第七章 材料的弹性与内耗

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三、固溶体 • 溶质的作用既可使弹性模量下降，也可使 其提高，主要看其具体起到何种作用。 一般来说： (1)溶质形成点阵畸变，降低弹性模量； (2)溶质阻碍位错运动和弯曲，提高弹性模量； (3)当溶质与溶剂原子的结合力大于溶剂原子 的结合力时，使弹性模量提高；反之，则 下降。 P387-388 图7.8~7.10例子
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• 对于各向同性材料，当某一方向受单向拉（或压） 应力作用产生变形时，其横向尺寸也将发生变化， 两者的关系为：

( a a ) ( l ) l 泊松比，一般材料的 0.2 ~ 0.4。 上述三个弹性模量之间 ，存在以下关系： E G ; 2(1 ) E K ; 3(1 2 ) E 1 2G
0 2
0 0sin 1 设w为振动一周的总能量， 则有w 0 0 2 内耗的量度一般用 1表示，Q是振动系统的品质因素 Q ， 1 w Q sin tg 2 w
1
根据电磁谐振回路中品 质因素的定义及 w的表示式，可得 （因角很小）
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第七章 材料的弹性与内耗
P377 第七章材料弹性与内耗（阻 尼）性能
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§7-1 材料的弹性
• • 弹性理论是机械结构设计和计算的基础。 弹性常数与物质原子间的结合力和相变有 关。 • 弹性变形宏观定律：虎克（Hooke）定律： σ =Eε • 对于剪切变形，则有：τ =Gγ • E—正弹性模量（杨氏模量） • G—剪切弹性模量
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四、弹性模量的各向异性
• 弹性模量是依晶体的方向而改变的。 P389 表7.5 • 多晶体材料弹性模量不依方向而改变，其量可用 单晶体的弹性模量取平均值的方法计算出来。 • 通过冷变形（冷轧、冷拉、冷压、扭转等），且 变形量很大时，由于织构的形成，将导致材料弹 性模量的各向异性。 • 凡形成织构的材料，不论是变形织构、生长织构， 还是再结晶织构，均会导致材料各向异性。 • P389 图7.11
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二、驰豫型（滞弹性）内耗（与振动频
率有关） 1. 应变驰豫现象 2. 应力驰豫现象 3. 弹性后效 具有滞弹性行为的固体， 可以用一种称为标准线 形固体的应力—应变方 程来描述，即
t M R ( ) 这里： t 恒应变下的应力驰豫时 间； 恒应力下的应变驰豫时 间；
l m 2 圆棒试样： 1.6067 109 ( ) 3 E f 弯T1 (GP a) d d l G 5.093 109 2 mf2 (GP a) d l m 2 矩形截面试样： 0.9465 109 ( ) 3 E f 弯T1 (GP a) h b l m G 4.00 109 Rf2 (GP a) b h 式中：l 试样长度( mm)，d 圆棒直径( mm), m 试样质量(g )； h、b矩形截面的高和宽 mm), f 频率( Hz); (
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五、弹性的铁磁性反常现象（Δ E效应） • 未磁化的铁磁材料，在居里温度以下的弹 模量比磁化饱和状态（“正常”材料）的 弹性模量低。这一现象称为弹性的铁磁性 反常，又称Δ E效应。
E

l l ( )0 ( ) m l l
l ( ) m 磁致伸缩产生的变形效 应。 l
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§7-3 弹性模量的动态法测量
• 弹性模量的测量方法：静态法、动态法。 • 静态法的测量原理：依据应力—应变曲线的弹性段，求斜率。 • 这种方法得到的弹性模量值与载荷大小、加载速度等有关；高温 时由于蠕变的存在、脆性材料的测量均有很大困难。 • 动态法测量精度高、试样受力小，并且特别适合于高温及交变复 杂负荷条件下工作的弹性模量的测定。 • 动态法与静态法弹性模量间满足以下关系：
§7-4 材料的内耗
• 一个自由振动的物体，在不考虑空气阻力 的情况下，其振动将发生什么变化？
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• 一个自由振动的固体，即使与外界完全隔 离，它的机械能也会转化为热能，从而使 振动逐渐停止；如果是强迫振动，则必须 从外界不断供给能量，才能维持振动。
• 这种由于内部的原因而使机械能消耗 的现象称为内耗（Infernal friction） 或阻尼（damping）。
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• 对于内耗的研究有两种不同的途径： • 一种是寻求适合工程应用的有特殊阻尼性 能的材料，如飞机、船舶和桥梁用材要求 具有高阻尼本领；而钟表、仪表等常用低 阻尼本领的材料。在这类工作里主要是研 究材料处理方法和工艺，以及添加元素对 材料阻尼性能的影响，试验研究所采用的 振幅、频率等与实际使用情况大体相同。 • 另一种是把内耗测试作为一种工具，用于 研究固体内部结构，特别是各种缺陷结构 及其相互作用，所用应力较小。
上界模量：E U E1V1 E 2 V2 1 V1 V2 下界模量： E L E1 E 2
(相同，应变相同 ) （两相应力相同）
对于含有气孔的材料， 经验公式： E E（1 1.9P 0.9P2） P 气孔率 0
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§7-2 弹性模量的影响因素
一、温度 • T↑，原子间距↑→结合力↓→弹性模量↓ 二、相变 • 相变导致材料的弹性模量出现反常的转变。 • P386-387 图7.6~7.7 • 包括第一类相变和第二类相变。
E k1 f l2 G k2 f2
式中：f l , f 分别为纵向固有振动频 率和扭转固有振动频率 。 k1,k2 - -是与试样尺寸、密度等 有关的常数。 上式是声频法测量弹性 模量的基础。 超声波法测弹性模量的 基础为： cl E G 3 1 2 3 3 c 3 c l c
对于弯曲振动共振法， 有： l 4 f2 1 E 1.262 2 （ T） 1 d
（l 试样长度，d 试样直径）
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二、悬挂法测弹性模量
• 该法是弯曲共振法的一种，已列为国家标准（GB2105-91）。 • 悬挂法测弹性模量的装置的原理图见P398 图7.20。 • 试样为圆柱样或矩形截面试样。尺寸详见国标。
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三、弹性模量与其他物理量的关系
1、熔点、硬度、弹性模量均与材料内部原子 间的结合强度有关。 • 共价键、金属件结合的晶体，原子间结合 力大，弹性常数大； • 温度升高，原子间距变大，结合力下降， 弹性模量减小； • ΘD上升，原子结合力增大，弹性模量增大。
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• 2、两相材料的综合弹性模量
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在高温时，由于热膨胀 效应，上述各式分别修 正为： 对于纵向振动共振法， 有：
2 E 4 l 2 f（ T）1 1 l
（l 试样长度， 膨胀系数） （l 试样长度）
对于扭转振动共振法， 有：
2 1 G 4 l 2 f（ T） 1
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一、内耗与非弹性变性关系
• 滞弹性：应变落后于应力的变化。
0sint 0sin (t ) 2013-8-9
滞后相位
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• 振动一周的能量损耗=滞后回线的面积。
w d 0 0sint d[sin (t )]

;
c

;
c, c l , c 分别为弹性波的传播速 度、纵向传播速度和横 向传播速度。
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• 测定固有振动频率使用共振法，要求有激发源和 接收装置。根据激发源与接收装置以及试样的安 置位置可以分为：纵向振动、扭转振动和弯曲振 动（横向振动）。 P396 图7.19 • 激发或接收的换能器种类比较多，常见的有：电 磁式、静电式、磁致伸缩式、压电晶体(石英、 钛酸钡等)式。 • 测量方法是：逐步改变激发振动频率，当f=fl或 f=fτ 时，接收器可以观察到最大振幅，即产生共 振。
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对于纵向振动共振法， 有： E 4 l 2 f l2 G 4 l 2 f2 l 4 f2 d
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（l 试样长度） （l 试样长度）
对于扭转振动共振法， 有： 对于弯曲振动共振法， 有： E 1.262 （l 试样长度，d 试样直径）
1 1 2 T Ei Ea cP Ei、E a 分别为等温条件（静态 法）、绝热条件（动态 法）的弹性模量；
线膨胀系数，T 绝热温度，c P 等压比热， 密度。
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一、动态法测弹性模量的原理
• 测试的基本原理可归结为：测定试样（棒材、板材）的固有振动 频率或声波（弹性波）在试样中的传播速度。由振动方程可推证, 弹性模量与试样的固有振动频率的平方成正比，即
M( ) M u
MR
驰豫弹性模量。
Mu MR 驰豫弹性模量。 2 2 1 定义M M u M R为模量亏损， 且定义 M Mu MR 为驰豫强度。则 ( )成为： M MuMR 1
M( ) M（ M u 1
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） 1 2 2 M ( ) 称为动态模量（动力模 量）。
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T 1 试样基频共振时的修正 系数，R 形状因子。 T 1 R查国标可得。 和
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三、超声波脉冲法测弹性模量
• P398 图7.21（测定超声波在材料中的传递 速度） • 要求样品尺寸小，形状简单，对于稀贵金 属、难加工材料和单晶体的研究非常适合。 • 自学
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一、弹性的微观理论
根据双原子模型，当材 料受到正应力作用时， 有 dU (r ) dU (r ) f dr dx U(r ) 结合能；f 所加应力。 假定：（）U（r）函数是连续的； 1 （2）当位移x 0，U（r）具有极小值（ r0）， r dU (r ) 即 0; dr r r0 (3)位移x r0 . dU 1 d2U 这样：U(r ) U(r0 ) ( ) r0 x ( 2 ) r0 x 2 dr 2 dr 2013-8-9