汇交力系例题
材料第二章汇交力系
Fy Fxy sin F cos sin
Fz F sin
16
4、力的解析表达式：
若以 F ,F ,F 表示力沿直角 x y z 坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz
而：
Fz k
j
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk
所以：
Fx
i
Fy
[例2]圆柱重500N，板与墙夹角600，接 触光滑，求圆柱给墙和板的压力。 1、比例尺 2、力的多边形 O N
D
300
W
NE
FA Gtg300 500N tg300 288.7 N
G FB 577 .4 N 0 cos 30
21
汇交力系几何法解题的主要步骤如下： 1．选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究 对象，并画出简图。 2．分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部 已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不 能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受三个力作用 ，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。 3．作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系 的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已 知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指 向。 4．求出未知量。用比例尺和量角器在图中量出未知量，或者 用三角公式计算出来。
X=Fx=F· cos ：
Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2 2
Y Fy cos F F
9
2、力在平面上的投影
F
FM
FM F cos
平面汇交力系的平衡条件及例题
• 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，
可解析地表达为： 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。 轴上投影的代数和分别为零。
FR = ∑பைடு நூலகம்Fix + ∑ Fiy = 0 i =1 i =1
A
B
30 0
C
300
D
W
A
y
B
300
C
30 0
D
x
FCA FCB F
' T
300 300
C
W
FT
∑F
x
=0
0 ' T 0
FCB + FCA cos 30 + F cos 30 = 0
∑F
y
=0
0 ' T 0
FCA sin 30 − F sin 30 − FT = 0
FCA = 300kN
FCB = 346.4kN
n n 2 2
∑F
i =1
n
xi
=0
∑F
i =1
n
yi
=0
平面汇交力系应用举例
• 例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索
绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
• 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：
平面汇交力系习题
作业A一、填空题1。
平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。
2。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。
3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。
4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。
5。
已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。
(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。
） 6。
平面汇交力系的力多边形如图（a)，（b ）,（c ）则图（a ）中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b ）中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7。
如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图) (8题图）8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿.9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示,刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行：(1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图(2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图）∑=0xF ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0yF：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.（4）解方程计算D A 、处的约束反力A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
平面汇交力系的例子
平面汇交力系的例子
1. 哎呀，想想拔河比赛呀！两队人在那拼命拉绳子，这可不就是平面汇交力系的典型例子嘛！大家都使着劲，力量在绳子上汇聚，谁能赢不就看哪边的力更大嘛！
2. 建筑工地上的起重机吊东西，那也是平面汇交力系啊！起重臂上的各种力都往一个点上作用，这多明显呀！
3. 你看咱平时推桌子，是不是几个方向都可能发力，这些力在桌子上不就形成了平面汇交力系嘛！
4. 还记得小时候玩的跷跷板吗？两边人一上一下，那其实就是两边的力在跷跷板这个平面上交会呀，这就是个有趣的平面汇交力系例子呀！
5. 抬重物的时候，几个人一起用力抬，这些力可不就在重物所在的平面上汇交啦，这不是随处可见的平面汇交力系嘛！
6. 开帆船的时候，风的力和船员拉帆的力，不都作用在帆上嘛，这不就是平面汇交力系在起作用嘛，多神奇！
7. 公园里的旋转木马，它的转动也是因为各种力在平面上交汇呀，你说是不是很有意思呢？
8. 大家一起拉一辆车，每个人使的力都不一样，但都作用在车身上，这就是平面汇交力系的体现呀！
结论：平面汇交力系在我们生活中无处不在呀，只要留意就能发现很多这样的例子呢！。
平面汇交力系习题
作业A一、填空题1、平面汇交力系就是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。
2、平面汇交力系平衡的必要与充分条件就是＿＿＿＿＿＿＿,此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。
3、沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿,两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影,力的投影就是＿＿＿＿量,有正负之分。
4、力沿直角坐标轴方向分解,通常,过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形,力F 就是矩形的＿＿＿,矩形的＿＿＿＿就是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。
5、已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿,方向角=α＿＿＿＿。
(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。
)6、平面汇交力系的力多边形如图(a),(b),(c)则图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7、如图所示,不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接,若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿,方向＿＿＿＿＿＿。
(7题图) (8题图)8、如图所示,力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。
9、平面刚架在B 处受一水平力F 作用,如图所示,刚架自重不计,设F =20kN ,L =8m ,h =4m ,则求A 、D 处的约束反力,可以按以下步骤进行:(1)以刚架为研究对象,进行受力分析:请画出刚架的受力分析图(2)作用在刚架上的力(主动力与约束力)构成的力系属＿＿＿＿＿力系(3)列出刚架的平衡方程(坐标如图)∑=0x F:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0yF :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(4)解方程计算D A 、处的约束反力A F =＿＿＿＿＿＿;D F =＿＿＿＿＿＿＿。
汇交力系例题
C
Y P TBD cos cos TBC cos cos 0
Z RA TBD sin TBC sin 0
联立解得
TBC 735 N
TBD 1094 N
RA 1500 N
p.4
例题
例题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均
A
45o
0.8m
CB
0.4m
y
SC
A
45o C
RA
B x
E
P
EB BC 0.4m tg EB 0.4 1
AB 1.2 3 (2) 列出平衡方程；
X 0, RA cos Sc cos 45 0
Y 0,RA sin Sc sin 45 P 0
(3) 求未知力；
P
2
Sc sin 45 cos45tg
C EA
D
B -
y TDB D + x
y
TBE
TBC
B
TBD
x
P
TDA
P
SAB
解: (1) 研究D点，画受力图；
(2) 列出平衡方程并求解；
X 0,TDB cos( ) TDA cos( ) 0
Y 0,TDB sin( ) TDA sin( ) P 0
TDB
NA
O
O’与 O为矩形OAO’B的两个顶点，
O’ B
力的作用线既通过O’点也通过O点。
NB
由几何关系得
P A
90 2
NA
O
OA Lsin
p.6
例题
例题
例6. 铰接四连杆机构CABD的CD边固定。在铰链A上作用一 力Q，BAQ=45。在铰链B上作用一力R，ABR=30，
第二章1汇交力系与力偶系PPT课件
又 rxiyjzk FF xiF yjF zk
则 M O ( F ) ( r F ) ( x i y j z k ) ( F x i F y j F z k ) i jk
x y z Fx Fx Fx
( y F x z F y ) i ( z F x x F z ) j ( x F y y F x ) k 力对点O的矩 MO (F)在 三个坐标轴上的投影为
a
θ
F 45° FC
b
0 10 20kN
（b） 例题2−2图
（c）
三、汇交力系合成的解析法 （一）力在轴上的投影
1．力在坐标轴上和平面上的投影
A 力在坐标轴上的投影
A α
F B
Oa
b
x
B 力在平面上的F投影
B
A α
a
Fxy
b
O
x
(a)
(a)
2．力在直角坐标轴上的投影
A直接投影法
B间接投影法
Fx Fcos
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
§3−3， §2-2 力偶 力偶系
一、力偶，力偶矩矢，力偶矩
1、力偶--作用在同一刚体上等值、反向、不共线
的一对平行力，称为力偶，记为（F，F′）。
A
d
F′
F′
B
F1
F2
2、力偶矩矢
空间力偶对刚体的转动效应（大小和转 向，力偶作用面的方位）用力偶矩矢来度量。
求：（1）设两轮重量相等，求平衡时的α角；
（2）已知A轮重GA，平衡时，欲使α=00的B轮的重量。
B
A
300
600
解：先取A轮为研究对象，受力分析：
工程力学 03汇交力系-19(例题)
理论力学 Theoretical Mechanics
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。 与重物为研究对象，受力分析如图。 其侧视图为
z E C F
30o
D
F2
B
z E F
30o
F1
B
F1
α
FA
A
x
G
y
α
FA
A
G
y
理论力学 Theoretical Mechanics
z E F
30o
2
理论力学 Theoretical Mechanics
因为α很小，所以可取
tgα ≈ α
G 800 N = 80kN F TBA = G ctg α = 2 = 2 tg α 0.1
2
显然，拔力为
F
' TBA
= F TBA = 80kN
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics
（4）由几何关系得： O =EA= 24 cm 由几何关系得： E
A
P
A
P
α
24
D E tgϕ = = 0.25 O E
C O B D
(a)
O
α ϕ
B
FB
E
6
ϕ = arctg0.25 =14°2'
FD
D
(b)
由力三角形可得： 由力三角形可得： = sin(180°−α−ϕ) P F B
sinϕ
P
J
解得
Fcosθ ⋅ yB −Fsinθ ⋅ xB FD = C l
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics
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A
6m
TBC
D
1m y 1.5 m
X T BD cos sin T BC cos sin 0
x
RA
4m
C
Y
P T BD cos cos T BC cos cos 0
T DB
P cos
sin 100 cos 20 sin 28
P cos sin
T BC T BD
S AB T BD
sin sin
sin sin sin
45 30
P
X 0 S AB S BC cos 45 T 2 cos 60 0
C
y
Y 0 S BC sin 45 T1 T 2 cos 30 0
T1 T 2 cos 30 sin 45
SAB
B
x
S BC
2 . 64 KN
题
例
题
例8.提升铰车具有棘轮插爪构成的止逆装置，已知提升重量 G=500N，图中尺寸d1=42cm，d2=24cm，a=12cm，h=5cm， 求插爪及轴承所受的压力。
a A
O
B
d2
h
d1
NB A B RO
O
c
NB
a
RO G
b
G G
解: (1) 研究提升系统；根据三力平衡汇交定理画出受力图；
(2) 画自行封闭的力三角形abc；
ADC abc P AD N
D
RA
P
2
ND b
2
RA CA
DC
CA
AD
2
CD
8 4
2
4 5m
N
D
DC
P AD
10 kN
R A CA
P AD
22 . 4 kN
arctg
1 o 26 34 ' 2
p.7
例
3. 解得 F
min
P sin θ 10 kN
p.11
例
题
例
题
例9.在刚体的A点作用有四个平面汇交力，其中F1=2kN， F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如图所示。用解析法 求该力系的合成结果。
y F2 F1
30o 45o
解: (1) 求合力R在坐标轴上的投影 ；
R x X 2 cos 30 3 cos 60 1 cos 45 2 . 5 cos 45 1 . 29 kN
2
1 . 12
2
1 . 71 KN
RX
arctg
arctg
1 . 12 1 . 29
41
x
(3) 画出合力R；
p.12
例
题
例
题
例10.图示一管道支架，由杆AB与CD构成，管道通过拉杆悬挂 在水平杆AB的B端，每个支架负担的管道重为2KN，不计 杆重。求杆CD所受的力及支座A的反力 。
分析力： W, TBD, TBC
平衡条件：力三角形封闭
TBD
B
E
D P
B A W
W
画力三角形
T BD Wtg
TBC TBD
2
W
TDE
D P
再取D点为对象，并分析受力
画力三角形
TBD’
TBD’ P TDE
P T BD tg Wtg
讨论：当W一定时，越小，P越小，就越省力。
OA
受力分析： P,SOA, SAB
选投影轴列方程：
Y
S OA cos S AB cos 0
A P
S OA S AB
S AB P 2 sin
P
x
A
B
SAB
X P S OA sin S AB sin 0
SAB’
y
再以压板为研究对象并分析受力: SAB’, Q, N 选投影轴列方程：
Q R cos 45 cos 30 0 . 61 R
p.6
例
题
例
题
例7.门式钢架如图所示，在B点受一水平力P=20KN,不计钢架 自重；求支座A、D的支座反力。
P
4m
B
C
P
B
C
A
8m
D
A
D
RA
ND
c
解: (1) 研究刚架；根据三力平衡汇交定理画出受力图；
(2) 画自行封闭的力三角形abc； (3) 由三角形ADC与三角形abc相似求约束反力； a
(3) 按比例尺求未知力；
R O bc 680 N
N
B
ca 310 N
p.8
例
题
例
题
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
Z R A T BD sin T BC sin 0
T BC 735 Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T BD 1094 N
联立解得
R A 1500 N
p.4
例
题
例
题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均 为，A处连接一木桩，桩重W。求D处作用的铅垂力P 需多大才能与桩保持平衡。 TBC 解： 研究对象：点B C
X 0 ,T DB cos( ) T DA cos( ) 0
Y 0 ,T DB sin( ) T DA sin( ) P 0
Y 0 , T BD sin T BE sin T BC sin 0
sin
128 kN
511 kN
200 KN T BE
p.14
列平衡方程：
SAC
A Q
SAB
A
45
30
60
x
Q
Q C
R
D
X Q S AB cos 45 0
S AB
cos 45
y
S’AB
R
以铰链B为对象，并分析力 列平衡方程：
R S AB cos 30
R, SAB’, SBD
B
x
SBD
X R cos 30 S 0 AB
B C E A
y
TDB TBC x
y
TBE
x
B
D P
-
TDA
D +
TBD
P
SAB
解:
(1) 研究D点，画受力图； (2) 列出平衡方程并求解；
(3) 研究滑轮B，画受力图； (4) 列出平衡方程并求解；
X 0 , S AB T BD cos T BE cos T BC cos 0
p.9
例
题
例
题
解： 1.取碾子，画受力图. 用几何法，按比例画封闭力四边形
θ arccos
Rh R
30
FA 11.4kN
FB sin θ F FA FB cos θ P
FB 10kN
p.10
例
题
例
题
2.碾子拉过障碍物， 应有 FA 0
用几何法解得
F P tanθ= 11.55kN
（压力） SBC
T1 T2
S AB ( S BC cos 45 T 2 cos 60 ) 1 . 37 KN
（拉力）
p.2
例
题
例
题
例2. 压榨机的连杆OA、AB重忽略不计，与铅垂线的夹角 均为。各绞链均光滑。已知绞链 A处作用水平力P。 求压板B对工件的压紧力Q。 O y 解： 研究对象：绞链A S
Y
Q S cos 0 AB
B Q
N
x
Q
P 2
ctg
讨论：P力一定， 越小，压紧力Q越大。
p.3
例
题
例
题
例3.立杆AB，A端为球铰链，BC和BD为两钢索，若杆和钢索 的重量均忽略不计。B端的水平力P=1000N。各固定尺寸 z 如图。求杆的内力和钢索的张力。 B 解： 研究对象：立杆AB TBD P
p.5
例
题
例
题
例6. 铰接四连杆机构CABD的CD边固定。在铰链A上作用一 力Q，BAQ=45。在铰链B上作用一力R，ABR=30， 这样使四边形CABD处于平衡。如已知CAQ=90， DBR=60，求力Q与R的关系。杆重忽略不计。 B 解： 研究对象：铰链A y 受力分析： Q,SAC,SAB
例
题
例
题
3 2
4 5
1
汇交力系
11 10 8 7