高三第一轮复习 导数的概念及几何意义
高三数学一轮复习导数知识点
高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。
导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。
本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。
对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。
简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。
二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。
掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。
下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。
2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。
3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。
6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。
通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。
三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。
在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。
下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。
重庆市万州分水中学高考数学一轮复习 第三章第一节 导数的概念、几何意义及运算指导课件 新人教A版
值，m＝
的近似代替值f(4.008)≈f(4)＋f′(4)(4.008－4)＞m.
【答案】 C
类型 导数的几何意义不清致误
【例】 求曲线y＝x3＋3x2－5过点M(1，－1)的切线方程．
【正解】 ∵y＝x3＋3x2－5，∴y′＝3x2＋6x. 设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3x＋6x0，曲线在点P处的切线方程 为y－y0＝(3x＋6x0)(x－x0)． 又切线过点M(1，－1)，则－1－y0＝(3x＋6x0)(1－x0)， 整理得y0＝3x＋3x－6x0－1. ∵点P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x＋3x－5. ∴x＋3x－5＝3x＋3x－6x0－1， 整理得x－3x0＋2＝0，即(x0－1)2(x0＋2)＝0. 解得x0＝1，或x0＝－2，∴切点为P(1，－1)，或P(－2，－1)，故 所求的切线方程为9x－y－10＝0，或y＝－1.
∵y＝2x2，∴y′＝4x，y′|x＝x0＝4x0.
令kAD＝
＝4x0，得x0＝1，此时D(1,2)，kAD＝
＝4.
直线AD的方程为y＝4x－2. 要实现不被曲线C挡住，则实数a＜4×3－2＝10.
即实数a的取值范围是(－∞，10)．
答案：D
二、填空题 6．曲线f(x)＝sinx＋ex＋2在x＝0处的切线方程为_____________．
答案：(n＋1)e 5．(文)已知函数f(x)＝－ sinπx，且f′(1)＝2，则a的值为________． 解析：∵f′(x)＝－acosπx，∴f′(1)＝－acosπ＝a＝2. 答案：2 (理)(2009年湖北卷)已知函数f(x)＝f′( )cosx＋sinx，则f( )的值 为________． 解析：∵f(x)＝f′( )cosx＋sinx，∴f′(x)＝－f′( )sinx＋cosx
高三一轮复习导数的概念、几何意义及导数的计算 (1)
第十四课时 导数的概念、几何意义及导数的计算考纲要求：1.导数的概念(A) 2.导数的几何意义(B) 3.导数的运算(B)知识梳理：1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x＝x 0，即f ′(x 0)＝(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数． 2．导数公式及运算法则(1)(2)①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 基础训练：1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )(4)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( ) (5)(3x )′＝3x ln 3.( )(6)⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是________．解析：∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝03．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝x 3－1sin x. 答案：(1)y ′＝e x (nx n －1＋x n )．(2)y ′＝3x 2sin x －(x 3－1)cos x sin 2x.[典题1] 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x； (3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；解析： (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12， ∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2＝ (ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.小结：导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．[典题2](1)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 016)＋2 016ln x ，则f ′(2 016)＝________. 解析：(1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 016)＋2 016x， 所以f ′(2 016)＝2 016＋2f ′(2 016)＋2 0162 016， 即f ′(2 016)＝－(2 016＋1)＝－2 017.答案：(1)3 (2)－2 017注意：在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．练习：1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.答案：－22．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________．解析：因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为________．(2)设曲线y ＝e x ＋12ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则实数a ＝________. (3)已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.①求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；②求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析：(1)由于y ′＝e －1x，所以y ′x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)∵与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线斜率为2，∴f ′(0)＝e 0＋12a ＝2，解得a ＝2. (3)①∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.②设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.答案：(1)(e －1)x －y ＋1＝0 (2)2注意：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．角度二：求切点坐标[典题4] 设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析： y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)小结：已知斜率k ，求切点A (x 0，f (x 0))，即解方程f ′(x 0)＝k .角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.(2)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.(3)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：(1)∵两曲线的交点为(0，m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝a ，m ＝1，即a ＝1， ∴f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则f ′(0)＝0，f (0)＝1.又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)法一：∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12，a ＝8.答案：(1)1 (2)1 (3)8小结：(1)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．(2)当切线方程中x (或y )的系数含有字母参数时，则切线恒过定点．总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．注意：1．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．4．曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.课后作业：1．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为________．解析：由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x x ＝0＝e 0＝1.答案：12．已知函数f (x )＝1xcos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π3．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于________．解析：∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1. 答案：－14．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝12，即x 0＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线y ＝12x ＋b 上，∴ln 2＝1＋b ，即b ＝ln 2－1. 答案：ln 2－15．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为________．解析：因为定义域为(0，＋∞)，所以y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. 答案：26．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.答案：e7．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意知，A (2,8)在y ＝x n 上，∴2n ＝8，∴n ＝3，∴y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2,8)．∴y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.答案：12x －y －16＝08．在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x 上，且在第二象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1，又∵点M 在第二象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)＝0，∴M 点的坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)9．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a ＝－13x3(x >0)，故a ∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)10．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278. 答案：27811．函数f (x )＝e x ＋x 2＋x ＋1与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，P ，Q 分别是函数f (x )，g (x )图象上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：因为f (x )与g (x )的图象关于直线2x －y －3＝0对称，所以当f (x )与g (x )在P ，Q 处的切线与2x －y －3＝0平行时，|PQ |的长度最小．f ′(x )＝e x ＋2x ＋1，令e x ＋2x ＋1＝2，得x ＝0，此时P (0,2)，且P 到2x －y －3＝0的距离为5，所以|PQ |min ＝2 5.答案：2512．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．解析：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝a x (x >0)， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x＝a x ，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.答案：e 2x －2e y ＋e 2＝013．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52. 15．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k≥－1， 解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
导数的计算(一轮复习)
5.曲线 y＝9x在点 M(3,3)处的切线方程是 x＋y－6＝0 . 解析 ∵y′＝－x92， ∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0.
12345
10.已知抛物线 y＝x2，求过点－12，－2且与抛物线相切的直线方程.
12345
2.已知 f(x)
解析
f(x)＝
x，得
f′(x)＝
1
-
x
1
2，
2
∴
f
8 =
1
-
8
1 2
2
2
8
12345
D.－1
3.(多选)下列结论正确的是
√A.若 y＝3，则 y′＝0 √C.若 y＝ x，则 y′＝21 x
B.若
y＝
1 ，则 x
y′＝－12
x
√D.若 y＝x，则 y′＝1
解析 只有B是错误的.
因为y
1 x
'
1
x2
'
1 2
3
x2
1 2x
x
12345
4.已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝ 1 .
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120， 所以x0＝1.
一点的函数值
思考辨析 巩固知识
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(√ ) 3.函数f(x)＝0没有导数.( × ) 4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.( × )
专题四+4.1导数的概念及运算课件——2023届高三数学一轮复习
1 3
,
0
,C
0,
1 4
,则S△BOC=
1 2
×
1 3
×
1 4
=
1 24
.
综上,△BOC的面积为 4 或 1 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线 y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2 答案 C
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程 为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 答案 D
D.a=e-1,b=-1
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
解析 由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点 (π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 C
例2 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=
,即f
'(x0)=
lim
x0
y x
=
. lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
x
注意:f '(x)与f '(x0)的区别与联系:f '(x)是一个函数,f '(x0)是函数f '(x)在x0处
导数的概念及其意义、导数的运算课件-2023届高三数学(文)一轮复习
所以4am22＝a－aln m， 由于 a>0，所以4ma 2＝1－ln m， 即a4＝m2(1－ln m)有解即可. 令h(x)＝x2(1－ln x)(x>0)， h′(x)＝x(1－2ln x)，
所以 h(x)在(0， e)上单调递增，在( e，＋∞)上单调递减，最大值为 h( e)＝2e，
解得 a＝1 或 a＝－34(舍去)， 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m， 可得m＝1.
64 (2)不与x轴重合的直线l与曲线f(x)＝x3和y＝x2均相切，则l的斜率为__2_7_.
设直线 l 与曲线 f(x)＝x3 相切的切点坐标为(x0，x30)， f′(x)＝3x2，则 f′(x0)＝3x20， 则切线方程为 y＝3x20x－2x30， 因为不与x轴重合的直线l与曲线y＝x3和y＝x2均相切，
题型一 导数的运算 例 1 函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝ 3π62＋23π .
f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋12f′π3， ∴f′π3＝43π， ∴f π6＝3π62＋23π.
教师备选
例 2 （ 1 ） 在 等 比 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ 2 ， a8 ＝ 4 ， 函 数 f(x) ＝ x(x － a1)(x －
例6 (1)(2022·驻马店模拟)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，
直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a
等于 A.0B.－1Fra bibliotekC.3
√D.－1或3
导数的概念及其几何意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习
A．e+e1＋2 B．－e+e1＋2
C．2
D．－2
答案：B
解析：因为f(x)＝ln x－f′(1)ex＋2， 则f′(x)＝1x－f′(1)ex， 则f′(1)＝1－f′(1)e， 即则ff′((11))＝＝－e+1e1+e，1＋2.故选B.
5 ． ( 易 错 ) 过 原 点 与 曲 线 y ＝ (x － 1)3 相 切 的 切 线 方 程 为 _y_＝__0_或_2_7_x_－__4_y＝__0__．
A．12 B．20 C．10 D．24
答案：D
解析：由题意得f′(x)＝3x2－2，故f′(2)＝3×4－2＝10，则f(x)＝x3－2x＋20，故 f(2)＝8－4＋20＝24.故选D.
题后师说
巩固训练1
(1)(多选)[2024·吉林长春模拟]已知下列四个命题，其中不正确的是
()
A．(e2x)′＝2e2x
3
．
(
教
材
改
编
)
曲
线
y
＝
x2
＋
3 x
在 点 (1 ， 4) 处 的 切 线 方 程 为
____x_＋_y_－__5_＝_0_____．
解析：∵y′＝2x－x32， ∴y′|x＝1＝2－3＝－1. ∴所求切线方程为y－4＝－(x－1)， 即x＋y－5＝0.
4．(易错)已知函数f(x)＝ln x－f′(1)ex＋2，则f(1)＝( )
(1)
1 fx
′＝__－__ff′_xx_2__(f(x)≠0)．
(2)[exf(x)]′＝_e_x[_f_(x_)_＋_f_′(_x_)]_．
f′ x − f x
(3)
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件
1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2
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。
3、函数 y f (x) 的图像在点 P(1, f (1)) 处的切线方程是 y 1 x 2 ，则 f (1) f ' (1) 。 2
4、计算下列函数的导数：
（1） y (2x2 3)(3x 2) ；
二、能力提升训练
（2） y x 1 ； x 1
（3） f (x) ex ln x 。
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
是函数 y
f (x) 在点 x0 处的
，它反映
函数 y f (x) 在点 x0 处变化的“快慢”程度．
3、利用定义求导数 f (x0 ) ，步骤为：
S1：求函数的增量 y
；
S2：求平均变化率 y
；
x
S3：可直接取 x 0 得导数 f (x0 )
在由条件求解 即可。
解：由已知得
，所以
。所以直线 的斜率为 3。
设直线 与为
所以切点 B（
）。
所以直线 的方程为
。
一、双基巩固训练
1、若 f x x2 3xf 2 ，则 f 2
训练案 .
2、已知曲线 f (x) x 2 2x 在 x 1的导数 f (1) = ，在点 P(1,1) 处的切线方程
x
率．即所谓平均变化率也就是
的“增量”与
，此比值就称为平均变化 的“增量”的比值．
（二）导数的概念
1、函数
y
f
(x) 在
x
x0
处的瞬时变化率是
lim
△x0
△y △x
y f (x) 在 x x0 处的导数，记作 f ' (x0)或y' |xx0 ，即：
，我们称它为函数 ．
2、导数
f
/ (x0 )
预习案 一、考点知识梳理
（一）变化率问题
1、设 y f (x) ，x1 是数轴 x 上的一个定点，在数轴 x 上另取一点 x2 ，x2 与 x1 的差记为 x ，即 x =
或者 x2 =
， x 就表示从 x1 到 x2 的“增量”，相应地，函数值的“增量”记为 y ，即
y =
；如果它们的比值 y ，则上式就表示为
．
24
3、求下列函数的导数：
（1） y x 1 ； x
（2） y 1 ； x
三、自主复习记录
我的疑问：
我的收获：
探究案
一、合作探究
探究 1．求曲线 y 1 x2 在点 P(2,1) 处的切线的斜率和倾斜角。 4
（3） f (x) (2ex)2 。
探究 2．求下列函数的导数：
（1） f (x) e2x ；
2、导数的四则运算法则：
（1）[ f (x) g(x)]'
； （2）[ f (x) g(x)]'
；
（3）[ f (x) ]'
； （4）[c f (x)] =
．
g(x)
（四）导数的几何意义
函数 y f (x) 在 x x0 处的导数 f ' (x0 ) 的几何意义是曲线 y f (x) 在点
二、总结整理 【思维导图】
平均速度 【思路归纳】
瞬时速度
平均变化率 瞬时变化率
割线斜率 切线斜率
【典题示例】已知直线 为曲线 导数
⊥ 。求直线 的方程。
在点（1,0）处的切线， 为该曲线的另一条切线，
基本初等函数导数公式 导数运算法则
解题探究：先求出直线 的方程，再设出曲线与 相切的切点坐标，表示出直线 的方程，
．
4、从求函数 f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时， f ' (x0 ) 是
，这
样当 x 变化时， f ' (x) 是 x 的
（三）求导公式及运算法则
,称它为 f (x) 的
（简称导数）．
1、基本初等函数的导数公式
函数 f (x)
导函数 f (x)
函数 f (x)
导函数 f (x)
1．若函数
在
处的导数值与函数值互为相反数，则 =
.
2．已知函数
，
。若函数 和 的图像都过点 P（0,1），
且在点 P 处有相同的切线 y=2x+1，求 a，b，c，d 的值。
3．已知函数 在 R 上满足
，求曲线
在点
处
的切线方程。
三、学习体验分享
4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【学习目标】 1．能说出导数的几何意义，能记住求切线方程的方法。 2．会运用导数的定义求 5 种特殊函数的导数。 3．会用导数公式与四则运算法则求函数的导数。 【复习重点】 1．求曲线的切线方程。 2．运用导数公式求函数的导数。 【使用说明及学法指导】 1．认真阅读考试大纲和教材相关内容，自主完成知识梳理和基础自测题； 2．熟记变化率、割线斜率等基础知识，弄清切线斜率、求导公式等重要考点，理会解决求切线 方程问题的思路与方法。
线斜率，即 k =
，所以曲线 y f (x) 在此点处的切线方程是
处的切 ．
二、基础知识自测
1、已知 A(1, f (1)), B(2, f (2)) 是函数 f x x3 x 图像上两点，则 f x 在1, 2上的平均变化率
是
，直线 AB 的方程是 ___
____．
2、曲线 y x2 在点 ( 1 , 1) 处切线的斜率为 ，倾斜角为 ，切线方程为
（4） y x x 1x 1；
（2） f x ex ；
x
（5） f x text ．
（3） y x ln x ；
探究 3．已知函数 f (x) x3 bx2 cx d 的图象过点 P(0,2) ，且在点 M 处 (1, f (1)) 处的切
线方程为 6x y 7 0 ，求函数 f (x) 的解析式。
高三一轮导学案 学科 数学 编号 11 编写人 黄伟燕 审核人 文备组 使用时间
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小组
姓名
代号
评价
文科数学专题复习 11——导数的概念及运算
【高考要求】 1．了解导数概念的实际背景。 2．通过函数图像直观理解导数的几何意义。
3．能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数)， y x, y 1 ，y x2, y x3, y x 的导数。 x