求轨迹方程-相关点法、交轨法16页PPT
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《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
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05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
求轨迹方程-相关点法、交轨法
精品课件
求曲线方程方法五：交轨法
例：见教材81页，11题 程序： [1]建立适当的坐标系，设出动曲线方程（含参数方程） [2]联立两动曲线方程，消去参数（或由两条动曲线方 程求出交点坐标，再消去参数）
精品课件
练习：
直线L1 ，L2分别绕A（a ，0）、B（- a ，0）旋转， 它们再 y 轴的截距分别为 b1 ，b2 ， b1 b2 = a2 ， 求直线L1 ，L2交点P 的轨迹。 答：x2 + y2 = a2
精品课件
求曲线方程的方法回顾： [1]直接法五步 [2]待定系数法 [3]定义法 下面还有三种方法 [4]相关点法 [5]交轨法 [6]参数法（留待以后学）
精品课件
概念区分： [1]“求轨迹方程”是指求出动 点坐标所满足的方程即可。 [2]“求轨迹”不仅要求出动点 坐标所满足的方程，还要指出 方程所表示的曲线是何种曲线、 在什么位置
P
M
O
AX
2y = y0 + 0
- [3]所以，x0 = 2x 6 ，y0 = 2y ，代入方程（1）中，得
- （ 2x 6 ）2 + （2y）2 = 9 ，既，（x - 6）2 + y2
=9/4
精品课件
分析：
在这个题目中，有两个动点P、 M，其中P为主动点，M为从动点； 主动点P在已知曲线上运动。也 就是说这种问题的辨别特征是：
精品课件
精品课件
精品课件
求轨迹方程方法[四]相关点法
例1 已知点A（6，0），点P是圆 x2 + y2 =9上的动点，
求线段PA的中点M的轨迹方程
Y
解：[1]设P、M点的坐标分别是P
（x0，y0）、M（x，y），所以
求曲线方程方法五：交轨法
例：见教材81页，11题 程序： [1]建立适当的坐标系，设出动曲线方程（含参数方程） [2]联立两动曲线方程，消去参数（或由两条动曲线方 程求出交点坐标，再消去参数）
精品课件
练习：
直线L1 ，L2分别绕A（a ，0）、B（- a ，0）旋转， 它们再 y 轴的截距分别为 b1 ，b2 ， b1 b2 = a2 ， 求直线L1 ，L2交点P 的轨迹。 答：x2 + y2 = a2
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求曲线方程的方法回顾： [1]直接法五步 [2]待定系数法 [3]定义法 下面还有三种方法 [4]相关点法 [5]交轨法 [6]参数法（留待以后学）
精品课件
概念区分： [1]“求轨迹方程”是指求出动 点坐标所满足的方程即可。 [2]“求轨迹”不仅要求出动点 坐标所满足的方程，还要指出 方程所表示的曲线是何种曲线、 在什么位置
P
M
O
AX
2y = y0 + 0
- [3]所以，x0 = 2x 6 ，y0 = 2y ，代入方程（1）中，得
- （ 2x 6 ）2 + （2y）2 = 9 ，既，（x - 6）2 + y2
=9/4
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分析：
在这个题目中，有两个动点P、 M，其中P为主动点，M为从动点； 主动点P在已知曲线上运动。也 就是说这种问题的辨别特征是：
精品课件
精品课件
精品课件
求轨迹方程方法[四]相关点法
例1 已知点A（6，0），点P是圆 x2 + y2 =9上的动点，
求线段PA的中点M的轨迹方程
Y
解：[1]设P、M点的坐标分别是P
（x0，y0）、M（x，y），所以
专题研究一 求曲线的轨迹方程课件PPT)-2023-2024学年高二上人教版
【解析】 (1)由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1；圆 N 的圆心为 N(1， 0)，半径 r2＝3.
设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|＝2. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半 轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32＝ 1(x≠－2)．
方法四(参数法)：设动弦 PQ 的方程为 y＝kx，代入圆的方程， 得(x－1)2＋k2x2＝1，即(1＋k2)x2－2x＝0.
∴x＝x1＋2 x2＝1＋1k2，y＝kx＝1＋kk2，消去 k 即可．
探究 1 本题中的四种方法是求轨迹方程的常用方法，我们 已在本章的前几节中做过较多的讨论，故解析时只做扼要总结即 可．
2．利用定义法求轨迹方程 (1)求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足 圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨 迹类型，再求出其方程． (2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键． (3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否为完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线．如果不是完整的曲线，那么应对其 变量 x 或 y 进行限制．
∴点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的 左支．
∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74. ∴点 M 的轨迹方程为x92－y42＝1x≤－32.
47
例 4 求解下列问题： (1)如图，动圆 C1：x2＋y2＝t2，1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2＝1 相交于 A，B，C，D 四点，点 A1，A2 分别为 C2 的左、右顶点．求 直线 AA1 与直线 A2B 的交点 M 的轨迹方程．
求曲线的轨迹方程.ppt
lity
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
解答: 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:____ • 设中点Q(x,y),P(x0,y0),则
x0=2x,y0 =2y+1, 代入y0 =2x02+1得: y=4x2
lity
小
结
• 正确地求曲线得轨迹方程, • 一要熟练的掌握求曲线方程的基本步骤, • 二要记住解题的4条注意事项,对自己的
依题设知 x > -5, (x 3)2 ( y 0)2 x 3 -3
y 2 =12x
[解法二] 定义法 如图，作直线 n：x = -3 m n
y
P（x，y） x
A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是 以A 为焦点，以n 为准线的抛物线。
lity
练习2
• 1.已知定点A(0,-1),动点P在曲线y=2x2+1 上移动,则线段AP的中点的轨迹方程是:
• ____y_=__4_x_2 ______. • 2.已知三角形三顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),
C(0,2),则三角形的AB边中线的方程是: _x_=_0__(0_≤_y_≤_2_)___ • 已知M(1,0),N(-1,0),若kpmkpn=-1,则动点p的 轨迹方程为:_x_2_+_y_2=_1_(_x_≠_±__1_)_
设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4
故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)
lity
例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对
4Y M
称轴都是坐标轴，抛物线的顶
轨迹方程的求法——相关点法ppt 人教课标版
移动，求ABC
C A
G
y
o x
B
小结：
相关点法求轨迹方程适用题型： 所求轨迹的点是随着已知轨迹上的动点 点随点动： 的运动而运动的。
相关点法求曲线方程的一般步骤 ： (x,y)表示所求曲线上的任意一点M的坐标; (1)设点 ----用 用 ( x0 , y0 )表示已知曲线上的点的坐标。 x0 , y0 (2) 求点 ——用x,y表示出 x0 , y0 代入已知曲线方程。 （3）代点 ---- 将 (4) 化简 ----化方程f(x,y)＝0为最简形式;
化简得M点的轨迹方程为 12 4( x ) 2 ( y 1 )2 1 9 4
x y 1 9 4
2
2
12 (2 y ) 2 2 1 得 (2 x 1) 9 4
变式一．已知定点A（2，0）和圆 x 的轨迹。
2
y 1
2
上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P
变式二： 若OP为∠AOB 平分线，交AB于P
(A) y=2x2 (B) y=6x2 (C)y=4x2 (D) y=8x2
3..动点P在直线x+2y=1上运动，O为原点，则 OP的中点M的轨迹方程为 （
２ｘ＋４ｙ＝１
2 2
）
4.已知△ABC， A(2, 0), B(0, 2)，第三个 重心的轨迹方程为
x y 顶点C 在曲线 16 9 1 上移动，△ABC的
O
y B
P
X
A(2,0)
求点P的轨迹方程。
解：设动点P (X,Y)及圆上点B ( x0 , y0 )
AP ∵λ= =2, PB
代入圆 x
2
22 2 4 3x 2 2 3 y 2 ) ( ) 1 即 (x ) y 得 ( 3 9 2 2
C A
G
y
o x
B
小结：
相关点法求轨迹方程适用题型： 所求轨迹的点是随着已知轨迹上的动点 点随点动： 的运动而运动的。
相关点法求曲线方程的一般步骤 ： (x,y)表示所求曲线上的任意一点M的坐标; (1)设点 ----用 用 ( x0 , y0 )表示已知曲线上的点的坐标。 x0 , y0 (2) 求点 ——用x,y表示出 x0 , y0 代入已知曲线方程。 （3）代点 ---- 将 (4) 化简 ----化方程f(x,y)＝0为最简形式;
化简得M点的轨迹方程为 12 4( x ) 2 ( y 1 )2 1 9 4
x y 1 9 4
2
2
12 (2 y ) 2 2 1 得 (2 x 1) 9 4
变式一．已知定点A（2，0）和圆 x 的轨迹。
2
y 1
2
上的动点B，点P分AB之比为2∶1，求点P
变式二： 若OP为∠AOB 平分线，交AB于P
(A) y=2x2 (B) y=6x2 (C)y=4x2 (D) y=8x2
3..动点P在直线x+2y=1上运动，O为原点，则 OP的中点M的轨迹方程为 （
２ｘ＋４ｙ＝１
2 2
）
4.已知△ABC， A(2, 0), B(0, 2)，第三个 重心的轨迹方程为
x y 顶点C 在曲线 16 9 1 上移动，△ABC的
O
y B
P
X
A(2,0)
求点P的轨迹方程。
解：设动点P (X,Y)及圆上点B ( x0 , y0 )
AP ∵λ= =2, PB
代入圆 x
2
22 2 4 3x 2 2 3 y 2 ) ( ) 1 即 (x ) y 得 ( 3 9 2 2
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
高中数学课件-求轨迹方程
④化简：把方程化成最简形式
⑤证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上 建系设点---列方程---化简---审查
3.求轨迹方程的常用方法(坐标法)： ⑴直接法(直译法) ⑵定义法 ⑶相关点法(代入法) ⑷参数法 ⑸交轨法
例1.已知一曲线是与两定点O(0,0)，A(3,0)距离之比为 1
的点的轨迹，求此曲线的方程 2
当 k 1时，点P轨迹方程为 x 1，轨迹为线段OA的中垂线
当k
1 时，点P轨迹方程为
(x
k22k21)2
y2
(k
4k 2 2 1)2
2k 2 轨迹为以点 ( k 2 1,0)
为圆心， 2k k2 1
为半径的圆
阿氏圆
.P
.
O
Ax
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
动点，求线段AB的中点P的轨迹方程
解法2：取OA的中点Q，连接OB,PQ，因为P为AB的中点
所以PQ为△OAB的中位线 PQ 1 OB 1
定
2 所以点P的轨迹为以Q为圆心，1为半径的圆
义
其方程为 (x 3)2 y2 1
解：(直译法) 设点P(x,y)为所求轨迹上任意一点，则
x2 y2 1 (x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
所求曲线的方程为(x 1)2 y2 4
y
M.(x,y)
.
(-1,0) O
A. (3,0)
x
例2.已知圆 O：x2 y2 4 和定点A(6,0),点B为圆C上一
轨迹方程指出轨迹的形状，位置等特征
1.轨迹和轨迹方程的概念：平面上一动点M按一定规则 运动形成的曲线叫做动点M的轨迹，在平面直角坐标系
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
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• 8、一圆被两直线 x2y0,x2y0
• 截得的弦长分别为8 和4，求动圆圆心的 轨迹方程。
谢谢！
• 是(4，3)，端点A在
圆 x12 y2 4
• 上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程
• 点M的轨迹方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y MB
A
O
x
分析：
在这个题目中，有两个动点P、 M，其中P为主动点，M为从动 点；主动点P在已知曲线上运动。 也就是说这种问题的辨别特征 是：
[1]有主动点和从动点两种动 点
[2]主动点在已知曲线上运动
• 5、已知圆Ｃ的方程 为： (x2)2y2 4
• 过原点Ｏ作任一条弦 ＯＡ，求弦ＯＡ的中 点Ｍ的轨迹方程。
• 6、设P为圆 (x4)2(y2)24
• 上一动点，
• 点Ａ（０，－２）， M为线ＡＰ的中点， 则点M的轨迹方程 是————。
• 7、一条线段AB的长
等于 2 a
• 两个端点A和B分别在 x轴和y轴上滑动，求 AB中点P的轨迹方程。
相关点法
概念区分： [1]“求轨迹方程”是指求出动点 坐标所满足的方程即可。 [2]“求轨迹”不仅要求出动点坐 标所满足的方程，还要指出方 程所表示的曲线是何种曲线、 在什么位置
例1 已知定点A（6，0），点P是圆 x2 + y2 =9上的动 点，求线段PA的中点M的轨迹方程 Y
P
M
O
AX
• [例2] 已知线段 AB的端点B的坐标
总结：相关点法的判别与程序
判别：看题目是否具备下列两条 [1]有主动点和从动点 [2]主动点在已知曲线上运动 程序： [1]设主动点坐标为（x0 ，y0），从动点坐标为（x ，y） [2]找到主动点纵坐标与从动点坐标之间的两个等式关系， 既x0 ，y0与x ，y之间的关系 [3]从两个等式中消去x0 ，y0 ，所得的关于x ，y的等式就 是从动点的轨迹方程。 简称：[1]设坐标；[2]找等式；[3]消参数
请做下面练习，并思考此种题 目的解题程序
Y
P
M
O
AX
练习1
1、过圆 x2 + y2 = r2上的定点 P（r，0）的弦的中点的
轨迹
Y
答：x2 - rx + y2 =0
M
O
P
X
• 2等腰三角形顶点A的坐标为（4，2）， 底边一个端点B的坐标是（3，5），求另 一个端点 C的轨迹方程，并说明C的 轨迹。
3 .已知 P ( 2 , 0 ), Q (8 , 0 ), 点 M 到 点 P的距离是它到点 Q距离的 1 ,
5 求点 M 的轨迹方程 ,并求轨迹上 的点到直线 l : 8 x y 1 0的最 小距离 .
• 4、已知三角形ＡＢ Ｃ中，ＢＣ＝２, AB 2AC
• 求点A的轨迹.
(x3)2y2 8