16-3 二元函数的连续性
高等数学第一节 多元函数概念二元函数极限和连续性-精品文档
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二、二元函数的极限
定义 2 设函数 z = f (x , y)在点 P0(x0 , y0) 的某一邻域内有定义(点 P0 可以除外)，如果当 点 P(x , y)无限地接近于点 P0(x0 , y0)时， 恒有 则称 A f(P) A (ε 是指任意地小的正数), 为函数 z = f (x , y) 当 ( 时的极 x ,y ) ( x ,y ) 0 0 限，记为
2. 二元函数的定义域
二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线 所围成的区域，用 D 表示. 围成区域的曲线称为 区域的边界，不包括边界的区域称为开区域. 连 同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以 被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内， 则称此区域为有界区域; 否则称为无界区域. 开区域内的点称为内点，而边界上的点称为边界
0 与之 根据给定的关系，V就有一个确定的值 V0 RT
对应.
P 0
例 3 长方体 V 和 的 它 体 x 的 、 积 长 宽 y 、 度 度
高 z 之 度间 有 关 系
Vxyz ，
x, y, z, V是四个变量. 当其中三个变量x，y，z在其 变化范围（x > 0, y > 0, z > 0）内任意取定一组数 值x0, y0, z0时， 根据给定的关系，V就有一个确定的 值V x y z 0 0 0 0与之对应. 仅从数量关系来研究，它们有共同属性，据
x 2 y 3
≤
1 ,
≤
1,
y
3
即
2≤ x≤ 2 , 3 ≤ y ≤ 3,
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高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
二元函数的连续性
D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.
数学分析16.3二元函数的连续性
第十六章 多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1：设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数，P 0∈D(聚点或孤立点).对于任给正数ε，总存在相应的正数δ，只要P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，就有 |f(P)-f(P 0)|<ε，则称f 关于集合D 在点P 0连续. 在不致误解的情况下，也称f 在点P 0连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.注：若P 0是D 的孤立点，则必为f 关于D 的连续点；若P 0是D 的聚点，则f 关于D 在P 0连续等价于DP P P 0lim ∈→f(P)=f(P 0)， 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠f(P 0)，则聚点P 0是f 的不连续点(或称间断点). 若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ≠f(P 0)，则P 0是f 的可去间断点.如：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2和f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，， 在原点连续；函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012在原点不连续；函数f(x,y)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+)0,0()y x,(m 1m }0 x mx,y |)y x,{()y x,(y x xy 222，，，m 为固定实数，即f 只定义在直线y=mx 上，∵mx y )0,0()y ,x (lim =→f(x,y)=2m1m +=f(0,0)， ∴f 在原点沿着直线y=mx 连续.例1：讨论函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x x 22α，，, (α>0)在点(0,0)的连续性. 解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.当(x,y)≠(0,0)时，22αy x x +=2ααr φcos r →⎪⎩⎪⎨⎧<<∞=>2α02α，2α0，，不存在,(r →0)； ∴当α>2时，f 在点(0,0)连续；当0<α≤2时，f 在点(0,0)间断.定义2：设P 0(x 0,y 0), P(x,y)∈D, △x=x-x 0, △y=y-y 0, 则称△z=△f(x 0,y 0)=f(x,y)-f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)为函数f 在点P 0的全增量. 当D )y ,x ()y ,x ()y ,x (00lim ∈→∆∆△z=0时，f 在点P 0连续.若在全增量中取△x=0或△y=0，则相应的函数增量称为偏增量，记作： △f(x 0,y 0)=(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0)，△f(x 0,y 0)=(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.0x lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示固定y=y 0时，f(x,y 0)作为x 的一元函数在x 0连续.同理，0y lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示f(x 0,y)在y 0连续. 但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)=⎩⎨⎧=≠0xy 00xy 1，， 在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0，即 在原点处f 对x 和对y 都连续.定理16.7：(复合函数的连续性)设函数u=φ(x,y)和v=ψ(x,y)在xy 平面上点P 0(x 0,y 0)的某邻域内有定义，并在点P 0连续；函数f(u,v)在uv 平面上点Q 0(u 0,v 0)的某邻域内有定义，并在点Q 0连续，其中u 0=φ(x 0,y 0), v 0=ψ(x 0,y 0)，则复合函数g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续. 证：由f 在点Q 0连续知，∀ε>0，∃η>0，使得当|u-u 0|<η, |v-v 0|<η时， 有|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε. 又由φ,ψ在点P 0连续知，对上述正数η，∃δ>0， 使得当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，都有|u-u 0|=|φ(x,y)-φ(x 0,y 0)|<η， |v-v 0|=|ψ(x,y)-ψ(x 0,y 0)|<η，即当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，就有 |g(x,y)-g(x 0,y 0)|=|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε，∴复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续.二 、有界闭域上连续函数的性质定理16.8：(有界性与最大、最小值定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f 在D 上无界，则对每个正整数n ，必存在点P n ∈D ，使得 |f(P n )|>n, n=1,2,…. 于是得到一个有界点列{P n }⊂D ，且总能使 {P n }中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，{P n }存在收敛子列{P k n },记∞→k lim P k n =P 0，∵D 是闭域，∴P 0∈D ，又f 在D 上连续， ∴∞→k lim f(P k n )=f(P 0)，与|f(P n )|>n, n=1,2,…矛盾，∴f 在D 上有界. 设m=inff(D)，M=supf(D). 若对任意P ∈D, 有M-f(P)>0，记F(P)=f(P)-M 1 , 则函数F(P)连续，恒有F(P)>0，F 在D 上有界， 由设f 不能在D 上达到上确界M ，∴存在收敛点列{P n }⊂D ，使得∞→n lim f(P n )=M ，于是有∞→n lim F(P n )=+∞，与F 在D 上有界矛盾， ∴f 在D 上有最大值M ；同理可证，f 在D 上有最小值m.定理16.9：(一致连续性定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上一致连续，即对任给的ε>0，总存在只依赖于ε的正数δ， 使得对一切点P ,Q ∈D ，只要ρ(P ,Q)<δ，就有|f(P)-f(Q)|<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在某ε0>0，对任意小的δ>0， 如取δ=n 1, n=1,2,…，总有相应的P n ,Q n ∈D ，虽然ρ(P n ,Q n )<n1，但是 |f(P n )-f(Q n )|≥ε0. ∵D 为有界闭域，∴存在收敛子列{P k n }⊂{P n }， 记∞→k lim P k n =P 0∈D ，并在{Q n }中取出与P k n 下标相同的子列{Q k n }，则 ∵0≤ρ(P k n ,Q k n )<kn 1→0, k →∞，∴∞→k lim Q k n =∞→k lim P k n =P 0，又 由f 在P 0连续，∴∞→k lim |f(P k n )-f(Q k n )|=|f(P 0)-f(P 0)|=0，与|f(P k n )-f(Q kn )|≥ε0>0矛盾！∴f 在D 上一致连续.定理16.10：(介值性定理)设函数f 在区域D ⊂R 2上连续，若P 1,P 2为D 中任意两点，f(P 1)<f(P 2)，则对任何满足不等式f(P 1)<μ<f(P 2)的实数μ，必存在点P 0∈D ，使得f(P 0)=μ.证：记F(P)=f(P)-μ, P ∈D ，则F(P)在D 上连续，且F(P 1)<0<F(P 2). 不妨设P 1,P 2为D 的内点，∵D 为区域，∴D 中有限折线可联结P 1,P 2， 若某一联结点P 0’, 有F(P 0’)=0，则f(P 0’)=μ，得证；否则， 必存在某联结线段Q 1Q 2两端的函数值异号，设Q 1Q 2所在直线方程为： ⎩⎨⎧+=+=)y -t(y y y )x -t(x x x 121121, 0≤t ≤1，其中Q 1(x 1,y 1)和Q 2(x 2,y 2)为线段两端点； 则在此线段上，F 表示为关于t 的复合函数：G(t)=F(x 1+t(x 2-x 1),y 1+t(y 2-y 1)), 0≤t ≤1，在[0,1]一元连续，且 F(Q 1)=G(0)<0<G(1)=F(Q 2). 由一元函数根的存在定理知，在(0,1)内存在一点t 0, 使得G(t 0)=0. 记x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1)， 则有P 0(x 0,y 0)∈D ，使得F(P 0)=G(t 0)=0，即f(P 0)=μ.注：定理16.8与定理16.9的有界闭域D 可改变有界闭集；为了保证连通性，定理16.10只适合区域，且由介值性定理可知，区f 在区域D 上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题1、讨论下列函数的连续性：(1)f(x,y)=tan(x 2+y 2)；(2)f(x,y)=[x+y]；(3)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0y 00y y x y sin ，，； (4)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy sin 222222，，；(5)f(x,y)=⎩⎨⎧为有理数为无理数x y x 0，，；(6)f(x,y)=⎩⎨⎧=+≠++0y x 00y x )y x ln(y 2222222，，；(7)f(x,y)=x siny sin 1；(8)f(x,y)=y x-e . 解：(1)记D={(x,y)|0≤x 2+y 2<2π∪{(x,y)|21-2k π<x 2+y 2<212k +π, k ∈N}}， 当(x 0,y 0)∈D 时，由tanu 在u 0=x 02+y 02连续知，)y ,x ()y ,x (00lim →tan(x 2+y 2)=0u u lim →tanu= tanu 0=tan(x 02+y 02)， ∴f(x,y)在(x 0,y 0)连续，即f(x,y)在D 上连续，又f 在R 2-D 上无定义，∴f 在R 2-D 上处处间断.(2)记D={(x,y)|k<x+y<k+1,k ∈Z}，且P 0(x 0,y 0)∈D ，则存在k ∈Z,使 k<x 0+y 0<k+1，于是当δ>0充分小时，对任意的(x,y)∈U(P 0;δ)，就有 k<x+y<k+1，从而f(x,y)≡k ≡f(x 0,y 0)，∴)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，∴f 在D 上连续，在R 2-D(即x+y=k)处处不连续.(3)∵yxy sin ≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又当y ≠0时，f(x,y)是初等函数且在{(x,y)|y ≠0}有定义，∴f(x,y)在D={(x,y)|y ≠0}∪{(0,0)}上连续. 又在任一点(x 0,0)≠(0,0)处， ∵f(x 0,0)=0而)0,x ()y ,x (0lim →f(x,y)≠0，∴f 在(x 0,0)间断，即f 仅在D 上连续.(4)当x 2+y 2≠0时，22y x xysin +≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)， ∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又f(x,y)在R 2-(0,0)上有定义且为初等函数， ∴f(x,y)在R 2上连续.(5)设(x 0,y 0)∈R 2，则当x 0为有理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)-y 0|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y -y |x |y |00，，；当x 0为无理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y |x 0，，； ∴当且仅当y 0=0时，)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，即f 仅在D={(x,y)|y=0}上连续.(6)在x 2+y 2≠0的点处，f 是初等函数且有定义，又|y 2ln(x 2+y 2)|≤|(x 2+y 2)ln(x 2+y 2)|→0, (x,y)→(0,0)，即)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在R 2上连续. (7)直线x=m π及y=n π, (m,n=0,±1,±2,…)上的点均为f 的不连续点. 而在D={(x,y)x ≠n π或y ≠n π, n ∈N}上f 有定义且为初等函数， ∴f 仅在D 上连续，即除直线x=m π及y=n π以外的点，f 都连续.(8)∵u=-yx 在其定义域D={y|y ≠0}上连续，又f=e u 关于u 连续， 由复合函数的连续性知f 在其定义域D 上连续.2、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.解：局部保号性：若函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续，且f(x 0,y 0)≠0， 则函数f(x,y)在点P 0的某一邻域U(P 0;δ)内与f(x 0,y 0)同号，并存在某正数r(|f(x 0,y 0)|>r)，使得对任意(x,y)∈U(P 0;δ)，有|f(x,y)|≥r>0.证明如下： 设f(x 0,y 0)>0，则存在r ，使f(x 0,y 0)>r>0，取ε=f(x 0,y 0)-r>0， 由f 在 (x 0,y 0)连续知，∃δ>0，使得当(x,y)∈U(P 0;δ)时，有|f(x,y)-f(x 0,y 0)|<ε=f(x 0,y 0)-r ，即当(x,y)∈U(P 0;δ)时，f(x,y)≥f(x 0,y 0)-ε=r>0. 当f(x 0,y 0)<0时，任取0<r<-f(x 0,y 0)，由上可知存在U(P 0;δ)，使得 在其上-f(x,y)≥r>0，即f(x,y)≤-r<0.∴f 在U(P 0;δ)上与f(x 0,y 0)同号，且|f(x,y)|≥r>0.3、设f(x,y)=()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x x 2222p 22，，, p>0，讨论它在点(0,0)处的连续性. 解：当x 2+y 2≠0时，()p 22y x |x |+≤|x 1-2p |→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞=<<21p ，21p ，121p 00，, (x,y)→(0,0)； ∴当0<p<21时，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，f 在(0,0)连续； 当p ≥21时，f 在(0,0)不连续.4、设f(x,y)定义在闭矩形域S=[a,b]×[c,d]上. 若f 对y 在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续，证明f 在S 上处处连续. 证：设(x 0,y 0)∈S ，对固定的x 0, f 为y 的连续函数，即∀ε>0，∃δ1>0， 当|y-y 0|<δ1，且(x 0,y)∈S 时，有|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<2ε，又由f 对x 关于y 为一致连续，∴对上述的ε>0，∃δ2>0，对满足 |y-y 0|<δ2的任何y ，只要|x-x 0|<δ2，且(x,y)∈S ，便有|f(x,y)-f(x 0,y)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则只要|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ，且(x,y)∈S ，总有 |f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x 0,y)|+|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在S 上连续.5、证明：若D ⊂R 2是有界闭域，f 为D 上的连续函数，且f 不是常数函数，则f(D)不仅有界，而且是闭区间.证：若f 在D 上恒为常数，则f(D)为单点集，从而有界.若f在D上不恒为常数，由定理16.8知：f在D上有界且能取得最大值、最小值，分别设为M,m，则m<M且m≤f(P)≤M,(P∈D)，即f(D)⊂[m,M]. 下证f(D)⊃[m,M].任给μ∈[m,M]，由介值定理知，必存在P0∈D使f(P0)=μ，∴μ∈f(D)，∴f(D)⊃[m,M]，∴f(D)=[m,M]为闭区间.6、设f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续，又有函数列{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，且c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…. 试证{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.证：∵f(x,y)在D=[a,b]×[c,d]上连续，∴对任意(x0,y0)∈D, ∀ε>0，∃δ>0，使得当|x-x0|<δ,|y-y0|<δ，且(x,y)∈D时，有|f(x,y)-f(x0,y0)|<ε.∵{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，∴对上述δ，∃N, 使得当n,m>N时，对一切x∈[a,b]，有|φn(x)-φm(x)|<δ.由c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…知，φn(x),φm(x)∈[c,d].又f(x,y)在(x,φm(x))∈D连续，对(x,φn(x))∈D及上述ε, δ, N，有x∈[a,b]，|x-x|=0<δ, |φn(x)-φm(x)|<δ，∴|f(x,φn(x))-f(x,φm(x))|=|F n(x)-F m(x)|<ε.∴{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.7、设f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，对y满足利普希茨条件：|f(x,y’)-f(x,y”)|≤L|y’-y”|, 其中(x,y’),(x,y”)∈G，L为常数. 试证明：f在G上处处连续.证：∵f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，∴任取P0(x0,y0)∈G，固定y0，∀ε>0，∃δ1>0，使得对(x,y 0)∈G ，当|x-x 0|<δ1时，有|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε； 又f 对y 满足利普希茨条件，对上述ε，取δ2=L 2ε，则当|y-y 0|<δ2时， 有|f(x,y)-f(x,y 0)|≤L|y-y 0|<L δ2=2ε；取δ=min{δ1,δ2}，当|x-x 0|<δ,|y-y 0|<δ，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x,y 0)|+|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε+2ε= ε.∴f 在P 0(x 0,y 0)连续，由P 0的任意性知，f 在G 上处处连续.8、若一元函数φ(x)在[a,b]上连续，令f(x,y)=φ(x), (x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞).试讨论f 在D 上是否连续，是否一致连续？解：(1)任取(x 0,y 0)∈D ，∵φ(x)在[a,b]上连续，从而φ(x)对x 0连续， ∀ε>0，∃δ>0，使当x ∈[a,b]且|x-x 0|<δ时，有|φ(x)-φ(x 0)|<ε， ∴当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ且(x,y)∈D 时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|φ(x)-φ(x 0)|<ε， 即f(x,y)在(x 0,y 0)连续，从而在D 上连续.(2)∵φ(x)在[a,b]上连续，从而一致连续. ∀ε>0，∃δ>0，使当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，从而当(x ’,y ’),(x ”,y ”)∈D 且|x ’-x ”|<δ, |y ’-y ”|<δ时，有x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ，从而 |f(x ’,y ’)-f(x ”,y ”)|=|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，∴f 在D 上一致连续.9、设f(x,y)=x y 11-, (x,y)∈D=[0,1)×[0,1)， 证明：f 在D 上连续，但不一致连续.证：∵f 是在D 上有定义的初等函数，∵f 是在D 上连续.取ε0=21，无论正数δ取得多么小，当P 1=(1n n +,1n n +),P 2=(n 1-n ,n1-n )取到某个n 时, 总能使|P 1-P 2|<δ, 且P 1,P 2∈D ， 但|f(P 1)-f(P 2)|=221)(n n 11+-- 22n 1)-(n 11-=1n 2)1n (2++-1n 2n 2-=22n 1-4n 1-2>21=ε0， ∴f 在D 上不一致连续.10、设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，并且每当固定x 时，f 对y 是单调的，证明：f 在R 2上二元连续.证：∵f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，∴任取(x 0,y 0)∈R 2，由f(x,y)关于y 连续知，f(x 0,y)在y 0连续，即 ∀ε>0，∃δ1>0，使当|△y |<δ1时，有|f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<2ε； 对于点(x 0, y 0±δ1)，由f(x,y)关于x 连续知，f(x,y 0±δ1)在x 0连续，即 对上述ε，∃δ2>0，当|△x|<δ2时，有|f(x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则当|△x|<δ, |△y|<δ时，由f(x,y)关于y 单调知， |f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|≤max{|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|}.又 |f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|≤|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|+|f(x 0, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|<2ε+2ε=ε. ∴当|△x|<δ, |△y|<δ时，就有|f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在点(x 0,y 0)处连续，由点(x 0,y 0)的任意性可知，f 在R 2上二元连续.。
二元函数连续性
所以 lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2 ( x, y)→(0,0) = f (0,0) =1
例５ 求极限 lim ln(x + ey )
f
(x,
y)在P0 (x0 ,
y 0 )连续
⇔
lim
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
∆z
=
0
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 Hale Waihona Puke 明清一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
设二元函数f (x, y)的定义域为D ⊂ R2 ,
P0 (x0 , y0 )是D的聚点，且P0 ∈ D.如果
lim
( x, y)→( x0 , y0 )
f (x, y) =
f (x0 , y0 )
则称函数f (x, y)在P0 (x0 , y0 )连续。否则， 称f (x, y)在P0 (x0 , y0 )间断，P0 (x0 , y0 )为 f (x, y)的间断点。
0,
x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性．
解：取 y = kx
lim
x→0 y→0
xy x2 + y2
=
lim
x→0 y = kx
二元函数的连续性
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
0 (Pnk , Qnk )
1 nk
0， k
得到
而有lim k
Qnk
lim
k
Pnk
P0，最后，由f在P0连续，
lim
证明 由f在点Q0连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 使得当u u0 , v v0 时，有 f (u,v) f (u0 ,v0 ) 又由、在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当x x0 ,
y y0 时，都有 u u0 (x, y) (x0 , y0 ) v v0 (x, y) (x0 , y0 )
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
可证必有一点 Q D，使f (Q) M。否则对任意 P D，都有M f (P) 0
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
由于
lim f (x, y) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
1 m2
ymx
因此f在原点沿着直线 y mx是连续的。
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
二元函数的极限与连续性
f
( x,
y)
0，
其余部分.
如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时, 相应的 f ( x, y) 都趋于 0, 但这并不表明此函数在
( x, y) (0, 0) 时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线
y kx2(0 k 1) 趋于点 O 时, f ( x, y)将趋于1. 所
以极限 lim f ( x, y) 不存在. ( x, y) (0,0)
例5 讨论 f ( x, y) x y 在 ( x, y) (0, 0) 时不 x y
存在极限． 解 利用定理 5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿 着此二路径而使 ( x, y) (0, 0) 时, 得到两个相异 的极限．
定理 5 lim f (P) A 的充要条件是：对于 D 的 P P0 PD
任一子集 E,只要 P0 仍是 E 的聚点,就有 lim f (P) A .
P P0 PE
推论1
若
E1 D, P0
是 E1 的聚点, 使
lim
P P0
f (P)
PE1
不存在, 则 lim f (P) 也不存在． P P0 P D
时，由于
f (x,
y)
m f (x, mx) 1 m2
,
因此有
m
( x,
lim
y) (0, 0)
f
( x,
y)
lim
x0
f
( x,
mx)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m2
.
y mx
这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应
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以及相应的有理运算的各个法则.
定理16.7 (复合函数的连续性) 设函数 u ( x, y)和
v ( x, y)在点 P0( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义, 并在
点 P0 连续; f (u, v) 在点 Q0(u0 ,v0 ) 的某邻域内有定 义, 并在点 Q0 连续, 其中
因此 lim f ( x, y) 0 f (0,0), 此时 f 在原点连 ( x, y) (0,0)
续; 而当 2 时, lim f ( x, y) 不存在，此时 f ( x, y) (0,0)
在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 P0( x0 , y0 )、P( x, y) D, x x x0 , y y y0, 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0, y0 )
则对任何满足不等式
f (P1 ) f (P2 )
(4)
的实数 , 必存在点 P0 D , 使得 f (P0 ) .
注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有 界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理 中所考察的点集 D 只能假设是一区域, 这是为了保 证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具 有连通性的. 注2 由定理16. 10 又可知道, 若 f 为区域 D 上的连 续函数, 则 f (D) 必定是一个区间 (有限或无限).
如
lim
x0
x
f ( x0 ,
y0 ) 0,
则表示当固定 y y0 时, f ( x, y0 ) 作为 x 的函数, 它
在 x0 连续.
同理,
若
lim
y0
y
f ( x0 ,
y0 )
0,
则表示当
固定 x x0 时，f ( x0 , y) 在 y0 连续.
容易证明: 当 f 在其定义域的内点 ( x0 , y0 ) 连续时,
上的连续函数.
由上述定义知道: 若 P0 是 D 的孤立点,则 P0 必定是
f 的连续点. 若 P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
§3 二元函数的连续性
无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同.
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
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一、二元函数的连续性概念
※ 连续性的定义
增量称为偏增量, 分别记作 x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ), y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和.
若一个偏增量的极限为零,
称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f (P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点.
例1 讨论函数
x
f
(
x,
y)
x2 y2
,
( x, y) (0,0),
( பைடு நூலகம்0)
0,
( x, y) (0,0),
在坐标原点的连续性．
解 由于当 2 且 r 0 时,
f (r cos , r sin ) r 2(cos ) r 2 0,
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 为函数 f 在点 P0 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 量形式来描述连续性, 即当
lim z 0
( x, y) (0, 0) ( x, y)D
时, f 在点 P0 连续. 如果在全增量中取 x 0 或 y 0, 则相应得到的
f ( x, y0 ) 在 x0 与 f ( x0 , y)在 y0 都连续. 但是反过来,
由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数
1， xy 0, f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
u0 ( x0 , y0 ), v0 ( x0 , y0 ).
则复合函数 g( x, y) f (( x, y), ( x, y) ) 在点 P0 也
连续.
二、有界闭域上连续函数的性质
本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元 函数 f 在有界闭域 D R2 上连续, 则 f 在 D上有界, 且能取得最大值与最小值. 定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域
D R2上连续, 则 f 在 D 上一致连续. 即 0, 存 在只依赖于 的 0, 使得对一切满足 (P, Q) 的点 P,Q D, 必有 | f (P) f (Q) | .
定理16.10 ( 介值性定理 ) 设函数 f 在区域 D R2
上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且 f (P1 ) f (P2 ),
定义1 设 f 为定义在点集 D R2上的二元函数, P0
D. 若 0, 0, 只要 P U (P0; ) I D , 就有
| f (P) f (P0 ) | ,
(1)
则称 f 关于集合 D 在点 P0 连续.在不致误解的情形
下, 也称 f 在点 P0 连续.
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D