灰色预测法
灰色模型算术公式
灰色模型算术公式灰色模型是一种用于预测和分析数据的方法，其基本思想是将数据分为两类：已知数据和未知数据。
已知数据是指已经确定并可以用来建模的数据，而未知数据则是需要预测或者分析的数据。
为了对未知数据进行预测或分析，灰色模型使用了灰色系统理论中的灰色预测方法。
灰色模型的算术公式包括：灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等。
其中，灰色微分方程是灰色预测方法的核心公式，它的形式为：$$ frac{dx}{dt} + a x = u $$其中，$x$ 表示原始数据序列，$t$ 表示时间，$a$ 表示灰色微分方程的参数，$u$ 表示灰色微分方程的非齐次项。
通过对该方程进行求解，可以得到灰色模型的预测结果。
另外，灰色模型GM(1,1)是一种常用的灰色预测模型，它的基本形式为：$$ x(k+1) = (x(1)-frac{u}{a})e^{-ak} + frac{u}{a} $$ 其中，$x(k+1)$ 表示预测值，$x(1)$ 表示初始值，$a$ 和$u$ 分别表示灰色微分方程的参数。
通过对历史数据进行处理，可以得到灰色模型GM(1,1)的预测结果。
此外，灰色关联度是用于分析数据间关系的一种方法，在灰色系统理论中被广泛应用。
灰色关联度的计算公式为：$$ r_{ij} = frac{sum_{k=1}^nmin(x_i(k),x_j(k))}{sum_{k=1}^n x_i(k)} $$其中，$x_i(k)$ 和 $x_j(k)$ 分别表示第 $i$ 个和第 $j$ 个数据在第 $k$ 个时刻的值，$n$ 表示时刻数。
通过计算灰色关联度，可以了解数据之间的关系，从而对其进行进一步的分析和预测。
总之，灰色模型的算术公式包括灰色微分方程、灰色模型GM(1,1)、灰色关联度等，这些公式是灰色预测和分析方法的核心内容。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的公式进行计算和分析。
灰色预测模型公式
灰色预测模型公式灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测模型的公式可以表示为：$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。
灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。
系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。
灰色预测模型的建模步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。
2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系统的发展规律。
3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。
4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。
5. 模型预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测。
灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以用来预测各种经济指标、环境数据、自然灾害等，为决策提供科学依据。
同时，灰色预测模型还可以用于评估和分析系统的可持续发展能力，帮助企业和机构合理规划和管理资源。
灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它通过利用系统自身的信息和规律，建立灰色微分方程来进行预测。
最新第7章灰色预测方法.pdf
第7章灰色预测方法预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数灰色系统理论中的一个重要概念是灰数。
灰数是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。
我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰数。
在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数。
灰数有以下几类：1．仅有下界的灰数有下界而无上界的灰数记为,a或a，其中a为灰数的下确界，它是一个确定的数，我们称,a为的取数域，简称的灰域。
一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用表示大树的重量，便有,0。
2．仅有上界的灰数有上界而无下界的灰数记为(,]a或()a，其中a为灰数的上确界，是一个确定的数。
一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
工程投资、电器设备的电压、电流容许值都是有上界的灰数。
3．区间灰数既有下界a又有上界a的灰数称为区间灰数，记为aa,。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在 1.8~1.9米之间，可分别记为25,201，9.1,8.1 24．连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
灰色预测法
min min Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
(k)
Xˆ 0k X 0k max max Xˆ 0k X 0k
式中：
Xˆ 0k X 0k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差； min min Xˆ 0k X 0k 为两级最小差； max max Xˆ 0k X 0k为两级最大差；
二、生成列
为了弱化原始时间序列的随机性，在 建立灰色预测模型之前，需先对原始时间 序列进行数据处理，经过数据处理后的时 间序列即称为生成列。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色系统理论提出了一种新的分析方法—— 关联度分析方法。灰色预测通过鉴别系统因素 之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析， 并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的 规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建 立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发 展趋势的状况。
ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系 数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据 分别除以第一个数据。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
(整理)灰色预测法-
第7章 灰色预测方法 预测就是借助于对过去的探讨去推测、了解未来。
灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
对于一个具体的问题，究竟选择什么样的预测模型应以充分的定性分析结论为依据。
模型的选择不是一成不变的。
一个模型要经过多种检验才能判定其是否合适，是否合格。
只有通过检验的模型才能用来进行预测。
本章将简要介绍灰数、灰色预测的概念，灰色预测模型的构造、检验、应用，最后对灾变预测的原理作了介绍。
7.1 灰数简介7.1.1 灰数一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用⊗表示大树的重量，便有[)∞∈⊗,0。
是一个确定的数。
海豹的重量在20~25公斤之间，某人的身高在1.8~1.9米之间，可分别记为 []25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗ 4． 连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
某人的年龄在30到35之间，此人的年龄可能是30，31，32，33，34，35这几个数，因此年龄是离散灰数。
人的身高、体重等是连续灰数。
5． 黑数与白数当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都为讨论方便，我们将黑数与白数看成特殊的灰数。
6． 本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
从本质上来看，灰数又可分为信息型、概念型、层次型三类。
灰色预测法
解答： 以 X 1 为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
1,0.9475,0.9235,0.9138 X1 1,1.063,1.1227,1.1483 X2 1,.097,1.0294,1.0294 X3 1,1.0149,0.805 X m1 i
i 1
k
•对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多， 累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序 列变为非随机序列。
•一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲 线逼近。
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原 为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X
1
k X k X k 1
0 0
三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
设
ˆ 0 k X ˆ 0 1, X ˆ 0 2,..., X ˆ 0 n X
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
X 2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
农业
商业 试求关联度。
运输业 X 3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5
X 4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
X4 参考序列分别为 X 1 , ，被比较序列为 X 2 , X 3 ,,
第二步：求序列差
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
4 0,0.0674,0.1185,0.2148
第三步：求两极差
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
第8章+灰色预测方法
（6）本征灰数与非本征灰数
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作 为其“代表”的灰数；
非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作 为其“代表”的灰数。
则称此白数为相应灰数的白化值，记为
并用 (a) 表示以a为白化值的灰数。
如：托人代买一件价格为100元左右的衣服，可将100作
为预测衣服价格(100)的白化数，记为
(100) 100
从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次 型灰数。
（7）信息型灰数
因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。但到一定 的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。
a
（8）概念型灰数，也称意愿型灰数
指由人们的某种概念、意愿形成的灰数。
（9）层次型灰数
指由层次的改变形成的灰数。(宏观白,微观灰)
4.灰数白化与灰度 （1）有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白 化比较容易，可将其基本值为主要白化值。可记为
(a) a a 其中 a 为忧动灰元。此灰数的白化值为 (a) a
（2）对一般的区间灰数 [a, b] ，将白化取值为 ~ a (1)b [0,1]
息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系。
（2）灰色系统特点
• 用灰色数学来处理不确定量，使之量化。
• 充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
关键：如何使灰色系统白化、模型化、优化 灰色系统视不确定量为灰色量，提出了灰色系统
建模的具体数学方法，它能用时间序列来确定微分方 程的参数。
•灰色系统理论能处理贫信息系统。
商业
X 4 6.7,6.8,5.4,4.7
参考序列分别为 X1, X 2 ，被比较序列为 X 3, X 4,
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（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时
间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。
• 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时
刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
k
Xmk Xm1 i i1
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
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mm inX ˆin 0kX0k为两级最小差； mm axX a ˆ0x kX0k为两级最大差；
ρ称为分辨率，0<ρ<1, 若 越 小 ， 关 联 系 数 间
差 异 越 大 ， 区 分 能 力 越 强 。 一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1 k X 0 k X 0 k 1
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三、关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
X ˆ(0 )(k ) X ˆ(1 )(k 1 ) X ˆ(1 )(k )
由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态
势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;
u 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
其中:
①当- a < 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;
若对t 有σ(1) ( t) ∈[1 , 1+ δ] ,其中δ常取0.5 ,则
准指数规律满足,可对X(1) 建立GM(1 ,1) 模型,否 则需继续累加。
2 GM(1,1)模型
一、GM（1，1）模型的建立
设时间序列 n X 0 X 0 1 , X 0 2 ,X . 0 . n .有,个观
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。 累加
累加是将原始序列通过累加得到生成列。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成 列的第一个数据，将原始序列的第二个 数据加到原始序列的第一个数据上，其 和作为生成列的第二个数据，将原始序 列的第三个数据加到生成列的第二个数 据上，其和作为生成列的第三个数据， 按此规则进行下去，便可得到生成列。
运输业 X 3 3 .4 ,3 .3 ,3 .5 ,3 .5 商业 X 4 6 .7 ,6 .8 ,5 .4 ,4 .7
参考序列分别为 X1, X2 ，被比较序列为 X3, X 4, 试求关联度。
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解答：
以 X 1 为参考序列求关联度。
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
m m m i n iik n 0
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第四步：计算关联系数 取ρ=0.5，有：
1ikik0.1 0.1 16 17 6 , i5 7 25 ,3,4
从而：
1211 1220.5031230.36951240.3333
1311 1320.83841330.52441340.504
则关联系数定义为：
mm in X ˆi0n kX 0kmm aX ˆx a 0k x X 0k (k)
X ˆ0kX 0kmm aX ˆx a 0k x X 0k
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式中： X ˆ0kX0k 为第k个点 X0和 Xˆ 0 的绝对误差；
察值，通过累加生成新序列 X 1 X 1 1 ,X 1 2 ,. X 1 . n .,
则GM（1，1）模型相应的微分方程为：
dX1 aX1
dt
其中：α 称为发展灰数；μ 称为内生控制灰数。
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构造矩阵B与向量Y
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• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
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二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列
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（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
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• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动 的规律，生成有较强规律性的数据序列， 然后建立相应的微分方程模型，从而预 测事物未来发展趋势的状况。
（1）关联系数
设 X ˆ 0 k X ˆ 0 1 , X ˆ 0 2 ,X . ˆ 0 . n .,
X 0 k X 0 1 , X 0 2 ,X . 0 . n .,
B
1 ( X (1) (2) X (1) (1)), 2
1 ( X (1) (3) X (1) (2)), 2
1
1
... ...
1 2
(
X
(1)
(n)
X
(1)
(n
1)),
1
Y=(X(0)(2),X(0)(3),……，X(0)(n))’
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。
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（3）灰色系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预
X 0 X 0 1 , X 0 2 , X 0 3 ,X . 0 n ..
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据 处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
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（2）关联度
X0k 和 Xˆ 0k 的关联度为：
r 1
n
k
n k1
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一个计算关联度的例子
工业、农业、运输业、商业各部门的行为 数据如下：
工业 X 1 4 .8 ,5 4 .4 ,3 4 .3 ,2 4 .9 1
农业 X 2 (3.1 ,9 4.6 ,1 4.9 ,3 4.9 ) 4
②当0.3 < - a < 0.5 时, GM(1 ,1) 模型可用于短期预 测,中长期预测慎用;
③当0.5< - a < 1 时, 应采用GM(1 ,1) 改进模型,包 括GM(1 ,1) 残差修正模型;
④当- a > 1 时,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考虑其他 预测方法。
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检
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记原始时间序列为：
X 0 X 0 1 , X 0 2 , X 0 3 ,X . 0 n ..
生成列为：
X 1 X 1 1 , X 1 2 , X 1 3 ,X . 1 n . .
X 1 1 ,0 .9,4 0 .9 7,2 5 0 .9 31 538 X 2 1 ,1 .0,6 1 .13 2 ,1 .1 24 783
X 3 1 , 0 .9 7 , 1 .0 2 9 4 , 1 .0 2 9 4 X 4 1 ,1 .0,1 0 .8 4 ,0 .7 9 5
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第二步：求序列差 2 0 ,0 .1,1 0 .1 5,9 0 5 .2 93 235
3 0 ,0 .02 ,0 .1 20 ,5 0 .1 51 946 4 0 ,0 .0,6 0 .1 7,1 0 4 .2 81 548
第三步：求两极差 M mm a x a ikx 0 .2335
验和后验差检验。
（1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i,
然后计算原始序列X0i 与 Xˆ 0i 的绝对误差序列及相
对误差序列。
0iX0iX ˆ0i i1,2,...n,
iX00ii10% 0
i1,2,...n,
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在建立模型后,还必须对模型进行精度检验பைடு நூலகம்其 检验标准见表1。
表1 精度检验等级参照表
精度等级 一级(优) 二级(良) 三级(合格) 四级(不适用)
相对误差 Δ 0.01 0.05 0.1 0.2
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
1411 1420.6341430.49613440.352
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第五步：求关联度