气体动力学函数及应用
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空气动力学第三章
⎡ ⎤ ⎥ ρ ⎢ γ +1 = ⎢ ⎥ ρ * ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ 2 ⎣ ⎦
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
气体动力学基础PPT课件
气体动力学基础_1
23
第二章 一维定常流的基本方程
§2.1 应知的流体力学基本概念
• 无限多个连续分布的流体微团 组成的连续介质的假设（
Euler明确，1752）。而非分子论。适用于l/L<1/100，例
如100公里以下的大气与飞行器
• 一维定常流 1-D Steady flow，流线 Streamline，
3
第一章 绪论
§1.1 气体动力学的涵义
气体动力学是
➢ 流体力学的一个分支，在连续介质假设下，研
究与热力学现象有关的气体的运动规律及其与
相对运动物体之间的相互作用。
➢ 气体在低速流动时属不可压缩流动，其热力状
态的变化可以不考虑；但在高速流动时，气体
的压缩效应不能忽略，其热力状态也发生明显
的变化，气体运动既要满足流体力学的定律，
学科名 Discipline 流体力学 Fluid Dynamics 空气动力学 Aerodynamics 气体动力学 Gas Dynamics
主要研究范围 Primary Scope
不可压缩流体动力学 Incompressible Fluid Flow
不可压缩＋可压缩流体动力学 Incom-＋Com-pressibleLeabharlann 解析解，螺旋桨理论，飞机设计
1904-20年代，普朗特Prandtl（德）的普朗特－迈耶流动理论，（超音
速膨胀波和弱压缩波），风洞技术，边界层理论，机翼举力线、举
力面理论，湍流理论，接合理论流体与实验流体，奠定了现代流体
力学气体动力学研究的基础
1910年瑞利和泰勒研究得出了激波的不可逆性
1933年泰勒和马科尔提出了圆锥激波的数值解
气体动力学基础_1
大学物理气体动理论
气体分子之间的相互作用力产生的势能， 由于气体分子之间的距离非常大，因此气 体分子的势能通常可以忽略不计。
分子动理论的基本假设
分子之间无相互作用力
气体分子之间不存在相互作用的力，它们之间只 存在微弱的范德华力。
分子运动速度服从麦克斯韦分布
气体分子的运动速度服从麦克斯韦分布，即它们 的速度大小和方向都是随机的。
分子碰撞的统计规律
分子碰撞的随机性
01
气体分子之间的碰撞是随机的，碰撞事件的发生和结果都是随
机的。
分子碰撞频率
02
单位时间内分子之间的碰撞次数与分子数密度、分子平均速度
和分子碰撞截面有关。
碰撞结果的统计规律
03
碰撞后分子的速度方向和大小的变化遵循一定的统计规律，可
以用概率密度函数来描述。
热现象的统计解释
大学物理气体动理论
• 引言 • 气体动理论的基本概念 • 气体动理论的基本定律 • 气体动理论的统计解释 • 气体动理论的应用 • 结论
01Biblioteka 引言主题简介气体动理论
气体动理论是通过微观角度研究气体 运动状态和变化的学科。它以分子运 动论为基础，探究气体分子运动的规 律和特性。
分子模型
气体动理论中，将气体分子视为弹性 小球，相互之间以及与器壁之间发生 弹性碰撞。通过建立分子模型，可以 更好地理解气体分子的运动特性。
对未来研究的展望
随着科学技术的发展，气体动理 论仍有很大的发展空间和应用前
景。
未来研究可以进一步探索气体分 子间的相互作用和气体在极端条 件下的行为，例如高温、高压或
低温等。
气体动理论与其他领域的交叉研 究也将成为未来的一个重要方向， 例如与计算机模拟、量子力学和
空气动力学(4学时)
流动状态
(a) 流体成层状流动，称为层流状态。 (b) 流动呈高度非定常状态，非常紊乱，称为紊流态或湍流态。 雷诺发现，出现湍流状态的条件取决于组合量 Re= ρ U d/ μ， 式中ρ 为流体密度，U为管内平均流速，d为圆管直径，μ为流体的粘性系数。
雷诺数小，意味着流体流动时各质点间的粘性力占主要地位，流体各质点平行于管路内壁 有规则地流动，呈层流流动状态。雷诺数大，意味着惯性力占主要地位，流体呈紊流流动 状态，一般管道雷诺数Re＜2000为层流状态，Re＞4000为紊流状态，Re＝2000～4000 为过渡状态
;加速度
dV ∂V ds ∂V dV as = = = V =V dt ∂s dt ∂s ds
伯努利方程的推导过程（1）
应用线性动力的牛顿第二定律 质量 流体的重力
dV PdA−(P+dP)dA−Wsinθ = mV m = ρV = ρ dAds ds
W = mg = ρ gdA
代入，联立得
sin θ =dz/ds dz dV -dpdA - ρ gdAds = ρ dAdsV ds ds
对流层顶高度为11km或36089ft， 对流层内标准温度递减率为，每增 加1000m温度递减6.5°C，或每增 加1000ft温度递减2°C。从11km到 20km之间的平流层底部气体温度 为常值。
●国际标准大气表
大气环境介绍——高度的表示
绝对高度（True Altitude） 相对海平面高度 真实高度（Absolute Altitude）相对地面的高度 压力高度（Pressure Altitude）相对标准气压平面的高度
空气动力学
1.空气的物理性质、状态参数和状态方程 2.音速、马赫数、流管、流线的概念 3.低速流体流动的基本规律 4.高速流体流动的基本规律 5.低速和高速流体流动的区别
§8-2滞止参数、声速、马赫数16015
u M c 1.5 299.33 449(m/s)
三、气体动力学函数
气体动力学函数：我们在应 用气体动力学的知识去分 析、研究、计算有关工程 上的问题时，在一些公式 中其速度系数λ往往成几 种常见的组合形式出现， 叫做气体动力学函数。
每个函数用一个符号代表。
把各函数随速度系数变化的 数值计算出来列成数值表， 运用这种函数及其数值表 就可将公式大大简化，而 且使计算工作变得十分简 便。
（c） t3=t+dt
u·dt u·dt
p+dp
ρ+duρ △M c
(c-u)·t (c-u)·dt
二、声速、马赫数和速度系数
2
滞 止
式在中绝：热无摩擦的气流中，各段 面i的能0反cc滞全量0映止部。了k参能断kRR气T数量面T0流是，滞包kp不止kp0含p则变参00热反的数能映，可在机根T0内、械据
一、滞止参数
1 () T 1 k 1 2
T0
k 1
三种 常用 的气 体动
()
p
(1
k
1
2
)
k k 1
p0 2 k 1
力学
函数
4 ()
(1
k
1
2
)
1 k 1
0
k 1
由绝热过程方程式有：
p0 p
0k k
代将将入式Ccp2 pkk0k
pR 1 (1
代k 入1代MT入02)kkTk1+得2vC2：p 得：
二、声速、马赫数和速度系数
【例8－2】气流的速度为 800m/s，温度为530℃， 等熵指数k=1.25，气体 常数R=322.8J/(kg·K)。 试计算当地音速与马赫 数。
三、气体动力学函数
气体动力学函数：我们在应 用气体动力学的知识去分 析、研究、计算有关工程 上的问题时，在一些公式 中其速度系数λ往往成几 种常见的组合形式出现， 叫做气体动力学函数。
每个函数用一个符号代表。
把各函数随速度系数变化的 数值计算出来列成数值表， 运用这种函数及其数值表 就可将公式大大简化，而 且使计算工作变得十分简 便。
（c） t3=t+dt
u·dt u·dt
p+dp
ρ+duρ △M c
(c-u)·t (c-u)·dt
二、声速、马赫数和速度系数
2
滞 止
式在中绝：热无摩擦的气流中，各段 面i的能0反cc滞全量0映止部。了k参能断kRR气T数量面T0流是，滞包kp不止kp0含p则变参00热反的数能映，可在机根T0内、械据
一、滞止参数
1 () T 1 k 1 2
T0
k 1
三种 常用 的气 体动
()
p
(1
k
1
2
)
k k 1
p0 2 k 1
力学
函数
4 ()
(1
k
1
2
)
1 k 1
0
k 1
由绝热过程方程式有：
p0 p
0k k
代将将入式Ccp2 pkk0k
pR 1 (1
代k 入1代MT入02)kkTk1+得2vC2：p 得：
二、声速、马赫数和速度系数
【例8－2】气流的速度为 800m/s，温度为530℃， 等熵指数k=1.25，气体 常数R=322.8J/(kg·K)。 试计算当地音速与马赫 数。
气体动力学
3. 马赫数 Ma 气流的压缩性除了与气体的声速有关外，还与气流的速度大 小有关
V Ma = C
dp
气体微团的运动速度与 气体微团当地的声速之 比
dρ dp dρ 2 dV 等熵过程 − Ma ⋅ = −VdV = = ⋅ V ρ ρ ρ dρ
在绝能等熵流动中，气流速度相对变化量所引起的密度相对变 2 化量与 Ma 成正比
V h = h+ 2
∗
2
T k −1 2 = 1+ Ma T 2
滞止状态与实际状态在
T − S 图上的表示
T 1
*
点 1 代表气流被滞止之前的状 态，其静温为 T ，速度为 V 1 1
P* 1 V 1 2CP P1
2
T* 1
的长度应为 V 2Cp
1∗ 代表了气流的滞止状态， 点 代表了气流的滞止状态， * 其温度为 T ∗， 线段 1−1
k −1 k −1 ∗ ∗ k k p2 ∗ p2 ∗ ws = cpT 1− ∗ = h 1− 1 P 1 P∗ 1 1
反映气流总能量可以转化为机械功的比例大小
能量方程的应用 绝能流动中能量方程可表示为
1 2 p = p + ρV 2
∗
−wS = cp (T2 −T 1
)
若流动为绝热定熵流动则能量方程为式
k −1 k −1 ∗ ∗ p2 k p2 k ws = cpT∗ 1− ∗ = h∗ 1− ∗ 1 1 P P 1 1
dp = ρCdV
要具体计算声速还必须知道在微扰 动传播过程中的压强p和密度ρ 动传播过程中的压强p和密度ρ之 间的关系
第2章 一维定常流动的基本方程(Part4.临界状态和气体动力学函数)
2016/3/30
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8
气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
对于一个绝能等熵加速流动，
T
*
P
* * c T( ) *
出口截面马赫数等于 1 的喷管， 出口截面即为临界截面，它的 参数也是整个流管的临界参数 马赫数小于1的截面上的气流 状态参数、滞止参数和临界参 数的关系
2016/3/30
0.2 0 0.4 0.8 1.2 发动机系
气体动力学（Aerodynamics）
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18
气体动力学（Aerodynamics）
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19
( Ma ＜1 )
P T( c ) Pcr
cr
Tcr ( ccr )
s
滞止状态、临界状态和实际状态
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9
气体动力学（Aerodynamics）
速度系数：λ
V ccr
——无量纲的速度，气流速度与临界声速之比
思考：已经定义了Ma，为什么还要引入速度系数λ？
2 p A q z k 1 p A f
qm AV
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22
气体动力学（Aerodynamics）
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气体动力学（Aerodynamics）
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8
气体动力学（Aerodynamics）
临界状态和临界参数
对于一个绝能等熵加速流动，
T
*
P
* * c T( ) *
出口截面马赫数等于 1 的喷管， 出口截面即为临界截面，它的 参数也是整个流管的临界参数 马赫数小于1的截面上的气流 状态参数、滞止参数和临界参 数的关系
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0.2 0 0.4 0.8 1.2 发动机系
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气体动力学（Aerodynamics）
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19
( Ma ＜1 )
P T( c ) Pcr
cr
Tcr ( ccr )
s
滞止状态、临界状态和实际状态
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9
气体动力学（Aerodynamics）
速度系数：λ
V ccr
——无量纲的速度，气流速度与临界声速之比
思考：已经定义了Ma，为什么还要引入速度系数λ？
2 p A q z k 1 p A f
qm AV
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空气动力学公式
q T
dh Tds vdp
\* MERGEFORMAT (2-13)
对于一个封闭均匀的系统，在可逆条件（并不一定绝热）下有：
de Tds pdv
对于一般的热力学状态，有：
ds cV dT p dv T T v
\* MERGEFORMAT (2-14)
空气动力学基本公式
1 标量场与矢量场
1.1 哈密顿算子
V V V V x y z V Vx Vy Vz x y z
\* MERGEFORMAT (1-1)
V Vx Vy Vz x y z
\* MERGEFORMAT (1-2)
\* MERGEFORMAT (3-17) 速度系数形式为：
k arc tan
2
1 / k 2 arc tan k 2 1 / k 2
\* MERGEFORMAT (3-18) 气流偏转角为：
Ma2 Ma1
* 2 1 0 1
1
a*
2 RT0 1
\* MERGEFORMAT (3-5) 定义速度系数：
λ
1 Ma 2 u a* 2 1 Ma 2
Ma
2λ 2 1 1 λ 2
\* MERGEFORMAT (3-6) 定义气体动力学函数
\* MERGEFORMAT (2-19) \* MERGEFORMAT (2-20)
T / p T
1 /
const
/ 1
/ p const
3 激波与膨胀波
3.1 声速与滞止参数、临界参数
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0.658
查表得 0.406, () 0.907
故总压为
p p 4.12 10 5 4.54 10 5 牛顿 米2
() 0.907
三、与冲力有关的气动函数 应用动量方程计算管壁受力时，往往出
现冲力J dm C pA 这个物理量，它与
dt
速度系数 也有某种函数关系。下面就
dm dt
a临
k 1 a临
2k
k 1 2k
a临
dm dt
k 1 2k
a临
2k k 1
1
k k
1 1
dm dt
k 1 2k a临
1
•令
Z（） 1
•
最后写成
J
k 1 2k
dm dt
q() (4)当气流的总压和总温发生变化时， 和 流量就没有一一对应的关系了。在某种情q(况) 下，可能会出现流量增大，而流通能力
反而减小的现象。
• 公式中的流量是用总压来表示的，有时为了 测量和计算方便，也需要用截面上的静压来表 示流量。这时，流量公式可写为
dm B p Aq() B p A q()
dm B p Aq()
dt
T
式中
B
k(
2
k 1
) k 1
R K 1
• 对于给定的气体(k及R一定)，B 是个常数。
对于空气，k=1.4，R=287．06焦耳／千
克·开，B =0.0404；对于燃气，
当 k=1.33，R=287．4焦耳／千克·开时
B =0.0397；当k=1.2，R=320焦耳／千
q()
2
k 1
• 所以
C A临 q() 临C临 A
• q() 仅是 数的函数，所以它也是气动函
数。
• 由（2-3-25a）式可知，气动函数q() 就是
相对密流，它也等于临界截面与所研究截
面的面积比。当k=1.4时，q() 随 数的变
化情形，如图2-3-10所示。由图可见，
C 临C临
临C临 Aq()
(1)
而
临 （1 k 1）k11 (
2
1
) k 1
k 1
k 1
•即
临
（
2
1
）k 1
k 1
p RT
(
2
1
) k 1
k 1
(2)
而
C临 a临
2 kRT k 1
(3)
将(2)和(3)式代入(1)式整理后得质量流量
一、气流静参数与总参数之比的气动函数
• 气流的总参数与静参数之比可以写成数的 函数：
T 1 k 1M 2
T
2
p
(1
k
1
M
2
)
K K 1
p
2
(1
k
1M
2
)
1 K 1
2
• 为了画曲线和制表方便，需把上式中的数 换成数，为此，将前式
2 2
M 2 k 1
1 k 1 2
p1 T1
A1q()
p1 T1
A2q(2 )
由于是绝能流动 T1 T2
又是非等熵流动 所以
p2 0.94 p1
q()
p 1
p 2
F1 F2
q()
1 0.94
1 2.5
q(1
)
0425
q(1
)
查表知 0.85时，q() 0.9729
克·开时，B =0.0362。
•
在气体动力学和喷气发动机原理中，
用相对密流和总参数表示的流量公式来分
析问题和计算流量是很方便的。
• 从流量公式可知，流管中任一截面所通 过的流量大小，与该截面的面积、总压、 相对密流成正比，与总温的平方根成反 比。据此还可得到如下重要结论。
(1)在气流的总压和总温保持不变的情 况下，流过任一截面(即F一定)的流量q() 与dm成正比，也就是说，q() 与 dm有 一一dt对应的关系。因此，在总压d和t 总温
即
C A临 临C临 A
• 因为临界截面是流管中的最小截面积， 所以临界截面的密度最大，也就是说， 临界截面的单位面积流量最大。相对 密流一般小于1。它的大小，可用来说 明任一截面的密流与最大密流接近的 程度，即说明该截面的流通能力的大 小。相对密流越接近1，说明截面流通 能力越大。临界截面的相对密流等于1。
截面积。即亚音速时，流管截面减小，气 流加速；反之流管截面积增大，气流减速。
• 当气流为超音速时( >1)，由图2—3—10可 见，因q() 随 数的增大而减小，故速度增
大时，必须相应地增大流管截面积，即超音速 时，流管截面增大，气流加速；反之，流管截 面积减小，气流减速。
• 当 =1时，q()达到最大值，q() =1，相应
不同 数下，这三个函数的大小还与气
体的性质有关。对于空气来说，k=1.4，
当 =1时， ()=0．8333， () =0．5828
， () =0．6340。同理，根据静参数与总参 数之比的数值，也可以查出相对应
的 数和M数大小。
• [例2—3—5]用风速管测量空气流中一 点 的 总 压 p =9 ． 81x 牛 顿 ／ 米 ， 静 压 p 8.44 10 4 牛顿 / 米2，用热电偶测得 该点气流的总温 T 400K，试求该点气 流速度 C 。
dt
T
() T
•令
y() q() ()
•则
dm B p Ay()
dt
T
• y() 随 数的变化情形，如图2—3—10
所示。由图中看出，y()随 数增大而增 大，当 接近最大时，y() 趋于无穷大，
• y()的数值可由气动函数表中查到(见附 录)。
k 1
• 代入上列诸式，化成数的函数，并分别
以， () ， () ， () 来表示；
• 可得
() T 1 k 1 2
T*
k 1
()
p p*
(1
k
1 2
)
k k 1
k 1
()
(1
k
1
2
)
k k 1
*
k 1
• 根据每一个数，把， ()、 ()、 ()三个函 数的数值计算出来，列成表格(见附录)。
使用时，根据气流的 数(或M数)，就可以 查出与 数相的静参数与总参数之比的数
值。以此为基础，如已知总参数，就可以
求出静参数；已知静参数，就可求出总参
数。
• 显然三个函数 () 、 () 、 () 之间的关系 是：
•
()
*
T* T
.
P P*
() ()
在 =0和 最大
k 1 k 1
时，q()
=0时
=1 时，q() =1，达到最大。这说明，
当 =1时，单位面积上通过的流量最
大。q() 的数值可由气动函数表中查到
（见附录）。
• 应用相对密度 q() ，可以直接根据总参数计 算流量。因为
dm dt
AC
(临C临 ) A
3.11105
牛顿
米2
二、与流量有关的气动函数
•
由流量公式知
dm dt
A临临C临，流管任一
截面和临界截面的密度（即单位面积流
量）分别为：
dm
dm
C
dt A
和临C临
dt A临
• 任一截面单位面积上的流量与临界截面 单位面积流量之比，也就是任一截面的密 流与临界截面密流之比，称为相对密流。 又叫做无量纲密流。
• 当k=1.4时，函数 ()、 ()和 ()随 数的
变化曲线如图2—3—9所示。从图中可看
出 ， 在 任 一数 下 ， 都 有 一 个 确 定 的， () 、 ()、 ()数值相对应。当 =0
时， () = () =1； 数增大时，三个函数
都减小；当 = 最大时， ()= () = () =0
因此
q(2 ) 0.425 0.9729 0.414
再查表得 2 0.27, (2 ) 0.9579 所以
p2 p2 (2 ) 0.94 p1 (2 ) 0.94 2.942 10 5 0.9579
2.649 10 5 牛顿 米2
的截面积应是流管的最小截面积，即临界截面
( =1的截面)必须是流管中的最小截面，必
须注意，这个结论反过来说并不一定正确，即 流管的最小截面并不一定是临界截面。要将气 流等熵绝能地由亚音速到超音速，管道必须做 成先收敛后扩散的形状，即所谓缩扩管。
• (3)在一维定常管流中，用临界截面的参数 计 算 流 量 最 为 方 便 ， 因 为 临 界q(截) 面 的 =1．
保持不变的情况下，相对密流 的大小， 反映流量的大小。
• (2)在气流的总压和总温保持不变的情况下， 要使通过同一管道中不同截面的流量相 等，
则必须使乘积A 保持q为(常) 数。由此可知；
当气流为亚音速时( <1)时，由图2—3— 10可见，随着 数的增大， 也跟q(着)增大，
为了保持流量不变，必须相应地减小流管
a临