九年级数学中考复习-4.3_解直角三角形课件北师大版
解直角三角形 初三九年级数学 北师大版
19.4.3◆1、三角函数的定义sinA ＝斜边的对边A ∠= ，cosA ＝斜边的邻边A ∠= ，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠= ，◆2、30°、45°、60°等特殊角的三角函数值◆3（1）仰角与俯角：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
（2）坡度：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
如图，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比）记作i ，即i =lh。
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α ，且有i ＝lh=tan α 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡。
（3）方向角如图方向角：OA ： _____，OB ：_______OC ：_______，OD ：_______解直角三角形C ＝90°，由下列条件解直角三角形。
（1）已知a＝156，b ＝56，求c 、∠A ； （2）已知c ＝30，∠A ＝60°，求a ；变式练习1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，∠CAB=60°，•，求AC 、AB 的长。
例2：甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.变式练习2：从A 处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B 处,观测铁塔的顶部的仰角是45°,求铁塔高.300450AE D BC例3：如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向。
小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向。
求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）。
解直角三角形 北师大版数学九年级下册
九下第一章 直角三角形的边角关 系
1.4 解直角三角形
问题引入
问题1.在直角三角形中，除直角外还有几个元素？
问题2：如图，在Rt△ABC 中∠C=90°， a、b、c、
∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
B
c a
AbC
总结梳理
在Rt △ ABC中，共有六个元素,分别是__三__ 条边， 三个角，其中∠C=90°，
(1) 三边之间的关系: a2+b2=__c_2 __；
B
c
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=_9_0_°；
a
(3) 边角之间的关系：锐角三角函数 A b C
sinA=__ac__，cosA=__b_c _，tanA=__ba__.
由直角三角形中 的元素， 出所有
元素的过程，叫做解直角三角形．
思考探究
斜边和一锐角
数学思想： 分类讨论
知识点一：已知两边解直角三角形
情况一：已知两直角边，求其他未知的元素
A
？
b？
AB a2 b2
tan A a b
A可求
情况C二：已a 知？一B 直角B边和90斜边，A求其他未知的元素
A
？
？c
AC c2 a2
sin A a c
A可求
C
a ？ B B 90 A
A
b
20
C
a
B
随堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC=6， ∠BAC 的平分4线3AD=
，解这个直角
三角形.
A
解：
∵AD 平分∠BAC，
6 43
C
D
B
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
北师大版九年级数学下册教学14 解直角三角形(共15张)PPT课件
解直角三角形，只有下面两种情况： （1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角．
例1. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于 离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树 在折断之前高多少？
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°， AC 2,BC 6 解这个直角三角形
A
2
A
c
b
35°
20
B
a
C
csb iB ns2 i3n 0 5 0 2 .50 7 3.1 5
你还有其他 方法求出c吗？
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，
∠BAC的平分线
A，D 解 4这3个直角三角形.
解：cosCADAC 6 3
AD 4 3 2
C AD30
A
6 43
因为AD平分∠BAC
练习: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,
AB=13,则有
①根据勾股定理得:
A
BC=__1_3_2_-1_2_2__=___5___
BC
5
②sinA =__A_B __=__1_3 __
AC
12
③cosA =___A_B___ = __1_3____
13 12
B 5C
BC
5
AC 12
④tanA =__AC___=__12__⑤ cotA = B_C__ = 5 ___
C
D
B
C A B 6 0 , B 3 0
AB12,BC6 3
随堂练习
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
A
∠B＝72°，c = 14.
解：
sin B b c
数学北师大版九年级下册《4解直角三角形》课件公开课(1)
应用提高
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯 子的顶端,梯子与地面所成的角 a 一般要满足 50°≤ a≤75°. 现有一个长6m的梯子. 问:
（2）当梯子底端距离墙面
B
2.4m时，梯子与地面所成
的角 a 等于多少（精确到
1°）？这时人能否安全使
用这个梯子？
AC
66° 能安全使用这个梯子.
小结
谈谈你今天的收获 ……
＝20，解这个直角三角形.（结果保留小数点后
一位）
解：在Rt△ABC中,
A
∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° c
tan B b
a
b
a
20
28.6
tan B tan 35
35° Ba
你还有
其他方法求
b 20
C
sin B b c
c b 20出c吗？34.9 sin B sin 35
选做题： P78习题28.2 第7题
解直角三角形除直角外，至少要知道两个元素. （这两个元素中至少有一条边）
总结归纳
归纳2：解直角三角形的条件可分为哪 几类？你能归纳出具体解法吗？
解直角三角形的条件可分为两大类： ①、已知一锐角、一边（直角边或斜边）
求另一角（根据∠A＋∠B＝900）； 求其它边（根据锐角三角函数）.
②、已知两边 求第三边（勾股定理）； 求角（根据锐角三角函数）.
知识回顾
∠ A 的对边
三 角
正弦函数：sin A= 斜边
函 数
余弦函数:
∠A 的邻边 cos A= 斜边
定
义
正切函数:
∠ A 的对边 tan A= ∠A 的邻边
知识回顾 30°，45°，60°的三角函数值
北师大版九年级数学下册：第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》说课稿
北师大版九年级数学下册：第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》的教材内容主要包括锐角三角函数的定义及计算方法、解直角三角形的应用等。
这部分内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点。
通过复习，使学生掌握锐角三角函数的定义及计算方法，提高解直角三角形的能力，为高中阶段的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角函数和解直角三角形的相关知识，对基本概念和基本公式有一定的了解。
但部分学生对概念的理解不够深入，公式的应用不够熟练，解题方法不够灵活。
因此，在复习时，要注重巩固基础知识，提高解题技能，培养学生的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过复习，使学生掌握锐角三角函数的定义及计算方法，提高解直角三角形的能力。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生探究问题的能力，提高解决问题的策略。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生体验到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及计算方法，解直角三角形的应用。
2.教学难点：对锐角三角函数概念的理解，解直角三角形方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示锐角三角函数的定义及计算方法，解直角三角形的应用，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习已学过的知识，引导学生回顾锐角三角函数和解直角三角形的相关内容，为新课的学习做好铺垫。
2.知识梳理：讲解锐角三角函数的定义及计算方法，解直角三角形的应用，让学生掌握基本概念和基本公式。
3.例题讲解：分析典型例题，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的解题技能。
4.练习巩固：布置适量练习题，让学生独立完成，检测学习效果，及时巩固所学知识。
北师大版九年级数学下册第一章4解直角三角形
∴∠A=60°.故选D.
3.图1-4-2是教学用的直角三角板,边AC=30 cm,∠C=90°,tan∠BAC= 3 ,则 3
边BC的长为 ( )
A.30 3 cm
B.20 3 cm
易错点 考虑问题不全面,导致漏解 例 在△ABC中,AB=4,AC= 13,∠B=60°,求BC的长.
错解 如图1-4-4所示,过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中,∠B=60°,AB=4,
∴AD=ABsin B=4sin 60°=4× 3 =2 3, 2
BD=ABcos B=4cos 60°=4× 1 =2.
因为sin A= BC = 3 ,所以∠A=60°. AB 2
所以∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.
1.如图1-4-4,△ABC在边长为1个单位长度的方格纸中,它的顶点在小正方
形的顶点上,如果△ABC的面积为10,且sin A= 5,那么点C的位置可以在 5
()
图1-4-4
A.点C1处 C.点C3处
c 10
题型二 已知直角三角形的一边和一锐角解直角三角形 例2 如图1-4-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,a=6,解这个直角三角形. (边长精确到0.1)
图1-4-2 分析 先根据“直角三角形的两锐角互余”求出∠B,然后分别利用∠A的
正切值与正弦值求出b、c. 解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,
图1-4-2 C.10 3 cm
D.5 3 cm
答案 C ∵tan∠BAC= BC ,∴BC=AC·tan∠BAC=30× 3 =10 3 (cm),故选
《解直角三角形》直角三角形的边角关系PPT-北师大版九年级数学下册
知2－讲
例5 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠A, ∠B, ∠C的对边分 别为a, b, c, 且c＝100, ∠A＝26°44′．求这个三角形 的其他元素.(长度精确到0．01)
导引: 已知∠A, 可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小.而
解: 已知斜边, 必然要用到正弦或余弦函数.
∵∠A＝26°44′, ∠C＝90°,
例6 如图,
在△ABC中,
AB＝1,
AC＝
2，sin
B＝
2 4
，
求BC的长.
导引:要求的BC边不在直角
三角形中, 已知条件中
有∠B的正弦值, 作BC边上的高,
将∠B置于直角三角形 中, 利用解直角三角形就可
解决问题.
知3－讲
解: 如图, 过点A作AD⊥BC于点D．
2，
∵AB＝1, sin B＝ 4 2
2.
4
4
∴AD＝AB·sin B＝1×
AB2 AD2
＝
12
2 2 4
14 ,
4
∴BD＝ AC 2 AD2
2 2 2
30
2
4
. 4
CD＝ CD BD
30 4
14 4
30 14 .
4（来自《点拨》）
总结
知3－讲
通过作垂线(高), 将斜三角形分割成两个直角三角 形, 然后利用解直角三角形来解决边或角的问题, 这 种 “化斜为直”的思想很常见.在作垂线时, 要结合已知 条件, 充分利用已知条件, 如本题若过（B来点自作《A点C拨的》垂） 线,
（角度精确到1° )：
(1) 已知 a = 4， b =8；
解: 在Rt△ABC中, 由勾股定理得c＝ 42 82
北师大版九年级数学课件-解直角三角形
解直角三角形需要滿足的條件
問題1 在Rt△ABC中,如果已知兩個銳角,可以解直角三角形嗎?
只知道角度是無法求出直角三角形的邊長的.
問題2 只給出一條邊長這一個條件,可以解直角三角形嗎?
只給出一條邊長,不能解直角三角形.
解直角三角形需要滿足的條件: 在直角三角形的6個元素中,直角是已知元素,如果再知道一 條邊和第三個元素,那麼這個三角形的所有元素就都可以確定
C
3.如圖所示，已知在Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，
cos B=
4 5
，則AC=
5
.
解析:∵在Rt△ABC中，cos B= AB 4，∴sin B=
tan
B=
AC BC
3 4
BC 5
.∵在Rt△ABD中，AD=4，
AC BC
3 5，
∴AB=
AD sin B
4 3
20 3
.∵tan B=
方法1:已知兩條邊的長度,可以先利用畢氏定理 求出第三邊,然後利用銳角三角函數求出其中一個 銳角,再根據直角三角形兩銳角互餘求出另外一個
銳角.
方法2:已知兩條邊的長度,可以先利用銳角三角函 數求出其中一個銳角,然後根據直角三角形中兩銳 角互餘求出另外一個銳角,再利用銳角三角函數求
出第三條邊.
已知一條邊和一個角解直角三角形
AC 3
，∴AC=ABtan B= 20 3
5
AB 4
34
=5.故填5.
4.如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5， sin∠ABC=0.8，則BC= 6 .
解析:如圖所示,過點A作AD⊥BC於D，∵AB=AC，∴BD=CD，
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿
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A
45°
C ┓ 60°
B
2. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC的面积。
A D
450 B
⌒
60°
75° C
• 探究练习
例.矩形ABCD中,AB=10,BC=8,
E为AD边上一点，沿CE将△DCE
对折，点D正好落在AB边上与点F， 求tan∠AFE. F B
锐角三角函数
（复习课）
解直角三角形
三边的关系
直 角 三 角 形
a2+b2=c2
∠A+ ∠B=900 sinA=
∠A的对边 斜边
∠A的邻边 斜边 ∠A的对边 ∠A的邻边
三角的关系
边、角关系
cosA= tanA=
300,600,450
等特殊角的三 角函数值
三角函数的应用
同角的三角函数关系 tanA= cosA
A
E C
D
•
• １．本节课我们学习我解直角三角形的相 关知识． • ２．复习了直角三角形的边边边角关系及 直角三角形锐角三角函数的相关知识；及 其是特殊角三角函数值． • ３．运用所学的数学知识来解决实际问题.
2
0
c
┏
⑵ 锐角之间的关系： A B 90 ⑶ 边角之间的关系： A
a
b
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b a sin A , cos A , tanA , c c b b a b sin B , cos B , tanB , c c a
;
.
特殊角的三角函数值表:
α sinα cosα tanα 30°
sinA
互余角的三角函数关系
sinA=cosB tanA· tanB=1 sinB=cosA
sin2A+ cos2A=1
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角， 它们所对的边分别为c 、a、b ，其中除直角c 外， B 其余的5个元素之间有以下关系：
⑴ 三边之间的关系：a b
2 2
c
1 2
3 2
45°
2 2
2 2
60°
3 2
1 2
3 3
1
3
D
6
0.6
=１.5 =4
30°
120°
1. 外国船只，除特许外，不得进入我国海洋 100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观 察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过 A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测 得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此 时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国 P 海域.