变系数方程的差分格式(5)
差分方程方法
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
3 2013年7月18日
1.常系数线性齐次差分方程
(1) 特征根为单根
设差分方程(1)有 k 个单特征根 1 , 2 ,, k ， 则通解为
xn c c2 ck
9
如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略 才能使总收获量最高。
18 2013年7月18日
四、案例:最优捕鱼策略问题
2. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁 入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；
（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化 的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死 亡发生于产卵之后；
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
！！无捕捞时 鱼群会无限 的增长吗？？
由假设（１）和（２） ：
dxi (t ) rxi (t ), i 1, 2,3, 4; dt k t k 1, k 0,1, 2,
各龄鱼都不会无限地增长！
21
No! I don’t know!
2013年7月18日
3、模型的建立与求解
偏微(11)变系数方程
u
2
2 O h 2 x j
n
利用方程（4.1）有
u x j 1 , t n 2u x j , t n u x j 1 , t n h2
1 u
2 O h a t j
n
引入时间的差商得到逼近(4.1)式的一个差分格式
dx
w x j 1 , t
2
x j 1 xj
1 dx , a x
9
u w 0 4.12 t x
x x
j
1 2
1 j 2
u x , t u x , t dx n tn w x j 12 , t w x j 12 , t n 1
2 x n 1 2 x n
n 1 n n 1 n n 1 n 1 u j 1 u j 1 5 u j u j 1 u j 1 u j 1 u j u j , (4.4) 2 12 a j 1 6 a j 12 a j 1 2h
2 2 1 u h 1 u 4 O h 2 a t j 12 x a t j
2 1 u 2 x 1 u h a t 2 4 O h O h 2 h a t j 12 j 5 1 u 1 1 u 1 1 u 4 O h 6 a t j 12 a t j 1 12 a t j 1
A u x , t j j n1 1 2 h 1 A u x , t j j n
Laplace方程边值问题的五点差分格式
支越
（ 中国传媒大学信息科学与技术学部，北京 100024）
摘要： 使用差商代替导数法与积分插值法建立 Laplace 方程边值问题五点差分格式。 关键词： Laplace 方程； 五点差分格式 中图分类号： O241． 82 文献标识码： A 文章编号： 1673 － 4793（ 2019） 04 － 0038 － 04
分格式联立，消去未知量 u －1，0 和 u0，－1 ，( 0，N) ，( N，0 ) 和 ( N，N) 类似处理。 角点 ( 0，0 ) ，－ u1，0 － u0，1 + 2u00 = 2hβ00
角点 ( 0，N) ，－ u0，N－1 － u1，N + 2u0N = 2hβ0N
角点 ( N，0 ) ，－ uN，1 － uN－1，0 + 2uN0 = 2hβN0
Five-Point Difference Scheme for Boundary Value Problems of Laplace Equation
ZHI Yue
（ Faculty of Science and Technology，Communication University of China，Beijing 100024，China）
1 引言
( ) Laplace 方程： －
2 u x2
+
2 u y2
= 0 ，或 － Δu = 0 ，( x，y) ∈ Ω ，Ω 是平面上的有界区域，边界 Γ 为分段光
滑曲线。
{ ( ) Laplace 方程的第一边值问题（ Dirichlet 问题）
－
2 u x2
+
2 u y2
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=⨯分）1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lmR ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{})(,,),()(21Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x关于内积=1),(g f _____________________是Hilbert 空间；3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________；5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。
二．（13分）设有椭圆型方程边值问题用1.0=h 作正方形网格剖分 。
（1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题xut u ∂∂=∂∂ ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。
试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。
1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值：四．（12分）试讨论差分方程()ha h a r u u r u u k l k l k l k l ττ+-=-+=++++11,1111逼近微分方程0=∂∂+∂∂xu a t u 的截断误差阶R 。
思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。
思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。
5第五讲 典型模型方程-波动方程的差分格式
得到 高阶精度的Runge-Kutta方法，其步骤相同。如四阶精度的Runge-Kutta方法
若采用二阶空间差分格式，则其 提高时间导数的差分精度。
， Runge-Kutta方法仅
Comments
• 高阶精度的差分格式需要更多的计算资源和推
导计算的复杂性。 • 一般情况下，二阶精度的差分格式能提供足够 的精度。 • 对于一维波动方程，二阶精度的显格式如 Lax-Wendroff格式在计算资源消耗少的情 况下能给出很好的数值解。隐格式在相对较小 的时间步长情况下，计算中可能导致一些不稳 定解，且需要存储中间时间层上的值和求解方 程组，消耗较多的计算资源，不一定是最优的 原则。
为了使其为稳定差分方法，修正如下
：
因此，此差分方程不一定总相容于PDE，当 则相容，为条件相容。
t 0, x 0 x
t 0, x 0
2
t
0
?
时，v保持为常数，
Lax差分方法的耗散性和色散性分析
当v不为1时，耗散性很强。
理解下图？？？
Euler差分方法（如下）不稳定
其辐角误差为：
因此相对相位误差（relative phase shift error）（见图4.3）为：
因此，当
1 e 1 e
leading phase error lagging phase error
solution : u ( x, t ) sin[6 ( x ct )]
（4-2）
泰勒展开：
n n 1 u u 在 j 处展开， j 在 u n j 处展开，
utt j 在 utt nj 处展开，相减后 泰勒展开：
n 1
（4.57）式两式相减，并整理得：
双曲型方程的差分方法I
at n
h a 0
x j nh x j an x j
其中 .
a 0 0 a 1
h
a 0 x j an x j 不收敛
P
n
D
D'
C
D'
21
右偏心格式C.F.L条件
unj 1 unj
不稳定，C.F.L条件仍为
| a| 1，
C.F.L条件下不收敛
26
课堂练习
1. 试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏
心格式、中心差分格式的C.F.L条件。
27
5.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式
x k 1 x
x xk
（两点式），
L1 ( x )
yk
yk 1
xk 1 x k
2
2
2
2
2
a 1,|G( ,k )| 1,Von Neumann 条件满足
条件稳定
7
a 0
v
n 1
u
n1
j
u
n
j
a
u
n
j 1
u
n
j
h
((1 a ) a e )v
ikh
,
n
| G( k , ) |2 (1 a a cos kh)2 a 2 2 sin 2 kh
( , t n )
3
x j 2 t
6
x
t
n
2
3
2u
ah2 3 u
(x j , )
7_双曲型方程的差分方法(II)
a 如果 | | M，x R，t [0，T ] x
n 那么由中值定理有： | an a j 1 j 1 | 2 Mh
从而有 || u n 1 ||h （ 1 M） || u n ||h
2 2
重复使用上面的式子有 || u ||h e
n 2 MT
|| u ||h ，n T
u u u 1 u 1 A 0 S S A 0 t x t x w w 1 u 1 1 u S S ASS 0 0 t x t x
非耦合系统
w S 1 u
2
1 1 1 取S 2 1 1 w1 u1 u2 1 1 1 0 1 1 S AS u, 即 , w S u 0 1 w2 u1 u2 1 1
l (G ) 1 il sin kh |l |( cos kh 1)
kh 2 |l (G )| (1 2 |l |sin ) 2l2 sin 2 kh 2 2 kh 1 4 |l |(1 |l |)sin 2 (G ) 1 max|l | 1
1 l 0
(A) 1
即 (A) 1 时 满足Von Neumann条件
为格式稳定必要条件
(A) 1
为稳定充要条件
证明： G(k , ) cos kh I i sin kh A 由于 S 1 AS Λ
Λ diag(1 ,2 ,
1
a(x,t)<0 见下图
a(x,t)>0 见上图
可将常系数方程的差分 格式推至变系数方程：
(1) Lax Friedrichs格式：
u
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
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（4）
从(3)可以看出差分方程(2)是一五点差分格式。 非正则内点处建立不等距差分方程：
1 ( h1 h1 ) / 2
x ( Ai , j (uij ) x ) h1 y ( Bi , j ui , j ) Cij (uij ) xˆ
2
E u F Dij (uij ) y ij ij ij
ai 1, j ai , j 1 a i 1, j ai , j 1 aij Eij 0 ；
将(3)改写成
Lhuij aij uij ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 Fij
其中
1 ( h1 h1 ) / 2
A x ( Ai , j (uij ) x ) ( h 1 h ) / 2 i
1 1
ui 1, j uij
1, 2
j
h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui 1, j h1
和
u
ij x ˆ
ui 1, j ui 1, j h1 h1
（5）
并将网格内点按适当次序排列，例如从左下角网点开
始，按由左向右、由下向上的顺序排列，得一线性代 数方程组，其系数矩阵 A 有：
a7,7 a7,8 0 0 0 a8,7 a8,8 a8,9 0 0 a9,8 a9,9 a9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a7,13 0 0 0 0 0 0 0 0 a8,14 0 0 0 0 0 0 0 0 a9,15 0 0 0 a22,16 0 0 0 a22,21 a22,22
课件编写者： 冯仁忠
§ 5 变系数方程的差分格式
学习内容：二阶线性椭圆偏微分方程的五点差分 格式的构造、截断误差的估计和差分方程组的系数矩 阵 A 的性态分析。 二阶椭圆偏微分方程的第一边值问题：
( Au x ) x ( Bu y ) y Cu x Du y Eu F , （1） u | ( x, y ) G
Dij uij ˆ Eij uij Fij ,
y 1 2 h1
x ( Ai , j xui , j ) h1 y ( Bi , j y ui , j ) Cij uij xˆ
2 2
(2)
其中
x ( Ai , j x (ui , j )) Ai , j (ui 1, j ui , j ) Ai , j (ui , j ui 1, j ), uij xˆ
1 h1 Ai 1 ,j 2
ui1, j ui , j h1
Ai 1 , j
2
ui , j ui1, j h1
B
1 h2
ui , j 1 ui , j j 1 2 h2
i,
Bi , j 1
ui , j ui , j 1 h2
2
F
。
因而该不等距差分方程也同样能写成(3)的形式，差 分逼近阶为 O(h1 h2 ) 。 二、差分方程的特征分析 当 h1 , h1 , h2 , h2 充 分 小 时 ， (3) 中 的 左 端 系 数
ai 1, j , ai , j 1 , ai 1, j , ai , j 1 和 aij 是正的，且成立
1） A 每行至多五个非零元素，是一稀疏矩阵； 2） A 的对角元素是正的，非对角元素是非正的， 非对角元素绝对值之和不超过对角元素，当点 (i,j)为非正则内点时，差分方程左边至少有 一个界点,将对应此界点的项 a p u p 移至右边， 方 程左边相应地令 ap=0，在 A 中对应行是严格对 角占优，所以 A 是可逆的; 3） 若微分方程(1)对称， 即 C=D=0,则 A 也对称 （此 时要求非正则内点格式为修正型） 。
其中
1 ai 1, j h12 ( Ai 1 , j h Cij ), 2 2 2 ai , j 1 h2 ( Bi , j 1 h22 Dij ), 2 2 1 ai 1, j h1 ( Ai 1 , j h Cij ), 2 2 2 ai , j 1 h2 ( Bi , j 1 h22 Dij ) 2 2 2 a h1 ( Ai 1 , j Ai 1 , j ) h2 ( Bi , j 1 Ai , j 1 ) Eij 2 2 2 2 ij
ij
1 2 1 2
ui 1, j ui 1, j 2h1 ui , j 1 ui , j 1 2h2
y ( Bi , j y (ui , j )) Bi , j (ui , j 1 ui , j ) Bi , j (ui , j ui , j 1 ), uij y ˆ
其中 A( x, y ), B( x, y ) C1 (G ), C ( x, y), D( x, y), E ( x, y), F ( x, y)
C (G ), C (), 且A( x, y ) Amin 0, B( x, y ) Bmin 0, E 0.
矩形网剖分：步长分别为 h1和h2 。 点集的符号： Gh 表示网格内点集合， h 表示网格界 点集合， Gh Gh h 。 一、差分方程的构造 正则内点 ( xi , y j ) 处的差分方程：
u7 F7 a7,1u1 a7,6u6 F a u u 8 8,2 2 8 u9 F9 a9,3u3 u F a u a u 22 22 22,23 23 22,28 28
1 2 1 2
2 2 截断误差 Rij (u ) O(h1 h2 ) 。
差分方程（2）的变形：
ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai 1, j ui 1, j ai , j 1ui , j 1 ai , j ui , j Fij （3）