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第三章 线性系统的时域分析与校正

习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应

t e t k 25.10125.0)(-=

试求系统闭环传递函数)(s Φ。

解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程

T c t c t r t r t ∙∙

+=+()()()()τ

近似描述，其中，1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-+=τln 693.0

t T r =22. T T T t s ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

-+=)ln(

3τ 解 设单位阶跃输入s

s R 1)(= 当初始条件为0时有：

1

1

)()(++=Ts s s R s C τ 1

11

11)(+--

=

⋅

++=

∴

Ts T s s Ts s s C τ

τ

C t h t T T

e t T

()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时

h t T T

e t t

d ()./==---051τ

12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴

T T T t d τln 2ln

2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)

当 T

t e

T

T t h /219.0)(---

==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 T

t e

T

T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==2109

01

22ln ... 3) 求 t s

T

t s s e

T

T t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln T

T T T T T T T T t s τ

ττ-+=+-=--=∴

3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

111)(212211211

+=+=+

=ΦK K s

K K K s K s

K K s K s

令闭环增益21

2

==

ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03

32

1≤=

=K K T t s ，得：151≥K 。 3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。

（1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时

间？

（2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a ）系统： 1

101

110)(+=

+=

s s K s G a ， 时间常数 10=T 632.0)(=T h （a ）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；

对（a ）系统：1

101

10101100

10110100

)(+=+=Φs s s b ， 时间常数 10110=

T 632.0)(=T h （b ）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a ）系统： 1)

()

()(==

s N s C s G n 1.0)(=t n 时，该扰动影响将一直保持。

对（b ）系统： 101101

101

1010011)

()

()(++=++

==

Φs s s s N s C s n 1.0)(=t n 时，最终扰动影响为001.0101

1

1.0≈⨯

。 3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图3-47）和所测数据,并假设传递函数为

)

()()()(a s s K

s V s s G +=Θ=

可求得K 和a 的值。

若实测结果是：加10V 电压可得1200m in r 的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s ，试求电机传递函数。

提示：注意

a s K s V s +=Ω)()(，其中dt

d t θ

ω=)(，单位是s rad

解 依题意有： 10)(=t v （伏） ππ

ω4060

21200)(=⨯=

∞ （弧度/秒） （1）

πωω20)(5.0)2.1(=∞= （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 a

s K

s V s s G +=Ω=

)()()(0 应有 πω401010lim )()(lim )(0

00

==+⋅⋅

=⋅=∞→→a

K a s K s s s V s G s s s （3） [][]

at

e a K a s s L a K a s s K L s V s G L t -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=⋅=1101110)(10)()()(1101ω 由式（2），（3） [][]

ππω20140110)2.1(2.12.1=-=-=

--a a e e a

K

得 5.012.1=--a

e

解出 5776.02

.15

.0ln =-=

a （4） 将式（4）代入式（3）得 2586.74==a K π

3-6 单位反馈系统的开环传递函数)

5(4

)(+=

s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间

t s 。

解：依题，系统闭环传递函数

)1)(1(4)

4)(1(4

454)(2

12

T s T s s s s s s ++

=++=++=

Φ ⎩⎨

⎧==25

.01

21T T

4

1)4)(1(4

)()()(210++++=++=

Φ=s C s C s C s s s s R s s C

1)

4)(1(4

lim

)()(lim 00

0=++=Φ=→→s s s R s s C s s

3

4

)4(4lim

)()()1(lim 0

1

1-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s