函数的定义域和值域练习题解析

函数的定义域和值域练习
题解析
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
函数的定义域和值域
1．函数y＝的定义域是()
A．{x|x<0}B．{x|x>0}
C．{x|x<0且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1，x∈R}
解析：依题意有，解得x<0且x≠－1，故定义域是{x|x<0，且x≠－1}．
答案：C
2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()
A.[2,5]B．
解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．答案：D
3．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是()
A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析：要使g(x)有意义，则解得0≤x<1，所以g(x)的定义域为[0,1)
答案：B
4．函数y＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()
A．(－∞，0)∪B．(－∞，2]
∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)
解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，则x－1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴∈(－∞，0)∪
答案：A
5．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()
A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1
解析：当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1，其定义域和值域均为R，所以只有C有可能，而A、B、D均不符合要求，故选C.答案：C
6．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是()
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞)D．[1，＋∞)
解析：由f(x)≥0可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.
又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型．而f[g(x)]的值域是[0，＋∞)，知g(x)≥0，故选C.答案：C
7．(2012·东北师大附中月考)已知函数y＝f(2sin x)的定义域为(k∈Z)，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：由于函数y＝f(2sin x)的定义域为
(k∈Z)，所以函数u＝2sin x的值域为[－1,2]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]
8．(2012·南京模拟)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．解析：若m＝0，则f(x)＝的定义域为R；若m≠0，则Δ＝16m2－12m<0，得0<m<，综上可知，所求的实数m的取值范围为.答案：
9．若函数y＝f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________．
解析：令t＝f(x)，则≤t≤3，由g(t)＝t＋在区间上单调递减，在[1,3]上单调递增，所以g＝，g(1)＝2，g(3)＝，故函数g(t)的值域是，即F(x)的值域是.
答案：
10．求下列关于x的函数的定义域和值域：
(1)y＝－；(2)y＝log2(－x2＋2x)；(3)
解：(1)．
∵函数y＝－为减函数，
∴函数的值域为[－1,1]．
(2)要使函数有意义，则－x2＋2x>0，∴0<x<2.
∴函数的定义域为(0,2)．
又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]，
∴log2(－x2＋2x)∈(－∞，0]．
即函数的值域为(－∞，0]．
(3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}，
函数值域为{2,3,4,5,6,7}．
11．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，
(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解：(1)设x1>x2>0，则x1－x2>0.
x1x2>0，
∵f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝>0，
∴f(x1)>f(x2)，因此，函数f(x)是在(0，＋∞)上的单调增函数．
(2)∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
∴f＝，f(2)＝2，即－2＝，－＝2.
解得a＝.
12．已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的值域．
(2)设函数g(x)＝ax－2，x∈[－2,2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当x∈[－2，－1)时，f(x)＝x＋在[－2，－1)上是增函数，此时f(x)∈；
当x∈时，f(x)＝－2；
当x∈时，f(x)＝x－在上是增函数，
此时f(x)∈.
∴f(x)的值域为∪.
(2)①若a＝0，g(x)＝－2，对于任意的x1∈[－2,2]，
f(x1)∈∪，
不一定存在x0∈[－2,2]使得g(x0)＝f(x1)成立．
②若a>0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是增函数，
g(x)∈[－2a－2,2a－2]，
任给x1∈[－2,2]，f(x1)∈∪，
若存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，
则∪[－2a－2,2a－2]，
∴a≥；
③若a<0，g(x)＝ax－2在[－2,2]上是减函数，g(x)∈[2a－2，－2a－2]，
∴a≤－.
综上可得，实数a的取值范围是
∪.。