由平面向量的数量积判断三角形形状
高考数学一轮复习第六章平面向量解三角形复数6.3平面向量的数量积与平面向量的应用人教A版
-2e1·e2-8������22. e1,e2 为单位向量,且
e1
与
e2
的夹角为π3,
所以 b1·b2=3-2×12-8=3-1-8=-6.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点 2 平面向量的模及应用
例 2(1)在平面内,定点 A,B,C,D 满足|������������|=|������������|=|������������|,������������ ·������������ =
-13-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别
是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则������������ ·������������
的值为( B )
A.-58
B.18
C.14
D.181
(2)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a·b=( D )
+
3 4
=
18,应选
B.
(2)因为a=(1,2),2a-b=(3,1),
所以b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
所以a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.
(3)b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)
=3������12 因为
6.向量在三角函数中的应用 对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行 转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形等问题或解三角形问题.
7.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件, 通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来 解答.
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
向量的数量积(练习)(含解析)高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
6.2.4向量的数量积1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD 中，E 为BC 中点，则AB → ·AE → ＝( )A ．2B ．4C ．25D ．52．[2022·山东东营高一期末]若向量a ，b 满足||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，则||a －b ＝( )A ．4B ．12C ．2D ．233．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影向量为________．4．已知|a |＝4，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，求： (1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b ).5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC 中，BD → ＝12DC → ，则AD → ·AC → ＝( )A ．24B ．6C ．18D ．－246．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a ，b 满足||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π67．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a ，b ，c 是满足a ＋b ＋c ＝0，a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，若||a ＝2 ，则||b ＝________．8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a ，b 满足(2a ＋b )·(a －2b )＝2，且|a |＝2 ，|b |＝2.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a ＋b .9.[2022·广东珠海高一期末]已知||a ＝2 ，|b |＝1，且a 与a －2b 相互垂直．(1)求向量a 与向量b 的夹角θ的大小；(2)求||a ＋b .10．在△ABC 中，AB → ＝c ，BC → ＝a ，CA → ＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )A ．||a ＋b ≤||a ＋||bB ．a ·b ≤||a ·||bC ．若||a ＝||b ，则a ＝bD ．若||a ＋b ＝||a －b ，则a ⊥b12．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．答案：1．解析：由题设，AB → ·AE → ＝|AB → ||AE → |cos ∠BAE ＝|AB → |2＝4.故选B.答案：B 2．解析：由||a ＝||b ＝2，〈a ，b 〉＝120°，可得a ·b ＝||a ·||b cos 〈a ，b 〉＝2×2×cos 2π3＝－2， 所以||a －b ＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝||a 2＋||b 2－2a ·b ＝4＋4－2×（－2）＝23 .故选D.答案：D3．解析：因为a 在b 方向上的投影为||a cos 135°＝－2 ，与b 同向的单位向量为b ||b ＝13 b ，所以a 在b 方向上的投影向量为－23b . 答案：－23b 4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a ·b ＝|a |·|b |cos 2π3 ＝4×2×(－12)＝－4； (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－a ·b －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝42＋4－2×22＝12.5．解析：因为BD → ＝12DC → ， 所以BD → ＝13 BC → ＝13(AC → －AB → )， 所以AD → ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋13 (AC → －AB → )＝23 AB → ＋13AC → . 因为等边三角形ABC 的边长为6，所以AC → ·AB → ＝6×6cos 60°＝18，所以AD → ·AC → ＝(23 AB → ＋13AC → )·AC → ＝23 AB → ·AC → ＋13AC → 2 ＝23 ×18＋13×36＝24，故选A. 答案：A6．解析：因为||a ＝2，||b ＝1，a ·(a －b )＝5，所以a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝||a 2－a ·b ＝5，所以a ·b ＝－1，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝－11×2＝－12 ， 因为θ∈[]0，π ，所以θ＝2π3.故选C. 答案：C 7．解析：因为a ＋b ＋c ＝0，可得c ＝－(a ＋b )，又因为a ⊥b ，(2a －b )⊥c ，且||a ＝2 ，可得(2a －b )·c ＝(2a －b )·[]－（a ＋b ） ＝－2a 2－a ·b ＋b 2＝－2×(2 )2－0＋||b 2＝0， 解得||b 2＝4，所以||b ＝2.答案：2 8．解析：(1)由(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－3a ·b －2b 2＝4－3×2 ×2cos θ－8＝2， 得cos θ＝－22 ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4. (2)由题意得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝2－42×22＋4 ＝2 . 9．解析：(1)由题意，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝0，所以2－22 cos θ＝0，可得cos θ＝22，而0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)由||a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2＋1＝5， 所以||a ＋b ＝5 .10．解析：在△ABC 中，易知AB → ＋BC → ＋CA → ＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝（－c ）2，（a ＋c ）2＝（－b ）2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2，因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB → |＝|BC → |＝|CA → |，即△ABC 是等边三角形．11．解析：对A ，||a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ＝(||a ＋||b )2，当且仅当a ，b 同向时等号成立，所以||a ＋b ≤||a ＋||b ，故A 正确；对B ，因为cos 〈a ，b 〉≤1，所以a ·b ＝||a ·||b ·cos 〈a ，b 〉≤||a ·||b ，当且仅当a ，b 同向时等号成立，故B 正确；对C ，若||a ＝||b ，因为a ，b 方向不一定相同，所以a ，b 不一定相等，故C 错误； 对D ，若||a ＋b ＝||a －b ，两边平方可得a ·b ＝0，所以a ⊥b ，故D 正确．故选ABD. 答案：ABD12．解析：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，化简得2t 2＋15t ＋7＜0.解得－7＜t ＜－12. 当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为180°时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142． ∴所求实数t 的取值范围是(－7，－142 )∪(－142 ，－12 ).。
平面向量数量积的性质及其运算-精品
平面向量数量积的性质及其运算1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为仇则：—♦T—♦T—•（1）a•e=e•a=lalcosG；（2）3=Z・E=（）;（判定两向量垂直的充要条件）（3）当W，E方向相同时,a*b=lallH；当彳,E方向相反时，a•b=-Iallbh特别地：W=l孑或可=5客（用于计算向量的模）（4）cose=- （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）lallbl（5）ll*bKldlbl2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a・b二b・a；（2）数乘向量的结合律：（入a）・b=A（a・b）=a・（入b）;（3）分配律：（a•b）・cWa,（b,c）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（W土E）2=/±2：**.②（W-E）（；+E）=a 2-b2.®b-C）丰（a-b）-o从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①\n〃=mn”类比得到“黑三品•盛②“（〃z+〃）t=mt+nt ff类比得到“（a+b）e c=a•c+b・c”；③“0,侬=加=〃7=〃”类比得到晨声0,l-c=b->a=b w;④“依•川=|司・|川”类比得到⑤“（〃?•〃）t=m（〃•1）”类比得到“（a•»c=a•（b,c）”；―♦—♦-♦⑥“注二旦”类比得到冬二？第.以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.beb b,ca解：・・,向量的数量积满足交换律，A u mn=nm n类比得到“黑EV”，即①正确；・・,向量的数量积满足分配律，.•・"（"+〃）t=mt+nf f类比得到“（a+b）・c=a•c+b,c”，即②正确；・・•向量的数量积不满足消元律，J“岸0,/加=加=加=〃”不能类比得到“3#0,W£三a=b"，即③错误；,•,1a•HW|a|・|bl，・・・“依•川=|〃?|・|川”不能类比得到“|，，=可・|讣；即④错误；・・,向量的数量积不满足结合律，・・・“（〃?•〃）t=m（〃•，）”不能类比得到“G4）£=；•£：）”，即⑤错误；・・,向量的数量积不满足消元律，・・.反£二旦”不能类比得到乌工二，beb b-ca即⑥错误.故答案为：①②.向量的数量积满足交换律，由“〃〃?=〃〃?”类比得到二EG"；向量的数量积满足分配律，故“（加+〃）t=mt+nt ff类比得到“G+三）・7=W・丁+b-c";向量的数量积不满足消元律，故"/WO, 不能类比得到“《卢。
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律【基础知识精讲】1.平面向量的数量积的定义及几何意义(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作=、=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与的数量积看成是向量的模｜｜与｜｜在的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1) ·=·=｜｜cosθ(2) ⊥·=0(3) 、同向·=｜｜·｜｜; ,反向·=-｜｜｜｜;特别地·=2=｜｜2或｜｜=.(4)cosθ= (θ为，的夹角)(5)｜·｜≤｜｜·｜｜3.平面向量的数量积的运算律(1)交换律：·=·(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ)·=·(λ);(λ∈R)(3)分配律： (+)· =·+·【重点难点解析】两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别：(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc a=c，但对向量积则不成立，即·=·=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数(1)｜·｜＝｜｜·｜｜∥(2) ，反向·=-｜｜·｜｜ (3)⊥｜+｜=｜-｜ (4)｜｜＝｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜｜但与的夹角和与的夹角不等时，就有｜·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，解之得 2=2·2=2·∴2=2∴｜｜＝｜｜∴cosθ===∴θ=因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜2＝2,｜｜2＝ 2,｜｜2＝2.解：∵++=∴(++)2=0从而｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2·+2·+2·＝0又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4∴·+·+·=-(｜｜2＋｜｜2＋｜｜2) =-(32+12+42) =-13例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·解：∵、、是两两垂直的单位向量∴2＝2＝2＝1, ·=·=·=0∴2=(-2-4)(-2-4)=2+42+162-4· -8·+16·=21从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--例5求证：直径上的圆周角为直角.已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90°分析：欲证∠ABC=90°，须证⊥，因此可用平面向量的数量积证·=0证明：设=,=,有=∵=+, =-且｜｜＝｜｜∴·=(+)( -)=｜｜2-｜｜2=0∴⊥∴∠ABC=90°【难题巧解点拔】例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值.分析：由于要证：｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2为定值，所以需将(i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、、、等可供我们选择.证明：由于=+=- (i=1,2,3,4).∴有｜｜2=(-)2=()2-2(·)+()2设⊙O的半径为r，则｜｜2=2r2-2(·)∴｜｜2＋｜｜2＋｜｜＋｜｜2＝8r2-2(+++)·=8r2-2··=8r2(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC2分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：·+·=,而对该等式我们采用向量方法不难得证：证明：在Rt△AEC中｜｜＝｜｜cos∠BAC在Rt△AFC中｜｜＝｜｜cos∠DAC∴｜｜·｜｜=｜｜·｜｜·cos∠BAC=·｜｜·｜｜=｜｜·｜｜cos∠DAC=·∴｜｜·｜｜＋｜｜·｜｜=·+·=(+)·又∵在□ABCD中，+=∴原等式左边=(+)·=·=｜｜2=右边例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：｜AD｜2= (｜AB｜2+｜AC｜2-｜BC｜2)分析：利用｜a｜2=a·a及=+，=+，通过计算证明证明：依题意及三角形法则，可得：=+=-=+=+则｜｜2=(-)(-)=｜｜2+｜｜2-·｜｜2=(+)(+)=｜｜2+｜｜2+·所以｜｜2＋｜｜2＝2｜｜2＋｜｜2移项得：｜｜2= (｜｜２+｜｜2-｜｜2)例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)①×3+②得：2=2∴｜｜2=｜｜2③由①得：·=2-22=｜｜2-2×｜｜2=-｜｜2④由③、④可得：cosθ= ==-∴，的夹角的余弦值为-.【典型热点考题】例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题①(·)·-(·)·)=;②｜｜-｜｜＜｜-｜;③(·)·-(·)·不与垂直；④(3+2)·(3-2)=9｜｜2-4｜｜2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .=-3+4, =5-12∴·=(-3+4j)·(5-12)=-152+56·-482∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0∴·=-15｜｜2-48｜｜2=-63解法2：· =［(+)2-(-)2］=［4(-4)2-64(-2)2］=2-8·+16j2-16(2-4·+42) =-152+56·-482=-63解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-)∴(+)·(-)=0,即2-2=0∴［(m+1) -3］2-［+(m-1) ］2=0∴［(m+1) -3］｜｜2-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)2］·2=0∵｜｜＝｜｜=1, ·=0,∴(m+1)2-(m-1)2+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜2＝｜｜2.解得m=-2评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若=, =, =，且·=·=·，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形 D.A、B、C均不正确解：因为++=++=则有+=-,( +)2=2①同理：2+2+2·=2②①-②，有2-2+2(·-·)=2-2由于·=·所以2＝2即是｜｜＝｜｜同理｜｜=｜｜所以｜｜＝｜｜＝｜｜△ABC为正三角形.∴应选C.。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
平面向量的三角形法则
平面向量的三角形法则平面向量是解决几何和物理问题中常用的数学工具之一。
通过平面向量的运算和性质，我们可以方便地描述物理系统的位移、力和速度等概念。
其中，平面向量的三角形法则是非常重要的基础知识。
本文将详细介绍平面向量的三角形法则以及其应用。
一、平面向量的定义在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有方向的线段。
根据平面向量的定义，我们可以用其起点和终点的坐标表示一个平面向量。
例如，对于平面向量AB，其起点为A坐标(x1, y1)，终点为B坐标(x2, y2)，我们可以表示为向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)。
二、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则是指当三个平面向量相互作用时，可以将它们的起点放在同一个点，然后将它们的终点连接起来形成一个三角形。
这个三角形的对角线是第三个平面向量的和向量。
具体来说，对于平面向量AB和AC，它们的和向量是平面向量AD，即AB + AC = AD。
三、平面向量的运算规则1. 平面向量的加法平面向量的加法满足交换律和结合律。
换言之，对于任意平面向量AB，AC和AD，满足AB + AC = AC + AB，以及(AB + AC) + AD =AB + (AC + AD)。
2. 平面向量的乘法平面向量的乘法有数量积和向量积两种形式。
（1）数量积数量积也称为点积，表示为AB · AC。
数量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的横坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的纵坐标相乘，然后将两个结果相加。
即AB · AC = ABx * ACx + ABy * ACy。
其中，ABx为AB的横坐标，ACx为AC的横坐标，ABy为AB的纵坐标，ACy为AC的纵坐标。
（2）向量积向量积也称为叉积，表示为AB × AC。
向量积的计算方法是将AB的横坐标与AC的纵坐标相乘，再将AB的纵坐标与AC的横坐标相乘，然后根据坐标轴的正负关系确定结果的方向。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
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由平面向量的数量积判断三角形形状
河北 张军红
由平面向量的数量积定义及其几何意义可知数量积是数与形的结合点，利用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，从而较容易判断三角形的形状。
本文总结如下：
例1：在△ABC 中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则△ABC 是什么三角形（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C. 钝角三角形
D.等腰直角三角形
解：0AB BC ⋅>，即│AB │·│BC │cos(π－B)>0，∴cosB<0∴△ABC 是钝角三角形
例2：以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b －a)为顶点的三角形的形状是（ ）
A 直角三角形
B 等腰三角形
C 等边三角形
D 等腰直角三角形
解∵OA =(a,b)，AB =(b,－a),∴()0OA AB ab b a ⋅=+-=∴OA ⊥AB 又∵│AB │=22b a +，│OA │=22b a +，∴│AB │=│OA │所以△ABC 为等腰直角三角形
说明：向量如果用坐标表示，应用数量积的坐标运算，先看AB 、BC 、AC 是否有一对垂直。
例3：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=则△ABC 的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C. 等边三角形
D.等腰直角三角形
解：原式可化为()0CB OB OA OC OA -+-=即()0CB AB AC +=
结合图可知平行四边形ABCD 为菱形, 所以△ABC 为等腰三角形
例4：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足0OB OC CO CO OA BC ++=，则△ABC 的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C. 等边三角形
D.等腰直角三角形
解：原式可变为()0OC OB OC OA BC -+=∴0OC CB OA BC +=
即()00CB OC OA CB AC -=∴=∴CB AC ⊥∴△ABC 为直角三角形
说明：以上两例式子中都含与三角形无关的O ，应先通过向量知识使式子中不含有O ，再通过数量积求解。
例5：已知AB 、AC 是非零向量且满足(AB －2AC ) ⊥AB ，(AC －2AB ) ⊥AC ，则△ABC 的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C. 等边三角形
D.等腰直角三角形
解：(AB －2AC ) ⊥AB (AB －2AC ) ·AB =0即AB ·AB －2AC ·AB =0 AB AC +C B A
(AC －2AB ) ⊥AC (AC －2AB ) ·AC =0即AC ·AC －2AB ·AC =0
∴AB ·AB =AC ·AC =2AB ·AC 即│AB │=│AC │
而cos ∠A=AB AC AB AC ⋅=12
∴∠A=60°所以△ABC 为等边三角形 说明：本题对数量积的性质及运算率基本上都考到了，是一道值得研究的好题。
例6：在△ABC 中，若BC a =，CA b =，AB c =，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则△ABC 的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C. 等边三角形
D.等腰直角三角形
解：由画图可知0a b c ++=∴22()a b c a b c c a c b c c +=-∴+⋅=-∴⋅+⋅=-， 22()a c b a c b b a b c b b +=-∴+⋅=-∴⋅+⋅=-，又∵a b a c ⋅=⋅∴22c b =同理可得 222c b a ==所以△ABC 是等边三角形
方法2：如图延长AB 至D 点，使AB=BD 连CD
∵a b b c ⋅=⋅()0b a c ⋅-=又∵a c DC -=∴AC ⊥CD 即△ACD 为Rt
△，又∵AB=BD ∴AB=BC 同理可得AC=BC=AB,所以△ABC 是等边三角
形 c c
a b a c -A B D。