3.1.2 函数的单调性(3)
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《函数的单调性》第一课时的学习，使学生能够：1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 能够通过实例分析，加深对函数单调性在实际问题中应用的理解。
3. 培养学生的数学逻辑思维和问题解决能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的含义，掌握判断函数单调性的基本方法。
2. 练习题：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和解答题，涵盖函数单调性的基本概念、判断方法和应用。
（1）选择题：挑选出几个典型的函数图像，让学生判断其单调性。
（2）填空题：提供未完成的问题，要求学生根据函数单调性的定义完成填空。
（3）解答题：设计实际问题的情境，要求学生运用函数单调性的知识解答。
3. 拓展应用：设计一些涉及函数单调性的实际问题，如经济学中的成本函数、市场营销中的价格与销售量关系等，以提高学生运用知识解决实际问题的能力。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性。
2. 学生在完成练习题时，应注重理解题目背后的数学原理和解题思路。
3. 对于拓展应用部分，学生需结合实际情境，运用所学知识进行分析和解答。
4. 作业需字迹工整，步骤清晰，答案完整。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的准确性和解题思路进行评价，对正确答案进行批改和点评。
2. 对于解题思路有创新或独特见解的学生，给予鼓励和表扬。
3. 对于作业中出现的错误，教师需进行详细指导，帮助学生找出错误原因并改正。
五、作业反馈1. 教师将根据学生作业的完成情况，进行针对性的教学调整，以提高教学效果。
2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和答疑。
3. 对于个别学生的问题，可通过课后辅导或线上交流的方式进行个别指导。
4. 定期收集学生对于作业设计的反馈意见，以便不断优化作业设计，提高学生的学习效果。
函数的单调性及凹凸性
x 的增大而增大，即 f (x) 是单调增加的
则
f (x) 0
当曲线弧是凸时，切线的斜率随着 x 的 增大而减小，即 f (x) 是单调减少的
则
f (x) 0
高等数学应用教程
3.1.3 函数的凹凸性
讨论函数 f (x) 凹凸性的问题时， 可先求出使 f (x) 0 的点及 f (x) 不存在的点，这些点把 f (x) 的定
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
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3.1.1 拉格朗日中值定理
3.1.1 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理几何意义
曲 线 y f (x) 上 至 少 有 一 点
M (, f ( )) 的切线的斜率 f () 等 于 线 段 AB 的 斜 率
义域划分为若干个区间，确定各个 区间上二阶导数 f (x) 的符号，即 可得出函数 f (x) 的凹凸区间及拐点.
高等数学应用教程 例4 解
列表讨论如下
3.1.3 函数的凹凸性
由表 3-2 可知，曲线在区间 (,0] 和 区间 [1, ) 上是凹的，在区间[0,1] 上 是凸的，拐点为点 (0,1) 和 (1,0) .
反之,也有类似结论,从而有以下函数单调性的判定定理
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3.1.2 函数的单调性
而 即
高等数学应用教程
例2 解
3.1.2 函数的单调性
这两点把定义域分成3个小区间，列表讨论如下
高等数学应用教程 例3 解
3.1.2 函数的单调性
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3.1.2 函数的单调性
《3.1.2函数的单调性》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《3.1.2 函数的单调性》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生巩固和深化对“函数的单调性”的理解，通过实际操作和练习，掌握判断函数单调性的方法和技巧，为后续学习打下坚实的基础。
二、作业内容1. 基础知识巩固- 要求学生复习函数单调性的定义，理解增函数和减函数的概念，并能够正确使用数学语言描述函数的单调性。
- 布置相关练习题，如填空题和选择题，考察学生对基本概念的掌握情况。
2. 函数单调性判断- 指导学生通过图像、导数、差分等方法判断函数的单调性。
- 设计一定数量的应用题，让学生在具体情境中应用单调性的概念。
3. 函数单调性与实际生活的联系- 通过实例分析，如气温变化、商品销售量与价格的关系等，让学生理解函数单调性在实际生活中的意义。
- 要求学生分析生活中的一些现象，用数学语言表达其单调性，并给出简要的解释。
4. 综合练习- 设计一组综合题目，涵盖函数单调性的判断、计算和实际应用等内容。
- 要求学生独立完成综合练习，并在课堂上进行讨论和交流。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证答案的准确性和规范性。
2. 对于每个题目，学生需写出详细的解题步骤和思路，以便于教师了解学生的掌握情况。
3. 学生在完成作业过程中，应注重理解题目的意图和解题方法，而不仅仅是追求答案的正确性。
4. 对于涉及图像的题目，学生需使用数学软件绘制准确的函数图像，并标注关键点。
5. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。
四、作业评价1. 教师将根据学生的答案，对学生的理解和应用能力进行评估。
2. 教师将对解题步骤和思路的规范性、准确性和完整性进行评价。
3. 对于有创意的解题思路和方法，教师将给予额外的加分和表扬。
4. 对于存在的问题和不足，教师将给出具体的指导和建议。
五、作业反馈1. 教师将在课堂上对作业进行讲解和点评，帮助学生纠正错误并加深理解。
2. 学生需根据教师的反馈和建议，对作业进行修正和完善。
第三章-3.1.2-函数的单调性高中数学必修第一册人教B版
（2） =
2 2 −3
.
【解析】因为 =
2 2 −3
3
= 2 − ，且函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，
（切勿认为定义域为）
3
3
又函数 = 2和 = − 在区间 −∞, 0 上均单调递增，所以 = 2 − 在区间
−∞, 0 上单调递增.
同理可得 = 2
3
[ , 4),
2
4, +∞ .1源自又 = 在 ∈ −∞, 0 和(0,
=
25
]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数
4
1
3
的单调递增区间为[ , 4)和
4+3− 2
2
4, +∞ ．
例13 设 是定义在上的函数，对, ∈ ，恒有
( + ) = ⋅ ≠ 0, ≠ 0 ，且当 > 0时，0 < < 1.
−
2 +
2 +
→2.作差.
∵ > > 0,2 > 1 > −,
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,→4.定号.
即 1 > 2 ,∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.→5.下结论.
递增
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
以 =
1
为例，
在 −∞, 0 和 0, +∞ 上均单调递减，但在整个区间上并不是减
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。
(3) 举例说明函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。
(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。
1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。
教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。
(3) 举例说明函数单调性性质的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。
(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。
教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。
(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。
(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。
函数的单调性课件(共17张PPT)
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
19-20 第3章 3.1.2 第1课时 单调性的定义与证明
3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
-
2
学习目标
核心素养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能 单调 养数学抽象、逻辑推理、直
性．(重点)
观想象素养．
2．会用函数单调性的定义判断(或证明) 2．利用求单调区间、最值、
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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数， 其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
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合作探究 提素养
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定义法证明(判断)函数的单调性
【例 1】 证明：函数 f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2 ―→ 作差：fx1－fx2 ―变―形→ 判号：fx2>fx1 ―结―论→ 减函数
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(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
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1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
[解] 由题意可知，
2x－3>0，
5x－6>0， 2x－3<5x－6，
解得x>32.
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(2) y f x在I上是减函数 f 0在I上恒成立.
x
定义：
当x1 x2时，fx
f x2 f x1叫做函数
x2 x1
y f x在区间[x1, x2 ]x1 x2 或
[x2 , x1]x2 x1 上的平均变化率。
例1、证明y 2x在 ， 上是减函数。
解：对任意的 x1, x2 ,，且 x1 x2
与x轴关系是__垂__直___.直线AB的斜率反映了
_A__B_相__对__于_x_轴__的__倾__斜__程_度___.
记x x2 x1,相应的y y2 y1,当x 0时， 斜率k y x
若I是函数f x定义域的子集，对任意 x1, x2 I 且x1 x2,记y1 f x1, y2 f x2 ,则： (1) y f x在I上是增函数 f 0在I上恒成立；
3.1.2 函数的单调性（3）
复习提问： 1. 增函数，减函数 2. 单调函数
3. 函数的最值
函数的平均变化率
设 Ax1, y1, Bx2, y2 任意两点，当 x1 x2时，
称 y2 y1 为直线AB的斜率，即：k y2 y1
x2 x1
x2 x1
当 x1 x2 时，称直线AB的斜率不存在。此时AB
由此可得：A,B,C三点共线 AB、AC斜率相等
练习1、教材P102，A,5 练习2、教材P103，B,7 练习3、教材P110，习题3 -1A，6
三、课堂小结 四、作业
f x2 f x1 2x2 x1 2 0
x2 x1
x2 x1
f x 2x在 ,上是减函数。
练习：求证y 1 在 ，0和0， 上都是减函数。
x
例2：
判断一次函数 y kx b（k 0）的单调性。 (1)k 0时，函数在 R上单调递增； (2)k 0时，函数在 R上单调递减。