三角形中线的应用例谈
【教学随笔】平面向量中的三角形的中线的应用
平面向量中的三角形的中线的应用
在向量中有一类问题是利用三角形的中线与其它边的关系解决问题，在三角形中 ，其中是边的中线，在平面向量有一类的问题是用该关系解决问题，下面举几例讲一讲三角形的中线的应用，希望对同学的学习有所帮助。
例1 如图是平面上的三点，向量，设为线段的垂直平分线上的一任意一点，向量，若，则 等于（）
A 1
B 3
C 5
D 6
解析：因为，
2211()()()[()]()()622
P a b oc cp OA OB OA OB cp OA OB OA OB BA cp ∴-=+-=++-=-=，所以选D
点评：一般遇到三角形的中点问题，一般是用三角形的中线问题进行转化，把中线转化为三角形的另两边，问题可以解决。
例2 已知，对于任意点关于A 点的对称称点为S ，S 点关于B 点的对称点为N ，
（1） 用表示向量；
（2） 设,求与的夹角的取值范围。
解(1):因为A 为MS 的中点,B 为NS 的中点,所以两式相减得
(2) ,由(1)得,
点评:遇到三角形的中点问题,一般是取中线,利用三角形的中线与边的关系可以解决问题. 例3，在三角形ABC 中，如果，那么O 是三角形的（）
A 外心
B 内心
C 重心
D 垂心
解析：
有图可知，所以，G 点是BC 的中点，，所以O 是的重心，所以选C
点评：利用三角形的向量的加法，可以进行转化。
总之,三角形的中线是平面向量的关键,遇到三角形的中点问题,一般要构造三角形,利用三角形的中线与另两边的关系来解决问题。
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．二、有直角、无中点，取中点，连线出中线【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．三、有中点、无直角，造直角【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，求证：MN=21（AB －CD ）．四、逆用性质解题【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．【习题练习】1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =．2、性质的拓展：如图：因为D 为BC 中点，所以BC 21DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠1=2∠2，∠ADC=2∠3=2∠4．因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．2、证明线段相等例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 21AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。
直角三角形斜边上的中线应用题目
直角三角形斜边上的中线应用题目
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（90度角）。
在直角三角形中，斜边是指与直角的两条边不重合的另外那条边。
斜边上的中线是指从斜边中点垂直于斜边的线段。
直角三角形斜边上的中线有很多应用，下面是一些题目：
1. 题目一：
已知一个直角三角形的斜边长为10cm，求斜边上的中线的长度。
解答：
由于直角三角形中，斜边的一半就是中线的长度。
所以，中线的长度为10cm的一半，即5cm。
2. 题目二：
已知一个直角三角形的斜边长为12cm，中线的长度为6cm，求与中线相交的直角三角形两个直角边的长度。
解答：
由于中线是斜边的一半，所以斜边的长度是中线的两倍，即12cm。
因此，直角边的长度可以使用勾股定理求解。
设一个直角边为x，则另一个直角边为12-x。
根据勾股定理，我们可以得到以下方程：
x^2 + (12-x)^2 = 12^2
化简方程后，求解x的值，即可得到另一个直角边的长度。
这些题目是直角三角形斜边上的中线应用题目的一些例子。
通过解答这些题目，我们可以更深入地理解直角三角形的性质和中线的应用。
在解题过程中，可以运用勾股定理和直角三角形的基本性质，加深对数学知识的理解和应用能力。
希望以上内容对您有所帮助，如有其他问题，请随时提问。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形中线定理
三角形中线定理三角形是几何学中的基础概念，常常在几何学问题中被引用和研究。
而三角形中线定理是三角形中一条重要的几何定理。
本文将简要介绍三角形中线的概念和性质，并详细阐述三角形中线定理的内容和证明。
1. 三角形中线的定义和性质在三角形ABC中，若从顶点A到对边BC的中点D作垂线，垂足为E，则线段DE称为三角形ABC的中线。
同理，从顶点B和C可以得到另外两条中线。
三角形中线具有以下性质：- 三角形中线的三条垂直平分线交于一点，该点称为三角形的重心（G）。
- 三角形的重心到各顶点的距离相等，即GA = GB = GC。
2. 三角形中线定理的表述和证明三角形中线定理表述如下：三角形中线长等于边长的一半。
证明三角形中线定理的基本思路如下：以三角形ABC的三个顶点为起点，分别向对边作垂线，并标记垂点，分别为D、E和F。
然后使用向量或几何方法分析和计算各线段的长度，并进行推导和比较。
以下是一个具体的证明过程：设三角形ABC的中线DE的中点为M，连接AM。
由于M是DE的中点，所以AM = MD。
同理可得，BM = ME，CM = MF。
采用向量法证明：设向量AB = a，向量AC = b，向量AM = m。
由于M是DE的中点，所以向量DE = 2m。
又有向量DM = a / 2，向量EM = b / 2。
由三角形中线的定义可得，向量DE = DM + ME，即2m = a / 2+ b / 2。
整理得到m = (a + b) / 4，即AM = (a + b) / 4。
采用几何法证明：根据同样的推导过程，可以得到AM = (a + b) / 4。
现在考虑三角形AMB，根据三角形中线定理，线段DE的长度等于边长AB的一半，即DE = AB / 2 = a / 2。
而根据三角形中线定理的证明，AM = (a + b) / 4。
因此，DE = AM。
3. 三角形中线定理的应用三角形中线定理是许多几何问题的重要工具。
以下介绍几个常见的应用示例：- 根据三角形中线定理可以计算三角形的中线长度，从而确定三角形的形状和性质。
三角形中线等面积的应用
第5讲例说三角形中线等分面积的应用如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝12BD·AE ，S △ADC ＝12DC·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。
因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。
一、求图形的面积例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。
解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4ab，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于31×4ab =12ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ=a b －4×12ab =32ab。
例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=________（用含a 的代数式表示）；（2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图1图2图4F 图5 图3图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．应用：去年在面积为10m 2的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH （如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m 2？分析：从第1个图可以发现AC 就是△ABD 的中线，第2个图通过连接DA ，可得到△ECD 的中线DA ，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。
例3三角形的中线分三角形为两部分(2)
4x x y
x
并不是说△ACD的周长是60或者是40，
而是指AC与CD的和是2BC ∴BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y， 则AC=4x，
分为两种情况： ①AC+CD=60，AB+BD=40， 则4x+x=60，x+y=40， 解得：x=12，y=28， 即AC=4x=48，AB=28；
4x x y
x
解：∵AD是BC边上的中线，AC=2BC ∴BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y， 则AC=4x，
②AC+CD=40，AB+BD=60， 则4x+x=40，x+y=60， 解得：x=8，y=52， 即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16 此时不符合三角形三边关系定理； 综合上述：AC=48，AB=28．
例3 三角形的中线分三角形为两部分（2） 如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边 上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分， 求AC和AB的长．
分析： 先根据AD是BC边上的中线 得出BD=CD， 设BD=CD=x，AB=y， 则AC=4x， 再分AC+CD是60与AC+CD的是40两 种情况进行讨论即可．
4x x y
x
方法总结：本题考察了三角形的三边关系定理的应用， 要分情况进行讨论．特别注意，三角形的中线分三角
形的周长为两部分，这两部分不包含该条中线。
三角形中线的运用
∴DE= 1 2
BC
且 DE ∥ BC
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 斜边 的一半 .
如图,在RT△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°,
∴BC=
1 2
AB .
4.等腰三角形“三线合一”的性质：
如图,已知AB=AC，AD⊥BC.
∴BD=CD=
1 2
BC
，
∠BAD=∠CAB.
5.一种常见的关于中点的辅助线思想 ——“倍长中线法”
如图：在△ABC中，点D是BC边的中点， 我们可以将AD延长至A′，使A′D=AD ， 连接A′B（A′C）.
∴△ACD≌ △A′BD （△ABD≌ △A′C）D
∴ AA′=2AD.
例1：如图：∠BAC=∠DAE=90º，AB=AC，AD=AE， 连接BE、CD，M为BE的中点，连接AM，
求证：CD=2AM.
北碚区王朴中学童昌强
三角形中线的运用
一.知识回顾—线段“中点”相关知识点： 1.在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边的一半
如图,在RT△ABC中，∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴AD=CD= BD = 1 AC . 2
2.三角形的中位线平行且等于 第三边的一半
如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC中，点E在AC上，且AE=CE ，连接 BE，点D在BC的延长线上，且CE=CD，连接ED、AD. 点F是BE的中点，连接FA、FD.求证：AD=2AF.
A
E
F B
D C
A
B
MC
E
D
A
B M
D
C
E
A′
△ACD≌△EA′A
A
B
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三角形中线的应用例谈
三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。
三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。
如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC的边BC上的中线。
∴BD=CD=BC . A E⊥BC 于E，即AE是△ABC的边BC上的高。
同时AE也是△AB D、△ACD 的高。
根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即
.
△AB D、△ACD的面积可表示为：
，
，
所以△AB D、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。
结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。
例1如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。
AD、BE交于G，试比较△BG D和△AGE面积的大小。
析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也
等于三角形ABC的面积的一半。
所以=，所以
，即.所以△BG D和△AGE 的面积相等。
引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC 的中线，根据上面结论一，有，，而，
所以，
，所以
结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的.
例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F 分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。
分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。
更重要的是要考虑中点的运用。
解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积=
,
根据上述结论二，△BOD的面积等于△BCD的面积的，
即，
∴阴影部分的面积=.
点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。
图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。