第5节

第九章 第五节一、选择题1．(2014·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A ．32 B ．34C ．22D ．23[答案] A [解析] 先将x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 21＋y 214＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝32.离心率e ＝c a ＝32. 2．已知椭圆的一个焦点为F (0,1)，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为( )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 2＋y 22＝1 C ．x 24＋y 23＝1D ．y 24＋x 23＝1[答案] D[解析] 由已知，c ＝1，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1，故选D ．3．(文)(教材改编题)如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1][答案] A[解析] 方程可化为x 22＋y 22k ＝1，焦点在y 轴上，则有2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.(理)设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B ．⎣⎡⎭⎫π2，3π4C ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4D ．⎝⎛⎭⎫3π4，3π2[答案] C[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1，∴－1cos α>1sin α>0，故选C ．4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1[答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1. 5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A ．12B ．23C ．34D ．45[答案] C[解析] 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c ，故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.6．(2014·全国大纲高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1[答案] A[解析] 本题考查了椭圆的定义，离心率的计算，根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，得a ＝3，所以c ＝1，b 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.二、填空题7．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m ＝________.[答案] 32或83[解析]e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，则1－m 2＝14或1－2m ＝14，解得m ＝32或m ＝83. 8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． [答案] x 216＋y 28＝1[解析] 本题主要考查椭圆的定义及几何性质． 依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.9．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．[答案]3[解析] ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， ∴故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3. 三、解答题10．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． [解析] 由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4， 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1， 即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1. 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 一、选择题1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2[答案] C[解析] 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(0<m <n )，联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1x ＋3y ＋4＝0，消去x 得：(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，Δ＝192m 2－4(16m －1)(3m ＋n )＝0，整理得： 3m ＋n ＝16mn ，即：3n ＋1m ＝16.又c ＝2，焦点在x 轴上，故1m －1n＝4，联立解得：⎩⎨⎧m ＝17n ＝13，故长轴长为27.2．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A ．24B ．12C ．22D ．32[答案] C[解析] 本题考查了椭圆离心率的求法．根据x 2a 2＋y 2b 2＝1可得F 1(－c,0)，P (－c ，b 2a )，故OP 与AB 的斜率分别是k OP ＝－b 2ac ，k AB＝－b a ，根据OP ∥AB 得－b 2ac ＝－ba，即b ＝C ．由于a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2c 2，故e ＝c a ＝22.二、填空题3．(2014·安徽高考)若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．[答案] x 2＋32y 2＝1[解析] 如图，由题意，A 点横坐标为c ， ∴c 2＋y 2b 2＝1， 又b 2＋c 2＝1，∴y 2＝b 4，∴|AF 2|＝b 2， 又∵|AF 1|＝3|BF 1|，∴B 点坐标为(－53c ，－13b 2)，代入椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧(－53c )2＋(－13b 2)2b 2＝1，b 2＝1－c 2，∴⎩⎨⎧c 2＝13，b 2＝23方程为x 2＋32y 2＝1.4．(文)(2014·江西高考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．[答案]33[解析] 本题是椭圆综合性质的考查，∵AB ⊥x 轴，不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，又∵D 是F 1B 与y 轴的交点，可求得D (0，－b 22a)且为BF 1的中点．∵AD ⊥F 1B ，∴△F 1AB 为等腰三角形，∴|AF 1|＝|AB |＝2·b 2a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝2·b 2a ＋b 2a ＝3·b 2a ，由椭圆定义得3·b 2a ＝2a ，∴b 2a 2＝23，∴c 2a 2＝13，∴e ＝33. (理)(2014·江西高考)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．[答案]22[解析] 由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1(a >b >0)， ①x 22a 2＋y22b 2＝1(a >b >0).②①－②，并整理得x 1＋x 2a 2(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2b 2(x 1－x 2).(*)∵M 是线段AB 的中点，且过点M (1,1)的直线斜率为－12，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴(*)式可化为1a 2＝12b2，即a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2， 即c 2a 2＝12.∴e ＝c a ＝22. 三、解答题5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[解析] (1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点为(23，－65)． 6．(文)(2014·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ．已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直线l 与该圆相切与点M ，|MF 2|＝2 2.求椭圆的方程．[解析] (1)如图所示， 由椭圆的几何性质 |AB |＝a 2＋b 2，而|AB |＝32|F 1F 2|， ∴a 2＋b 2＝34×4c 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，∴2a 2＝4c 2，即e 2＝12，∴e ＝22.(2)由(1)设椭圆方程x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 1，y 1)，B (0，c )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， ∵P 是异于顶点的点，∴x 1≠0，y 1≠0. 以PB 为直径的圆过F 1，即PF 1⊥BF 1， ∴y 1x 1＋c ·c c＝－1，∴y 1＝－(x 1＋c )． 设PB 中点D (x 12，y 1＋c 2)，即D 为(x 12，－x 12)．由题意得|DF 2|2＝|DM |2＋|MF 2|2， ∵|DM |＝|DB |＝r ，∴|DF 2|2＝(x 12－c )2＋x 214，|MF 2|2＝8，|DM |2＝x 214＋(c ＋x 12)2，即(x 12－c )2＋x 214＝8＋x 214＋(c ＋x 12)2. 整理得cx 1＝－4①又P (x 1，－(x 1＋c ))在椭圆上，∴x 21＋2(x 1＋c )2＝2c 2整理得3x 21＋4cx 1＝0②∵x 1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋4c ＝0cx 1＝－4，解之得c 2＝3，∴所求椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(理)(2014·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ．已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．[解析] (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)，由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12. 所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2，故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1. 设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0， 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故 x 202c 2＋y 20c2＝1②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0，而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为(－4c 3，c3)．设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则 x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53C ． 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx ，由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k(－2c3)－2c3|k2＋1＝53c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±15. 所以，直线l的斜率为4＋15或4－15.。