上课用2.3.1离散型随机变量均值

ξ P 0 0.15 1-P 1 0.85 P
所以
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)
＝0×0.15＋1×0.85＝0.85． 1-P P P
结论1：两点分布的期望：若X～B（1，p），则EX=p
求证： 若ξ~B(n，p)， 则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0 证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0
=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … +
Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) = np(p+q)n-1=np
引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元 /kg ，24元/kg ，36元/kg 的3种糖果按3：2：1的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量 都相等，如何对混合糖果定价才合理？ 定价为
18+24+36 3 26
可以吗？
假 如 从 这 种 混 合 糖 果 中 随 机 选 取 一 颗 ， 记 X为 这 颗 糖果所属种类的单价（元 kg ） ,你 能 写 出 X的 分 布 列 吗 ？
所以Y的分布列为 Y
ax1 b
ax2 b
…
ax i b
…
axn b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
EY ( ax1 b ) p1 ( ax 2 b ) p 2 ( ax n b ) p n
a ( x1 p 1 x 2 p 2 x n p n ) b ( p 1 p 2 p n )
1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
xn pn
则称 E X x1 p1 x 2 p 2 x i p i x n p n 为随机变量
X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
假 如 从 这 种 混 合 糖 果 中 随 机 选 取 一 颗 ， 记 X为 这 颗
如果你买了1kg这种混合
糖果所属种类的单价（元
） ,你 能 写 出 X的 分 布 列 吗 ？ kg 糖果，你要付多少钱？
而你买的糖果的实际价值 解 ： 随 机 变 量 X 可 取 值 为 18 ， 和 36 24 刚好是23元吗？ 1 1
作业：P68 A2，3，4 B 1
作业袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,每取到 1个红球得2分,取到一个黑球得1分. (1) 今从袋中随机取4个球,求得分ξ的概率分布与期 望. (2)今从袋中每次摸1个球,看清颜色后放回再摸1个球, 求连续4次的得分η的期望.
而 P ( X 18) , P ( X 24) 2 所 以 X分 布 列 为 3
, P ( 样本平均值 X 36)
1 6
x p
18 1/2
24 1/3
权数 36 1/6 加权平均
18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23
=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)
的含义吗？
1/6
所以随机变量X的均值为E（X）=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5 变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1， 试求Y的均值？
变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1， 试求Y的均值？
解：随机变量Y的取值为3，5，7，9，11，13 其分布列为
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：
①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③、求出均值(期望)。
例1、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子 的点数X的均值 解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为 X 1 2 3 4 5 6
P
1/6
1/6
1/6 你能理解3.5 1/6 1/6
甲做对题的个数服从什么分布？乙呢？
设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确 解：
答案的选择题个数分别是ξ和η，则 ξ～B(20，0.9)， η～B(20，0.25)，
Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验 中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成 绩的均值分别是
aEX b
练习： 随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
3、几个特殊分布的期望
例2、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为 0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？
解:ξ的分布列为
Y 3 5 7 9 11 13
X P
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6的均值为E（Y） =3×1/6+5×1/6 +7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8
=2E（X）+1
2、随机变量的期望值（均值）的线性性质
设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,，其中 a,b为常数，
a
则EY=E(aX+b)=
aEX+b
若 Y=aX+b,则 EY=aEX+b
特别地：E(c)=c(其中c为常数)
证：设离散型随机变量X的概率分布为 X P
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
xn pn
而 P (Y a x i b ) P ( X x i ), i 1, 2, 3 n
E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90， E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．
• 例4：根据气象预报,某地区近期有小洪水的 概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费为3800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水; 方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好? 分析 方案好与差是指什么？
结论2：二项分布的期望：若ξ~B(n， p)， 则Eξ= np
练习： 一个袋子里装有大小相同的3 个红
球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到
红球次数的数学期望是 3
.
例3、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选 择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分， 满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙 则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均 值。 分析 甲的成绩= 乙的成绩=