三角形中线的巧用
三角形中线等分三角形面积的灵活运用
三角形中线等分面积的灵活应用山东 王明华如图：线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD ·AE ，S △ADC ＝12DC ·AE.因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC .因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题.一、求图形的面积例1 长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.析解：连接CG ，不难得出S △ＢＣＦ＝S △ＤＣＥ＝4ab，从而S △ＢＥＧ＝S △ＤＦＧ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，因此S 四边形ＡＢＧＤ=42433ab ab ab -⨯=. 二、巧算式子的值例 2 在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计了如图2所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值.析解：根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形的面积等于1，也可以表示为234111*********n n ++++⋅⋅⋅++，因此2341111111222222n n ++++⋅⋅⋅+=-.点评：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三、巧分三角形例3 已知△ABC ，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1：2:3的三个三角形.析解：方法1：取BC 的中点E ，然后在BE 上取点D ，使BD 13=BE ，则AD 、AE 把△ABC 分成面积之比为1：2:3的三个三角形（如图1）.方法2：在BC 边上截取DC31=BC ，连结AD ，然后取AB 的中点P ，连结BP 、CP ，则△PAC 、△PAB 、△PBC 的面积之比为1：2: 3（如图2）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？。
初中数学-三角形中的中线的用法教师版
三角形中的中线的用法模块一：三角形中位线 1．定义：连接三角形两边中点的线段． 2．定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．若DE 为ABC △的中位线，则DE//BC ，且12DE BC =．3．三角形中位线里隐含重要性质： ①三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有：①AEG EBF CFG FGE △△△△≌≌≌②12EFG ABC C C =△△，14EFG ABC S S =△△②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 模块二：直角三角形斜边中线 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．若AD 为Rt ABC △斜边上的中线，则12AD BC =．相关结论：（1）AD BD DC ==； （2）ABD △，ACD △为等腰三角形 （3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠拓展：在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点．相关结论：（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠． 模块三：中点辅助线综合E DCB AMMABCDA BCDDCBAFA B CE G（1）如图1-1，在ABC△中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，若ABC△的周长为20cm，则DEF△的周长为__________．（2）如图1-2，在Rt ABC△中，30A∠=︒，1BC=，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为__________．图1-1 图1-2（3）如图1-3，ABC△中，6AB AC==，8BC=，AE平分BAC∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则BDE△的周长是__________．（4）如图1-4，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．求证：1()2EF AC BD<+．图1-3 图1-4【解析】（1）10cm．（2）1．（3）10．（4）证明：取AD的中点M，连结EM和FM．∵E、F是AB、CD中点，∴12EM BD=，12FM AC=．又∵EF EM FM<+，∴1()2EF AC BD<+．【教师备课提示】考察中位线产生的线段长度关系．第（4）题利用中位线构造出长为12AC，12BD的线段并将线段集中；也可以求证1()2EF AD BC<+，方法是取AC 或BD的中点．FEDCBA模块一三角形中位线例题1MAB CDEF（1）如图2-1，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD BC =，18PEF ∠=︒，则PFE ∠的度数是__________度．（2）如图2-2，已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．（3）已知，如图2-3四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点．求证：AME BNE ∠=∠．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）18．（2）设AB 的中点为G ，连结GE 、GF ，容易证得：GE //BD ，12EG BD =，GF //AC ，12EF AC =，从而GF GE =，GEF GFE ∠=∠， ∴AMN BNM =∠∠．（构造中位线来利用对角线相等的条件，也可以取AC 或BD 的中点．） （3）连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴FH//AD ，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH//BC ， ∵AD BC =，∴EH FH =，∴HFE HEF ∠=∠， ∵FH//AM ，EH//BC ， ∴AM E HFE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠， ∴AME BNE ∠=∠．【教师备课提示】考察中位线的性质，学会通过构造中位线去利用已知的条件．CM FEND B AA CDM FE NB例题2CM FE G NDB AA H C D MF E NB如图，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N 分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ，求证：AP AQ =．【解析】连DG ，找DG 的中点E ，连ME 、NE ，∵M 、N 分别是BG 与CD 的中点．∴ME//AB ，12ME BD =，NE//AC ，12NE GC =．∴APQ EMN ∠=∠，AQP ENM ∠=∠．∵BD GC =，∴EM EN =， ∴EMN ENM ∠=∠，∴APQ AQP ∠=∠，∴AP AQ =． 【教师备课提示】还可以取BC 中点．总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线，学会构造出中位线去利用题目中给出的等量关系．已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC 垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．（1）如图4-1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图4-2，若点E 在BA 延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明．图4-1 图4-2【解析】（1）BM DM =，2BMD BCD ∠=∠；（2）结论不变，由题意知MB MC MD ==，∴2BME BCM ∠=∠，2DME DCM ∠=∠，两式相减，得2BMD BCD ∠=∠．NM PQG D C BAEA BC DG Q PM N 图2图1BEM CDAMEDCBA例题3模块二直角三角形斜边中线例题4如图，90MON∠=︒，ABC△中，90BAC∠=︒，2AB=，1AC=，AB在MON∠上滑动，求OC的最大值．【解析】取AB的中点D，连结OD、DC，则1OD=，2DC=，可得12OC≤+，即OC的最大值为12+（O、D、C三点共线时）．在Rt ABC△中，90BAC∠=︒，AD BC⊥，E、F、G分别是AB、AC、BC的中点，M 是DG的中点，求证：ME MF=．【解析】连结DF、EG，可证DF GE=，MDF MGE∠=∠，MD MG=，则MDF MGE△≌△，得证．例题5模块三中点辅助线综合例题6如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．【解析】方法一：如图1，取AC 中点M ，取AD 中点N ，连BM ，MF ，NF ，EN ． ∵90ABC AED ∠=∠=︒，1122BM AC FN EN AD MF ====，，∴BMF FNE △≌△，∴BF EF =，方法二：如图2，延长CB 到M ，使得MB BC =， 延长DE 到N ，使得NE DE =， 连接AM ，AN ，MD ，CN ． 由90ABC AED ∠=∠=°，AMC △，ADN △是等腰三角形，F 是CD 中点，则BF //MD ，12BF MD =，EF//CN ，12EF CN =，MAD CAN △≌△，MD CN =，∴BF EF =，此题的两种解法中综合了中点的三个基本用法：等腰三角形三线合一；直角三角形斜边中线；中位线，即以下三个模型：图2图1MNN MACBDEF F EDB CA例题7FEDB C A（1）如图1-1，在ABC△中，点D是BC中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，延长BE 交AC于F．若AB=10厘米，AC=16厘米，则DE的长度为__________．（2）如图1-2，已知，在四边形ABCD中，AD BC=，P是对角线BD的中点，N是DC 的中点，M是AB的中点，30DBC∠=︒，70ADB∠=︒．求MNP∠度数．图1-1 图1-2【解析】（1）3厘米；（2）∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，M、N分别是AB、CD的中点，∴NP，PM分别是CDB△与DAB△的中位线，∴12PN BC=，12PM AD=，PN//BC，PM//AD，∴30NPD DBC∠=∠=︒，70MPB ADB∠=∠=︒，∴110DPM∠=︒；∴140NPM∠=︒，∵AD BC=；∴PN PM=，故NMP△是等腰三角形．∵140NPM∠=︒，∴20PMN PNM∠=∠=︒．复习巩固模块一三角形中位线演练1（1）如图2-1,ABC △中，过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角平分线．．．．．的垂线．．AD 、AE ，垂足为D 、E ．求证：①//ED BC ；②1()2ED AB AC BC =++．（2）（四川省中考题）如图2-2,已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．图2-1 图2-2【解析】（1）①分别延长AD 、AE 与直线BC 交于点F 、G ，∵BD ⊥AD ，且BD 为ABF ∠的角平分线∴AD FD =，且AB BF =（等腰三角形的三线合一） 同理可得AE GE =，AC GC =， ∴DE 为AFG △的中位线，∴ED //BC ，且12DE FG =．②由（1）知12DE FG =，且AB BF =，AC GC =，∴111()()222ED FG=FB BC CG AB BC AC =++=++．（2）取AC 的中点F ，连结DF ，易得DF//AB ，12DF AB =，ADF BAD ∠=∠，而1122DE BD AB ==，故DF DE =．再证ADE ADF △≌△，∴AE AF =，∴2AC AE =．C ED BA演练2CF E D B A（1）如图3-1，四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20CAD CAB ∠=∠=︒，则DOE ∠=__________．（2）如图3-2所示，ABC △中，AH BC ⊥于H ，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，10cm HF =，则ED 的长度是__________．图3-1 图3-2【解析】（1）60︒．（2）10cm ．（1）如图4-1，在ABC △中，2B C ∠=∠，M 是BC 中点，AD BC ⊥于D ．求证：12DM AB =．（2）如图4-2，已知：ABD △和ACE △都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠．连接DE ，设M 为DE 的中点．求证：MB MC =．【解析】（1）法一：取AB 中点G ，连结GD 、GM ，则12GD AB =，GM AC ∥．则GMD C ∠=∠． 而GD GB B GDB GMD DGM =⇒∠=∠=∠+∠ C DGM =∠+∠，由于2B C ∠=∠，所以DGM C GMD ∠=∠=∠．∴12MD GD AB ==． OEDC B AMEDCBA模块二直角三角形斜边中线演练3模块三中点辅助线综合演练4CAB GNDMC AB D M法二：同理可以取AC的中点N，连接DN，MN．（2）如图，分别取AD、AE的中点P、Q，连接PB、PM、QC、QM，由P、M、Q分别是AD、DE、AE的中点，∴PM//AE，12PM AE=，QM//AD，12QM AD=，∵ABD△、ACE△是直角三角形，∴12PB AD=，12CQ AE=，∴PB QM=，PM QC=，∵BAD CAE∠=∠，∴ADB AEC∠=∠，∴DPB CQE∠=∠，由AD//QM，AE//PM，∴APM AQM∠=∠，∴BPM MQC∠=∠，∴BPM MQC△≌△，∴MB MC=．QPAB CDE M图3。
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =．2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
三角形中线定理的应用
三角形中线定理的应用三角形中线定理是解决三角形相关问题中常用的一个定理。
它指出：一个三角形的三条中线交于一个点，并且这个点离三角形的三个顶点的距离相等，且等于中线长的一半。
这个点被称为三角形的重心。
根据这个定理，我们可以应用它来解决一些实际问题。
我们来看一个具体的例子。
假设有一个三角形ABC，其中AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm。
我们需要求解这个三角形的重心坐标。
根据中线定理，我们知道三角形的重心是三条中线的交点。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，因此我们需要先求出三角形的对边中点坐标，然后再求出中线的交点坐标。
我们可以通过求解三角形的三个顶点坐标来求出对边中点坐标。
假设顶点A的坐标为(0, 0)，则顶点B的坐标为(10, 0)，顶点C的坐标为(x, y)。
由于AC=6cm，我们可以利用勾股定理求解y的值。
根据勾股定理，我们有：x^2 + y^2 = AC^2x^2 + y^2 = 6^2x^2 + y^2 = 36又由于BC=8cm，我们可以利用坐标的对称性求解x的值。
由于点B的坐标为(10, 0)，点C的坐标为(x, y)，所以x的值应为10-x。
将x的值代入上面的方程，我们可以求解出y的值。
假设y1为y的值，则有：(10-x)^2 + y1^2 = 8^2100 - 20x + x^2 + y1^2 = 64x^2 + y1^2 - 20x + 36 = 0根据二次方程的求解公式，我们可以求解出x的值和y1的值。
假设x1为x的值，y1为y的值，则有：x1 = (20 + sqrt(20^2 - 4*1*36)) / 2x1 = (20 + sqrt(400 - 144)) / 2x1 = (20 + sqrt(256)) / 2x1 = (20 + 16) / 2x1 = 36 / 2x1 = 18y1 = sqrt(8^2 - (10-x1)^2)y1 = sqrt(64 - (10-18)^2)y1 = sqrt(64 - 64)y1 = sqrt(0)y1 = 0由此可知，点C的坐标为(18, 0)，即C点为x轴上的点。
三角形中线的性质及其应用
三角形中线的性质及其应用在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.一个三角形里有三条中线,三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的中线有下列性质:1.三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍.2.经过三角形一角顶点与重心的直线,必经过这个角对边的中点.3.一个三角形的三条中线把原三角形分成六个面积相等的小三角形.4.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合.5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.利用三角形中线的性质,可以解决一些实际问题.例 1：在△ABC中,过重心G画平行BC的直线交AB于点D,那么AD:DB=?解题思路:根据题意画出图1,连接AG并延长AG交BC于E.由中线性质2可知E是BC的中点.由中线性质1知, AG:GE=2:1在△ABE中,∵DG∥BC,∴ ,故求得AD:DB=2:1例2：如图2,在Rt△ABC中,∠S=90°,G为重心,且AG=2,则AB²+GC²=?解题思路:作GE⊥BC,E为垂足,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点,GD=AG=1,∴Rt△ABC斜边BC上的中线AD=3.由中线性质5知AD= BC=BD=CD=3,在Rt△GDE中,根据勾股定理,得DE²+GE²=GD²=1,同理在RT△GBE中,GB²=BE²+GE²=(BD+DE)²+GE²=BD²+2BD·DE+DE²+GE².①在RT△GCE中,GC²=CE²+GE²=(CD-DE)²+GE²=CD²-2CD·DE+DE²+GE²=BD²-2BDDE+DE²+GE²②由①+②得GB²+GC²=2(BD²+DE²+GE²)=2(3²+1)=20例3：如图3,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线.点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E, 连接BP交AC于点F,(1)证明:∠CAE=∠CBF⑵证明:AE=BF证明思路: (1)在△ABC中, AC=BC,CH⊥AB于点H,根据三角形中线性质4,知CH是底边AB上的中线,又CH⊥AB,∴CH是线段AB的中垂线.∵点P在CH上,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA.由等式性质得∠CAB-∠PAB=∠CAB-∠PBA,即∠CAE=∠CBF.⑵在△ACE和△BCF中,∵∠ACE=∠BCF,AC=BC,∠CAE=∠CBF.∴△ACE≌△BCF(ASA),∴AE=BF例 4:如图4, 在△ABC中,点D在AC上,DB=BC,点E是CD的中点,点F是AB的中点.(1)求证:EF= AB(2)过点A作AG∥EF,交BE的延长线于点G,求证△ABE≌△AGE.证明思路:⑴连接BE,在△BCD中,∵DB=BC,E是DC 的中点,由三角形中线性质4知BE⊥CD.在R t △AEB中,F是斜边AB的中点,由三角形中线性质5,知EF= AB⑵由(1)知EF= AB=AF,所以∠FAE=∠FEA,∵AG∥EF,∴∠FEA=∠GAE,∴∠FAE=∠GAE又AE=AE,∠AEB=∠AEG=90°,∴△ABE≌△AGE(ASA)例5, 如图5, 在△ABC中,中线AD,BE,CF相交于点G,GA=2 ,GB=2,GC=2求△ABC的面积.证明思路: 根据三角形中线性质3,有S△GAF=S△GFB=S△GBD=S△GDC=S△GCE=S△GEA=S△ABC.∴S△GBC=S△ABC,因此只要求出△GBC的面积,△ABC的面积就容易求出来了.延长AD至H,使DH=GD.∵BD=DC,∴,四边形BHCG为平行四边形,在△HGC中,HG=AG=2GD=2 ,HC=GB=2 ,GC=2.∵GC +HC =2 +(2 ) =12,HG =(2 ) =12,∴GC +HC =HG由勾股定理逆定理知∠GCH=90°,∴平行四边形BHCG是矩形, ∠BGC=90°∴S△GBC=GB·GC=ⅹ2ⅹ2=2∴S△GBC=S△ABC, ∴S△ABC=3 S△GBC=6 .2。
三角形中线的运用
∴DE= 1 2
BC
且 DE ∥ BC
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边 的一半 .
如图,在RT△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°,
∴BC=
1 2
AB .
4.等腰三角形“三线合一”的性质：
如图,已知AB=AC，AD⊥BC.
∴BD=CD=
1 2
BC
，
∠BAD=∠CAB.
5.一种常见的关于中点的辅助线思想 ——“倍长中线法”
如图：在△ABC中，点D是BC边的中点， 我们可以将AD延长至A′，使A′D=AD ， 连接A′B（A′C）.
∴△ACD≌ △A′BD （△ABD≌ △A′C）D
∴ AA′=2AD.
例1：如图：∠BAC=∠DAE=90º，AB=AC，AD=AE， 连接BE、CD，M为BE的中点，连接AM，
求证：CD=2AM.
北碚区王朴中学童昌强
三角形中线的运用
一.知识回顾—线段“中点”相关知识点： 1.在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半
如图,在RT△ABC中，∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴AD=CD= BD = 1 AC . 2
2.三角形的中位线平行且等于 第三边的一半
如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC中，点E在AC上，且AE=CE ，连接 BE，点D在BC的延长线上，且CE=CD，连接ED、AD. 点F是BE的中点，连接FA、FD.求证：AD=2AF.
A
E
F B
D C
A
B
MC
E
D
A
B M
D
C
E
A′
△ACD≌△EA′A
A
B
三角形中线的几种用法
三角形中线的几种用法一、加倍法加倍法是三角形中线的最基本最常见的用法，其基本思路是：把三角形一边的中线延长，并截取中线长，得到二倍的三角形的中线长，利用三角形全等或中心对称，证明有关线段（或角）的相等及不等关系．基本模式是：如图1，已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE=AD ，则有：△ADC ≌△EDB ，BE ∥AC ，BE=AC ．例题 已知：如图2，AD 为△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ， 求证：AC=B Ｆ．证明：延长AD 至H ，使DH=AD ，则△ACD ≌HBD(SAS)，AC=BH ，∠HAC=∠H ∵AE=EF ，∴∠AFE=∠AEF ，由∠BFH=∠AFE 得∠BFH=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ．图 1E DC BA图 2H FE DCBA二、利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分来解决有关面积的求解问题基本模式是：若AD 为△ABC 中线，则S △ABD=S △ADC=21S △ABC ．例题 已知：如图3，△ABC 中，M 是AB 中点，MD ⊥BC ，EC ⊥BC ，S △ABC=24，求S △BDE ． 解：连接MC ，由题意知：DM ∥EC ，∴S △DME=S △DMC ，又∵M 为AB 中点，∴S △BCM=21S △ABC ，∴S △BDE=S △BCM=21S △ABC=12．三、关于“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”的用法基本模式：如果CD 是Rt △ACB 斜边AB 上的中线，则有：CD=21AB ．例题 已知：如图4，∠ABC=∠ADC=90°，点M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点， 求证：MN ⊥BD ．证明：连结BM 、DM ，则由∠ABC=90°，M 为AC 的中点，得：BM=21AC ， 同理：由∠ADC=90°， M 为AC 的中点，得：MD=21AC ，∴BM=DM ，由N 为BD 中点及等腰三角形三线合一性质，得MN ⊥BD ．四、关于三角形重心问题的应用基本模式是：若O 为△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 的交点（即△ABC 的重心），则有OD OA =OE OB =OF OC =12．例题 已知：如图5，线段PQ 过△ABC 的重心M ，P 、Q 分别内分AB 、AC 的比值为p 、q ，求p 1+q 1．解：作射线AM 交BC 于D 点，分别过B 、C 两点作PQ 的平行线交AM 于G 、F ，AM∵M为△ABC的重心，∴DB=DC，MD=2：1，∴△BDG≌△DCF，∴DG=DF．。
4条件：三角形中线
基本条件突破2：中线作为条件如何用 【中线定义】：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于一点，这点称三角形的重心。
【中线作为条件的用法】：用法1：用于平分线段,同等线段1(中线1）用法2：用于平分三角形面积（中线2）例题感知【类型一】 应用三角形的中线求线段的长在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________．解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ＝BA －5cm ＝2cm ，∴BA ＝7cm.故答案为7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．试题感知题型一：用中线进行线段的转换(中线1）1．（2015秋•荔湾区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝6cm，BC＝4cm，则△ABD和△BCD 的周长差为cm．2．（2019春•揭阳期中）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为．3．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是．题型二：用中线解决图形面积问题（中线2）1．如图，CD是△ABC的中线，则（）A．S△ACD=S△BCD B．S△ACD=S△ABC C．S△ACD=2S△BCD D．以上各项均不正确2．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（）A．2cm2B．1cm2C．cm2D．cm23．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，在△ABC中，点D在BC上，点O在AD上，如果S△AOB=3，S△BOD=2，S△ACO=1，那么S △COD等于（）A．B．C．D．5．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC 的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：166．（2018秋•兴义市期末）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．那么AD是△ABC 的．（填“中线”或“角平分线”）题型三：三角形的重心1．如图，点G为△ABC的重心，则S△ABG：S△ACG：S△BCG的值是（）A．1：2：3 B．2：1：2 C．1：1：1 D．无法确定2．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，且AD⊥CE，联结BG并延长与AC交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=153．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于O，则S△EDO：S△ADE=（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：64．（2019秋•南安市期中）如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为．5．（2019•姜堰区一模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝4，G是△ABC重心，则S△AGC＝．6．（2019秋•清江浦区校级月考）如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，S△BDE＝2，则△AEC 的面积是．8．（2017•武汉模拟）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，BE、CD为中线，且BE⊥CD，则BC ＝．。
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三角形中线的巧用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角形中线的巧用
边的知识：
三角形任意两边之和大于第三边
三角形任意两边之差小于第三边
角的知识：
三角形三个内角的和等于180°
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。
三角形线的知识：
三角形的中线、高、角平分线都是线段。
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高,一条在三角形的内部，其他两条是直角边。
钝角三角形的三条高，一条在三角形的内部，其他两条在三角形的外部。
垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
三角形全等的知识：
全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
全等三角形的判断：SSS、SAS、ASA、AAS这四种。
三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。
三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。
如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段
AD叫△ABC的边BC上的中线。
∴BD=CD=BC . AE⊥BC于E，即AE是△ABC 的边BC上的高。
同时AE也是△ABD、△ACD的高。
根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即
.
△ABD、△ACD的面积可表示为：
，
，
所以△ABD、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。
结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。
例1 如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。
AD、BE交于G，试比较△BGD 和△AGE面积的大小。
析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也等于三角形ABC的面积
的一半。
所以=，所以，
即.所以△BGD和△AGE的面积相等。
引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC的中线，根据上面结论一，有，，而，
所以，
，所以
结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的.
例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。
分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。
更重要的是要考虑中点的运用。
解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积= ,根据上述结论二，△ BOD的面积等于△BCD的面积的，
即，
∴阴影部分的面积=.
点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。
图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。