矩阵的定义及其运算规则 (2)
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
矩阵的基本概念与运算
矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。
一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。
矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。
矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。
矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。
实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。
例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。
矩阵的运算与性质
矩阵的运算与性质矩阵是线性代数中的基本概念，广泛应用于各个学科领域。
本文将介绍矩阵的运算及其性质，探讨在不同情况下矩阵的特点和应用。
一、矩阵的定义与分类1. 矩阵的定义：矩阵是一个按照矩形排列的数表，由m行n列的数构成，通常用大写字母表示，如A、B等。
2. 矩阵的分类：根据行数和列数的不同，矩阵可以分为行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵等。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对应位置元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的所有元素乘以一个常数。
3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，要求左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
4. 矩阵的转置：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记作A^T。
三、矩阵的性质和特点1. 矩阵的单位矩阵：对角线上元素为1，其余元素为0的方阵。
2. 矩阵的逆矩阵：若矩阵A存在逆矩阵A^-1，满足A·A^-1 = A^-1·A = I，其中I为单位矩阵。
3. 矩阵的行列式：方阵A经过运算得到的一个标量值，记作det(A)或|A|，用于判断矩阵是否可逆及求解线性方程组等。
4. 矩阵的秩：矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
5. 矩阵的特征值与特征向量：对于方阵A，存在数值λ和非零向量x，使得A·x = λ·x，λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
四、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：通过矩阵的运算和性质，可以将线性方程组表示为矩阵的形式，从而求解出方程组的解。
2. 矩阵在图像处理中的应用：利用矩阵的运算，可以对图像进行变换、旋转、缩放等操作。
3. 矩阵在经济学中的应用：使用矩阵可以模拟经济系统，进行量化分析、预测等。
总结：矩阵作为线性代数中的基本概念，具有丰富的运算规则和性质。
通过矩阵的加法、数乘、乘法、转置等基本运算，可以推导出矩阵的逆矩阵、行列式、秩、特征值等重要概念。
矩阵在不同学科领域有着广泛的应用，如线性方程组求解、图像处理、经济学分析等。
矩阵的基本运算
E 2XX T H 所以H是对称矩阵.
HH T H 2 (E 2 XX T )2 E 4 XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X (X T X )X T E 4XX T 4XX T E
坐标分别为 和 , 它们有如 y′
yA x′
下关系：
x x 'cos y 'sin
y x 'sin y 'cos
α
O
x
写成矩阵形式，记为
过渡矩阵
x cos
y
s
i
n
sin x '
cos
y
'
例 （线性代数方程组）一般形式的线性方程组，即
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1
C
2
2
2
2
有
A
B
0
0
0 ,
AC
0
0
0
0
0
则 A B A C , 但是
BC
注 该例也说明 A B 0 不 能 推 出 A 0 或 B 0
定义 (方阵的幂次) 若A是n 阶方阵, 则Ak为A的
的k次幂,即
Ak
A 14
A 2
L43A
,
并且
k个
A m A k A m k , A m k A m k ( m , k 为 正 整 数 )
例 对 于 任 意 的 n阶 矩 阵 A .证 明 :
(1) A AT 是 对 称 矩 阵 , A AT 是 反 对 称 矩 阵 .
(2) A可 表 示 为 对 称 矩 阵 和 反 对 称 矩 阵 之 和 .
矩阵的计算方式
矩阵的计算方式1 矩阵的定义矩阵是线性代数的基础概念之一。
它是一个由数构成的矩形阵列（一个表格），并按照特定的规则进行排列。
就像我们平时用的Excel 表格一样，矩阵可以用于描述各种各样的数学问题，例如线性方程组的求解、变换矩阵的应用等等。
2 矩阵的基本运算矩阵的运算有加、减、数乘、矩阵乘法等。
以下将从这几个方面来介绍矩阵的基本运算。
2.1 矩阵加法两个矩阵的加法定义为将它们的对应元素相加得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$矩阵加法需要满足以下条件：- 两个矩阵必须具有相同的行数和列数。
- 相加的两个矩阵对应的元素必须都是相同类型的，例如都是实数。
2.2 矩阵减法两个矩阵的减法与加法类似，不同的是将它们的对应元素相减得到一个新矩阵。
例如：$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & -4 \\ -4 & -4\end{bmatrix}$矩阵减法需要满足与矩阵加法相同的条件（相同的行数和列数，相同类型的元素）。
2.3 矩阵数乘将矩阵的每个元素都乘以一个标量得到一个新的矩阵，这个操作称为矩阵数乘。
例如：$2 \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 6 & 8\end{bmatrix}$矩阵数乘需要满足以下条件：- 被乘的标量必须是一个实数或者复数。
矩阵加减法运算法则
矩阵加减法运算法则
矩阵加减法是矩阵运算中的基本操作之一，它可以用于各种数学问题的求解。
在进行矩阵加减法运算时，需要遵循以下几个法则：
1. 矩阵加减法运算的定义
矩阵加减法指的是将两个矩阵按照相同的位置上的元素进行加
或减的操作。
具体地，假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别为m ×n和m×n，那么它们的加法和减法分别定义为：
A +
B = [a_ij + b_ij]m×n
A -
B = [a_ij - b_ij]m×n
其中a_ij和b_ij表示A和B中相同位置上的元素。
2. 矩阵加减法的性质
矩阵加减法具有以下性质：
（1）交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A
（2）结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C = A - (B - C)
（3）分配律：k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA
其中k和l为任意实数。
3. 矩阵加减法的运算规则
进行矩阵加减法时，需要遵循以下运算规则：
（1）只有维度相同的矩阵才能进行加减法运算。
（2）相同位置上元素相加减。
（3）当进行加减法运算时，结果矩阵的维度与原矩阵相同。
（4）当进行加法运算时，两个矩阵必须具有相同的行数和列数，否则无法进行加法运算。
（5）当进行减法运算时，两个矩阵必须具有相同的行数和列数，否则无法进行减法运算。
总之，矩阵加减法是一种很常见的运算方式，掌握了矩阵加减法的运算规则和性质，可以方便我们在数学问题中进行矩阵运算，为问题的求解提供帮助。
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。
例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。
即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。
当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。
当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。
设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。
2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。
例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。
3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。
如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。
单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。
4、矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。
如以C＝（c ij）m ×n表示矩阵A及B的和，则有：式中：。
即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。
如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB（2）（k＋h）A＝kA＋hA（3）k（hA）＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
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矩阵的定义及其运算规则
1、矩阵的定义
一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。
例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：
，或。
即：
（2-3）
我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。
当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。
当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。
设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且
它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。
2、三角形矩阵
由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。
例如，以下矩阵都是三角形矩阵：
，，，。
3、单位矩阵与零矩阵
在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：
则称为对角矩阵，可记为。
如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。
单位矩阵常用E来表示，即：
当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。
4、矩阵的加法
矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。
如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有：
m ×n
式中：。
即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。
由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：
（1）交换律：A＋B＝B＋A
（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）
5、数与矩阵的乘法
我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。
如：
由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：
（1）k（A＋B）＝kA＋kB
（2）（k＋h）A＝kA＋hA
（3）k（hA）＝khA
6、矩阵的乘法
若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。
矩阵的元
素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。
若：
则矩阵的元素由定义知其计算公式为：
（2-4）
【例2-1】设有两矩阵为：，，试求该两矩阵的积。
【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C：
其中：
【例2-2】已知：A＝，B＝，求A、B两个矩阵的积。
【解】计算结果如下：
矩阵的乘法具有下列性质：（1）通常矩阵的乘积是不可交换的。
（2）矩阵的乘法是可结合的。
（3）设A是m×n矩阵，B、C是两个n×t矩阵，则有：A（B＋C）＝AB＋AC。
（4）设A是m×n矩阵，B是n×t矩阵。
则对任意常数k有：k（AB）＝（kA）B＝A （kB）。
【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为：
（2-5）
式中：
（2-6）试将矩阵公式展开，列出方程组。
【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得：
（2-7）
将上式右边计算整理得：
（2-8）
可得方程组：
可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。
上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。
式中称为改正数阵，称为误差
方程组的系数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵。
【例2-4】设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。
【解】现记：
（2-9）则条件方程组可用矩阵表示成：
（2-10）
上式中称为条件方程组的系数阵，称为改正数阵，称为条件方程组的闭合差列阵。