2016-2017学年高中数学人教版必修5课件：3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
分)
[名师批注] 学生常出现解集不用集合表示的失误.
[活学活用] 已知一元二次不等式 x ＋px＋q＜0 不等式 qx2＋px＋1＞0 的解集．
2
1 1 的解集为x|－2＜x＜3，求
解：因为 x ＋px＋q＜0
2
1 1 的解集为x|－2＜x＜3，
1 1 所以 x1＝－ 与 x2＝ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两个实数根， 2 3 1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1×－1＝q， 3 2 1 p＝6， 解得 q＝－1 . 6
解析：原不等式化为 x(x－2)＜0，故 0＜x＜2. 答案：D
2． 已知集合 M＝{x|x2－3x－28≤0}， N＝{x|x2－x－6＞0}， 则 M∩ N 为 A．{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7} B．{x|－4＜x≤－2 或 3≤x＜7} C．{x|x≤－2 或 x＞3} D．{x|x＜－2 或 x≥3} ( )
问题 2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？
提示： 形如 ax2＋bx＋c>0(或≤0)， 其中 a， b， c 为常数， 且 a≠0.
[导入新知] 1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是 2 的 不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2 ＋bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x 的值 ，叫做这个一元二次不等式 的 解 ，其解的集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 .
[化解疑难] 1． 定义的简单应用： 判断一个不等式是否为一元二次不等式， 应严格按照定义去判断，即未知数只有 1 个，未知数的最高次数 是 2，且最高次的系数不能为 0. 2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集 合或区间的形式.
一元二次不等式的解法
[提出问题] 已知：一元二次函数 y＝x2－2x，一元二次方程 x2－2x＝0， 一元二次不等式 x2－2x＞0. 问题 1：试求二次函数与 x 轴交点坐标．
1 所以原不等式的解集为x|x＞－2，或x＜－3.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
92 (3)原不等式可化为2x－2 ≤0， 9 所以原不等式的解集为x|x＝4.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0， 所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根， 又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为∅. (5)原不等式可化为 2x2－3x＋2＞0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
2
结合二次函数 y ＝ 9x2 － 12x ＋ 4 的图象知，原不等式的解集为
2 x|x≠ . 3
解含参数的一元二次不等式
[例 2] 解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.
[解 ]
方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数
y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上， 则当 a＜－1 时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式的解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}．
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是 由不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的 部分，是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的，三者之间 相互依存、相互转化．
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0 可变为－2x2＋3x－1＞0， 1 即 2x －3x＋1＜0，解得 ＜x＜1. 2
2
∴不等式 ax ＋bx－1＞0
2
1 的解集为x|2＜x＜1.
5.有关三个“二次”关系的不等式的解法
[典例] (12 分)已知关于 x 的不等式 ax2＋bxax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a＝________.
提示：(0,0)，(2,0)．
问题 2：一元二次方程的根是什么？
提示：x1＝0，x2＝2.
问题 3：问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系？ 提示：交点的横坐标为方程的根．
问题 4：观察二次函数图象，x 满足什么条件，图象在 x 轴上方？ 提示：x＞2 或 x＜0.
问题 5：能否利用问题 4 得出不等式 x2－2x＞0，x2－2x ＜0 的解集？ 提示： 能， 不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜0}， {x|0＜x＜2}．
解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2 或 x＞3}， ∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2 或 3＜x≤7}． 答案：A
3．二次函数 y＝x2－4x＋3 在 y＜0 时 x 的取值范围是________．
解析：由 y＜0 得 x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3. 答案：(1,3)
(4 分)
[名师批注] 不注意判断 a 的符号，误认为 a＞0.
5 解得 a＝c，b＝ c.(6 分) 2 所以不等式 ax2－bx＋c＞0 即 2x2－5x＋2＜0，(8 分) 1 解得 ＜x＜2. 2 即不等式 ax －bx＋c＞0
2
1 的解集为x2
＜x＜2.(12
判别式 Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)
Δ>0
Δ＝0
b xx≠－ 2a
Δ<0
x|x<x1 或 x>x2}
x|x1<x<x2
R
的解集
∅
∅
[化解疑难] 一元二次方程的根对应于二次函数图象与 x 轴的交点， 一元 二次不等式的解对应于二次函数图象在 x 轴上方(下方)，或在 x 轴上的点， 由此得出二次函数图象的开口方向及与 x 轴的交点情 况确定的一元二次不等式的图象解法， 这样就形成了二次函数与 一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
一元二次不等式与相应函数、方程的关系
[例 3]
已知关于 x 的不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x
＜2}，求关于 x 的不等式 bx2＋ax＋1＞0 的解集． [解] ∵x2＋ax＋b＜0 的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2 是 x2＋ax＋b＝0 的两根．
－a＝1＋2， 由根与系数的关系得 b＝1×2， a＝－3， 得 b＝2，
[活学活用] 1 已知方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2. 2
2
(1)求 a，b 的值； (2)解不等式 ax2＋bx－1＞0.
1 解：(1)∵方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根为－ 和 2， 2
2
b 1 －2＋2＝－a， 由根与系数的关系，得 －1×2＝2， a 2 解得 a＝－2，b＝3.
[类题通法] 解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
[活学活用] 解下列不等式： (1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6； (3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程 x2－5x－6＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝6.
一元二次不等式的解法
[例 1]
解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0； (2)x2－4x－5≤0； 81 (3)－4x ＋18x－ ≥0； 4
2
1 2 (4)－ x ＋3x－5＞0； 2 (5)－2x2＋3x－2＜0.
[解 ]
(1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
2
1 所以方程 2x ＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3， x2＝－ . 2 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上，
3.2
一元二次不等式及其解法
第一课时
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的概念
[提出问题] 观察下列不等式： (1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.
问题 1：以上给出的三个不等式，它们含有几个未知数？ 未知数的最高次数是多少？
提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是 2.
解：①m＝0 时，－3<0 恒成立，所以 x∈R. ②当 m>0 时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0， 3 1 3 1 即 x＋m x－m <0，解得－m<x<m. 3 1 ③当 m<0 时，原不等式变为x＋mx－m<0， 1 3 解得m<x<－m. 综上，m＝0 时，解集为 R； 3 1 m>0 时，解集为x|－m<x<m； 1 3 m<0 时，解集为x|m<x<－m.
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人教版高中数学必修五不等式3.2一元二次不等式及其解法(1)
∅
R
∅
2012年4月5日星期四
一元二次不等式
概念
解法
课时作业20
2012年4月5日星期四
2012年4月5日星期四
分析
这是什么？它有什么样的特征？
2012年4月5日星期四
这个不等式的特点：
一元二次不等式的概念
2012年4月5日星期四
探究1
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题
x
2012年4月5日星期四
探究2 下面我们通过实例，研究一元二次不等式的 解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
ax + bx + c = 0的解
2
x = x1 = x 2
方程无实数解
y = ax 2 + bx + c (a > 0)的图象
x
1
y
0
y
x
2
y
0
x
x =x
1
x
2
0
x
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0 的解集 ） ax 2 + bx + c < 0 (a > 0 ）
(− ∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞) (−∞, x1 ) ∪( x1 ,+∞ ) ( x1 , x 2 )
§3.2 一元二次不等式 及其解法
第一课时
2012年4月5日星期四
两个网络服务公司的资费标准分别是： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时 内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时 间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网 通所需费用少？
R
∅
2012年4月5日星期四
一元二次不等式
概念
解法
课时作业20
2012年4月5日星期四
2012年4月5日星期四
分析
这是什么？它有什么样的特征？
2012年4月5日星期四
这个不等式的特点：
一元二次不等式的概念
2012年4月5日星期四
探究1
在初中学习二次函数时， 我们曾解决过这样的问题
x
2012年4月5日星期四
探究2 下面我们通过实例，研究一元二次不等式的 解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。
ax + bx + c = 0的解
2
x = x1 = x 2
方程无实数解
y = ax 2 + bx + c (a > 0)的图象
x
1
y
0
y
x
2
y
0
x
x =x
1
x
2
0
x
ax 2 + bx + c > 0 (a > 0 的解集 ） ax 2 + bx + c < 0 (a > 0 ）
(− ∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞) (−∞, x1 ) ∪( x1 ,+∞ ) ( x1 , x 2 )
§3.2 一元二次不等式 及其解法
第一课时
2012年4月5日星期四
两个网络服务公司的资费标准分别是： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时 内收费1.6元，以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时 间超过17小时，按17小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网 通所需费用少？
《二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件
道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
变式训练
高中数学
ZHONGSHUXUE
3.对一切实数，关于的不等式 2 − + < 0 恒成立，
求实数的取值范围.
解：要使 2 − + < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时，原不等式化为−<0，解得 > 0,不合题意；
成立，求的取值范围.
解析
要使 2 − − 1 < 0对一切实数恒成立，
则有：
⑴当=0时， < 0 化为-1<0，恒成立,符合题意；
< 0,
⑵当≠0时，则有ቊ
, 解得−4 < < 0.
2
△=(−) + 4 < 0
综合两种情况可得的取值范围为 | − 4 < ≤ 0 .
对a是否为
①当a＝0时，b＝0，c<0；
零要进行
②当a≠0时， ቊ
> 0,
△ < 0.
讨论．
当堂练习
高中数学
ZHONGSHUXUE
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是( A )
A.
2
，2
3
C.
3
，2
2
2
B.ቀ−∞， ቃ∪[2，＋∞)
3
D.
2
− ，2
3
2
3
2
3
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得 ≤x≤2，故选A.
y = 2 + +
(>0)的图象
方程 2 + + = 0
（>0）的根
高中数学第三章不等式3.2第一课时一元二次不等式的解法高一5数学
故有xx－ ＋43>>00， 或xx－＋43<<00.， 解得x>4或x<－3， 所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>4}． 法二：原不等式化为xx－ ＋43>0，等价于(x－4)(x＋3)>0， ∴原不等式解集为{x|x<－3或x>4}．
12/13/2021
简单的分式不等式在求解时多化为
fx gx
解得pq＝＝－16，16 .
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－
1 6
x2＋1Biblioteka 6x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
12/13/2021
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴交点的横坐标．
图象知不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x
－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－
1 2
，x2＝1；
画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．
观察图象，可得原不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
一元二次不等式的2种方法 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋ bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求 解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解， 当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x< q.有口决如下“大于取两边，小于取中间”．
12/13/2021
简单的分式不等式在求解时多化为
fx gx
解得pq＝＝－16，16 .
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－
1 6
x2＋1Biblioteka 6x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
12/13/2021
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴交点的横坐标．
图象知不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x
－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－
1 2
，x2＝1；
画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．
观察图象，可得原不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
一元二次不等式的2种方法 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋ bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求 解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解， 当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x< q.有口决如下“大于取两边，小于取中间”．
【高中数学说课稿】人教A版数学必修5《一元二次不等式的解法(第一课时)》说课稿
一元二次不等式的解法（第一课时）说课稿
一、教材分析
１、教学内容
本节课是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修５第三章第二节《一元二次不等式及其解法》第１课时。
２、教材地位和作用
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出本现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
３、教学目标
知识目标：正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。
熟练掌握一元二次不等式的解法。
能力目标：培养数形结合思想、抽象思维能力和形象思维能力。
思想目标：在教学中渗透由具体到抽象，由特殊到一般，类比猜想、等价转化的数学思想方法。
情感目标：通过具体情境，使学生体验数学与实践的紧密联系，感受数学魅力，激发学生求知欲望。
４、重难点
重点：一元二次不等式的解法。
难点：一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系。
二、教法探讨
１、选择教法的原则和依据
根据学生的原有知识和现有的认知规律，以发展学生的能力和应试水平为原则。
２、教法选择
探究、启发诱导法，分层教学法。
重点以引导学生为主，让学生积极主动的参与到新知识的探究中去。
三、学法分析
结合本节内容和学生实际，适当引入研究性学习，采用讲练结合方法，通过阅读发现问题，分析探索，合作交流最终形成技能。
使学生在观察、思考、交流中体验数学学习的乐趣。
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
福建省人教版高二数学第三单元教案：3.2一元二次不等式及其解法
人教A版高中数学必修5《一元二次不等式及其解法》（第一课时）3.2一元二次不等式及其解法（一）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.2 一元二次不等式及其解法（一）一、教学目标知识目标：正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系，掌握一元二次不等式的解法；能力目标：通过看图象找解集，培养学生“从形到数”的转化能力和从“特殊到一般”的归纳能力；德育目标：学习“三个二次”的关系，体会事物之间普遍联系的辩证思想；情感目标：创设问题情境，培养学生的探索精神和合作意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：一元二次不等式的解法2.教学难点：理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系三、教学过程设计1.一元二次不等式概念的引入（1）创设情境，引入概念播放2014“新闻联播最萌结尾”，为学生创设如下问题情境：春天来了，熊猫饲养员计划在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。
现有可以做出20m栅栏的材料，要求使得活动室的面积不小于42m2，你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗？分析可得如下数学模型：设与墙平行的栅栏长度为x（0<x<20）则依题意得：整理得：x2师生活动：针对问题情境，在教师的引导下，展开课堂讨论，分析得出以上数学模型。
设计意图：舍弃课本上枯燥的收费问题，换用一个鲜活的实例吸引学生的注意力，激发学习兴趣，以便顺利导入新课。
（2）观察归纳，形成概念观察式子：x2-20x+84≤0抢答竞赛：（1）该式子是等式还是不等式？（2）该式中含有几个未知数？（3）未知数的最高次数是几次？通过抢答竞赛，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？定义：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
其一般形式为：ax2+bx+c＞0 (a≠0)ax2+bx+c＜0 (a≠0)ax2+bx+c≥0 (a≠0)ax2+bx+c≤0 (a≠0)师生活动：让学生观察所得式子，抢答以上三个问题。
人教版高中数学必修1《二次函数与一元二次方程、不等式》第1课时课件
题型三 “三个二次”之间对应关系的应用 【学透用活】
“三个二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一 元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系， 通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式．
()
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0. ( )
(3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点．
()
(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
人教版高中数学必修五第三章不等式基本不等式第一课时教学课件共16张PPT
合作探究，成果展示
合作探究，成果展示
合作探究，成果展示
法二 ：
合作探究，成果展示
c
【课堂小结】 本节课你的收获是什么？
【随堂检测 】
【作业布置 】
1.必做作业： 学案【巩固训练】
2.选作作业： 学案【拓展延伸】
（×）
反思总结: 使用基本不等式求最值应具备哪些条件?
利用
求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数.
（2）二定：两个正数积为定值,和有最小值. 两个正数和为定值,积有最大值.
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”, 否则会出现错误.
合作探究，成果展示
【课堂探究一】运用基本不等式求最值
。
【知识梳理】 1.基本不等式 可变形为
(1)
（当且仅当
时取等号）
;
(2)
.
2.已知 x >0,y>0,
(1)若xy=p（p为定值），则当
(2)若x+y=s（s为定值），则当
时，x+y有最 值 .
时，xy有最 值.【回顾题组来自】225
3.判断下列命题正误,错误的请说明理由.
1
1
5
5
（×）
（×） （×）
人教版高中数学必修五 第三章不等式基本不等 式第一课时教学课件共
16张PPT
2020/9/19
【学习目标】
1、准确掌握应用基本不等式求最值应具备的三个条件。
2、灵活运用基本不等式求一些函数（或代数式）的最值 。
3、体会转化与化归、消元等数学思想方法的应用。
【学习重点】运用基本不等式求最值。
【学习难点】创造条件使用基本不等式求数式的最值
2016-2017学年苏教版必修5高二数学3.2《一元二次不等式》
明目标、知重点
反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理 fx fx 成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤0)，再化成整式不等式来 gx gx 解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
明目标、知重点
跟踪训练 2 解下列不等式. 2x－1 (1) ≥0； 3x＋1
解
2x－13x＋1≥0， 原不等式可化为 3x＋1≠0.
第3章 不等式
Contents Page
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型， 并加以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
x>－3， 解得 1 x<－ 2
x<－3， 或 1 x>－ . 2
1 ∴－3<x<－2，
明目标、知重点
1 ∴原不等式的解集为 x－3<x<－2
.
方法二 原不等式可化为 2－x－x＋3 －2x－1 >0，化简得 >0， x＋3 x＋3 2x＋1 即 <0， x＋3 1 ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－2. 1 . － 3< x < － ∴原不等式的解集为 x 2
k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 上一节我们学习了一元二次不等式的解法，理解了三个
“二次”间的对应关系，那么它们有哪些应用？这是本节 我们要研究的主要内容.
反思与感悟 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理 fx fx 成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤0)，再化成整式不等式来 gx gx 解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可.
明目标、知重点
跟踪训练 2 解下列不等式. 2x－1 (1) ≥0； 3x＋1
解
2x－13x＋1≥0， 原不等式可化为 3x＋1≠0.
第3章 不等式
Contents Page
内容 索引
01
明目标 知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型， 并加以解决. 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
x>－3， 解得 1 x<－ 2
x<－3， 或 1 x>－ . 2
1 ∴－3<x<－2，
明目标、知重点
1 ∴原不等式的解集为 x－3<x<－2
.
方法二 原不等式可化为 2－x－x＋3 －2x－1 >0，化简得 >0， x＋3 x＋3 2x＋1 即 <0， x＋3 1 ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－2. 1 . － 3< x < － ∴原不等式的解集为 x 2
k≤f(x)恒成立⇔k≤ f(x)min .
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学 上一节我们学习了一元二次不等式的解法，理解了三个
“二次”间的对应关系，那么它们有哪些应用？这是本节 我们要研究的主要内容.