cos2B)+cos 2(A+B)=1+cos(A+B)cos(A-B)+cos 2(A+B) =1+cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]=1+cos(A+B)2cosAcosB=1-2cosAcosBcosC=2⇒cosAcosBcosC=-21<0⇒cosA 、cosB 、cosC 中必有一个小于零 ⇒A 、B 、C 中必有一个角是钝角⇒ΔABC 是钝角三角形。
推广：由cos 2A+cos 2B+cos 2C=1-2cosAcosBcosC得cos 2A+cos 2B+cos 2C<1⇒cosAcosBcosC>0，则ΔABC 是锐角三角形。
cos 2A+cos 2B+cos 2C=1⇒cosAcosBcosC=0，则ΔABC 是直角三角形。
cos 2A+cos 2B+cos 2C>1⇒cosAcosBcosC<0，则ΔABC 是钝角三角形。
说明：在三角形中不能忘记A+B+C=π。
本题用降幂公式、和差化积等公式把已知化简为余弦的连乘积，确定角的范围，故得解。
例4 在ΔABC 中，已知 BA B A C cos cos sin sin sin ++=，试判定ΔABC 的形状。
解：在ΔABC 中，C=π-(A+B) ∴sinC=sin(A+B)∴sin(A+B)=B A B A cos cos sin sin ++=++2cos 2sin 2B A B A 2cos 2cos 22cos 2sin2B A B A B A B A -+-+ 又 在ΔABC 中，02≠+B A ∴0)cos(012cos 22=+⇒=-+B A B A 2π=+⇒B A ∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。
说明：本题利用倍角、和差化积等公式，把已知式子化简，并化为同一类角，从而来确定三角形的形状，这是解这类题的常用解法，要熟练掌握。
另解： cosA+cosB=C B A sin sin sin + ∴bc a c b 2222-++acb c a 2222-+=c b a + 即ac 2-a 3+bc 2-b 3-a 2b-ab 2=0⇒(a+b)(c 2-a 2-b 2)=0 a+b ≠0⇒c 2=a 2+b 2∴ΔABC 是以角C 为直角的直角三角形。
说明：本解法是应用正弦、余弦定理把“角”全换成“边”，通过边的关系来判定三角形的形状，且这里的正弦、余弦定理都是变形应用。
例5 以长度分别为4，5，6的线段为三角形的三边，则（ ）A 、所构成的三角形是一个锐角三角形B 、所构成的三角形是一个直角三角形C 、所构成的三角形是一个钝角三角形D 、不能构成三角形解： 42+52>62∴能构成三角形，且是锐角三角形。
故选A 。
说明：本题是余弦定理的又一变形应用，用来判断类似题既快速又准确。
例6 在ΔABC 中，b=asinC 且c=asin(900-B)，判定ΔABC 的形状。
解：∵ c=asin(900-B)=acosB=c b c a ac b c a a 22222222-+=-+ 22222c b c a =-+⇒是直角A b c a ⇒+=⇒222； 又∵ 1sin sin sin =⇒=A A C c A a 是直角 C a c C c a sin sin =⇒=⇒ 由条件C a b sin =c b =⇒∴综上得ΔABC 是等腰直角三角形。
说明：条件中有边、角关系，应利用正、余弦定理，把条件统一为边或者是角的关系，从而判定三角形的形状。
这是判断三角形形状的常用解题思路。
例7 如图ΔABC 中，=c ，BC =a ，CA =b ，则下列推导中，是假命题．．．的为（ ） A 、若a •b >0，则ΔABC 是钝角三角形B、若a•b=0，则ΔABC是直角三角形 AC、若a•b=b•c，则ΔABC是等腰三角形a bD、若c•（a+b+c）=0，则ΔABC是等边三角形 B c C解：∵a+b+c=BC+CA+AB=0对任意三角形都成立，而c•0=0恒成立∴选项D中的命题是假命题，故选D。
说明：本题是一道易错题，很可能会错选A。
要注意的是向量a、b的夹角不是内角A，而应是1800-A（求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C也正确，可通过向量a、c在b上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。
本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。
4、总结1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。
2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。
在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角函数或三角函数的和差化积、积化和差公式去改变角和三角函数的形状，并还利用向量的数量积等有关知识来解题。
5、练习：1）在ΔABC中，如果sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形2）在ΔABC中，如果sinC=cosA+cosB，那么这个三角形是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、等腰直角三角形3）ΔABC中，已知|AB|=|AC|=4，且AB•AC=8，则ΔABC的形状是。
4）在ΔABC中,已知acosA=bcosB，试判定ΔABC的形状。
答案：1）C 2）D 3）等边三角形 4）直角三角形或等腰三角形。