第六讲不重复的路——一笔画问题精编版
一笔画问题与图论
一笔画问题与图论所谓—笔画问题就是使笔尖不离开纸面而又不重复地画出一个图形、这个问题起源于十八世纪所谓“哥尼斯堡桥”的难题：在一条河流中有两个小岛，岛与岸之间用七座桥相连(图一)，怎样才能不重复地走遍七座桥而回到出发地点?如果我们把岛A、B分别以点v l、v2表示，岸C，D分别以点v3、v4表示，而各桥用连接各点的线表示，就可以得到下面的示意图(图二)、上面的问题就是问是否能一笔画成这样的图、不少人曾为此花费了大量时间，直到1736年大数学家欧拉才解决了这一问题、然而由此引起的对图形的研究却开创了一个新的数学分支，这就是在近代发展很快而且颇受重视的图论、图2我们首先介绍一些图论中最基本的术语，然后看看与上面一笔画问题的有关结论，最后简略地说明一下图论的其它应用、1、图我们把一些点和连接这些点之间的线称为一个图，其中的点叫做顶点，线叫做边、交于同一个顶点的两条边以及同一条边所连接的两个顶点都叫做相邻，而顶点与以它为端点的边之间叫做相关、如图二中与v l相邻的顶点有v2、v3、v4，而与v l相关的边有e l、e2、e3、e4、e6与e5相邻的边有e l、e2、e6、e7，而与e5相关的顶点有v2、v3、只有假设干个顶点而没有边的图叫做空图，而任何两个顶点之间都恰有一条边相连的图叫做完全图、有n个顶点的完全图常记为K n，例如K2就是一条线段，K就是有三个顶点三条边的图，按通常习惯仍叫三角形、32、子图在一个图中，由一部分顶点以及只与这些顶点相关的边所组成的图叫做导出子图，图中一部分边及其端点所组成的图叫做边导出子图，假设边导出子图与原图有完全相同的顶点，就叫做伸延子图、一个图的两个子图假设无公共顶点就叫做不相连的，假设无公共边(可能有公共顶点)就称为边不相连的、图三是一个具体例子、子图是一个相对的概念，假设H是G的子图，那么G可称为H的上图、通过子图来研究较复杂的图是图论中一个基本方法、3、顶点的度在一个图中与任一顶点v有关的边的数目，叫做这个顶点的度，记作d(v)，如图三中的G，d(v l)=2，d(v2)=5，d(v3)=4，d(v4)=2，d(v5)=3、这样一来，我们就看到在计算各个顶点的度时，实际上就是计算了边的数目，但每一条边在它的两个顶点处各计算一次，从而我们可以得到：定理一任一个图中各顶点的度数之总和等于其边数的二倍、由此事实，我们知道图中顶点度数之和为偶数，从而奇数度顶点的个数必为偶数、4、连通性在一个图中，我们从任一顶点v0出发，经过与之相关的一条边el到达另一个顶点v l，再经过与v l相关的一条边e2到达v2，……，如此继续下去，便得到一个顶点和边交替出现的序列v0e l v l e2v2……e k v k、当其中所经过的边彼此皆不相同时，我们就叫做一条迹，这时其中诸顶点有可能相同，假设连顶点也都彼此不同，这种迹就叫做路，起点与终点闭合的路又叫做圈、这些都是一些特殊的边导出子图，如图三中的G，假设取v l av2cv3dv2f v5gv3就是—条迹，而v l av2f v5gv3就是—条路，假设取v l av2f v5gv3bv l就得到一个圈、一条迹可以删去一段而成为路、图3一个图中的任意两点都存在一条连接这两点的路，那么称这个图是连通的、对于一个不连通的图，我们可以把它分成假设干个连通的分支、有了这些概念以后，我们就来看看上面的一笔画问题、为了表达方便起见，我们把包含图中所有的边的迹叫做欧拉迹，首尾闭合的欧拉迹叫做欧拉途、如果一个图含有一个欧拉途就说明从任一顶点山发，可以经过每一条边恰好一次并且回到出发点，换言之，它可以一笔画成、这种含有欧拉途的图就叫做欧拉图、不难证明下面两个定理：定理二 一个连通图是欧拉图的充分必要条件是它不含奇数度顶点、定理三 一个连通图含有欧拉迹的充分必要条件是最多有两个奇数度顶点、 由这两个定理可知，一个图可以一笔画成的充分必要条件是，或者不含奇数度顶，或者恰含有两个奇数度顶点、即使复杂的图，也不消一分钟就可以看出它是否能够一笔画成、在我们上面提到的七桥问题中，相应的图的四个顶点皆是奇数度的，所以无法—笔画成，即使不要求回到原出发点，也无法—笔画成、 一笔画问题只是图论中一个很小的侧面、事实上，我们在画出—个图的时候，可以赋予图中的顶点和边以各种不同的含义，从而也就可以用来研究五花八门的问题、下面举几个简单的例子、例— 在世界各国中，必能找到这样两个国家，它们与同样数目的国家有外交关系、我们用顶点表示国家，两国间有外交关系的就用边相连，这样一来就只须证明在任意—个这种图中必有两个顶点有相同的度数，事实上，设诸顶点以v l ，v 2，……v n 表示，假设各顶点的度数皆不相同，那么它们分别是0，1，2，…，(n -1)这n 个数、但这是不可能的，因为既然有0度的顶点就不可能再有n -1度的顶点，故必有两个顶点具有相同的度数、可见与之相应的两国与同样数目的国家有外交关系、例二 平面上有n 个点，其任意两点之间的距离不小于1，试证至多存在3n 对点，其距离恰是l 、以v l ，v 2，…，v n 表示平面上这n 个点，我们规定某两点v i 与v j 的距离恰是1时才用边相连，在如此所得到的图中，边的数日就是距离恰是1的顶点的对数、与任一顶点v 相邻的顶点必在以v 为圆心，1为半径的圆周上，但题设这些点之间的距离又不小于1，所以至多只能有六个顶点与v 相邻，换言之，对于任意1≤i ≤n 皆d 〔v i 〕≤6，于是，1()6ni i d v n =≤∑由定理一，左边就是图中边数的二倍，所以边数≤3n ，即至多有3n 对点距离恰是1、例三 在随意凑集的六个人中，一定能找列三个人，他们或者彼此认识，或者彼此不认识、这是一个Ramsey 问题，曾经是著名的难解问题之一，现在用图论方法很齐易解决、我们用六个点表示六个人，两个人认识就将扪应的两点用线连起来、于是这个问题就转化成下述形式：在任何一个六个顶点的图中，必有三个顶点存在，它们或者连成—个三角形，或者彼此不相邻、设v 是某一顶点，那么其余五个顶点中与v 相邻的顶点数和与v 不相邻的顶点数中必有一个是超过3的、不妨设u 1，u 2，u 3，是与v 相邻的，假设u l ，u 2，u 3中有某两点是相邻的，那么它们与v 将构成——个三角形，假设u 1，u 2，u 3中任意两点都不相邻，那么它们就是题中所要求的三点、下面我们再来看看图论中所研究的其它—些问题、邮路：利用欧拉途的概念可以解决所谓邮递路线问题、我们知道，邮递员总想从邮局出发以最短的路程走遍每一条街道，最后回到邮局，如果这位邮递员所负责的街道可以画成一个欧拉图，那么只须求出其欧拉途就一定是最理想的邮路了、而对于欧拉图要求出其中的欧拉途是不成问题的、但当街道画出一个非欧拉图时，情形就比较复杂了、这时须引入“重量”的概念而转化成求欧拉途的问题、当合理地规定图中的每一条边的重量以后，我们就得到一个所谓“赋重图”、这里的重量可以表示路程的长短，也可以表示运费的多少，也可以表示造价的高低，如此等等，于是有许多实际问题便可转化成求赋重图中的最轻通路问题、图论中已经建立了一些有效的方法、可靠性：要建立一个交通或通讯系统，就要设法使假设干个点之间皆有通路相连，并且还力求使总的造价是比较少的、这一类问题在图论中已通过对一种特殊的子图——“树”的研究得以解决、另一方面，如果在—种交通或通讯系统中任意两点之间都只有一条路相通，那么这种系统是很不可靠的，一旦有一处发生故障，就可能仗整个系统陷于瘫痪，于是图论中又进一步研究了连通的可靠性问题，这主要是将连通程度数量化、货郎担问题：我们把包含图中每一个顶点的路叫做哈密顿路，假设是闭的就叫做哈密顿圈，相应的图就叫做哈密顿图、与欧拉途不同的是哈密顿圈只要求走遍每一个顶点，并不要走遍每条边，著名的货郎担问题与此有关、这个问题是：寻找一条最短路线，使一个货郎不走回头路而走遍几个村镇，这是一个看起来简单却尚未得到解决的问题，没有一个有效方法可以用来判断一个图是否为哈密顿图、印刷电路：当我们设计一种印刷电路时，必须要求有关的电路图是一个平面图，由于我们在画出一个图的时候，其边的长短以及准确位置是无关紧要的，只是关心某条边是连接哪两个顶点而已、所以—个图是否为一个平面图并不是一眼就能看出来的、某些图乍看起来不是平面的，但可以重新画出使成平面图、这在图论中叫做平面嵌入，并且已经找到一些有效方法可以判断任意给出的图是否为平面图，以及如果是平面图怎样进行平面嵌入、四色问题：我们可以把图的顶点或边涂以各种颜色，并研究任意一个图最少要几种颜色)才能合理地进行上色(即使得相邻的顶点或边颜色不同)、著名的四色问题与此有关，四色问题是一种猜想：任一平面图只须四种颜色即可将顶点染色，使每每两相邻顶点皆有不同颜色、这与地图的染色是密切相关的、在图论中图论是一门比较新的学科，它当然可以尽量采取近代数学的概念及方法，诸如集合、映射、矩阵等等来处理其内容，还可以建立图与图之间的一些运算关系、用它可以解决的问题无法估量、图论的内容是丰富的，方法是新颖的，上面罗列的仅是其【一】二而已、。
一笔画问题
一笔画问题
你 能 一 笔 画 出 来 吗 ？
不重复的路
——一笔画
“一笔画”是指笔不 离开纸，而且每条线 都只画一次不准重复 而画成的图形。
规发你画呢可什学一“
律
。
现 一
的 想
一 画
？ 试
以 一
么 样
游 戏
种 有
一 笔
笔象，一笔的，趣画
画力发试画图那的”
的，挥，成形么数是
下列图形能否一笔画
不连通的图形不能一笔画
数 点 为 终 点 。
一 个 单 数 点 为 起 点 ， 以 另 一
定 可 以 一 笔 画 成 。 画 时 必 须
） 凡 是 图 形 中 两 个 单 数 点 ，
一 定 可 以 一 笔 画 成 。
） 凡 是 图 形 中 没 有 单 数 点
于 图 中 单 数 点 的 多 少 。
个 图 形 能 否 一 笔 画 成 ， 关 键
图1
连通的图形有可能一笔画
图2ห้องสมุดไป่ตู้
两条相交的线处都有一个交点
数一数下列图形各有几个交点？
（ 4 ）个
（ 2 ）个
（ 9 ）个
（ 5 ）个
交点分为两种
（1）从这点出发的线的数目 是双数的，叫双数点（偶点）。 （2）从这点出发的线的数目 是单数的，叫单数点（奇点）。
数一数下列图形各有几个交点？ 几个奇点？几个偶点？
你能用一笔画出下列图形吗？
图一 图二 图三 图四 图五 图六
交点
6 5 9 6 6 5
奇点
2 0 4 4 0 0
偶点
4 5 5 2 6 5
能否一笔画
能 能 不能 不能 能 能
能数（单从一（的（在一
一笔画问题(思维拓展方法)
一笔画问题
• 大数学家欧拉根据著名的“七桥问题”开创了数学新分 支----------图论。也就是“一笔画”
七桥问题的分析
• 1、观察上图的七桥图片以及其简化图 • 2、简化图上各线段之间有A、B、C、D四个交点 • 3、一笔画问题就是研究这些交点的
一笔画的问题的第一步
————
通过观察，我们发现 1、A点有三根线相交 2、B点有五根线相交 3、C点有三根线相交 4、D点有三根线相交
有奇数根线相交的点称为奇点 有偶数根线相交的点称为偶点
奇点和偶点的概念是重点，后面要用
一笔画的问题的第二步
————
1、回到一笔画问题的起源，一笔画问题实际上就是一个人在走路 2、一个点就是一个地方，一条线就是一条路 3、走路不是随便走，有限制条件：不能重复走同一条路，而且每条路都要走过 4、分析具体的一个地方，要么只有来路；要么只有去路；要么又有来路、又有去路。 5、走路有一个特点：有起点，有中间点，有终点。 6、起点的特点：去，一条线。 7、终点的特点：来，一条线。 8、中间点的特点：来，一条线。去，另一条线。
一笔画的问题的第三步
————
1、奇点要么是起点，要么是终点 2、偶点可以是起点，可以是终点，也可以是中间点
来线和去线是一组，一组是两根线，必然是偶数
3、如果一个图上没有奇点，都是偶点，那每个点都可以来去n次，没有问题
4、如果一个图上只有一个奇点，那么作为起点，就没有终点
5、如果一个图上有两个奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，没有问题 6、如果一个图上有三个以上的奇点，那么一个作为起点，一个作为终点，其他奇点 就必然有缺失来路或者去路
一笔画的问题的第四步
————
1、0个或者两个奇点时，图形是可以一笔画画出来的。 0个奇点时，也就是全是偶点，可以从任意点出发，然后在出发点结束 两个奇点时，从一个奇点出发，另一个奇点结束
一笔画问题ppt课件
1
“一笔画”是指笔不离开纸，而且 每条线都只画一次不准重复而画成 的图形。
2
你能用一笔画出下列图形吗？
3
两条相交的线处都有一个交点。
4
数一数下列图形各有几个交点？
（ 4 ）个
（ 2 ）个
（ 9 ）个
（ 5 ）个
5
交点分为两种
（1）从这点出发的线的数目 是双数的，叫双数点（偶点）。 （2）从这点出发的线的数目 是单数的，叫单数点（奇点）。
13
判断下列图形能否一笔画。
14
结束，谢谢
15
9
下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
10
练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场
超市
文具店
电器城着画一画。
图1
图2
图3
图4
图5
图6
12
根据今天学习知识，先判断下列图形能不能 一笔画成？再想一想该从哪里开始画？最后 再动手画画看。
6
①从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点（奇点）。 如：
●
●
●
②从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点（偶点）。 如：
●
●
●
7
我们刚才画的图形都有几个交点？ 几个双数点？几个单数点？
8
总结：
一个图形能否一笔画成，关键在于图 中单数点的多少。 (1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在 一起) （2）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。 可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。 （3）凡是图形中只有一个或者两个单数点，一定可 以一笔画成。画时必须从一个单数点为起点，以另一 单数点为终点。 （4）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯 定是不能一笔画成。
一笔画问题
一笔画问题2014-7-15一笔画问题简单学习总结今天学的还是图论的内容——一笔画问题。
一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。
这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下：1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。
这是最基本的条件。
2、每个点之间度的要求：无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。
有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。
数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。
奇点就到达终点了。
（圈套圈的思路）对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。
这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。
或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。
下面介绍几种算法：1、圈套圈算法算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。
算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。
就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。
算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。
2、弗罗莱算法算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。
一笔画问题
在行测考试中，图形推理中的一笔画问题，一直都是考生在考试中容易失分的题目。
其实主要问题存在于几个方面。
一、考生无法判断，什么样的图形考查的是一笔画;二、对一笔画图形的判断方法不了解。
接下来，中公教育专家卢志喜会从这两个方面给大家揭开一笔画的神秘面纱。
一、什么样的图形是一笔画图形定义：一笔画图形是一个图形从起点到终点可由一笔画成而中间没有间断，一笔画图形点可以重复，而线不可以重复。
一笔画图形具有两个比较明显的特点。
①图形相异;②图形简单;③图形一部分。
因此考生在复习图形推理时，除了要掌握相异图形常考的考点，点、线之外，还要掌握一笔画。
在复习备考的过程中首先要掌握一些简单的一笔画图形。
例如：长方形、正方形、三角形、五角星、圆。
当出现这些基本图形，或者在简单图形上增减了部分线条时，有一定的敏感性。
二、如何判断一个图形是否是一笔画图形方法一、奇偶点判断法奇点：从一个点引出的线条数为奇数;偶点：从一点引出的线条数为偶数。
规律：⒈凡是奇点数为2或者0的图形，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
(利用奇点数判断，图形必须是一部分，比如“回”，奇点数为0，但是不能一笔画)2.其他情况的图都不能一笔画出。
(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。
)利用奇偶点法判断下列几个图形是否为一笔画图形，非一笔画图形需几笔画成分析：图形1.奇点数为2，偶点为2，可以一笔画成。
图2.奇点为0，偶点为3，可一笔画。
图3.奇点为6，偶点为0，三笔可画成。
图4.奇点为0，偶点为10，可一笔画。
图5.奇点为4，偶点为5，可2笔画。
图6.奇点为4，可2笔画。
奇偶点判断法规律适合一切一笔画图形。
方法二、区域连通法规律：1、平面内区域可以构成两两连通的区域(表示图形没有单独的出头的线条)，且区域之间属于单连通，这样的图形可以一笔画。
(单连通表示从一个区域到另一个区域只有唯一的路径，且经过的区域不能重复)利用区域连通法，判断下列几个图形是否为一笔画图形分析：首先对图形进行区域划分，如下：图1.区域1到区域2是单连通，可以一笔画。
一笔画问题
一笔画问题画一个图案，如果用笔既不重复也不遗漏，纸不离笔，一笔画成，那么就称这个图案是一笔画图案.现在我们来研究的问题是：（1）怎样的图案才能一笔画成？（2）如果一个图案能一笔画成，那么该从哪里起笔到哪里收笔？需提醒大家的是，这些问题与图案中的“奇点”的个数有关.何谓奇点呢？我们知道，任何图案都是由线条（直线或曲线）连成的.在图案中，由三条或三条以上的方向各不相同的线连接在一起的点叫做图案点，通过图案点的线是奇数条就称奇点（当然，通过图案点的线是偶数条就称偶点，现在只需回答前面的问题而与偶点无关）.例如，在下面各图案中的奇点个数见统计表（请读者对照图案辨认奇点）.统计表：接着就请读者朋友拿起你的笔来逐个试画以上各图案，看能否一笔画成，将结论填在统计表内.并注意体会能一笔画的图案应该怎样画.最后，请根据上表归纳出前面两个问题的答案.【规律】（1）奇点数为0或2的图案可以一笔画成.奇点数多于2的图案不能一笔画成.（2）画奇数为0的图案时，可以选择任意点起笔都能一笔画成；画奇数为2的图案时，必须选择其中的一个奇点起笔，而到另一个奇点收笔才能一笔画成.【练习】1.下面各图案，能一笔画出来吗？试一试.2.容易看出，下面的两个图案都不能一笔画成，请在每个图案上各补画一条线就能使新图案一笔画成了.会吗？3.这是大数学家欧拉曾经研究过的一个著名数学问题----七桥问题.东普士的多尼斯堡城中有一条横贯城区的河流，河上有两个岛，两岸和两岛之间共架有七座桥、如下图所示：问人们能不重复地走遍这七座桥吗?4.回龙州公园的游览点与路线示意图如下.如果要使游人游完所有的游览点而不重复行走的路线，请问入口处和出口处应该设在什么位置?如果一个图形可以用笔在纸上连续不断而且不重复地一笔画成，那么这个图形就叫一笔画。
显然，在下面的图形中，(1)(2)不能一笔画成，故不是一笔画，(3)(4)可以一笔画成，是一笔画。
同学们可能会问：为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点？关于这个问题有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。
一笔画问题
在行测考试中，图形推理中的一笔画问题，一直都是考生在考试中容易失分的题目。
其实主要问题存在于几个方面。
一、考生无法判断，什么样的图形考查的是一笔画;二、对一笔画图形的判断方法不了解。
接下来，中公教育专家卢志喜会从这两个方面给大家揭开一笔画的神秘面纱。
一、什么样的图形是一笔画图形定义：一笔画图形是一个图形从起点到终点可由一笔画成而中间没有间断，一笔画图形点可以重复，而线不可以重复。
一笔画图形具有两个比较明显的特点。
①图形相异;②图形简单;③图形一部分。
因此考生在复习图形推理时，除了要掌握相异图形常考的考点，点、线之外，还要掌握一笔画。
在复习备考的过程中首先要掌握一些简单的一笔画图形。
例如：长方形、正方形、三角形、五角星、圆。
当出现这些基本图形，或者在简单图形上增减了部分线条时，有一定的敏感性。
二、如何判断一个图形是否是一笔画图形方法一、奇偶点判断法奇点：从一个点引出的线条数为奇数;偶点：从一点引出的线条数为偶数。
规律：⒈凡是奇点数为2或者0的图形，一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
(利用奇点数判断，图形必须是一部分，比如“回”，奇点数为0，但是不能一笔画)2.其他情况的图都不能一笔画出。
(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。
)利用奇偶点法判断下列几个图形是否为一笔画图形，非一笔画图形需几笔画成?分析：图形1.奇点数为2，偶点为2，可以一笔画成。
图2.奇点为0，偶点为3，可一笔画。
图3.奇点为6，偶点为0，三笔可画成。
图4.奇点为0，偶点为10，可一笔画。
图5.奇点为4，偶点为5，可2笔画。
图6.奇点为4，可2笔画。
奇偶点判断法规律适合一切一笔画图形。
方法二、区域连通法规律：1、平面内区域可以构成两两连通的区域(表示图形没有单独的出头的线条)，且区域之间属于单连通，这样的图形可以一笔画。
(单连通表示从一个区域到另一个区域只有唯一的路径，且经过的区域不能重复)利用区域连通法，判断下列几个图形是否为一笔画图形?分析：首先对图形进行区域划分，如下：图1.区域1到区域2是单连通，可以一笔画。
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能不能既不重 复又不遗漏地 一次相继走遍
这七座桥？
能不能既不重 复又不遗漏地 一次相继走遍
这七座桥？
①
⑥
②
⑤
⑦
③ ④
直到1836年，瑞士著名的数学家欧拉才 证明了这个问题的不可能性。
能一笔画成。从一个奇点出发，到 另一个奇点结束。
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中12个交点都是偶点。
能一笔画成。从任一个偶点出发， 还到这个偶点结束。
起点 终点
起点 终点
一个连通的图形，我们要根据图形中奇点的个数 来判断能否一笔画成：
（1）凡没有奇点，只有偶点的图形，一定可以一 笔画成。画时可从任意偶点起笔，最后仍回到这点。
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形（如下图）能否一笔画出的问题了.
• 把河的两岸、两个小岛看成四个点 • 把七座桥看成是七条线 • 转化成数学模型后如图所示
任何图形都是由点、线组成.图形中的点可以分 为偶点和奇点两大类。
从一个点出发的线的数量 是偶数的叫偶点。
从一个点出发的线的数量 是奇数的叫奇点。
A A是偶点。 B B是奇点。
下面哪些是奇点，哪些是偶点？
1.奇点 4. 奇点
2.偶点 5.偶点
3.偶点
偶
偶
偶
奇
奇
活动： 以同桌为单位，讨论下列图形的单数点、双数点的
保持笔尖不离开纸， 描出图中每一条线， 且每条线只能描一
次。
“乡村少年宫” 兴趣数学班第六 讲
从图形上某一点出发，连续不断又不重复，一笔画 成某种图形，这种图形就叫一笔画。
下面的图形能一笔画成吗？
为什么有的图形能一笔画成，有的图形却不 能一笔画成呢？一笔画图形有哪些特点? 研究一笔 画问题，先要了解图形的特点。
A D
C
B
蚂 蚁 赛
一只红蚂蚁和一只黄蚂蚁比赛 看谁能爬过所有的棱线，最终 到达终点D.已知它们的爬速相 同，哪只蚂蚁能获胜？
跑
分析：
图中只有两 个奇点，可 以一笔画。 即可以不重 复的走遍每 一条棱线。
红蚂蚁获胜！
但是只有 从奇点出 发才能一 笔画，所 以红蚂蚁 选对了出 发点哦！
个数，试试能不能一笔画成，完成表格。
图形
单数点个数 双数点个数
0
4
是否是 一笔画
√
0
3
√
2
1
√
2
2
√
2
4
√
4
0
×
起点、终点
A、B、C、D
A、B、C
以A、D为起 点、终点
以B、D为起 点或终点
以F、C为起 点、终点
4
5
×
下图能一笔画出来吗？如果能该怎么画？
图中共有4个交点，其中2个偶点， 2个奇点。
（2）凡只有两个奇点的图形，一定可以一笔画成。 画时要以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）奇点为1个或超过两个的图形就不能一笔画成。
判断下列图形能否一笔画成，再试着画一画。
偶点
偶点
不连通
偶点
偶点
偶点偶点
奇点
偶点
偶点 偶点
பைடு நூலகம்
奇点
偶点
偶点
偶点
奇点
奇点 偶点 偶点 奇点 偶点 奇点
故事发生在18世纪的 哥尼斯堡城.流经那里 的一条河中有两个小 岛，还有七座桥把这 两个小岛与河岸联系 起来，