全等三角形培优训练
《全等三角形》培优练习题
A B C D E F O 《全等三角形》培优练习题一、在较复杂图形中寻找所需全等三角形解决问题例1、已知：如图，△ABD 和△BEC 均为等边三角形，M 、N 分别为AE 和DC 的中点，那么 △BMN 是等边三角形吗？说明理由．【对应练习】1、已知：如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，∠BAC=∠DAE ，，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）当点B A D ，，在一条直线上，试说明：AM=AN ；（2）将A D E △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请 判断AM=AN 是否成立？并说明你的理由； (3)在旋转的过程中，设直线BE 与CD 相交于点P ，当90°<∠BAC<180°时，请直接 写出∠CPB 与∠MAN 之间的数量关系. 二、通过证两次三角形全等解决问题例2、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，且OA=OB ，OC=OD ，过O 作直线，交AC 于E ，交BD 于F 。
求证：OE=OF 。
【对应练习】2、如图，在Rt △AEB 和Rt △AFC 中，∠E ＝∠F ＝90°，BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC ＝∠FAB ，AE ＝AF ．求证：MB=NCABC EM F DN C E N D A B M 图①C A EM B D N 图②O B A C DE 三、通过转化命题或添作辅助线减少证明三角形全等的次数，简化解题过程例3、已知AB=AC, ∠ABE=∠ACD, 求证: BD=CE.【对应练习】3、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。
四、动点问题例4、如图，△ABC 是边长为5cm 的等边三角形，点P ，Q 分别从顶点A ，B 同时出发，沿线段AB ，BC 运动，且它们的速度都为1cm/s ．当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）连接AQ 、CP ，相交于点M ，则点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．例5、如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点P的运动速度与点Q的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由？②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．【对应练习】4、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q和点P都以3cm/s的速度运动，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点P的运动速度为2cm/s，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度和运动时间t．5、如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=.现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起.现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动，且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点.请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．。
三角形全等培优练习
2、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于 。
3、如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若158∠=，则∠BGE= ． 4、将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且∠CHE ＝40 º，则∠EFB ＝_____.5、如图（1）△ABC 是一个三角形的纸片，点D 、E 分别是△ABC 边上的两点，研究（1）：如果沿直线DE 折叠，如图1，则∠BDA ′与∠A 的关系是_____ __。
研究（2）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA ′、∠CEA ′和∠A 的关系，并说明理由。
研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA ′、∠CEA ′和∠A 的关系，并说明理由。
6、.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.7、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 六个角的和。
7.1如图所示，DE ∥AB ，FG ∥BC，HM ∥CA ，求∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M 的度数．H FE D C B A8、如图所示．（1）图甲是一个五角形ABCDE ，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小吗？（2）如图乙，如果点B 向右移动到AC 上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E •的大小吗？（3）如图丙，点B 向右移动到AC 的另一侧时，（1）的结论成立吗？为什么？（4）如图丁，点B ，E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？9、．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A D F C G EB 图1 A D FC G E B 图2 AD F GE B 图310、已知，如图3，D是的内角与外角的平分线BD与CD的交点，过D作DE//BC，交AB 于E，交AC于F。
《第1章全等三角形》自主学习培优提升训练2021-2022学年苏科版八年级数学上册
2021年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》自主学习培优提升训练（附答案）1．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（）A．105°B．120°C．115°D．135°2．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°3．下列说法：①全等三角形的形状相同、大小相等②全等三角形的对应边相等、对应角相等③面积相等的两个三角形全等④全等三角形的周长相等其中正确的说法为（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④4．如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是（）A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去6．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE7．如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（）A．2B．2.5C．3D．58．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°9．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（）①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）11．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定12．如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是．13．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为．14．在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE 和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．15．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C＝度．16．如图，A、C、N三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，若△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN＝．17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为．18．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有对全等三角形．19．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是．（填序号）20．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝．21．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，①求∠DBC的度数；②求∠AFD的度数．22．如图，AC＝AE，∠C＝∠E，∠1＝∠2．求证：△ABC≌△ADE．23．如图，D、E在△ABC的边AB上，且∠ADC＝∠ACB．求证：（1）∠ACD＝∠ABC；（2）若∠BAC的平分线AF交CD于F，BE+AC＝AB，求证：EF∥BC．24．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．（1）请说明CD＝BD；（2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积．25．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE＝BF．求证：（1）AF＝CE；（2）AB∥CD．26．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，且AE＝BC，ED⊥AB于点D，过A点作AC的垂线，交ED的延长线于点F．求证：AB＝EF．27．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x 的值．28．（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为D、E，求证：BD+CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D，E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD，CE与DE之间满足BD+CE ＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD，CE 与DE之间满足的数量关系，并予以证明．29．【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．参考答案1．解：∵在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵AD＝MD，∠ADM＝90°，∴∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故选：D．2．解：∵图中的两个三角形全等a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角∴∠α＝50°故选：D．3．解：①全等三角形的形状相同、大小相等，说法正确；②全等三角形的对应边相等、对应角相等，说法正确；③面积相等的两个三角形全等，说法错误；④全等三角形的周长相等，说法正确；故选：D．4．解：∵△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵BC＝7cm，∴DE＝7cm．故选：C．5．解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．故选：C．6．解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．7．解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，∴AC＝AB＝5，∵AE＝2，∴EC＝AC﹣AE＝5﹣2＝3，故选：C．8．解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．9．解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，∠BAE＝∠CAF，∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，∴∠1＝∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，CD＝DN不能证明成立，故④错误∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，故选：C．10．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，又∵∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．11．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A．12．解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．13．解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．故答案为48．14．解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．15．解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠ADB＝∠EDB＝∠EDC，∠DEC＝∠DEB∠＝A，又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC＝180°，∠DEB+∠DEC＝180°∴∠EDC＝60°，∠DEC＝90°，在△DEC中，∠EDC＝60°，∠DEC＝90°∴∠C＝30°．故答案为：30．16．解：∵∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，∵△MNC≌△ABC，∴∠N＝∠ABC＝50°，∠M＝∠A＝30°，∴∠MCA＝∠M+∠N＝80°，∴∠BCM＝20°，∠BCN＝80°，∴∠BCM：∠BCN＝1：4，故答案为：1：4．17．解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．18．解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，∴PE＝PF，∠1＝∠2，在△AOP与△BOP中，，∴△AOP≌△BOP，∴AP＝BP，在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP，在R t△AEP与R t△BFP中，，∴R t△AEP≌R t△BFP，∴图中有3对全等三角形，故答案为：3．19．解：因为∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，①AB＝CD，根据SAS可以判定△ABC≌△DCB．②AC＝DB，无法判断△ABC≌△DCB．③∠A＝∠D，根据AAS可以判定△ABC≌△DCB．④∠ACB＝∠DBC，根据ASA可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：①③④．20．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．21．解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，故答案为：3；（2）①∵△ABC≌△DEB∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°；②∵∠AEF是△DBE的外角，∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°，∵∠AFD是△AEF的外角，∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°．22．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（ASA）．23．证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC，∴∠ACD+∠BCD＝∠ABC+∠BCD，∴∠ACD＝∠ABC；（2）∵AB＝BE+AE＝BE+AC，∴AE＝AC，∵AF平分∠BAC，∴∠EAF＝∠CAF，在△ACF和△AEF中，，∴△ACF≌△AEF（SAS），∴∠ACF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠ABC，∴EF∥BC．24．解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED＝∠CFD，∵D是EF的中点，∴ED＝FD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴CD＝BD；（2）由（1）得：CF＝EB＝6，∵AF＝CF，∴AF＝6，∵D是EF的中点，∴DF＝DE＝3，∴AD＝9，∴△ACD的面积：AD•CF＝×9×6＝27．25．证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（HL）．∴AF＝CE．（2）由（1）知∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．26．证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°；∴∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠B＝90°，即∠DEA＝∠B；∵AD⊥EF，F A⊥AC，∴∠F AE＝∠C＝90°，在△AFE和△CAB中∵，∴△AFE≌△CAB（ASA）．∴AB＝EF．27．解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．28．解：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ADB＝∠AEC，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AD+AE＝DE；（2）补充∠BAC＝α，理由如下：∵∠ADB＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；（3）补充∠ADB＝∠AEC＝180°﹣α，理由如下：∵∠ADB＝180°﹣α，∴∠ABD+∠BAD＝α，∵∠BAD+∠CAE＝α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE＝BD，CE＝AD，∴BD+DE＝AE+DE＝AD＝CE；29．解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD，探索延伸：结论仍然成立，证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里．。
全等三角形专题培优(带答案)
全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。
全等三角形培优专题训练
探索三角形全等1、一长方形纸片沿对角线剪开，得到两三角形纸片，再将这两纸片摆成如以下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.⑴求证：AB ⊥ED ；⑵假设PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，那么结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的选项是〔 〕3、如图，点C在线段AB上，DA ⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度数.中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；⑵求证：∠MAE＝∠NCF全等三角形的应用全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：①线段和角的等量关系②线段和角的和差倍分关系③直线与直线的平行或垂直等位置关系1、如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥ACB3、如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系"证明你猜测的结论.⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°) ，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点〔不与B、C重合〕，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE ＝∠BAC，连接CE.⑴如图①，当点D在线段BC上时，假设∠BAC＝90°，那么∠BCE＝_______度.⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝βa、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.②B①①b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.辅助线作法之连接法在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.证明∶AC＝ABA2、AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AF ＝CD 求证：AC ∥DF3、如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA ＝OC ，EA ＝EC.∠A ＝∠C 吗？点O 在∠AEC 的平分线上吗？辅助线作法之倍长中线法在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对BE全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值围.2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线求证：AB＝ACBB3、在△ABC 中，D 是边BC 上的一点，且CD ＝AB ，∠BAD ＝∠BDA ，AE 是△ABD 的中线.求证∶AC ＝2AE4、△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥DF 交AB ，AC 于点E ，F.求证：BE ＋CF ＞EF辅助线作法之截长补短法截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余局部与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.B1、AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E在CD 上.求证：AB ＝AC ＋BD2、在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝½〔AB ＋AD 〕.求证∶∠B ＋∠D ＝180°ABD3、如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC 于F.求证：∠ADB＝∠CDF4、如图，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分线.求证∶AC＋CD＝AB12、如图，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积.B辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形2、如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC ，且AD ＝BD求证：CD ⊥AC全等三角形在动态几何中的运用1、如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜测并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜测并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜测;⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜测的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗"假设成立,给出证明;假设不成立,请说明理由.B探究角平分线1、如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，假设∠BPC ＝40°，那么∠CAP ＝_____________.2、如图，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.求证:AM 平分∠DAB3、如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.求证:CE ＝12BD4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ＝CD 求证：∠B ＝∠CBB5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，假设AB ＝10cm ，那么△DBE 的周长是多少？6、AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，那么△EDF 的面积为多少？7、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：BE ＝CFB8、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°⑴求证：DE ＝DF⑵如果把最后一个条件改为AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？9、如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D求证：点D 在∠BAC 的平分线上.10、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，以下结论正确的选项是( )A.AB－AD＞CB－CDB.AB－AD＝CB－CDC.AB－AD＜CB－CDD.AB－CD与CB－CD的大小关系不确定11、如图，△ABC中，∠B＝60°，∠BAC，∠BCA的平分线AD，CE相交于点O.求证：DC＋AE＝AC12、如图，△ABC，P为角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G点。
全等三角形经典题型汇集(培优专练)
；
（2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的延长线上，CF＝2 时，求△CEF 的周长；
拓展提升：
如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点 B 作 BD⊥BC，连接 AD，在 BC 的延长线上取一 点 E，使∠EDA＝30°，连接 AE，当 BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段 CE 的长度．
7．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45°，连结 EF，则 EF=BE+DF， 试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将 这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平 移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着 点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）．
2.阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE＝EF．求 证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
3.如图，分别以 ABC 的边向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点，
求证：（1） AO 1 BC ；（2） AO BC ． 2
4．如图所示，已知 ⶠࢼ 中， 平分 ⶠ ࢼ， 、 分别在 ⶠ 、 上．
ࢼ，
ࢼ．求证： ∥ ⶠ．
5．如图所示， ⶠ ࢼ
全等三角形证明题培优(38题)(方法)
全等三角形证明题（经典38题）（方法）1.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于D,求证：CD=BD+AB.2.(方法：巧做辅助线）如图所示，在△ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
3.(方法：巧做辅助线）如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.4.图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.5.(方法：巧做辅助线）如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。
求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。
6.(方法：巧做辅助线）如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连D E交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．7.(方法：火眼金睛找条件）如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：（1）CD=2AM,（2）AM⊥CD．8.(方法：火眼金睛找条件）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三角形9.(方法：火眼金睛找条件）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E 作EF∥AD交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG=CF．FDE CBA(2)10.(方法：巧做辅助线）如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F 是CD 的中点， 求证：AF ⊥CD.11.(方法：巧做辅助线）如图，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 上的点，∠MAN=45°． 求证：MB+ND=MN ．12.(方法：巧做辅助线）已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE ．求证：BE+DF=AE ．13.(方法：火眼金睛找条件）如图E 为正方形ABCD 边BC 的中点，F 为DC 的中点，BF 与AE 有何关系？请解释你的结论。
八年级数学《全等三角形》能力培优
八年级数学《全等三角形》能力培优一•解答题(共8小题)1 •如图所示，一个四边形纸片ABCD / B=Z D=90°,把纸片按如图所示折叠, 使点B 落在AD边上的B'点，AE是折痕.(1)试判断B'与DC的位置关系；(2)如果/ C=130,求/ AEB的度数.2•已知：点A (4, 0),点B是y轴正半轴上一点，如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形ABC.(1)当点B坐标为(0, 1)时，求点C的坐标；(2)如图2,以OB为直角边作等腰直角△ OBD,点D在第一象限，连接CD交y轴于点E.在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由.3. 如图，在△ ABC中，/ ACB=90, AC=BC E为AC边的一点，F为AB边上- 点，连接CF,交BE于点D且/ ACF W CBE CG平分/ ACB交BD于点G,（1）求证：CF=BG（2）延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP// AG交BE的延长线于点P, 求证：PB=CF+CF;4. 如图（1）, AB=CD AD=BC O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N,那么/ 1与/2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的Z 1与/2的关系成立吗？请说明理由.5•如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设/ AED的度数为x, / ADE的度数为y,那么/ 1，/ 2的度数分别是多少? (用含有x或y的代数式表示)(3)Z A与/ 1 + Z 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.6. 在△ ABC中，AD是厶ABC的角平分线.(1)如图1,过C作CE// AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连接AF，求证：AF丄AD;(2)如图2, M为BC的中点，过M作MN // AD交AC于点N,若AB=4, AC=7 求NC的长.7. 如图，在Rt A ABC中，/ ABC=90, CD平分/ ACB交AB于点D, 点E，BF// DE交CD于点F.8 .已知：△ ABC内部一点O到两边AB AC所在直线的距离相等，且DE X AC 于OB= OC八年级数学《全等三角形》能力培优参考答案与试题解析一•解答题(共8小题)1 •如图所示，一个四边形纸片ABCD / B=Z D=90°,把纸片按如图所示折叠, 使点B 落在AD边上的B'点，AE是折痕.(1)试判断B'与DC的位置关系；S' D(2)如果/ C=130,求/ AEB的度数.B【分析】(1)由于AB'是AB的折叠后形成的，所以/ AB Ea=B=Z D=90 , A B Z E// DC;(2)利用平行线的性质和全等三角形求解.【解答】解：(1)由于AB'是AB的折叠后形成的，/ AB E=B=/ D=90，A B' E DC;(2)v折叠，•••△ABE^A AB，A/ AEB =AEB 即/ AEB= / BEB，2••• B' E DC,A/ BEB =C=130,A/ AEB=- / BEB =65°【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD边上的B点，则△ ABE^A AB，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解.2. 已知：点A (4, 0)，点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB 为直角边作等腰直角三角形ABC.(1)当点B坐标为(0, 1)时，求点C的坐标；(2)如图2,以0B为直角边作等腰直角△ OBD,点D在第一象限，连接CD交y轴于点E在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由.【分析】(1)过C作CM丄y轴于M，通过判定△ BCM MA AB( AAS)，得出CM=BO=1, BM=AO=4,进而得到OM=3,据此可得C (- 13);(2)过C 作CM丄y 轴于M，根据△ BCM^A ABO,可得CM=BO, BM=OA=4, 再判定△ DBE^A CME (AAS，可得BE=EM,进而得到BE=-BM=2.【解答】解：(1)如图1,过C作CM丄y轴于M.•••CM 丄y 轴，•••/ BMC=Z AOB=90 ,•••/ ABC+Z BAO=90•Z ABC=90,•••Z CBM+Z ABO=90 ,•••Z CBM=Z BAO,在厶BCM与厶ABO中，'ZBIC=ZACBu ZCBJI=ZBAO,BC-ABL•••△BCM^A ABO (AAS),•CM=BO=1 BM=AO=4,•OM=3 ,• C (- 1 , - 3);(2)在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2,理由：如图2,过C作CM丄y轴于M ,由(1)可知：△ BCM^A ABO,••• CM=BO, BM=OA=4.•••△ BDO是等腰直角三角形，••• BO=BD / DBO=90 ,••• CM=BD, / DBE=Z CME=9°,在△DBE与△ CME中，'ZDBE=ZCME* ZDEB=ZCEM,L BD=IC•••△ DBE^A CME (AAS),••• BE=EM••• BE= BM=2.【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△ DBE^A CME是解第（2）题的关键.3. 如图,在厶ABC中,/ ACB=90 , AC=BC E为AC边的一点,F为AB边上点，连接CF,交BE于点D且/ ACF W CBE CG平分/ ACB交BD于点G,(1)求证：CF=BG(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP// AG交BE的延长线于点P, 求证：PB=CF+CF;(3)在(2)问的条件下，当/ GAC=2/ FCH时，若&AEG=3「, BG=6,求AC的长.【分析】(1)根据ASA证明△ BCG^A CAF贝U CF=BG(2)先证明△ ACG^A BCG 得/ CAG=/ CBE再证明/ PCG/ PGC即可得出结论；(3)作厶AEG的高线EM,根据角的大小关系得出/ CAG=30,根据面积求出EM 的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG BE的长，所以CE=+「，根据线段的和得出AC的长.【解答】证明：(1)如图1,v/ ACB=90, AC=BC•••/ A=45 ,v CG平分/ ACB•••/ ACG/ BCG=45 ,•••/ A=/ BCG在厶BCG^n^ CAF中,'ZA=ZBCG•v QBC ,2 AC F二Z CBE•••△ BCG^A CAF( ASA),••• CF=BG(2)如图2, v PC// AG ,•••/ PCA=/ CAQv AC=BC / ACG=/ BCG CG=CG•••△ ACG^A BCQ•••/ CAGK CBEvZ PCG= PCA+Z ACGK CAG45°/ CBE+45°,/ PGC Z GCBV CBE=Z CB^45°,•••Z PCG=Z PGC••• PC二PGv PB二BGPG BG=CF•PB=C+CP(3)如图3,过E作EM丄AG,交AG于M , V SAE(= -AG?EM=V3,2由(2)得：△ ACG^A BCG•BG=AG=6•-X 6X EM=3「,2EM=「,设Z FCH=x ,则Z GAC=2x ,•Z ACF=Z EBC=Z GAC=2x ,vZ ACH=45 ,•2x+x=45 ,x=15 ,•Z ACF=Z GAC=30 ,在Rt A AEM 中,AE=2EM=2「,AM=T：：*W J■:V T>-=3 ,•M是AG的中点，•AE二EG=2「,•BE二BGEG=62V5 ,在Rt A ECB中, Z EBC=30 ,•CE= BE=3F「,•AC二AHEC=2「+3+「=3「+3.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明厶BC3A CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，禾用到&AEG=3匚列式是突破口.4•如图（1），AB=CD AD=BC O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么/ 1与/2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的Z 1与/2的关系成立吗？请说明理由.【分析】（1）证明三角形ACD和CAB全等•根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD// BC,也就得出/ 1二/ 2 了.（2）（3）和（1）的证法完全一样.【解答】解：/ 1与/2相等.证明：在厶ADC与厶CBA中,'AD=BC“ CD-AB ,L AC=CA•••△ADC^A CBA (SSS•••/ DAC=/ BCA ••• DA/ BC.•••/ 1=Z 2.②③图形同理可证，△ ADW A CBA得到/ DACN BCA贝U DA// BC, /仁/2.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键.5. 如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设/ AED的度数为x, / ADE的度数为y,那么/ 1，/ 2的度数分别是多少？ (用含有x或y的代数式表示)(3)Z A与/ 1 + Z 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.【分析】(1)根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；(2)根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；(3)根据(2)中的表示方法，可以求得/ 1+Z 2，再找到/ A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系.【解答】解：(EAD^A EA'D,其中/ EADN EA'D, / AED=/ A'ED, / ADE= / A'D E;(2)Z 1= 180°- 2x,Z 2=180°- 2y;(3)vZ 1 + Z2=360°-2 (x+y) =360°-2 (180°-/ A) =2/ A. 规律为：/ 1+Z 2=2Z A.【点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质.6. 在△ ABC中，AD是厶ABC的角平分线.(1)如图1,过C作CE// AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连接AF, 求证：AF丄AD;(2)如图2, M为BC的中点，过M作MN // AD交AC于点N,若AB=4, AC=7 求NC 的长.【分析】（1）推出/ 3=Z E,推出AC=AE根据等腰三角形性质得出AF丄CE根据平行线性质推出即可；（2）延长BA与MN延长线于点E,过B作BF/ AC交NM延长线于点F,求出BF=CN AE=AN, BE=BF 设CN=x 贝U BF=x AE=AN=A G CN=7- x , BE=AB F AE=¥7-x.得出方程4+7 - x=x.求出即可.【解答】（1证明：：AD ABC的角平分线,•••/ 仁/ 2.••• CE// AD ,•••/ 仁/ E, / 2二/ 3.•••/ E=Z 3.••• AC=AE••• F为EC的中点，••• AF丄EC,••• AD// EC,•••/ AFE=/ FAD=90.••• AF丄AD.(2)解：延长BA与MN延长线于点E,过B作BF/ AC交NM延长线于点F , •••/ 3=/ C, / F=/ 4••• M为BC的中点••• BM=CM.NF二厶在厶BFM和厶CNM中，・Z3二ZCBH=CML•••△BFM^A CNM (AAS ,••• BF=CN••• MN // AD,•••/ 仁/ E,Z 2=Z 4=Z 5.•••/ E=Z 5=Z F.••• AE=AN BE=BF设CN=x 贝U BF=x AE=AN=AC- CN=7- x, BE=ABAE=¥7 —x.••• 4+7 - x=x.解得x=5.5.平行【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定, 线的性质等知识点的综合运用.7. 如图，在Rt A ABC 中，/ ABC=90 , CD 平分/ ACB 交AB 于点D , DE X AC 于点E, BF// DE交CD于点F.【分析】根据角平分线的定义得到/ 仁/2,根据角平分线的性质得到DE=BD / 3=Z 4,由平行线的性质得到3=Z 5，于是得到结论.【解答】证明：：CD平分/ ACB•••/ 仁/ 2,T DE 丄AC,/ ABC=90••• DE=BD / 3=/4,••• BF/ DE,•••/ 4=/ 5,•••/ 3=/ 5,• BD=BF【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质, 熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.8 .已知：△ ABC内部一点0到两边AB AC所在直线的距离相等,且OB=OC求证：AB=AC【分析】证明Rt A BOF^ Rt A COE根据全等三角形的性质得到/ FBON ECQ 根据等腰三角形的性质得到/ CBO=/ BCO得到/ ABC=/ ACB,根据等腰三角形的判定定理证明结论.【解答】证明：在Rt A BOF和Rt A COE中，fOF=OE(OB=OC••• Rt A BOF^ Rt A COE•••/ FBO=/ ECO••• OB=OC•••/ CBO=/ BCQ•••/ ABC=/ ACB••• AB=AC【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理是解题的关键.。
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D
A
B
C E
全等三角形培优练习
一、选择题
1.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．
其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
2.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
3.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） （Ａ）三条中线的交点
（Ｂ）三条高的交点
（Ｃ）三条边的垂直平分线的交点
（Ｄ）三条角平分线的交点
5．将长为13 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( ）
A. 5种
B. 6种
C. 7种
D. 8种
6.如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠
C.OA OB =
D.AB 垂直平分OP
8．如图，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形．使得所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以作出（ ）
A ．4个
B ．6个
C ．8个
D ．10个
9、尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、
OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1
2CD 长为半径画弧，两弧交
于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS
10、下列叙述： ①任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；②以a,b,c 为边，且a+b=c, 可以构成一个三角形；③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑥三个角对应相等的两个三角形全等，其中正确的有（ ）
A 、① ③ ⑤
B 、② ④ ⑥
C 、① ③ ④
D 、① ② ③ ④
O
D P C
A B
E D
C B A
第8题图
A
E
F
B
C
D
M
N
（第2题）
①
②
③
二：填空题
1、（2010年山东新泰）如图，在△ABC 和△ADE 中，有以下四个论断：① AB＝AD ，② AC＝AE ，③ ∠C＝∠E，④ BC＝DE ，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个真命题（用序号“☺☺☺ ☺”的形式写出）： ．
；
2、（2011年北京四中模拟28）
如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带编号为 的碎片去．
3． 已知A 、B 、C 是平面内的三个点，且AB=3，AC=5，若设BC 之间距离为
a,则a 的取值范围是 ．
4.（2010·兰州中考）如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ，连接AE 、CE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为 ．
5、如图，在△ABC 中，DE 是AC 的中垂线，AE=2.5cm, △ABD 的周长是9cm ，则△ABC 的周长是__________.
6、如图，∠A=34°,把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形 BCDE 内部时，则∠BEA+∠CDA=_________度。
B
C
A E
D
A
B
D
C
E
第1题图
三、解答题
1、如图所示，R t △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ，AD⊥CD 于D ，BF⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。
2、如图所示，R t △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。
问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？
3、你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？
C
O
A'
A
B'
B
A
B
C
D
E
F B
C
A
P
Q
M
全等三角形证明题
1.（2010年北京市中考模拟）已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90，CD AB
于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD
的延长线于点F .
求证：AB=FC
2、如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB＝AC＋CD．
3. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．
4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E. (1)说明△ADC≌△CEB
(2)当直线MN绕点C旋转到图的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明.。