量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)第二章答案
中科大量子计算与量子信息导论
3.3 量子计算并行优势的来源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.4 单量子比特门:Hadamard 门和相移门 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
但是如果利用方法二, 也就是把问题换一个问法, 那么情况就会好得多. 比如说, 我想知道 2n 个输入 中, 得到的结果最有可能在哪个附近? 换个具体的例子, 假设我是中国总理, 摆在我面前的是一个中国地 图, 我需要在上面造一个新的经济特区, 然后我想知道我究竟把这个经济特区设立在哪儿, 会让全国人民 最满意 (或者, 功利主义的”For the greatest happiness of the greatest people”), 然后我知道一个具体的 算法, 可以判断出单个个体最喜欢哪个地区, 并且我神奇地得到了 13 亿个制备好的量子态 (输入原始数 据这一步, 无论是经典计算还是量子计算, 都是逃不开地复杂), 然后我把她们纠缠在了一起, 丢到计算机 中去进行, 假设运行一次需要 m 步. 那么, 经典计算机就需要 13 亿个 m, 算出结果之后再统计平均. 但如 果用量子计算机, 我们只需要 30 个 Qubits 就有 13 亿个状态 (当然, 状态的参量多了之后就需要更多的 Qubits), 然后丢到量子计算机中运行一次, 如果合适地设计量子计算机, 有可能我们只需要来个几百次测 量所得的答案, 取平均值, 就知道人们最希望我把经济特区建在哪儿了.
3.11 Grover 选择算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
量子信息与量子计算的相互关系研究
量子信息与量子计算的相互关系研究近年来，量子信息和量子计算成为了科学界和工业界的热门话题。
量子信息是研究如何利用量子力学的性质来存储、传输和处理信息的学科，而量子计算则是利用量子比特进行计算的一种新兴的计算方法。
两者之间存在着密切的相互关系，本文将深入探讨这一关系，并介绍相关的研究进展。
首先，我们来了解一下量子信息的基本概念。
量子信息的基本单位是量子比特，也就是量子位。
与经典计算中的比特不同，量子比特可以处于多个状态的叠加态，这一特性被称为叠加性。
同时，量子比特还具有纠缠性，即两个或多个比特之间可以相互关联，无论它们之间的距离有多远。
这种纠缠性使得量子信息的传输和处理具有了更多的可能性。
量子计算则是利用量子比特进行计算的一种新兴的计算方法。
与经典计算机中的比特只能表示0或1不同，量子计算机中的量子比特可以同时表示0和1，这一现象被称为叠加态。
另外，量子计算还可以利用量子比特之间的纠缠性进行并行计算，从而大大提高计算速度。
相比传统的计算方法，量子计算在某些特定问题上具有更高的效率和能力。
量子信息和量子计算之间的相互关系可以从多个角度来探讨。
首先，量子信息可以为量子计算提供必要的基础。
量子信息研究了如何存储、传输和处理信息，这些研究成果为量子计算的实现提供了技术支持。
例如，量子纠错码的研究可以提高量子计算机的可靠性和稳定性，量子通信的研究可以解决量子比特之间的传输问题，这些都为量子计算的发展奠定了基础。
另一方面，量子计算也为量子信息的研究提供了新的视角和挑战。
量子计算的发展需要解决许多难题，如量子比特的稳定性、量子纠错码的设计等，这些问题的解决对于量子信息的研究也具有重要意义。
同时，量子计算的发展还推动了量子信息的研究进一步深入，例如量子隐形传态、量子密钥分发等新领域的出现。
除了基础研究，量子信息和量子计算在实际应用中也存在着紧密的联系。
量子通信是量子信息和量子计算的一个重要应用领域。
量子通信利用量子比特的纠缠性进行加密和解密，具有更高的安全性和隐私保护能力。
量子信息与量子计算
关于量子信息与量子计算量子计算是一种依照量子力学理论进行的新型计算,量子计算的基础原理以及重要量子算法为在计算速度上超越图灵机模型提供了可能。
量子计算(quantum computation) 的概念最早由IBM的科学家R. Landauer及C. Bennett于70年代提出，对于普通计算机运行时芯片会发热，极大地影响了芯片的集成度，科学家们想找到能有更高运算速度的计算机。
到了1994年，贝尔实验室的应用数学家P. Shor指出，相对于传统电子计算器，利用量子计算可以在更短的时间内将一个很大的整数分解成质因子的乘积。
这个结论开启量子计算的一个新阶段：有别于传统计算法则的量子算法确实有其实用性，绝非科学家口袋中的戏法。
自此之后，新的量子算法陆续的被提出来，而物理学家接下来所面临的重要的课题之一，就是如何去建造一部真正的量子计算器，来执行这些量子算法。
许多量子系统都曾被点名作为量子计算器的基础架构，例如光子的偏振(photon polarization)、空腔量子电动力学、离子阱以及核磁共振(nuclear magnetic resonance, NMR)等等。
以目前的技术来看，这其中以离子阱与核磁共振最具可行性。
事实上，核磁共振已经在这场竞赛中先驰得点：以I. Chuang为首的IBM研究团队在2002年的春天，成功地在一个人工合成的分子中(内含7个量子位)利用NMR完成N =15的因子分解。
到底是什么导致量子如此高的计算能力呢？答案是量子的重叠与牵连原理的巨大作用。
普通计算机中的2位寄存器在某一时间仅能存储4个二进制数（00、01、10、11）中的一个，而量子计算机中的2位量子位（qubit）寄存器可同时存储这四个数。
量子位是量子计算的理论基石。
在常规计算机中,信息单元用二进制的 1 个位来表示, 它不是处于“ 0” 态就是处于“ 1” 态. 在二进制量子计算机中, 信息单元称为量子位,它除了处于“ 0” 态或“ 1” 态外,还可处于叠加态(super posed state) . 叠加态是“ 0” 态和“ 1” 态的任意线性叠加,它既可以是“ 0” 态又可以是“ 1” 态, “ 0” 态和“ 1” 态各以一定的概率同时存在. 通过测量或与其它物体发生相互作用而呈现出“ 0” 态或“ 1” 态.任何两态的量子系统都可用来实现量子位, 例如氢原子中的电子的基态( ground state)和第 1 激发态( first excited state)、质子自旋在任意方向的+ 1/ 2 分量和- 1/ 2 分量、圆偏振光的左旋和右旋等。
第二章习题答案量子光学（中科院研究生院）
(∆X1)n
=
n m=0
: (∆X1)m :
n!
1
m!(
n−m 2
)!
8
n−m 2
.
由于对于相干态，如果 m = 0，则 : ∆X1m : = 0，所以上式右边在相干态下不为零的 展开项仅为首项
(∆X1)n
=
n!
(
n 2
)!8n/2
=
1·2·3····n
1
·
2
·
3
·
·
·
·
n 2
·
8n/2
=
1·2·3····n
ν π
1/2
exp
−ν
q2 − 2qq0 cos νt + q02 cos2 νt
ν π
1/2
exp
− ν (q − q0 cos νt)2
.
习题 2.4.
习题 2.5.
Y1
=
1 2
Y2
=
1 2i
e−i
θ 2
a
+
ei
θ 2
a†
e−i
θ 2
a
−
ei
θ 2
a†
(∆Y1)2 = Y12 − Y1 2 由此可得
a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r
e−iθ a† cosh r − ae−iθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r
a† cosh r − ae−iθ sinh r a cosh r − a†eiθ sinh r
a cosh r − a†eiθ sinh r a† cosh r − ae−iθ sinh r |0
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
量子信息技术-第二章
1
12
1 00 11 2
23
1 00 2
0 3 01 12 1 3 10
12
0 3 11 12 1 3
123
1 00 2
12
0 3 01 12 1 3 10
12
0 3 11 12 1 3
紧接着送信者A 将自己拥有的2个qubit用2 qubit态矢空间 的基底 00 , 01 , 10 , 11 进行测量。
第二章 量子通信
一、量子态的不可克隆定理(Non-Cloning theorem)
1.量子态的不可克隆定理
由于量子力学的态叠加原理，量子系统的任意未知量 子态，不可能在不遭破坏的前提下，以确定成功的概率被 克隆到另一量子体系上。 证明1 假定存在理想克隆机，它的幺正变换为U。克隆机
的初态为 A S
3
0 1
3
利用Hadamard操作和Cnot操作重写teleportation 过程。第二题作业！
说明:
1) 此过程不违背不可克隆定理。A 处粒子1在测量后已不 处于原来状态。过程只是待传态转移(从1到3)，不是待传 态的复制。 2) 不存在信息的瞬间传递。B必须等候收听A测量的结果， 所以没有违背狭义相对论原理。 3) 也可以通过这样的方式来完成隐形传态：即送信者A 先对 自己的两个qubit进行Cnot操作，随后对载有待传态的qubit进 行Hadamard门操作。
如果此时在A与备制中心C之间，及B与备制中心C之间 已分别共同拥有相同的Bell状态。这种情况下使得A与B之间 间接地共同拥有Bell状态，称之为纠缠状态交换。
量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)4(大部分)
4.14.2证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：e^x= 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x ）sin x = x -x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k -1)*x^(2k -1)/(2k -1)!+Rn(x)(-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)这种矩阵形式的指数表达式exp(iAx)就是用相应的泰勒级数展开来定义的，方法就是把上面的x 换成这里的矩阵iAx 即可。
上面的数字1，就是单位矩阵I ，n 次方也就是矩阵iAx 相乘n 次。
exp(iAx)=I+iAx -A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......=I+iAx -Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)再结合sinx 和cosx 的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I = I -Ix^2/2!+Ix^4/4!-...isin(x)A=iAx -iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......所以就有exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A4.3y zH=(X+Z)/2=R x(π) R y(π/2)exp(iπ/2)R x(θ)=R z(−π/2) R y(θ) R z(π/2)所以H=R z(−π/2) R y(π) R z(π/2) R y(π/2)exp(iπ/2)4.5X^2=Y^2=Z^2=I 并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.17H Z H4.18左边线路的作用：|00>→|00>|01>→|01>|10>→|10>|11>→-|11>右边线路的作用：|00>→|00>|01>→|01>|10>→|10>|11>→-|11>所以等价4.19[1001 00000000 0110][a b e f c d g ℎi j m n k l o p ][1001 00000000 0110]=[a b e f c d g ℎm n i j o p k l ][1001 00000000 0110]= [a b e f d c ℎg m n i j p o l k ]4.20左边=(H ⨂H)(|0><0|⨂I+|1><1|⨂X)(H ⨂H)= [1000 00010001 1000]=右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V^2=U,而V=e^(i α)AXBXC, V +=e^(-i α) C +XB +XA +[100e^(i α)]可以无限穿越节点，但不能穿越X4.23U=R x (θ)=R z (−π2)R y (θ)R z (π2) 不能减少U=R y (θ) 能4.24控制比特：|00>: 第一比特位 T|0>=|0>第二比特位 T +T +S= (T 2)+S=S +S=I第三比特位 H T +T T +TH=I|01>: 第一比特位 T|0>=|0>第二比特位 T +T +S= (T 2)+S=S +S=I第三比特位 H XT +T XT +TH=I|10>: 第一比特位 T|1>=e^(i π/4)|1>第二比特位 T +XT +X S=e^(−i π/4) S,e^(−i π/4) S|0>= e^(−i π/4)|0>第三比特位 H T +X T T +X TH=I,e^(i π/4)|1>⨂ e^(−i π/4)|0>=|10>|11>: 第一比特位 T|1>=e^(i π/4)|1>第二比特位 T +XT +X S=e^(−i π/4) S,e^(−i π/4) S|1>= e^(i π/4)|1>第三比特位 H XT +X T XT +X TH= e^(-i π/2)HZH= e^(-i π/2)X e^(i π/4)|1>⨂ e^(i π/4)|1>= e^(i π/2)|11>R z (π2) R y (θ2) R z (−π2) R y (θ2) R y (θ2) R y (θ2)4.25(1)第三比特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32ρ,=∑ρij00ij |i><j|⨂|0><0|+ ∑ρij11ij |i><j|⨂|1><1|ρ=Σρijmn |i><j|⨂|m><n|tr(ρ)= Σρijmn |i><j|tr(|m><n|)=Σρijm |i><j|4.33产生Bell 态的线路为而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.364.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.394.40E(U,V)=√<φ|(U −V )+(U −V )|φ>=√<φ|(U +U +V +V)|φ>−<φ|(U +V +V +U)|φ>=√2−<φ|(U +V +V +U)|φ>U=cos(α/2)-isin(α/2)n ⃗ *σV= cos((α+β)/2)-isin((α+β)/2)n ⃗ *σ<φ|(U +V +V +U)|φ>=<φ|2cos (β2)I|φ>=2cos (β2) E(U,V)= √2−2cos (β2)=|1-exp(i β/2)|4.41(S 为相位门)输入|00 φ>输出是|00>⨂(3/4 S| φ>+1/4 XSX| φ>)+(|01>+|10>−|11>⨂(1/4)(S| φ>− XSX| φ>)（3/4）^2+(1/4)^2=5/8所以以5/8的概率得到|00>3/4 S+1/4 XSX=(1/4) [3+i 001+3i]R z (θ)=exp(-i θ/2) [10035+45i ]而(3+i) [10035+45i ]= [3+i 001+3i]4.47利用练习2.54 A ，B 对易，则exp(A)*exp(B)=exp(A+B)4.49左边对e^[(A+B)△t]泰勒展开到O(△t^3)即可右边对e^（A △t ），e^（B △t ）泰勒展开到O(△t^3) e^{-0.5[A,B] △t^2}泰勒展开到O(△t^4)右边再合并化简即可与左边相同4.50(1) 每项e^[-i H k △t] 泰勒展开到O(△t^2)即可(2)E(U △t m ,e^(-2miH △t)≤∑E(U △t ,e^(−2iH △t)m 1=m||U △t −e^(−2iH △t)|φ>||=m|| O(△t^3) |φ>||=ma △t^34.51[01−10]X=Z[0−i−i0]Y=Z 再用式4.113即可。
量子物理学中的量子信息与量子计算
量子物理学中的量子信息与量子计算量子力学是一门描述微观物理现象的学科，它解释了原子和分子的运动和相互作用。
在二十世纪中叶，科学家们发现，量子力学不仅适用于描述物理现象，还可以帮助解释信息科学领域中的问题。
这就是量子信息学（Quantum Information Science）的诞生。
与经典信息学不同，量子信息学不仅仅是用一些特殊的算法描述信息，而是用基于量子特性的物理系统来处理信息。
在量子信息学中，量子态（Quantum State）是非常重要的概念。
量子态通常表示为Dirac符号，它是一个矢量，它的长度、方向和角度都很重要。
在经典信息学中，最基本的信息单位是比特（Bit）。
比特只有两个状态，即0和1。
在量子信息学中，最基本的信息单位是量子比特，也称为“量子位”或“Qubit”。
与比特不同，在量子二进制系统中，量子能够同时处于多个状态，这被称为量子叠加（Quantum Superposition）。
而且，两个量子态之间可以相互作用并进行搭配，这也被称为量子纠缠（Quantum Entanglement）。
在量子信息学中，我们可以使用量子比特进行计算。
这被称为量子计算（Quantum Computing）。
量子计算的目的是运行能够在传统计算机上执行的任务，但更高效或更快的算法。
量子计算的效率通常是在指数级的增长，而不是在线性增长。
这意味着，在一些特定情况下，使用量子计算机可以解决其他计算机无法处理的问题。
例如，一个重要的应用是在密码学和加密中。
在传统的密码学方法中，发送的信息通过加密和解密来保护其隐私。
然而，一旦密钥被揭示，信息的安全就没有保障了。
量子计算在这一领域中可以提供更好的解决方案。
量子加密是一种保证绝对安全的加密方法，它利用量子态的纠缠特性来保护信息的隐私。
即使攻击者知道加密密钥，他们也无法获得任何有用的信息。
另一个示例是量子化学计算。
一些化学问题在经典计算机上非常难以处理。
然而，通过运行量子计算机，可以更准确地模拟这些反应。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.14
要证明
(aA)+ = ������∗������+
①
和
(������ + ������)+ = ������++������+ ②
证 2 设 C=A+B ,则 ������������������ = ������������������ + ������������������ ,
∴ ������������������+ = ������������������∗ = (������������������ + ������������������)∗
2.29 AA+=A+A=I , BB+=B+B=I 则 (A⨂B) (A⨂B) += (A⨂B) (A +⨂B +)=(AA +) ⨂(BB +)= I⨂I=I 同理 (A⨂B) +(A⨂B)=I 得证
2.30 A＝A+，B+＝B ,所以(A⨂B) +＝A +⨂B +＝A ⨂B
2.31 两个半正定算子张量积是半正定的
2.25 引证，当 A 是 Hermite 的，只要 A 的特征值大于等于 0，则 A 是半正定算子 设,|φi >是 A 的标准归一化的特征向量 则对任意的|v> 有 |v>=∑������ ������������|vi> ,则|v>+=∑������ ������������*<φi|* 则 A|v>=A ∑������ ������������|φi>=∑������ ������������ ������������|φi> , 所以<v|*A|v>=∑������ ������������ ������������∗������������<φi |*|φi> 而且有 CiCi*>=0 , <φi ||φi>=1 所以当������������>=0 有<v|A|v> >=0
0 0
0 0
10|
(3) X⨂I=|10
0 0
0 0
01|
0100
0010
2.28 性质：转置，复共轭，伴随算子，可逆性 (1)(A+B) ⨂C=A⨂C + B⨂C
(2) A⨂(B+C)=A⨂B + A⨂C (3)A⨂(kB)= (kA)⨂B (4)Im⨂In=Imn (5)(AB) ⨂ (CD)=(A⨂C)(B⨂D) (6) (A⨂B)⨂C=A⨂(B⨂C) (7)若 AB 可逆，则(A⨂B)-1=A-1⨂B-1 (8)Am 阶，Bn 阶，|A⨂B|=|A|m|B|n (9)转置，(A⨂B)T=AT⨂BT (10) 复共轭，(A⨂B)*=A*⨂B* (11) 伴随, (A⨂B)+=A+⨂B+
第二章答案 2.1
������1 [−11] + ������2 [12] + ������3 [21] = 0 可取������1 = 0, ������2 = 1, ������3 = −1, 线性相关
2.2
(1)A = [01 10]
(2)A = [−01 −01], [10],
[−01] 输入输出基
2.4∵ A|������������ >= ∑������ ������������������|������������ >= ������1������|������1 > +������2������|������2 > + ⋯ + ������n������|������������ > ∴ 当 i=j 时，即������������������=1，且 i≠j 时，������������������=0，有输入输出（？）去相同基 ∴ 对角线元素为 1，其他元素为 0，这种矩阵为单位阵
即������ = 0 或者������ = 1
2.24 证： A=b+iC 对于任意的 A，B、C 都是 Hermite 的
设 B=1/2(A++A) C=-i/2(A+-A) 则 A=b+iC ，B、C 都是 Hermite 的
<v|A|v>=<v|B|v>+i<v|C|v> >=0 而 BC 是 Hermite 的，所以<v|B|v>，<v|C|v>为实数 必有<v|C|v>=0，即 C=0，所以<v|A|v>=<v|B|v> 所以 A 是 Hermite 的
2.26 |φ>⨂2 =1/2(|00>+|01>+|10>+|11>) |φ>⨂3 =1/2√2(|000>+|001>+|010>+|011>+|100>+|101>+|110>+|111>) 矩阵略
2.27
0010
(1)X⨂Z=|01
0 0
0 0
−01|
0 −1 0 0
0010
0100
(2) X⨂I=|01
半正定矩阵的特征值大于等于 0，有 A=∑������ ������������|������ >< i|, ������������ ≥ 0, B=∑������ ������������|������ >< i|, ������������ ≥ 0 所以 A⨂B=∑������ ∑������ ������������������������|������ >< ������|⨂|������ >< ������| 因此 a ������������������ ≥ 0,且a ������������������是 A⨂B 的特征向量，因此 A⨂B 是半正定的
[������
1]
−
1 2
[−1������
]
[������
1], < φ| ∗= |φ >
|0><0|-|1><1|,
2.12
|λE-A|=[λ−−11
λ
0 −
1]=(λ
−
1)2=0
λ=1
当 λ=1 时，特征向量为[01]，而 A≠ |1 >< 1| ， 所以不能
2.13 (|������ >< ������|)+ =< ������|+|������ >+= |������ >< ������|
有 ������������������+ = ������������������∗ , ������������������+ = ������������������∗
∴ ������������������+ + ������������������+ = ������������������∗ + ������������������∗ = ������������������∗ = ������������������+ = (������������������ + ������������������)+
2.7 (|w>,|v>)=0 ， 正交 归一化形式|������>， |������>
√2 √2
2.8 数学归纳法
2.9 X=[01 10] = ∑������ < ������������ |������| > |������������ >< ������������| = [01] [1 0] + [10] [0 1] = |1 >< 0| + |0 >< 1| ∵ X|0 >= |1 > , X|1 >= |0 > ， ∴ 有������1 = |0 >, ������2 = |1 >, ������1 = |1 >, ������2 = |0 >
2.10 第 j 行第 k 列为 1，其他为 0
2.11
特征向量
x
1，-1
y
1，-1
z
1，-1
特征值（归一化）
√2 2
[11]
,
√2 2
[−−11]
1 √2
[1������ ]
,
1 √2
[−1������ ]
|0>，|1>
对角表示
1 2
[11]
[11]−Fra bibliotek1 2
[−11]
[1
−1]
1 2
[1������ ]
2.23
由定义 知ρ|v > = ������|������ > |������ > 为特征值������对应的特征向量 且头像应ρ 有ρ2 = ρ ， 即 ρ|v > = ������|������ >