轨迹方程.交轨法
交轨法求轨迹方程
一、知识概要：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。
二、基本训练：1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 .三、例题：例1、（2006年深圳一模）过抛物线y 2 = 4 px ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA 和OB 。
求AB 中点P 的轨迹方程。
例2、过点M( -2, 0)作直线L 交双曲线x 2－y 2 = 1于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。
求动点P 的轨迹方程。
例3、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈．⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围． 解: (1) （用交轨法）过Ａ以m 为方向向量的直线方程为：ay a x λ+=．．．．．．．① 过Ｂ以n 为方向向量的直线方程为：2y a ax λ-=．．．．．．②由①②消去λ得：222112y x a-=．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分 (2)联立方程222211y x a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩消去y得222(12)210a x x a--+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分依题意有2120a⎧-≠⎨∆>⎩，即22212044(12)(1)0aa a⎧-≠⎨--->⎩∴022a a<<≠又ce ea====>≠．．．．．．．．．．．．．１２分课外作业：1．设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点， 则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( ) A. 14922=+y x B. 14922=+x y C. 14922=-y x D. 14922=-x y2．已知椭圆22a x +22by = 1（a>b>0）和定点A(0, b), B(0, -b), C 是椭圆上的动点, 求ΔABC 的垂心H 的轨迹方程。
求轨迹方程-相关点法、交轨法
求曲线方程方法五：交轨法
例：见教材81页，11题 程序： [1]建立适当的坐标系，设出动曲线方程（含参数方程） [2]联立两动曲线方程，消去参数（或由两条动曲线方 程求出交点坐标，再消去参数）
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练习：
直线L1 ，L2分别绕A（a ，0）、B（- a ，0）旋转， 它们再 y 轴的截距分别为 b1 ，b2 ， b1 b2 = a2 ， 求直线L1 ，L2交点P 的轨迹。 答：x2 + y2 = a2
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求曲线方程的方法回顾： [1]直接法五步 [2]待定系数法 [3]定义法 下面还有三种方法 [4]相关点法 [5]交轨法 [6]参数法（留待以后学）
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概念区分： [1]“求轨迹方程”是指求出动 点坐标所满足的方程即可。 [2]“求轨迹”不仅要求出动点 坐标所满足的方程，还要指出 方程所表示的曲线是何种曲线、 在什么位置
P
M
O
AX
2y = y0 + 0
- [3]所以，x0 = 2x 6 ，y0 = 2y ，代入方程（1）中，得
- （ 2x 6 ）2 + （2y）2 = 9 ，既，（x - 6）2 + y2
=9/4
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分析：
在这个题目中，有两个动点P、 M，其中P为主动点，M为从动点； 主动点P在已知曲线上运动。也 就是说这种问题的辨别特征是：
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求轨迹方程方法[四]相关点法
例1 已知点A（6，0），点P是圆 x2 + y2 =9上的动点，
求线段PA的中点M的轨迹方程
Y
解：[1]设P、M点的坐标分别是P
（x0，y0）、M（x，y），所以
怎样求动点的轨迹方程
思路探寻在解题时，我们经常会遇到求动点的轨迹方程问题.此类问题主要考查圆锥曲线的定义、图形以及几何性质，对同学们的想象与计算能力都有较高的要求.在解答此类问题时，需根据题目中所给的条件建立起各个变量之间的联系，得到关于动点的关系式，进而求得动点的轨迹方程.本文主要谈一谈动点的轨迹方程的几种求法.一、直接法直接法是求动点的轨迹方程的基本方法.通常要先设出动点的坐标；然后根据题目中所给的条件，利用相关的公式、定义、性质列出有关动点坐标的关系式；再通过化简、消元、变形，得到动点的轨迹方程；最后验证所得的结果是否满足题目的条件.例1.已知两定点A (-2,0)，B (2,0)，动点P 满足 PA ∙PB =0.由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，若 PM = MQ ，求点M 的轨迹方程.解：设M (x ,y )，P (x 1,y 1)，则Q (x 1,0)，因为 PA ∙PB =0，所以x 12+y 12=4.因为PM ⊥x 轴， PM = MQ ，所以x 1=x ，y 1=2y ，所以点P 的坐标为（x ,2y ）.又因为点P在圆x 12+y 12=4上，所以x 2+4y 2=4，所以点M 的轨迹方程为x 24+y 2=1.本题较为简单，可采用直接法求解.题目的条件中已明确给出了动点的几何关系，只要设出动点的坐标，根据已知条件建立关于点M 的坐标的关系式，即可得到点M 的轨迹方程.二、相关点法若一动点P 随着另一动点Q 的变化而变化，且已知另一动点Q 的运动轨迹，就可以利用相关点法，根据另一动点Q 的轨迹来求得动点P 的轨迹方程.在解题时，需先建立两个动点坐标之间的联系，求得另一动点Q 的轨迹方程；然后用动点P 的坐标表示相关点Q 的坐标，将其代入相关点Q 的轨迹方程，即可求得动点P 的轨迹方程.例2.从圆x 2+y 2=1上的任意一点P 向y 轴作垂线，求该垂线段中点M 的轨迹方程.解：设点P 为（x 0,y 0），点M 为（x ,y ），由题意知：ìíîïïx =x 02，y =y 0，即{x 0=2x ，y 0=y .因为点P 在圆上，所以x 02+y 02=1，可得4x 2+y 2=1，所以点M 的轨迹为椭圆，其轨迹方程为4x 2+y 2=1.分析题意可知，点M 随着点P 的变化而变化，需采用相关点法解答.先设出点M 和P 的坐标，并根据二者之间的联系建立关系式；然后用点M 的坐标表示P 点，通过P 点的轨迹方程间接求得M 点的轨迹方程.三、交轨法如果动点是两条曲线的交点，就可以采用交轨法来求动点的轨迹方程.先选出一个适当的参数表示动点；再根据题目中的条件建立关于参数的式子；然后通过恒等变换，逐步消去参数，得到所求点的轨迹方程.例3.已知动点P 在直线l ：x -y -2=0上运动，过P 点作抛物线C :y =x 2的两条切线PA ,PB ，与抛物线C分别相切于A ,B 两点，求△APB 的重心G 的轨迹方程.解：设切点A ,B 的坐标分别为(x 1,x 12)和(x 2,x 22)，则切线PA ,PB 的方程分别为：2x 1x -y -x 12=0，2x 2x -y -x 22=0，可得x p =x 1+x 22，y p =x 1x 2.设G 的坐标为(x ,y )，根据三角形重心的坐标公式可得：x =x 1+x 2+xp 3=x p ①，y =y 1+y 2+y p 3=4x p 2-y p3②.又因为点P 在直线l ：x -y -2=0上运动，所以x p -y p -2=0③，由①②③可得△APB 的重心G 的轨迹方程是：y =43x 2-13x +23.解答本题，首先要根据题目中所给的条件设出切点的坐标，通过对抛物线的方程求导，得到切线的方程，并求出点P 的坐标；然后设出重心G 的坐标，根据中点的坐标公式和重心的坐标公式建立关系式，即可利用交轨法求得重心G 的轨迹方程.求动点的轨迹方程问题的难度往往不大，但解题时的计算量较大，同学们在解题时要谨慎计算，注意检验，避免出错.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）史玉蕾48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例谈动点的轨迹方程的四种求法
思路探寻求动点的轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中，这类问题侧重于考查同学们的推理、分析以及运算能力.求解这类问题的主要方法有定义法、参数法、相关点法和交轨法.下面结合实例，谈一谈这四种方法的特点以及应用技巧.一、定义法定义法是指运用圆锥曲线的定义解题.若发现动点的轨迹形如椭圆、圆、双曲线、抛物线或其中的一部分曲线，就可以根据椭圆、圆、双曲线、抛物线的定义，确定定点、焦点、焦点与动点之间的关系，求得椭圆、圆、双曲线、抛物线方程中的各个参数，便可以快速确定曲线的轨迹方程.例1.如图1所示，已知圆C1：x2+（y+4）2=25和圆C2：x2+（y-4）2=1，某动圆C分别与圆C1和圆C2外切，求动圆圆心C的轨迹方程.图1解：由题意知两圆的圆心为C1(0,-4)，C2(0,4)，半径为r1=5，r2=1，设动圆C的半径为r，因为圆C分别与圆C1和圆C2外切，所以||CC1=r+5，||CC2=r+1，所以||CC1-||CC2=4<8，即点C到两定点C1、C2的距离之差为常数4，所以动圆圆心C的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的上支，可得2a=4，2c=||C1C2=8，所以b2=c2-a2=12.所以动圆圆心C的轨迹方程是y24-x212=1(y≥2).结合图形分析动圆C与圆C1、圆C2的位置关系，即可发现||CC1=r+5，||CC2=r+1，即可得出||CC1-||CC2=4<8，由此可联想到双曲线的定义，即平面内到两定点的距离之差为定值的点的轨迹，确定动点的轨迹，求得a、b、c值，即可求得动点的轨迹方程.二、参数法参数法是解答数学问题的重要方法.若动点受某些变量的影响，而我们又无法确定这些变量的取值，则需运用参数法，即用参数表示出变量，设出直线的斜率、点的坐标、曲线的方程等，然后将其代入题设中，建立关系式，通过恒等变换消去参数，即可求得动点的轨迹方程.例2.已知抛物线y2=4px(p>0)的顶点为O，A,B是抛物线上的两个动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程.解：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b，因为OA⊥OB，所以k=-xy，由ìíîy2=4px，y=kx+b，得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0，所以x1x2=-b2k2，y1y2=-4pb k，因为OA⊥OB，所以y1y2=-x1x2，所以-4pbk=-b2k2，即b=-4kp，所以直线AB的方程为y=kx+b=k(x-4p)，将k=-xy代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)，即所求点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0).解答本题主要运用了参数法，即先引入参数x、y，49k 、b 、x 1、x 2、y 1、y 2，设出动点M 的坐标、直线AB 的方程以及A 、B 两点的坐标；然后将直线与抛物线的方程联立，根据一元二次方程的根与系数的关系建立关系式；最后通过恒等变换消去参数，得到关于x 、y 的方程，即为动点的轨迹方程.三、相关点法若两个动点之间存在某种特定的关系，则可以采用相关点法求解.先分别设出两个动点的坐标，并根据二者之间的关系，用所求动点的坐标表示另一个动点的坐标；然后根据另一个动点的几何关系，建立关于所求动点坐标的关系式，从而求得动点的轨迹方程.运用相关点法解题，要注意寻找两个动点之间的联系，并确定另一个动点所满足的几何关系.例3.如图2所示，在圆x 2+y 2=4上任意选取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD中点M 的轨迹方程.图2解：设点M (x ,y )，P (x 0,y 0)，因为M 为线段PD 的中点，所以ìíîïïx =x 0，y =y 02，得{x 0=x ，y 0=2y ，又因为点P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=4上，所以x 02+y 02=4，将{x 0=x ，y 0=2y ，代入上述方程中，得x 24+y 2=1，所以点M 的轨迹为一个椭圆，其方程为x 24+y 2=1.本题中P 、M 均为动点，且点M 随着点P 的运动而变化，需采用相关点法求解，先分别设出P 、M 两点的坐标；然后用M 点的坐标表示P 的坐标；再将其代入点P 的轨迹方程，即可确定点M 的轨迹及其方程.四、交轨法当问题中所求的动点为两条动曲线的交点时，往往需采用交轨法，即将两条动曲线的方程联立，消去其中的参数，得到的关于x 、y 的方程即为所求的动点的轨迹方程.例4.如图3所示，已知双曲线C ：y 24-x 23=1与y轴交于点A 1(0,-2)与点A 2(0,2)，直线l ：y =m 与双曲线交于点P ,Q ，直线A 1P 与直线A 2Q 相交于点M ，试求点M 的轨迹方程.图3解：设P (x 1,m )，Q (-x 1,m )，M (x ,y )，因为点P 在双曲线上，所以m 24-x 123=1.当x 1≠0时，直线PA 1的方程为y +2=m +2x 1x ，直线QA 2的方程为y -2=2-m x 1x，可得y 2-4=4-m 2x 12x 2，所以x 12=3m 2-124，将其代入y 2-4=4-m 2x 12x 2，得y 2-4=-43x 2，化简整理得y 24+x 23=1.当x 1=0时，点M 的坐标满足方程y 24+x 23=1.综上所述，点M 的轨迹方程为y 24+x 23=1.仔细分析题意可知，M 为直线A 1P 与直线A 2Q 的交点，且点A 1、A 2、P 、Q 都满足双曲线的方程，于是采用交轨法，求得两动直线A 1P 与A 2Q 的方程，再将两方程联立，消去参数，即可求出交点M 的轨迹方程.总之，求动点的轨迹方程，关键是要根据题目中的几何条件，寻找动点的横坐标与纵坐标之间的关系，建立关于动点的横坐标与纵坐标的方程.求动点的轨迹方程的方法很多，同学们需熟练掌握一些常用方法的特点、适用情形、解题思路，才能将其灵活地应用于解题中.（作者单位：江苏省南通市海门实验学校）思路探寻50。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
交轨法求轨迹方程 微课
例如：如果两条曲线的方程是 f1x, y 0 和 f2 x, y 0 ，
它们的交点是
P（x0
,
y
）
0
．
证明：f1(x, y) f2 (x, y) 0的曲线也经过P点( R),并求
经过两条曲线 x2 y 2 3x y 0 和 3x2 3y 2 y 0
x2 y2 3x y 0 ① 3x2 3y2 y 0 ②
①X3-②得 9x 4 y 0
所以经过它们交点的直线方程为 9x 4y 0
再例如：(2003年高考第22题变式)已知常数a>0,在矩形ABCD
中，AB=4,BC=4a,O为AB中点，点E,F,G分别在BC、CD、DA上移动， 且 BE CF DG ,P为GE与OF的交点,求点P轨迹方程。
的交点的直线方程．
解: P（x0 , y0）是两曲线的交点，
f1 (x0 , y0 ) 0且f 2 (x0 , y0 ) 0
f1 (x0 , y0 ) f2 (x0 , y0 ) 0
即方程 f1(x, y) f2 (x, y) 0 的曲线经过P
点．
令
f1x, y
的轨迹方程.
参考答案
x2 y2 1 a2 b2
反思感悟
要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问 题通常通过解方程组得出交点（含参数） 的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程 （若能直接消去两方程的参数，也可直接 消去参数得到轨迹方程），该法经常与参 数法并用。
求轨迹方程的交轨法，我就介绍到这里，谢 谢你的观看 .
直线GE的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0…………②
从①②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（0，0））
求轨迹方程的一般方法
求轨迹方程的一般方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
二：用直译法求轨迹方程例2：一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？【变式】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
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第六讲:轨迹方程.交轨法 21第六讲:轨迹方程.交轨法若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量？设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.一.解析形式例1:(2003年新课程高考试题)己知常数a>0,向量c =(0,a),i =(1,0),经过原点O,以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i -2λc 为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E 、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)由c =(0,a),i =(1,0)⇒c +λi =(λ,a),i -2λc =(1,-2λa)⇒直线OP 、AP 的方程分别为λy=ax 、y-a=-2λax,消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a 2x 2,即222)2()2(81a a y x -+=1.①当a=22时,点P 的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;②当a ≠22时,点P 的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意. 类题:1.(2011年安徽高考试题)设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0. (Ⅰ)证明l 1与l 2相交;(Ⅱ)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数a>0,向量p =(1,0),q =(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为λp +q 的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p +2λq 的直线相交于点R,其中λ∈R. (Ⅰ)求点R 的轨迹方程; (Ⅱ)设a=22,过F(0,1)的直线l 交点R 的轨迹于A 、B 两点,求FB FA ⋅的取值范围. 二.平几形式例2:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC 中O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为10),分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2…,A 9和B 1,B 2,…,B 9,连接OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N +,1≤i ≤9). O A 1 A i A x (Ⅰ)求证:点P i (i ∈N +,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(Ⅱ)过点C 作直线l 与交抛物线E 于不同的两点M 、N,若△OCM 与△OCN 的面积比为4:1,求直线l 的方程.解析:(Ⅰ)因B i (10,i)⇒直线OB i :y=10i x;直线A i P i :x=i ⇒P i (i,102i )⇒点P i (i ∈N +,1≤i ≤9)在抛物线E:x 2=10y 上;(Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=kx+10;由⎩⎨⎧=+=yx kx y 10102⇒x 2-10kx-100=0⇒x 1+x 2=10k,x 1x 2=-100;因△OCM 与△OCN 的面积比为4:1⇔|x 1|=4|x 2|(x 1x 2<0)⇔x 1=-4x 2⇔-3x 2=10k,-4x 22=-100⇔k=23±⇒直线l 的方程:y=23±x+10. 类题:1.(1983年全国高考副题)如图,在直角坐标系中,己知矩形OABC 的边 y长OA=a,CO=b,点D 在AO 的延长线上,OD=a,设M 、N 分别是OC 、BC C N B 边上的动点,使OM:MC=BN:NC ≠0,求直线DM 与AN 的交点P 的轨迹方 M P 程,并画出图形. D O A x22 第六讲:轨迹方程.交轨法2.(2003年大纲卷高考试题)己知常数a>0,在矩形ABCD 中,AB=4,BC=4a, y O 为AB 的中点.点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动,且DADGCD CF BC BE ==, D F C P 为CE 与OF 的交点(如图)问是否存在两个定点,使P 到这两点的距离的 G P E 和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. A O B x三.解析条件例3:(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A 1、A 2是椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P 1P 2是垂直于长轴的弦,直线A 1P 1与A 2P 2的交点为P.则点P 的轨迹的方程是 .解析:设点P 1的坐标为(m,n),则有P 2(m,-n),A 1P 1所在直线的方程为y=a m n +(x+a),A 2P 2所在直线的方程为y=am n--(x-a),两式相乘,并利用22a m +22b n =1消去m 、n 有22a x -22b y =1.类题:1.(1990年上海高考试题)己知点P 在直线x=2上移动,直线l 过原点且与OP 垂直,通过点A(1,0)及点P 的直线m 与直线l 交于点Q,求点Q 的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为2的线段AB 在直线L 上移动,求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程).四.曲线条件例4:(2012年辽宁高考试题)如图,动圆C 1:x 2+y 2=t 2,1<t<3,与椭圆C 2:92x +y 2=1相交于A,B,C,D 四点,点A 1, A 2分别为C 2的左,右顶点.(Ⅰ)当t 为何值时,矩形ABCD 的面积取 得最大值？并求出其最大面积;(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解析:(Ⅰ)设D(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则920x +y 02=1,矩形ABCD 的面积S=4x 0y 0⇒S 2=16x 02y 02=16x 02(1-920x )=-916(x 02-29)2+36,当x 02=29时,S 取得最大值6,此时,y 02=21⇒t 2=x 02+y 02=29+21=5⇒t=5; (Ⅱ)由A 1(-3,0),A 2(3,0),设A(a,b),则B(a,-b),且92a +b 2=1;直线AA 1:y=3+a b (x+3),A 2B:y=-3-a b (x-3),两式相乘得:y 2= -922-a b (x 2-9)⇒y 2=91(x 2-9)⇒92x -y 2=1;由-3<a<0,0<b<1⇒x<-3,y<0⇒M 的轨迹方程:92x -y 2=1(x<-3,y<0).类题:1.(2010年广东高考试题)已知双曲线22x -y 2=1的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P(x 1,y 1),Q(x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点.(Ⅰ)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式;(Ⅱ)若过点H(O,h)(h>1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且l 1⊥l 2,l 1求h 的值. 2.(2012年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0).第六讲:轨迹方程.交轨法 23已知(1,e)和(e,23)都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设A,B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线AF 1与直线 BF 2平行,AF 2与BF 1交于点P.(i)若AF 1-BF 2=26,求直线AF 1的斜率;(ii)求证:PF 1+PF 2是定值.五.动弦上点例5:(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图过原点O 作抛物线y 2＝2px(p>0)的两条互相垂直的弦OA 、OB,再作∠AOB 的平分线交AB 于求点C 的轨迹方程解析:设A(2pa 2,2pa)(a>0),B(2pb 2,2pb)(ab ≠0),由OA ⊥OB⇒ab=-1⇒||||OB OA =1||21||222++b b p a a p =2223)(||1||a ab ab a a ++=|a|3,由OC 平分∠AOB ⇒||||CB AC =||||OB OA =|a|3⇒AC =|a|3CB ,设C(x,y),则x-2pa 2=a 3(2pb 2-x),y-2pa=a 3(2pb-y)⇒x=3221)1(2aab pa ++=31)1(2a a pa ++,y=31)1(2a a pa +-⇒y x =a a -+11⇒a=yx yx +-⇒y[1+ (y x y x +-)3]=2p y x y x +-(yx y x +-+1)⇒y(x 2+3y 2)=2p(x 2-y 2). 类题:1.(2008年北京、安徽春招试题)设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,己知OA ⊥OB,OM ⊥AB,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. 2.(2007年天津高考试题)设椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,A 是椭圆上一点,AF 2⊥F 1F 2,原点O 到直线AF 1的距离为31|OF 1|. (Ⅰ)证明:a=2b;(Ⅱ)设Q 1、Q 2为椭圆上的两个动点,OQ 1⊥OQ 2,过原点O 作直线Q 1Q 2的垂线OD,垂足为D,求点D 的轨迹方程.六.动弦交点例6:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点D 在双曲线x 2-y 2=1的左支上,D ≠A,直线CD 交双曲线x 2-y 2=1的右支于点E,求证: 直线AD 与BE 的交点P 在直线x=21上解析:设D(x 1,y 1)(x 1<0),E(x 2,y 2)(x 2>0),直线DE:y=k(x-2); D由⎩⎨⎧=--=1)2(22y x x k y ⇒(1-k 2)x 2+4k 2x-4k 2-1=0(k ≠±1)⇒x 1+x 2=1422-k k ,x 1x 2=11422-+k k ⇒x 1+x 2=4+142-k ⇒112-k =41(x 1+x 2)-1,x 1x 2=1422-k k +112-k =(x 1+x 2)+41(x 1+x 2)-1=45(x 1+x 2)-1;直线AD:y=111+x y (x+1)=1)2(11+-x x k (x+1),直线BE:y=122-x y (x-1)=1)2(22--x x k (x-1)⇒直线AD 与BE 交点P 的横坐标x 满足:1)2(11+-x x k (x+1)=1)2(22--x x k (x-1)⇒(1211+-x x -1222--x x )x=-(1211+-x x +24 第六讲:轨迹方程.交轨法1222--x x )⇒x=-4332212121+---x x x x x x =-4332)(25212121+----+x x x x x x =21.类题:1.(2011年四川高考试题)(文)过点C(0,1)的椭圆1x 2222=+by a (a>b>0)的离心率为23,椭圆与x 轴交于两点A(a,0),B(-a,0),过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D,并与x 轴交于点P,直线AC 与直线BD 交于点Q.(Ⅰ)当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长(Ⅱ)当点P 异于点B 时,求证:OQ OP ⋅为定值2.(2011年四川高考试题)(理)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交与C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线AC 与直线BD 交于点 (Ⅰ)当|CD|=232时,求直线l 的方程;(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:OQOP 为定值.。